Paneles heterogéneos - Gabriel Montes

Paneles heterogéneos
Gabriel Montes-Rojas
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Paneles heterogéneos
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Supongamos el modelo de Swamy (1970)
yit = β i xit + uit , i = 1, 2, ..., N; t = 1, 2, ..., T
β i = β + ηi
E (ηi ) = 0, E (ηi xit0 ) = 0
E (ηi ηj0 ) =
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Ωη ,
0,
if
if
i = j,
i 6= j.
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Supongamos el modelo de Hsiao (1974,1975)
yit = β it xit + uit , i = 1, 2, ..., N; t = 1, 2, ..., T
β it = β + ηi + λt
E (ηi ) = 0, E (λt ) = 0, E (etai0 λt ) = 0
E (xit0 ηi ) = 0, E (xit0 λt ) = 0
E (ηi ηj0 ) =
Ωη ,
0,
if
if
i = j,
i 6= j.
E (λt ηh0 ) =
Ωλ ,
0,
if
if
t = h,
t 6= h.
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Consecuencias de obviar heterogeneidad
Supongamos el siguiente modelo generador de los datos:
yit = µi + β i xit + uit , i = 1, 2, ..., N; t = 1, 2, ..., T
β i = β + ηi
Ahora supongamos que se estima el modelo
yit = αi + δx xit + δz zit + νit , i = 1, 2, ..., N; t = 1, 2, ..., T
donde z es un regresor adicional que el investigador cree que es importante, cuando no lo es.
νit es iid, distribuido independientemente
de wit = (xit , zit ) para todo i, t. w sigue un proceso estacionario
ωixx
ωixz
.
ωizx
ωizz
en covarianza de Ωi =
Consideremos el estimador FE
"
plimN,T → δ̂FE = plim
# −1 "
#
1 N
1 N
Wi0 Qµ Wi
plim
Wi0 Qµ (Xi β i )
∑
∑
NT i =1
NT i =1
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Consecuencias de obviar heterogeneidad
Si β i = β entonces plimN,T → δ̂FE = ( β0 , 00 )0
Si los paneles son heterogéneos
plim
1 N
Wi0 Qµ (Xi ηi ) = plim
NT i∑
=1
1
NT
1
NT
0
∑N
i = 1 Xi Q µ ( Xi η i )
0
X
∑N
i =1 i Qµ (Zi ηi )
!
p
p
1
1
N
Entonces necesitamos que N
∑N
i =1 ωixx ηi → 0 y N ∑i =1 ωixz ηi → 0
plimδ̂x,FE − β =
plimδ̂z,FE =
cov (ωixx , ηi )E (ωizz ) − E (ωixz )cov (ωixz , ηi )
E (ωixx )E (ωizz ) − (E (ωixz ))2
cov (ωixz , ηi )E (ωixx ) − E (ωixz )cov (ωixx , ηi )
E (ωixx )E (ωizz ) − (E (ωixz ))2
Supongamos el modelo yit = αi + δx xit + δz xit2 + νit . En este caso en general no podemos obtener que FE
estima bien a menos que β i sea proporcional a xit .
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Estimador de Swamy (1970)
En el modelo de Swamy, la matriz de varianzas-covarianzas es



Σ = E (νν0 ) = 

Σ1
0
..
.
0
...
...
..
.
...
0
Σ2
..
.
0
0
0
..
.
ΣN





donde νit = uit + ηi xit y Σi = σi2 IT + Xi Ωη Xi0 .
El estimador es entonces:
N
β̂ SW = [ ∑ Xi0 Σi−1 Xi ]−1
i =1
N
∑ Xi0 Σi−1 yi
i =1
Si Ωη es no singular,
Σi−1 =
IT
X
− 2i
σi2
σi
Xi0 Xi
1
+ Ω−
η
σi2
−1
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Xi Ω η
Xi0
I
= T2 −
σi2
σi
σi2
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IK +
Xi0 Xi
Ωη
σi2
−1
Xi0
σi2
Estimador de Swamy (1970)
En el modelo de Swamy, la matriz de varianzas-covarianzas es



Σ = E (νν0 ) = 

Σ1
0
..
.
0
0
Σ2
..
.
0
...
...
..
.
...
0
0
..
.
ΣN





donde Σi = σi2 IT + Xi Ωη Xi0 .
El estimador es:
N
∑ Ri β̂i
β̂ SW =
i =1
[ ∑N
i =1 ( Ω η
−1
donde Ri =
+ Σ β̂i
η + Σ β̂ i ) , donde β̂ i y Σ β̂ i son los
estimadores y sus varianzas para cada i.
) −1 ] −1 ( Ω
Una alternativa es el mean-group (MG)
β̂ MG =
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1
N
N
∑ β̂i
i =1
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