resolución numérica de sistemas de ecuaciones no lineales
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UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI)
INGENIERO EN INFORMÁTICA
PROYECTO FIN DE CARRERA
RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE
SISTEMAS DE ECUACIONES
NO LINEALES
AUTOR:
Dª. CARLOTA SÁEZ CANALES
MADRID, SEPTIEMBRE 2006
Resolución Numérica de Sistemas de
Ecuaciones no Lineales
Agradecimientos
Quiero agradecer a mi madre el apoyo que me ha dado en estos años de
carrera, especialmente en este último año, por su comprensión y por
hacerme las cosas más fáciles.
También quiero dar las gracias a Lydia, Natalia y Oscar por ser
grandes amigos en todos los momentos de mi vida y por ayudarme a
seguir adelante.
Agradecer a Francisco Javier Rodríguez Gómez su ayuda para poder
realizar este proyecto, su paciencia y comprensión.
También quiero mencionar al Atril, por sus grandes desayunos que me
daban fuerzas para hacer este proyecto.
I
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Resumen
Este proyecto consiste principalmente en el estudio de las bases matemáticas,
análisis y diseño de los diferentes algoritmos numéricos que resuelven el problema de los
sistemas de ecuaciones no lineales. Para el desarrollo de dichos algoritmos se ha empleado
el paquete de cálculo numérico, simbólico y gráfico Mathematica® debido a las grandes
posibilidades de cálculo y representación gráfica que ofrece. Es un sistema de computación
numérico y simbólico que incorpora un excelente lenguaje de programación y la capacidad
de integrar cálculos, gráficos y texto, en un mismo documento. Principalmente las
características que distinguen a Mathematica de los programas de análisis convencionales
son su versátil interfaz gráfica y su sofisticado lenguaje de programación. Como prueba de
todo esto, la aplicación de Mathematica en los campos de la Economía, Física, Química,
Biología o Lingüística. También se ha desarrollado un interfaz gráfico implementado con
GUIkit, que permite desarrollar aplicaciones independientes con cálculos sofisticados y
creación de gráficos.
La metodología empleada en este proyecto ha consistido básicamente en detallar la teoría
matemática de cada método numérico, su diseño en pseudocódigo, su codificación y su
desarrollo en el paquete de cálculo numérico, simbólico y gráfico Mathematica, y la
resolución práctica de todos los ejemplos y problemas planteados para facilitar la
comprensión de los algoritmos estudiados y comprender su aplicación práctica. En la
resolución de los problemas se muestra como solución los cálculos más importantes que se
II
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
realizan en cada iteración para resolver el problema, un tabla resumen con los datos más
importantes que resultan de cada iteración y, por último, la solución aproximada del
problema. Además se ha creado una interfaz gráfica para que el usuario pueda resolver los
sistemas de ecuaciones no lineales de una forma más fácil.
En matemáticas, los sistemas de ecuaciones no lineales representan sistemas cuyo
comportamiento no es expresable como la suma de los comportamientos de sus partes. En
particular, el comportamiento de sistemas de ecuaciones no lineales no está sujeto al
principio de superposición, como lo es un sistema lineal. La linealidad de un sistema de
ecuaciones permite a los investigadores hacer ciertas suposiciones matemáticas y
aproximaciones, permitiendo un cálculo más sencillo de los resultados. Como los sistemas
no lineales no son iguales a la suma de sus partes, usualmente son difíciles de modelar, y
sus comportamientos con respecto a una variable dada, por ejemplo el tiempo, es
extremadamente difícil de predecir. Además, los sistemas no lineales son sistemas en los
que sus partes o componentes interactúan de tal forma que se da una continua influencia
mutua o relación causal que se retroalimenta. Esta influencia mutua puede describirse
mediante funciones no lineales.
Las ecuaciones no lineales son de interés en el campo de la ciencia y tecnología debido a
que la mayoría de los problemas físicos son implícitamente no lineales en su naturaleza.
Una ecuación no lineal es una ecuación de la forma f(x) = 0, para algún valor desconocido
de x y no puede ser dibujada en un plano mediante una línea. En muchos casos,
manipulando una ecuación no lineal algebraicamente, se puede dar una fórmula explícita
para la obtención de la solución o soluciones. Por ejemplo para la ecuación de segundo
grado, se dispone de una fórmula analítica que da su solución.
III
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Sin embargo, en otras muchas ocasiones es muy difícil, incluso imposible en la mayor parte
de los casos, obtener la solución exacta de la ecuación por métodos algebraicos. Algunos
ejemplos que no puede ser resueltos de forma exacta son: x - 2 = sen (x) - 3, cos(x) +
Exp(x) = sen(x) - 5. En estos casos, es necesario recurrir a métodos numéricos para obtener
una solución aproximada y para dar una estimación del error cometido en tal aproximación,
es decir, aproximar la raíz con el grado de precisión deseado.
En este proyecto se han analizado seis métodos numéricos para la resolución de sistemas de
ecuaciones no lineales, estos métodos son los siguientes:
1.
Método del Punto Fijo.
2.
Método de Seidel.
3.
Método de Newton.
4.
Método de Cuasi - Newton.
5.
Método de la Máxima Pendiente.
6.
Método de Continuación u Homotopía.
Algunos ejemplos de aplicaciones de ecuaciones no lineales son: la relatividad general, la
teoría del caos, las ecuaciones de Navier - Stokes de dinámica de fluidos, la óptica no
lineal, el sistema del clima de la Tierra, el balanceo de un uniciclo robot o la gestión de las
organizaciones.
El principal objetivo de este proyecto es diseñar una herramienta que ayude a calcular
IV
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
soluciones aproximadas a sistemas de ecuaciones no lineales mediante el desarrollo e
implementación de diferentes métodos numéricos que resuelven de forma aproximada este
tipo de sistemas de ecuaciones. Pero además, también se han conseguido otros objetivos
como el estudio de los métodos numéricos que resuelven sistemas de ecuaciones no lineales
y de la convergencia de dicho métodos para identificar el mejor método a emplear en cada
tipo de problema, determinar el error cometido en la aproximación numérica de las
soluciones.
Se ha diseñado un paquete de funciones en el lenguaje Mathematica que contiene los
algoritmos numéricos que se emplean en la resolución de sistemas de ecuaciones no
lineales, de esta forma se pueden abordar problemas del mundo real, que de otro modo sería
casi imposible de resolver de forma manual, dado el elevado número de datos a procesar y
a la cantidad de cálculos a realizar. Este paquete de funciones se ha creado siguiendo una
estructura modular para permitir futuras integraciones con otros sistemas o mejoras.
V
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Abstract
This Project consists mainly on the study of the mathematical basis, analysis and
design of the different numerical algorithms that resolves problems of nonlinear equation
systems. The packet of numerical calculus, symbolic and graphycal Mathematica is used
for the algorithms because the packet has big possibilities of calculus and graphical
representations. That is a system of numerical and symbolic computation that has an
excelent programming language and capacity of make up calculus, graphics and text on one
document. The mainly characteristics that distinguish Mathematica of conventional
analitical program are her versatile graphical interface and her sophisticated programmming
language. As a proof of this, the application of Mathematica on fields such as Economy,
Phisics, Chemestry, Biology or Language. As well, it has been developed a graphical
interface implement with GUIkit, that allows to develop independent applications with
sophisticates calculus and creation of graphics.
The methodology used in this Project consists basically on listing the mathematical theory
of each numercial methods, its design on pseudocodem, its codification and developing
with the packet of numerical calculus, symbolic and graphycal Mathematica, and the
practical resolution of every examples and problems proposes to make easy the compresion
of the studies algorithms and to comprise its practical application. In the resolution of
problems it is shown as a solution the most important calculus that are carried out in such
iteration for resolve the problem, a summary table with the most important data that results
VI
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
in such iteration, and finally, the approximate solution of the problem. As well, a graphical
interface is created for the user can resolve the nonlinear equation systems easily.
In mathematics, the nonlinear equation systems represents systems wich behaviour is
not exppresable such the sum of the behaviour of its parts. In special, the behaviour of
nonlinaer equation systems are not subject to the superposition principle, such as is a linear
system. The liniality of the equation systems allows researchers make mathematical
suppositions and approximations, permitting a easily calculus of results.
Such the nonlinear systems are not equals to the sum of its parts, usually the systems are
dificult of model, and its behaviours with regard to one variable given, for example, the
weather, is extremely difficult to predict. As well, the nonlinear systems are systems in that
its parts or components interact with a continuous mutual influence. This mutual influence
can be described with nonlinear functions.
The nonlinear equations are interested in the field of science and thecnology because the
most of physical problems are implicitly nonlinear in her nature. A nonlinear equation is a
equation of form f(x) = 0, for any unknown value of x and it can not be drawn in a plane
with a line. In many cases, manipulating algebraticment a nonlinear equation, can give an
explicit formula to obtain the solution or solutions. For example for the second grade
equation, exists one analytical formule that gives the solition.
Nevertheless, in other cases is difficult, even impossible in the majority of cases, to obtain
the exact solution of the equation whit algebratical methods. Some exaples that can not be
resolves in the exact form are: x - 2 =sen (x) - 3, cos(x) + Exp(x) =sen(x) - 5. In this cases,
VII
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
is necesary to recourse to numerical methods to obtain an approximate solution and to give
an estimation of the mistake maked on the approximation, it means, to approx the root with
the preciosion rank whised.
Six numerical methods are analyzed in this project for resolve nonlinear equation systems,
this methods are the followings:
1.
Method of fixed point.
2.
Method of Seidel
3.
Method of Newton.
4.
Method of Cuasi - Newton.
5.
Method of maximun slope.
6.
Method of Continuation or Homotopy.
Some examples of application of nonlinear equation are: the general relativity, the chaos
theory, the Navier - Stockes equations of dinamyc fluids, the optics nonlinear, the weather
climate system of the Earth or the organization management.
The mainly objective of this project is to design a tool that helps to calculate approximate
solutions for nonlinear equations systems by means of developing and implementation of
differents numerical methods that resolves this type of equation system with a approximate
form. As well, other objetives are achived: the study of numercial methods that resolves
nonlinear equation systems and convergence of the methods for identify the best method to
VIII
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
use in each type of problem, determinate the mistake maked on the numerical
approximation of solutions.
A packet of functions in Mathematica language is designed and contains the numerical
algorithms that are used on the resolution of nonlinear equation systems, on this form
problems of the real world can be tackled that on other form will be hardly impossible to
resolve with a manual form, given the raise number of dates to process and the lot of
calculos to make. This packet of functions is created following a modular structure to allow
futures integrations with other systems or improvements.
IX
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Índice
Agradecimientos............................................................................................................ i
Resumen........................................................................................................................ ii
Abstract......................................................................................................................... vi
Índice............................................................................................................................. x
1. Introducción.............................................................................................................. 1
2. Objetivos................................................................................................................... 5
3. Método del Punto Fijo............................................................................................... 7
3.1 Introducción..................................................................................................... 7
3.2 Pseudocódigo................................................................................................... 11
3.3 Problemas......................................................................................................... 12
4. Método de Seidel....................................................................................................... 41
4.1 Introducción..................................................................................................... 41
4.2 Pseudocódigo................................................................................................... 41
4.3 Problemas......................................................................................................... 42
5. Método de Newton.................................................................................................... 56
5.1 Introducción..................................................................................................... 56
5.2 Pseudocódigo................................................................................................... 60
5.3 Problemas......................................................................................................... 62
6. Método de Cuasi- Newton........................................................................................ 149
6.1 Introducción..................................................................................................... 149
6.2 Pseudocódigo................................................................................................... 154
6.3 Problemas......................................................................................................... 155
7. Método de la Máxima Pendiente............................................................................... 185
X
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
7.1 Introducción..................................................................................................... 185
7.2 Pseudocódigo................................................................................................... 190
7.3 Problemas......................................................................................................... 192
8. Método de Continuación u Homotopía..................................................................... 210
8.1 Introducción..................................................................................................... 210
8.2 Pseudocódigo................................................................................................... 215
8.3 Problemas......................................................................................................... 217
9. Interfaz de Usuario.................................................................................................... 239
9.1 Ventana inicial................................................................................................. 239
9.2 Ventana Método del Punto Fijo....................................................................... 243
9.3 Ventana Método de Seidel............................................................................... 245
9.4 Ventana Método de Newton............................................................................. 247
9.5 Ventana Método de Cuasi - Newton................................................................ 250
9.6 Ventana Método de la Máxima Pendiente....................................................... 252
9.7 Ventana Método de Continuación u Homotopia.............................................. 255
10. Metodología............................................................................................................ 258
11. Valoración económica............................................................................................. 270
11.1. Introducción.................................................................................................. 270
11.2. Técnicas de estimación de costes.................................................................. 270
11.3. Costes del Proyecto....................................................................................... 272
12. Conclusiones.......................................................................................................... 273
Anexo I. Manual de Instalación y de Usuario............................................................... 279
Manual de Instalación................................................................................................... 279
Manual de Usuario........................................................................................................ 281
Bibliografía................................................................................................................... 282
CD-ROM con el código de los algoritmos numéricos de Resolución de Sistemas de
Ecuaciones no Lineales en Mathematica® .
XI
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
1. Introducción
Este proyecto consiste principalmente en el estudio de las bases matemáticas,
análisis y diseño de los diferentes algoritmos numéricos que resuelven el problema de los
sistemas de ecuaciones no lineales. Para el desarrollo de dichos algoritmos se ha empleado
el paquete de cálculo numérico, simbólico y gráfico Mathematica® debido a las grandes
posibilidades de cálculo y representación gráfica que ofrece. También se ha desarrollado
una interfaz gráfica implementada con GUIkit, que permite
desarrollar aplicaciones
independientes con cálculos sofisticados y creación de gráficos y que se incluye en la
versión de Mathematica® 5.2. Por último, se han planteado y resuelto diferentes problemas
para facilitar la comprensión de los algoritmos estudiados y comprender su aplicación
práctica.
En matemáticas, los sitemas de ecuaciones no lineales representan sistemas cuyo
comportamiento no es expresable como la suma de los comportamientos de sus partes. En
particular, el comportamiento de sistemas de ecuaciones no lineales no está sujeto al
principio de superposición, como lo es un sistema lineal. Un sistema lineal es el que su
comportamiento no puede ser la suma de sus partes. La linealidad de un sistema de
ecuaciones permite a los investigadores hacer ciertas suposiciones matemáticas y
aproximaciones, permitiendo un cálculo más sencillo de los resultados. Como los sistemas
no lineales no son iguales a la suma de sus partes, usualmente son difíciles de modelar, y
sus comportamientos con respecto a una variable dada, por ejemplo el tiempo, es
extremadamente difícil de predecir, además, los sistemas no lineales son sistemas en los que
1
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
sus partes o componentes interactúan de tal forma que se da una continua influencia mutua
o relación causal que se retroalimenta. Esta influencia mutua puede describirse mediante
funciones no lineales.
Las ecuaciones no lineales son de interés en el campo de la ciencia y tecnología
debido a que la mayoría de los problemas físicos son implícitamente no lineales en su
naturaleza. Una ecuación lineal puede ser descrita usando un operador lineal, L y se puede
dibujar en un plano cartesiano mediante una línea. Una ecuación lineal en algún valor
desconocido de x tiene la forma L x = 0. Una ecuación no lineal es una ecuación de la
forma f HxL = 0, para algún valor desconocido de x y no puede ser dibujada en un plano
mediante una línea. Para poder resolver cualquier ecuación se necesita decidir en qué
espacio matemático se encuentra la solución x. Podría ser que x es un número real, un vector
o una función. Las soluciones de ecuaciones lineales pueden ser generalmente descritas
como una superposición de otras soluciones de la misma ecuación. Esto hace que las
ecuaciones lineales sean más fáciles de resolver. Las ecuaciones no lineales son mucho más
complejas, y mucho más dificiles de entender por la falta de soluciones simples
superpuestas. Para las ecuaciones no lineales las soluciones generalmente no forman un
espacio vectorial y, en general, no pueden ser superpuestas para producir nuevas soluciones.
Esto hace el resolver las ecuaciones mucho más dificil que en sistemas lineales.
En muchos casos, manipulando la ecuación algebraicamente, se puede dar una
fórmula explícita para la obtención de la solución o soluciones. Por ejemplo, para la
ecuación de segundo grado a x2 + b x + c = 0, se dispone de la fórmula
x = I-b ≤
è!!!!!!!!
!!!!!!!!!!
b2 - 4 a c M ë H2 aL.
2
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Sin embargo, en otras muchas ocasiones es muy difícil, incluso imposible en la
mayor parte de los casos, obtener la solución exacta de la ecuación por métodos algebraicos.
Algunos
ejemplos
que
no
puede
ser
resueltos
de
forma
exacta
son:
x - 2 = sen HxL - 3 cosHxL, ‰2 x - 5. En estos casos, es necesario recurrir a métodos
numéricos para obtener una solución aproximada y para dar una estimación del error
cometido en tal aproximación, es decir, aproximar la raíz con el grado de presición deseado.
La resolución de un sistema de ecuaciones no lineales es un problema que se evita
si es posible, normalmente aproximando el sistema no lineal mediante un sistema de
ecuaciones lineales. Cuando esto no resulta satisfactorio, hay que abordar el problema
directamente aplicando los diferenetes métodos disponibles.
En este proyecto se van a analizar seis métodos numéricos para la resolución de
sistemas de ecuaciones no lineales, estos métodos son los siguientes:
1.
Método del Punto Fijo.
2.
Método de Seidel.
3.
Método de Newton.
4.
Método de Cuasi - Newton.
5.
Método de la Máxima Pendiente.
6.
Método de Continuación u Homotopía.
Algunos ejemplos de aplicaciones de ecuaciones no lineales son: la relatividad
3
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
general, la teoría del caos, las ecuaciones de Navier - Stokes de dinámica de fluidos, la
óptica no lineal, el sistema del clima de la Tierra, el balanceo de un uniciclo robot, la
ecuación de transporte de Boltzmann, la ecuación de Kortewg-de Vires, la ecuación no
lineal de Schroedinger o la gestión de las organizaciones.
En resumen, el objetivo del presente proyecto consiste en el estudio de los sistemas
de ecuaciones no lineales. Para ello, se analizarán los métodos o algoritmos numéricos para
la resolución de estos sistemas y se hará un estudio sobre la aplicabilidad de cada método a
diferentes tipos de sistemas de ecuaciones no lineales.
4
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
2. Objetivos
El principal objetivo de este proyecto es diseñar una herramienta que ayude a
calcular soluciones aproximadas a sistemas de ecuaciones no lineales mediante el desarrollo
e implementación de diferentes métodos numéricos que resuelven de forma aproximada este
tipo de sistemas de ecuaciones.
Pero además, también se desprenden los siguientes sub-objetivos en el desarrollo
del software para la resolución de sistemas de ecuaciones no lineales:
1.
El estudio de los métodos numéricos que resuelven sistemas de ecuaciones no
lineales.
2.
Estudiar la convergencia de los métodos para saber cuál es el método más adecuado.
3.
Resolución mediante métodos numéricos de los sistemas de ecuaciones no lineales.
4.
Determinar el error cometido en la aproximación numérica de las soluciones.
5.
Diseñar un paquete de funciones en el lenguaje Mathematica que contendrá los
algoritmos numéricos que se emplearán en la resolución de sistemas de ecuaciones no
lineales.
6.
Aprendizaje y familiarización con el desarrollo e implantación de algoritmos en
Mathematica.
7.
Abordar problemas del mundo real, que de otro modo sería casi imposible de
5
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
resolver de forma manual, dado el elevado número de datos a procesar y a la cantidad de
cálculos a realizar.
8.
Emplear medios informáticos actuales como una herramienta más en el estudio y
aprendizaje.
9.
Desarrollar una interfaz gráfica de usuario con el paquete GUIKit de Mathematica.
10.
Desarrollo modular del software lo que permite futuras integraciones con otros
sistemas y la inclusión de mejoras o modificaciones.
11.
La herramienta debe ofrecer como salida, un archivo de texto, en el que se presente
el informe detallado de las operaciones realizadas en las diferentes iteraciones realizadas en
cada método, muy útiles en cuanto al estudio y compresión de los algoritmos.
12.
Y por último, desarrollar un software útil para que en casos futuros sea utilizado de
forma fácil para poder resolver problemas que necesiten calcular sistemas de ecuaciones no
lineales.
6
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
3. Método del Punto Fijo
3.1 Introducción
Un sistema de ecuaciones no lineales tiene la forma
f1 H x1 , x2 , ..., xn L
f2 H x1 , x2 , ..., xn L
..
..
..
fn H x1 , x2 , ..., xn L
(1)
donde se puede considerar que toda función fi aplica un vector
x = Hx1 , x2 , ..., xn Lt
(2)
del espacio n - dimensional n en la recta real .
En la siguiente figura se muestra una representación geométrica de un sistema no
lineal cuando n = 2.
Sistema no lineal cuando n = 2.
Figura 1
7
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
De manera general, un sistema de n ecuaciones no lineales con n incógnitas puede
representarse mediante la definición de una función F de n en n por medio de :
ij f1 H x1 , x2 , ..., xn L yz
jj
z
jj f2 H x1 , x2 , ..., xn L zzz
jj
zz
jj
zz
jj .
zz
zz.
FHx1 , x2 , ..., xn L = jjj
zz
jj
.
zz
jj
zz
jj
zz
.
jj
zz
j
fn H x1 , x2 , ..., xn L {
k
(3)
Si se usa la notación vectorial para representar las variables x1 , x2 , ..., xn , el sistema
no lineal anterior se escribe como sigue:
FHxL = 0.
(4)
Las funciones f1 , f2 ,..., fn son, entonces, las funciones coordenadas o componentes de
F.
Para poder aplicar el método del Punto Fijo en la resolución de sistemas de
ecuaciones no lineales es necesario el estudio de algunos conceptos relacionados con la
continuidad y diferenciabilidad de las funciones de n en n y de n en .
Definición 1.
Sea f una función definida en el conjunto D Õ n con valores en . Se
dice que la función f tiene un límite L en x0 y se escribe
lím f HxL = L
xØx0
si, dado cualquier número ¶ > 0, existe un número d > 0 tal que
» f HxL - L » ¶
siempre que x œ D y 0 »» x - x0 »» d.
8
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
En esta definición puede usarse cualquier norma que resulte conveniente; el valor
específico de d dependerá de la norma elegida, pero la existencia y el valor del límite L son
independientes de la norma utilizada.
Definición 2. Se dice que la función f de D Õ n en es continua en x0 œ D si existe
lím f HxL
xØx0
se tiene f(x0 ) y además
lím f HxL = f Hx0 L.
xØx0
Se dice, además, que f es continua en el conjunto D si f es continua en cada punto
del conjunto D, lo que se expresa escribiendo f œ CHDL.
Se definen los conceptos de límite y continuidad para funciones de n en n a través
de sus funciones componentes de n en .
Definición 3. Sea F una función de D Õ n en n de la forma
ij
jj
jj
jj
jj
j
FHxL = jjjj
jj
jj
jj
jj
j
k
f1 H xL y
zz
z
f2 H xL zzz
zz
zz
.
zz.
zz
zz
.
zz
zz
.
zz
z
fn H xL {
El límite de F es
lím FHxL = L = HL1 , L2 , ..., Ln Lt
xØx0
si y sólo si lím fi HxL = Li para cada i = 1, 2, ..., n.
xØx0
9
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
La función F es continua en x 0 œ D si lím FHxL existe y lím FHxL = FHx0 L.
xØx0
xØx0
Además, F es continua en el conjunto D si lo es en cada x de D. Este concepto se expresa
escribiendo F œ CHDL.
ô Teorema 1.
Sea f una función de D Õ n en y x0 œ D . Si existen las constantes d > 0 y
k > 0 con
∑ f HxL
… ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ … § K , para cada j = 1, 2, ..., n.
∑x j
siempre que »» x - x0 »» d y x œ D, entonces f es continua en x0 .
Definición 4.
Por definición, una función G de D Õ n en n tiene un punto fijo en
p œ D si G H pL = p.
ô Teorema 2.
Sea
D = 88 x1 , x2 , ..., xn <t » ai § xi § bi para toda i = 1, 2, ..., n<
para
algún
conjunto de constantes a1 , a2 , ... .., an y b1 , b2 , ...., bn . Suponiendo que G es una función
continua de D Õ n en n con la propiedad de que GHxL œ D siempre que x œ D.
Entonces G tiene un punto fijo en D.
Y suponiendo, además, que G tiene derivadas parciales continuas y que existe una
constante k 1 con
∑ f HxL
… ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ … § ÅÅÅÅKnÅÅÅ siempre que x œ D, para toda j = 1, 2, ..., n
∑x j
y toda función componente gi . Entonces la sucesión 8xHkL <k=0 definida por una xH0L selec∂
10
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
cionada en D arbitrariamente y generada por
xHkL = GHxHk-1L L,
para cada k ¥ 1,
converge en el punto fijo único p œ D y
K
»» xHkL - p »»∂ § ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ »» xH1L - xH0L »»∂ .
1- k
k
3.2 Pseudocódigo
è Algoritmo 1. Algoritmo del Punto Fijo
El pseudocódigo del algoritmo que resuelve un sistema de ecuaciones no lineales
mediante el método del Punto Fijo es el siguiente.
Algoritmo del Punto Fijo
H0L L , errorM
Input I8f Hx1 , ..., xm L<1 m , 8ftrans Hx1 , ..., xm L<1 m , H x1H0L x2H0L ... xm
T
(* Se inicializan las variables *)
H0L L
p H x1H0L x2H0L ... xm
error_inicial 160
i 0
While error_inicial >= error do
H* Se evalúa la función transformada en el punto*L
T
ij ftrans1 HpL yz
jj
z
jj ftrans2 HpL zzz
zz
p_sig jjjj
zz
jj
zz
...
jj
zz
k ftrans3 HpL {
(* Cálculo de la norma de la distancia entre los dos puntos *)
error_inicial »» p_sig - p »»¶
p p_sig
i i+1
End
Return Hx HiL ª HpLT L
Output
11
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
3.3 Problemas
à Problema 1. Aplíquese el método de Punto Fijo para sistemas no lineales para
aproximar el sistema de ecuaciones no lineales siguiente, iniciando el método en el punto
H0L H0L T
T
-5
inicial P0 = IxH0L
1 , x2 , x3 M = H0.1, 0.1, -0.1L e iterando hasta que ∞Pi+1 - Pi ¥¶ § 10 .
f1 Hx1 , x2 , x3 L = 3 x1 - cosHx2 x3 L - 1 ê 2 = 0,
f2 Hx1 , x2,x3 L = x21 - 81 Hx2 - 0.1L2 + sen x3 + 1.06 = 0,
f3 Hx1 , x2 , x3 L = e-x1 x2 + 20 x3 + H10 p - 3L ê 3 = 0.
Solución
Clear@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
ecuaciones = 93 x1 − Cos@x2 ∗ x3 D + 1 ê 2,
10 π − 3
x21 − 81 Hx2 − 0.1L2 + Sin@x3 D + 1.06, Exp@−x1 ∗ x2 D + 20 x3 + =;
3
1
1 i"################################
########## y
ecuacionestrans = 9 H2 Cos@x2 ∗ x3 D + 1L, j
j x21 + Sin@x3 D + 1.06 z
z − 0.1,
9 k
6
{
1 i
10 π − 3 y
− j
jExp@−x1 ∗ x2 D + z
z=;
20 k
3
{
d = 10.−5 ; p = 80.1, 0.1, −0.1<;
puntoFijo@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
Método del Punto Fijo para sistemas de ecuaciones no lineales.
ij -cosHx2 x3 L + 3 x1 + ÅÅÅÅ12Å
yz i 0 y
jj
zz jj zz
jj 2
z
2
f Hx1 , x2 , x3 L = jjj x1 - 81 Hx2 - 0.1L + sinHx3 L + 1.06 zzzz = jjjj 0 zzzz
jj
zz jj zz
j
z k0 {
1
-x1 x2
20
x
+
‰
+
ÅÅÅÅ
Å
H-3
+
10
pL
3
k
{
3
ij x1H0L yz i 0.1 y
jj
zz jj
zz
j
z
P0 = jjjj x2H0L zzzz = jjjj 0.1 zzzz
z
jj
z j
j H0L zz jk -0.1 z{
x
k 3 {
Ecuaciones preparadas para el método del Punto Fijo.
ij x1H0L
jj
jj H0L
jjj x2
jjj H0L
k x3
ij ÅÅÅÅ16Å I2 cosIHx2Hk-1L L Hx3Hk-1L LM + 1M
yz
zz
yz jjjj
zz
zz jj
zz
zz jj 1
zz
2
Hk-1L
Hk-1L %%%%%%%%%%%%%%%%%
zz = jj ÅÅÅÅÅ $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%
Hx1 L + sinIHx3 LM + 1.06 - 0.1 zzzz
zz jj 9
zz jj
zz
j
zz
zz
{ jjj 1
1
-Hx1Hk-1L L Hx2Hk-1L L
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
I-‰
+
ÅÅÅÅ
Å
H3
10
pLM
k 20
{
3
Tabla de datos.
12
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
i
0
1
2
3
4
H0L
jij x1
jj
jj x H0L
jj 2
jjj H0L
k x3
zyz
zz
zz
zz
zz
z
{
ij x1H1L yz
z
jj
jj H1L zzz
jj x2 zz
zz
jj
jj H1L zz
k x3 {
H2L
jij x1 zyz
jj
z
jj x H2L zzz
jj 2 zz
jj
z
j H2L zz
k x3 {
ij x1H3L yz
jj
z
jj H3L zzz
jj x2 zz
jj
zz
jj H3L zz
k x3 {
ij x1H4L yz
jj
z
jj H4L zzz
jj x2 zz
jj
z
jj H4L zzz
x
k 3 {
Pi
Pi+1
ij 0.100000000000 yz
jj
z
jj 0.100000000000 zzz
jj
zz
j
z
k -0.100000000000 {
ij 0.499983333472 yz
jj
z
jj 0.00944114960371 zzz
jj
zz
j
z
k -0.523101267286 {
ij 0.499983333472 yz
jj
z
jj 0.00944114960371 zzz
jj
zz
j
z
-0.523101267286
k
{
0.499995934919
jij
zy
jj 0.0000255677467667 zzz
jj
zz
jj
zz
k -0.523363310909
{
ij 0.499999999970
yz
jj
z
jj 0.0000123367203634 zzz
jj
zz
j
z
k -0.523598136414
{
ij 0.499999999993
yz
jj
z
jj 3.41679062543 µ 10-8 zzz
jj
zz
j
z
k -0.523598467181
{
ij 0.499995934919
yz
jj
z
jj 0.0000255677467667 zzz
jj
zz
j
z
-0.523363310909
k
{
0.499999999970
jij
zy
jj 0.0000123367203634 zzz
jj
zz
jj
zz
k -0.523598136414
{
ij 0.499999999993
yz
jj
z
jj 3.41679062543 µ 10-8 zzz
jj
zz
j
z
-0.523598467181
k
{
ij 0.500000000000
yz
jj
z
jj 1.64870403996 µ 10-8 zzz
jj
zz
j
z
k -0.523598774744
{
∞Pi+1 - Pi ¥¶
0.423101
0.00941558
0.000234826
0.0000123026
3.07563 µ 10-7
La solución aproximada del sistema es:
0.500000000000
jij
zyz
jj
z
P5 = jjj 1.64870403996 µ 10-8 zzzz
j
z
k -0.523598774744
{
à Problema 2. Sea el sistema de ecuaciones no lineales siguiente.
f1 Hx1 , x2 L = x21 + 10 x1 + x22 + 8 = 0,
f2 Hx1 , x2 L = x1 x22 + x1 - 10 x2 + 8 = 0.
Aplíquese el método de Punto Fijo iniciando el método en el punto inicial
H0L H0L T
P0 = Ix1 , x2 M e iterando hasta que ∞Pi+1 - Pi ¥¶ § 10-5 .
H0L
T
P0 = IxH0L
1 , x2 M = H0, 0L .
T
a)
H0L
T
P0 = IxH0L
1 , x2 M = H0.8, 0.8L .
T
b)
Solución
a)
Clear@ecuaciones, p, dD;
ecuaciones = 8x21 + 10 x1 + x22 + 8, x1 x22 + x1 − 10 x2 + 8<;
13
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
1
1
ecuacionestrans = 9 Hx21 + x22 + 8L, Hx1 x22 + x1 + 8L=;
10
10
−5
d = 10. ; p = 80.0, 0.0<;
puntoFijo@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
Método del Punto Fijo para sistemas de ecuaciones no lineales.
i x12 + 10 x1 + x22 + 8 zy i 0 y
zz = jj zz
f Hx1 , x2 L = jjjj
z
2
x
10
x
+
x
+
8
x
1
2
1
2
k
{ k0 {
ij x1H0L yz i 0. y
P0 = jjj H0L zzz = jj zz
k x2 { k 0. {
Ecuaciones preparadas para el método del Punto Fijo.
i 1ÅÅÅÅ JHx Hk-1L L2 + Hx Hk-1L L2 + 8N
yz
1
2
zz
ij x1H0L yz jjjj ÅÅÅÅ
zz
jj
zz = jj 10
zz
j H0L z jj
2
z
Hk-1L
Hk-1L
Hk-1L
1
k x2 { j ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ JHx1 L Hx2
L + Hx1 L + 8N z
10
k
{
Tabla de datos.
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ij x1H0L
jjj
H0L
k x2
yz
zz
z
{
ij x1H1L yz
z
jj
j H1L zz
k x2 {
ij x1H2L yz
jj
z
j H2L zz
k x2 {
ij x1H3L yz
jj
z
j H3L zz
k x2 {
ij x1H4L yz
jj
z
j H4L zz
x
k 2 {
ij x1H5L yz
z
jj
j H5L zz
x
k 2 {
H6L
jij x1 zyz
jj
z
H6L z
k x2 {
H7L
jij x1 zyz
jj
z
H7L z
k x2 {
ij x1H8L yz
jj
z
j H8L zz
x
k 2 {
ij x1H9L yz
jj
z
j H9L zz
x
k 2 {
Pi
ij 0 yz
j z
k0 {
ij 0.800000000000 yz
j
z
k 0.800000000000 {
ij 0.928000000000 yz
j
z
k 0.931200000000 {
0.972831744000 y
jij
zz
k 0.973269983232 {
0.989365606239 y
jij
zz
k 0.989435095259 {
ij 0.995782611054 yz
j
z
k 0.995793653594 {
ij 0.998318800902 yz
j
z
k 0.998320562762 {
ij 0.999328437427 yz
j
z
k 0.999328719003 {
ij 0.999731521447 yz
j
z
k 0.999731566479 {
ij 0.999892631999 yz
j
z
k 0.999892639203 {
Pi+1
ij 0.800000000000 yz
j
z
k 0.800000000000 {
ij 0.928000000000 yz
j
z
k 0.931200000000 {
ij 0.972831744000 yz
j
z
k 0.973269983232 {
0.989365606239 y
jij
zz
k 0.989435095259 {
0.995782611054 y
jij
zz
k 0.995793653594 {
ij 0.998318800902 yz
j
z
k 0.998320562762 {
ij 0.999328437427 yz
j
z
k 0.999328719003 {
ij 0.999731521447 yz
j
z
k 0.999731566479 {
ij 0.999892631999 yz
j
z
k 0.999892639203 {
ij 0.999957056546 yz
j
z
k 0.999957057698 {
14
∞Pi+1 - Pi ¥¶
0.8
0.1312
0.0448317
0.0165339
0.006417
0.00253619
0.00100964
0.000403084
0.000161111
0.0000644245
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
H10L
ji x1 zy
10 jjj H10L zzz
k x2 {
ij x1H11L yz
11 jjj H11L zzz
k x2 {
ij x1H12L yz
12 jjj H12L zzz
k x2 {
ij 0.999957056546 yz
j
z
k 0.999957057698 {
ij 0.999982823218 yz
j
z
k 0.999982823402 {
ij 0.999993129383 yz
j
z
k 0.999993129412 {
ij 0.999982823218 yz
j
z
k 0.999982823402 {
ij 0.999993129383 yz
j
z
k 0.999993129412 {
ij 0.999997251769 yz
j
z
k 0.999997251773 {
0.0000257667
0.0000103062
4.12239 µ 10-6
La solución aproximada del sistema es:
i 0.999997251769 yz
z
P13 = jj
k 0.999997251773 {
Solución
b)
Clear@ecuaciones, p, dD;
ecuaciones = 8x21 + 10 x1 + x22 + 8, x1 x22 + x1 − 10 x2 + 8<;
1
1
ecuacionestrans = 9 Hx21 + x22 + 8L, Hx1 x22 + x1 + 8L=;
10
10
d = 10.−5 ; p = 80.8, 0.8<;
puntoFijo@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
Método del Punto Fijo para sistemas de ecuaciones no lineales.
i x12 + 10 x1 + x22 + 8 zy i 0 y
zz = jj zz
f Hx1 , x2 L = jjjj
z
2
k x1 x2 - 10 x2 + x1 + 8 { k 0 {
ij x1H0L yz i 0.8 y
zz
P0 = jjj H0L zzz = jj
k x2 { k 0.8 {
Ecuaciones preparadas para el método del Punto Fijo.
ij ÅÅÅÅ1ÅÅÅÅ JHx Hk-1L L2 + Hx Hk-1L L2 + 8N
yz
H0L
1
2
zz
jij x1 zyz jjjj 10
zz
jj
z = jj
zz
H0L z
2
j
zz
Hk-1L
Hk-1L
Hk-1L
1
j
x
k 2 {
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
JHx
L
Hx
L
+
Hx
L
+
8N
1
2
1
k 10
{
Tabla de datos.
i
0
H0L
jij x1
jj
H0L
k x2
zyz
zz
{
Pi
ij 0.800000000000 yz
j
z
k 0.800000000000 {
Pi+1
ij 0.928000000000 yz
j
z
k 0.931200000000 {
15
∞Pi+1 - Pi ¥¶
0.1312
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
H1L
jij x1 zyz
jj
z
H1L z
k x2 {
ij x1H2L yz
jj
z
j H2L zz
x
k 2 {
ij x1H3L yz
jj
z
j H3L zz
k x2 {
ij x1H4L yz
z
jj
j H4L zz
k x2 {
ij x1H5L yz
jj
z
j H5L zz
k x2 {
ij x1H6L yz
jj
z
j H6L zz
k x2 {
ij x1H7L yz
jj
z
j H7L zz
k x2 {
ij x1H8L yz
z
jj
j H8L zz
k x2 {
ij x1H9L yz
jj
z
j H9L zz
x
k 2 {
ij x1H10L yz
10 jjj H10L zzz
k x2 {
H11L
ji x1 zy
11 jjj H11L zzz
k x2 {
ij 0.928000000000 yz
j
z
k 0.931200000000 {
ij 0.972831744000 yz
j
z
k 0.973269983232 {
ij 0.989365606239 yz
j
z
k 0.989435095259 {
ij 0.995782611054 yz
j
z
k 0.995793653594 {
ij 0.998318800902 yz
j
z
k 0.998320562762 {
ij 0.999328437427 yz
j
z
k 0.999328719003 {
ij 0.999731521447 yz
j
z
k 0.999731566479 {
ij 0.999892631999 yz
j
z
k 0.999892639203 {
0.999957056546 y
jij
zz
k 0.999957057698 {
0.999982823218 y
jij
zz
k 0.999982823402 {
ij 0.999993129383 yz
j
z
k 0.999993129412 {
ij 0.972831744000 yz
j
z
k 0.973269983232 {
0.0448317
ij 0.989365606239 yz
j
z
k 0.989435095259 {
0.0165339
ij 0.995782611054 yz
j
z
k 0.995793653594 {
0.006417
ij 0.998318800902 yz
j
z
k 0.998320562762 {
0.00253619
ij 0.999328437427 yz
j
z
k 0.999328719003 {
0.00100964
ij 0.999731521447 yz
j
z
k 0.999731566479 {
0.000403084
ij 0.999892631999 yz
j
z
k 0.999892639203 {
ij 0.999957056546 yz
j
z
k 0.999957057698 {
0.999982823218 y
jij
zz
k 0.999982823402 {
0.999993129383 y
jij
zz
k 0.999993129412 {
ij 0.999997251769 yz
j
z
k 0.999997251773 {
0.000161111
0.0000644245
0.0000257667
0.0000103062
4.12239 µ 10-6
La solución aproximada del sistema es:
i 0.999997251769 yz
z
P12 = jj
k 0.999997251773 {
à Problema 3. Sean las ecuaciones siguientes:
f1 Hx1 , x2 L = 5 x21 - x22 = 0,
f2 Hx1 , x2 L = x2 - 0.25 Hsen x1 + cos x2 L = 0.
Utilizar el método de Punto Fijo para aproximar el sistema de ecuaciones no
lineales iterando hasta que ∞Pi+1 - Pi ¥¶ § 10-5 . , comenzando por las aproximación
inicial:
H0L T
T
P0 = IxH0L
1 , x2 M = H0.5, 0.5L .
Solución
Clear@ecuaciones, p, dD;
ecuaciones = 85 x21 − x2 2 , x2 − 0.25 HSin@x1 D + Cos@x2 DL<;
16
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
x22
ecuacionestrans = 9$%%%%%%%%
, 0.25 HSin@x1 D + Cos@x2 DL=;
5
−5
d = 10. ; p = 80.5, 0.5<;
puntoFijo@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
Método del Punto Fijo para sistemas de ecuaciones no lineales.
i 5 x12 - x22
yz ij 0 yz
z=j z
f Hx1 , x2 L = jj
k x2 - 0.25 HcosHx2 L + sinHx1 LL { k 0 {
ij x1H0L yz i 0.5 y
zz
P0 = jjj H0L zzz = jj
k x2 { k 0.5 {
Ecuaciones preparadas para el método del Punto Fijo.
"########
#########2###
yz
Hx2Hk-1L L
ij x1H0L yz ijjj ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
zz
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
è!!!!
jj
zz = jj
zz
5
j H0L z jj
zz
j
k x2 { k 0.25 IcosIHx2Hk-1L LM + sinIHx1Hk-1L LMM z{
Tabla de datos.
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ij x1H0L
jj
j H0L
k x2
yz
zz
z
{
ij x1H1L yz
jj
z
j H1L zz
k x2 {
ij x1H2L yz
jj
z
j H2L zz
x
k 2 {
ij x1H3L yz
jj
z
j H3L zz
x
k 2 {
H4L
jij x1 zyz
z
jj
H4L z
k x2 {
H5L
jij x1 zyz
z
jj
H5L z
k x2 {
ij x1H6L yz
jj
z
j H6L zz
x
k 2 {
ij x1H7L yz
z
jj
j H7L zz
k x2 {
H8L
jji x1 yzz
jj
z
H8L z
k x2 {
ij x1H9L yz
jj
z
j H9L zz
k x2 {
Pi
ij 0.500000000000 yz
j
z
k 0.500000000000 {
0.223606797750 y
jij
zz
k 0.339252025124 {
0.151718117936 y
jij
zz
k 0.291187975613 {
ij 0.130223221540 yz
j
z
k 0.277260057885 {
ij 0.123994467375 yz
j
z
k 0.272916126437 {
ij 0.122051802174 yz
j
z
k 0.271666490106 {
ij 0.121492947817 yz
j
z
k 0.271268513444 {
ij 0.121314967243 yz
j
z
k 0.271156513360 {
ij 0.121264879283 yz
j
z
k 0.271119846920 {
ij 0.121248481552 yz
j
z
k 0.271109872001 {
Pi+1
ij 0.223606797750 yz
j
z
k 0.339252025124 {
0.151718117936 y
jij
zz
k 0.291187975613 {
0.130223221540 y
jij
zz
k 0.277260057885 {
ij 0.123994467375 yz
j
z
k 0.272916126437 {
ij 0.122051802174 yz
j
z
k 0.271666490106 {
ij 0.121492947817 yz
j
z
k 0.271268513444 {
ij 0.121314967243 yz
j
z
k 0.271156513360 {
ij 0.121264879283 yz
j
z
k 0.271119846920 {
ij 0.121248481552 yz
j
z
k 0.271109872001 {
ij 0.121244020633 yz
j
z
k 0.271106470504 {
17
∞Pi+1 - Pi ¥¶
0.276393
0.0718887
0.0214949
0.00622875
0.00194267
0.000558854
0.000177981
0.000050088
0.0000163977
4.46092 µ 10-6
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
La solución aproximada del sistema es:
i 0.121244020633 yz
z
P10 = jj
k 0.271106470504 {
à Problema 4. Sea el sistema no lineal de ecuaciones siguiente:
f1 Hx1 , x2 , x3 L = 3 x1 - cosHx2 x3 L - 1 ê 2 = 0,
f2 Hx1 , x2 , x3 L = x21 - 625 x22 - 1 ê 4 = 0,
f3 Hx1 , x2 , x3 L = eH-x1 x2 L + 20 x3 + H10 p - 3L ê 3 = 0.
Aplíquese el método de Punto Fijo con la aproximación inicial
H0L H0L H0L T
P0 = Ix1 , x2 , x3 M = H1, 1, 1LT y aplicando el método hasta que »» Pi+1 - Pi »»¶ § 10-6 .
Solución
Clear@ecuaciones, p, dD;
ecuaciones = 8 3 x1 − Cos@x2 ∗ x3 D − 1 ê 2,
x21 − 625 x22 − 1 ê 4, Exp@−x1 ∗ x2 D + 20 x3 + H10 Pi − 3L ê 3 <;
1
ecuacionestrans = 9 HCos@x2 ∗ x3 D + 1 ê 2L,
3
1 i"################
1
10 Pi − 3
########
j x21 + 0.3125## − 0.03y
z − Exp@−x1 ∗ x2 D − =;
j
z,
20
60
25 k
{
d = 10.−6 ; p = 81.0, 1.0, 1.0<;
puntoFijo@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
Método del Punto Fijo para sistemas de ecuaciones no lineales.
1
jij -cosHx2 x3 L + 3 x1 - ÅÅÅÅ2Å
zyz i 0 y
jj
zz jj zz
jj 2
zz jj zz
1
2
zz = jj 0 zz
f Hx1 , x2 , x3 L = jjj x1 - 625 x2 - ÅÅÅÅ4Å
zz jj zz
jj
zz
j
1
-x1 x2
k0 {
20
x
+
‰
+
ÅÅÅÅ
Å
H-3
+
10
pL
3
k
{
3
ij x1H0L yz i 1. y
jj
zz jj zz
j
z
P0 = jjjj x2H0L zzzz = jjjj 1. zzzz
jj
z j z
j H0L zz jk 1. z{
x
k 3 {
Ecuaciones preparadas para el método del Punto Fijo.
i ÅÅÅÅ1Å IcosIHx2Hk-1L L Hx3Hk-1L LM + ÅÅÅÅ12Å M
yz
zz
ij x1H0L yz jjjj 3
zz
jj
z
zz
########
jj H0L zzz jjjj 1 ij"################################
y
Hk-1L 2
zz
z
jj x2 zz = jj ÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
Hx
L
+
0.3125
0.03
j
z
1
z
jj
zz jj 25 k
{ zzzz
jj H0L zz jjj
z
k x3 { j - ÅÅÅÅ1ÅÅÅÅ ‰-Hx1Hk-1L L Hx2Hk-1L L + ÅÅÅÅ1ÅÅÅÅ H3 - 10 pL z
k 20
{
60
Tabla de datos.
18
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
i
H0L
jij x1
jj
jj x H0L
jj 2
jjj H0L
k x3
0
zyz
zz
zz
zz
zz
z
{
ij x1H1L yz
z
jj
jj H1L zzz
jj x2 zz
zz
jj
jj H1L zz
k x3 {
1
H2L
jij x1 zyz
jj
z
jj x H2L zzz
jj 2 zz
jj
z
j H2L zz
k x3 {
2
ij x1H3L yz
jj
z
jj H3L zzz
jj x2 zz
jj
zz
jj H3L zz
k x3 {
3
ij x1H4L yz
jj
z
jj H4L zzz
jj x2 zz
jj
z
jj H4L zzz
x
k 3 {
4
Pi
Pi+1
ij 1.00000000000 yz
jj
z
jj 1.00000000000 zzz
jj
zz
j
z
k 1.00000000000 {
ij 0.346767435289 yz
jj
z
jj 0.0446257569496 zzz
jj
zz
j
z
k -0.491992747657 {
ij 0.346767435289 yz
jj
z
jj 0.0446257569496 zzz
jj
zz
j
z
-0.491992747657
k
{
ij 0.499919662207 yz
jj
z
jj 0.0251134233175 zzz
jj
zz
j
z
-0.522830993577
k
{
0.499919662207 y
jij
z
jj 0.0251134233175 zzz
jj
zz
jj
zz
k -0.522830993577 {
0.499971267263 y
jij
z
jj 0.0287978577545 zzz
jj
zz
jj
zz
k -0.522974964963 {
ij 0.499971267263 yz
jj
z
jj 0.0287978577545 zzz
jj
zz
j
z
k -0.522974964963 {
ij 0.499962197310 yz
jj
z
jj 0.0287992338059 zzz
jj
zz
j
z
k -0.522884028376 {
ij 0.499962197310 yz
jj
z
jj 0.0287992338059 zzz
jj
zz
j
z
-0.522884028376
k
{
∞Pi+1 - Pi ¥¶
1.49199
0.153152
0.00368443
0.0000909366
ij 0.499962206844 yz
jj
z
jj 0.0287989919494 zzz 2.41856 µ 10-7
jj
zz
j
z
-0.522884007342
k
{
La solución aproximada del sistema es:
0.499962206844 y
jij
zz
j
j
P5 = jj 0.0287989919494 zzzz
jj
zz
k -0.522884007342 {
à Problema 5. Aproximar las soluciones de los siguientes sistemas no lineales,
empleando el método de Punto FIjo con la aproximación inicial dada, iterando hasta que
»» Pi+1 - Pi »»¶ § 10-5 .
a)
f1 Hx1 , x2 , x3 L = 15 x1 - 13 + x2 2 - 4 x3 = 0,
f2 Hx1 , x2 , x3 L = 10 x2 - 11 - x3 + x1 2 = 0,
f3 Hx1 , x2 , x3 L = 25 x3 - 22 - x2 3 = 0
H0L H0L T
T
P0 = IxH0L
1 , x2 , x3 M = H1, 1, 1L
b)
f1 Hx1 , x2 , x3 L = 1 - x1 - cos H x1 x2 x3 L = 0,
f2 Hx1 , x2 , x3 L = 1 - H1 - x1 L1ê4 - 0.05 x3 2 - x2 + 0.15 x3 = 0,
f3 Hx1 , x2 , x3 L = 1 + 0.1 x2 2 - 0.01 x2 - x3 + x1 2 = 0,
H0L H0L T
T
P0 = IxH0L
1 , x2 , x3 M = H0, -0.1, 0.5L
c)
f1 Hx1 , x2 , x3 L = 6 x1 - 2 cosHx2 x3 L - 1 = 0,
################
#### + 0.9 = 0,
f Hx , x , x L = 9 x + "################
x2 + senHx
L + 1.06
f3 Hx1 , x2 , x3 L = 60 x3 + 3 e-x1 x2 + 10 p - 3 = 0
H0L H0L T
T
P0 = IxH0L
1 , x2 , x3 M = H0, 0, 0L
2
1
2
3
2
1
3
19
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Solución
a)
Clear@ecuaciones, p, dD;
ecuaciones = 815 x1 − 13 + x2 2 − 4 x3 , 10 x2 − 11 − x3 + x1 2 , 25 x3 − 22 − x2 3 <;
1
1
1
ecuacionestrans = 9 H13 − x2 2 + 4 x3 L, H11 + x3 − x1 2 L, H22 + x2 3 L=;
10
25
15
d = 10.−5 ; p = 81.0, 1.0, 1.0<;
puntoFijo@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
Método del Punto Fijo para sistemas de ecuaciones no lineales.
ij x22 + 15 x1 - 4 x3 - 13 yz i 0 y
jj
zz jj zz
j
z
f Hx1 , x2 , x3 L = jjj x12 + 10 x2 - x3 - 11 zzz = jjjj 0 zzzz
jj
zz jj zz
j
z
3
k -x2 + 25 x3 - 22
{ k0 {
H0L
jij x1 zyz ij 1. yz
jj
zz j z
P0 = jjjj x2H0L zzzz = jjjj 1. zzzz
jj
z j z
j H0L zz jk 1. z{
k x3 {
Ecuaciones preparadas para el método del Punto Fijo.
ij ÅÅÅÅ1ÅÅÅÅ J-Hx Hk-1L L + 4 Hx Hk-1L L + 13N zy
2
3
zz
ij x1H0L yz jjjj 15
zz
jj
zz jj
zz
2
jj H0L zz jj 1
Hk-1L
Hk-1L
jj x2 zz = jj ÅÅÅÅÅÅÅÅ J-Hx1 L + Hx3 L + 11N zzzz
jj
zz jj 10
zz
zz
jj H0L zz jjj
zz
k x3 { jj ÅÅÅÅ1ÅÅÅÅ JHx Hk-1L L3 + 22N
z
2
25
k
{
2
Tabla de datos.
i
0
1
2
ij x1H0L
jj
jj H0L
jj x2
jj
jj H0L
k x3
yz
zz
zz
zz
zz
zz
{
ij x1H1L yz
jj
z
jj H1L zzz
jj x2 zz
jj
z
jj H1L zzz
x
k 3 {
i x H2L y
jjj 1 zzz
jj H2L zz
jjj x2 zzz
jj
z
j H2L zz
k x3 {
Pi
Pi+1
ij 1.00000000000 yz
jj
z
jj 1.00000000000 zzz
jj
zz
j
z
k 1.00000000000 {
ij 1.06666666667 yz
jj
z
jj 1.10000000000 zzz
jj
zz
j
z
k 0.920000000000 {
ij 1.06666666667 yz
jj
z
jj 1.10000000000 zzz
jj
zz
j
z
k 0.920000000000 {
ij 1.03133333333 yz
jj
z
jj 1.07822222222 zzz
jj
zz
j
z
k 0.933240000000 {
ij 1.03133333333 yz
jj
z
jj 1.07822222222 zzz
jj
zz
j
z
k 0.933240000000 {
ij 1.03802645597 yz
jj
z
jj 1.08695915556 zzz
jj
zz
j
z
k 0.930140057375 {
20
∞Pi+1 - Pi ¥¶
0.1
0.0353333
0.00873693
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
3
4
5
6
7
8
H3L
jij x1 zyz
jj
z
jj x H3L zzz
jj 2 zz
jj
z
j H3L zz
k x3 {
ij x1H4L yz
z
jj
jj H4L zzz
jj x2 zz
zz
jj
jj H4L zz
k x3 {
ij x1H5L yz
jj
z
jj H5L zzz
jj x2 zz
z
jj
jj H5L zzz
x
k 3 {
ij x1H6L yz
jj
z
jj H6L zzz
jjj x2 zzz
jj
z
j H6L zz
k x3 {
ij x1H7L yz
jj
z
jj H7L zzz
jj x2 zz
z
jj
jj H7L zzz
x
k 3 {
H8L
jij x1 zyz
jj
z
jj x H8L zzz
jj 2 zz
jj
z
j H8L zz
k x3 {
1.03802645597 y
jij
z
jj 1.08695915556 zzz
jj
zz
jj
zz
k 0.930140057375 {
ij 1.03593866824 yz
jj
z
jj 1.08526411341 zzz
jj
zz
j
z
k 0.931368829074 {
ij 1.03651180803 yz
jj
z
jj 1.08581999047 zzz
jj
zz
j
z
k 0.931128884592 {
ij 1.03636736578 yz
jj
z
jj 1.08567721564 zzz
jj
zz
j
z
k 0.931207490160 {
ij 1.03640899627 yz
jj
z
jj 1.08571501733 zzz
jj
zz
j
z
0.931187292947
k
{
1.03639813820 y
jij
z
jj 1.08570436854 zzz
jj
zz
jj
zz
k 0.931192639933 {
1.03593866824 y
jij
z
jj 1.08526411341 zzz
jj
zz
jj
zz
k 0.931368829074 {
ij 1.03651180803 yz
jj
z
jj 1.08581999047 zzz
jj
zz
j
z
k 0.931128884592 {
ij 1.03636736578 yz
jj
z
jj 1.08567721564 zzz
jj
zz
j
z
k 0.931207490160 {
0.00208779
0.00057314
0.000144442
ij 1.03640899627 yz
jj
z
jj 1.08571501733 zzz 0.0000416305
jj
zz
j
z
k 0.931187292947 {
ij 1.03639813820 yz
jj
z
jj 1.08570436854 zzz 0.0000108581
jj
zz
j
z
0.931192639933
k
{
1.03640110559 y
jij
z
jj 1.08570715391 zzz
jj
zz
jj
zz
k 0.931191133641 {
2.9674 µ 10-6
La solución aproximada del sistema es:
ij 1.03640110559 yz
j
z
P9 = jjjj 1.08570715391 zzzz
jj
zz
k 0.931191133641 {
Solución
b)
Clear@ecuaciones, p, dD;
ecuaciones = 81 − x1 − Cos @ x1 x2 x3 D,
1 − H1 − x1 L1ê4 − 0.05 x3 2 − x2 + 0.15 x3 , 1 + 0.1 x2 2 − 0.01 x2 − x3 + x1 2 <;
ecuacionestrans = 81 − Cos @ x1 x2 x3 D,
1 − H1 − x1 L1ê4 − 0.05 x3 2 + 0.15 x3 , 1 + 0.1 x2 2 − 0.01 x2 + x1 2 <;
d = 10.−5 ; p = 80.0, −0.1, 0.5<;
puntoFijo@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
21
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Método del Punto Fijo para sistemas de ecuaciones no lineales.
-cosHx1 x2 x3 L - x1 + 1
jij
zyz ij 0 yz
jj
z j z
4
è!!!!!!!!
!!!!!!
2
j
f Hx1 , x2 , x3 L = jj -0.05 x3 + 0.15 x3 - x2 - 1 - x1 + 1 zzzz = jjjj 0 zzzz
jjj
zzz jj zz
2
2
k x1 + 0.1 x2 - 0.01 x2 - x3 + 1
{ k0 {
H0L
jij x1 zyz ij 0.
yz
jj
zz j
z
P0 = jjjj x2H0L zzzz = jjjj -0.1 zzzz
j
z
jj
z
j H0L zz jk 0.5 z{
k x3 {
Ecuaciones preparadas para el método del Punto Fijo.
Hk-1L
Hk-1L
Hk-1L
yz
LM
ij x1H0L yz ijjj 1 - cosIHx1 L Hx2 L Hx3
zz
jj
zz jj
zz
jj H0L zz jj
zz
4
########
Hk-1L
jj x2 zz = jj -0.05 Hx Hk-1L L2 + 0.15 Hx Hk-1L L - "################
zz
1
Hx
L
+
1
jj
zz jj
3
3
1
zz
zz
jj H0L zz jjj
2
2
z
Hk-1L
Hk-1L
Hk-1L
x
k 3 { k Hx1 L + 0.1 Hx2 L - 0.01 Hx2 L + 1
{
Tabla de datos.
i
0
1
2
3
4
ij x1H0L
jj
jj H0L
jj x2
jj
jj H0L
k x3
yz
zz
zz
zz
zz
zz
{
ij x1H1L yz
z
jj
jj H1L zzz
jj x2 zz
jj
z
jj H1L zzz
x
k 3 {
H2L
jij x1 zyz
jj
z
jj x H2L zzz
jj 2 zz
jj
z
j H2L zz
k x3 {
ij x1H3L yz
z
jj
jj H3L zzz
jj x2 zz
jj
zz
jj H3L zz
k x3 {
H4L
jij x1 zyz
jj
z
jj x H4L zzz
jj 2 zz
jj
z
j H4L zz
k x3 {
Pi
Pi+1
ij 0
yz
jj
z
jj -0.100000000000 zzz
jj
zz
j
z
k 0.500000000000 {
ij 0
yz
jj
z
jj 0.0625000000000 zzz
jj
zz
j
z
k 1.00200000000 {
ij 0
yz
jj
z
jj 0.0625000000000 zzz
jj
zz
j
z
1.00200000000
k
{
ij 0
yz
jj
z
jj 0.100099800000 zzz
jj
zz
j
z
k 0.999765625000 {
ij 0
yz
jj
z
jj 0.0999882785034 zzz
jj
zz
j
z
1.00000099900
k
{
0
jij
zy
jj 0.100000049950 zzz
jj
zz
jj
zz
k 0.999999882799 {
ij 0
yz
jj
z
jj 0.100099800000 zzz
jj
zz
j
z
0.999765625000
k
{
ij 0
yz
jj
z
jj 0.0999882785034 zzz
jj
zz
j
z
k 1.00000099900 {
ij 0
yz
jj
z
jj 0.100000049950 zzz
jj
zz
j
z
0.999999882799
k
{
0
jij
zy
jj 0.0999999941399 zzz
jj
zz
jj
zz
k 1.00000000050 {
La solución aproximada del sistema es:
ij 0
yz
j
z
P5 = jjjj 0.0999999941399 zzzz
jj
zz
k 1.00000000050 {
22
∞Pi+1 - Pi ¥¶
0.502
0.0375998
0.000235374
0.0000117714
1.17701 µ 10-7
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Solución
c)
Clear@ecuaciones, p, dD;
ecuaciones = 9 6 x1 − 2 Cos@x2 x3 D − 1,
9 x2 +
"################################
##########
x21 + Sin@x3 D + 1.06 + 0.9, 60 x3 + 3 Exp@−x1 x2 D + 10 Pi − 3=;
1
1
1 "################################
##########
ecuacionestrans = 9 Cos @ x2 x3 D + , − x21 + Sin@x3 D + 1.06 − 0.1,
3
6
9
1
10 Pi − 3
− Exp@−x1 ∗ x2 D − =;
20
60
−5
d = 10. ; p = 80., 0., 0.<;
puntoFijo@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
Método del Punto Fijo para sistemas de ecuaciones no lineales.
-2 cosHx2 x3 L + 6 x1 - 1
jij
zyz ij 0 yz
zz j z
jj
j
"################################
########
#
#
2
f Hx1 , x2 , x3 L = jjj 9 x2 + x1 + sinHx3 L + 1.06 + 0.9 zzzz = jjjj 0 zzzz
jj
zz jj zz
-x1 x2
0
60
x
+
3
‰
+
10
p
3
k
{ k {
3
ij x1H0L yz i 0. y
jj
zz jj zz
j
z
P0 = jjjj x2H0L zzzz = jjjj 0. zzzz
jj
z j z
j H0L zz jk 0. z{
x
k 3 {
Ecuaciones preparadas para el método del Punto Fijo.
ij x1H0L
jj
jj H0L
jjj x2
jjj H0L
k x3
ij ÅÅÅÅ13Å cosIHx2Hk-1L L Hx3Hk-1L LM + ÅÅÅÅ16Å
yz
j
zz
zz
zyz jjjj
zz
zz jj
zz
zz = jj 1 $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Hk-1L 2
Hk-1L
%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%
%
%%%%%%%
%
zz jj - ÅÅÅÅ9Å Hx1 L + sinIHx
LM + 1.06 - 0.1 zzzz
3
zz jj
zz
z jj
zz
zz
{ jjj 1 -Hx1Hk-1L L Hx2Hk-1L L
1
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
‰
+
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
H3
10
pL
k 20
{
60
Tabla de datos.
i
0
1
ij x1H0L
jj
jj H0L
jj x2
jj
jj H0L
k x3
yz
zz
zz
zz
zz
zz
{
H1L
jji x1 yzz
jj
z
jj x H1L zzz
jj 2 zz
jj
z
j H1L zz
x
k 3 {
Pi
Pi+1
ij 0 yz
jj zz
jj 0 zz
jj zz
j z
k0 {
ij 0.500000000000 yz
jj
z
jj -0.214395890455 zzz
jj
zz
j
z
k -0.523598775598 {
0.500000000000 y
jij
z
jj -0.214395890455 zzz
jj
zz
jj
zz
-0.523598775598
k
{
0.497901916407 y
jij
z
jj -0.200000000000 zzz
jj
zz
jj
zz
-0.529256504414
k
{
23
∞Pi+1 - Pi ¥¶
0.523599
0.0143959
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
2
3
4
H2L
jij x1 zyz
jj
z
jj x H2L zzz
jj 2 zz
jj
z
j H2L zz
k x3 {
ij x1H3L yz
z
jj
jj H3L zzz
jj x2 zz
zz
jj
jj H3L zz
k x3 {
ij x1H4L yz
jj
z
jj H4L zzz
jj x2 zz
jj
z
jj H4L zzz
x
k 3 {
0.497901916407 y
jij
z
jj -0.200000000000 zzz
jj
zz
jj
zz
k -0.529256504414 {
0.498134326654 y
jij
z
jj -0.199567869407 zzz
jj
zz
jj
zz
k -0.528834138957 {
ij 0.498134326654 yz
jj
z
jj -0.199567869407 zzz
jj
zz
j
z
k -0.528834138957 {
ij 0.498145333572 yz
jj
z
jj -0.199604819327 zzz
jj
zz
j
z
k -0.528824817283 {
ij 0.498145333572 yz
jj
z
jj -0.199604819327 zzz
jjj
zzz
k -0.528824817283 {
0.000432131
0.0000369499
ij 0.498144712711 yz
jj
z
jj -0.199605997698 zzz 1.17837 µ 10-6
jjj
zzz
k -0.528825955120 {
La solución aproximada del sistema es:
0.498144712711 y
jij
zz
j
j
P5 = jj -0.199605997698 zzzz
jj
zz
k -0.528825955120 {
à Problema 6.. Dado el siguiente problema no lineal
f1 Hx1 , x2 L = -x1 H1 + x1 L + 2 x2 = 18,
f2 Hx1 , x2 L = Hx1 - 1L2 + Hx2 - 6L2 = 25.
a)
Representar gráficamente las curvas f1 y f2 .
b)
Calcular la solución aproximada del sistema empleando el método de Punto Fijo
comenzando en los puntos
H0L T
T
P0 = IxH0L
1 , x2 M = H2, 11L ,
H0L
T
P0 = IxH0L
1 , x2 M = H-1.5, 10.5L
e iterando hasta que ∞Pi+1 - Pi ¥¶ § 5 µ 10-5 .
T
Solución
a)
<< Graphics`ImplicitPlot`;
Clear@ecuaciones, p, m, d, f, g, g1, g2, gD;
f = −x H1 + xL + 2 y − 18;
g = Hx − 1L2 + Hy − 6L2 − 25;
Print@"Representación gráfica de la solución",
"\n\t f1 Hx, yL = ", f, "\n\t f2 Hx, yL = ", g D;
g1 = ImplicitPlot @f == 0, 8x, −5, 7<,
PlotStyle −> 88Thickness @0.010D, RGBColor @0, 0, 1D<<,
AxesLabel −> 8"X", "Y"<, DisplayFunction −> Identity D;
g2 = ImplicitPlot @g == 0, 8x, −5, 7<,
24
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
PlotStyle −> 88Thickness @0.010D, RGBColor @1, 0, 0D<<,
AxesLabel −> 8"X", "Y"<, DisplayFunction −> Identity D;
g = Show @g1, g2, AxesLabel −> 8"X", "Y"<,
AspectRatio −> Automatic, DisplayFunction −> $DisplayFunctionD;
Representación gráfica de la solución
f1 Hx, yL = -x Hx + 1L + 2 y - 18
f2 Hx, yL = Hx - 1L2 + Hy - 6L2 - 25
Y
35
30
25
20
15
10
5
-4-2 2 4 6
X
Solución
b)
Clear@ecuaciones, p, dD;
ecuaciones = 8−x1 H1 + x1 L + 2 x2 − 18, Hx1 − 1L2 + Hx2 − 6L2 − 25<;
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! "##############################
ecuacionestrans = 9−0.5 + 2 x2 − 17.75 , 25 − Hx1 − 1L 2 + 6=;
d = 10.−5 ; p = 82.0, 11.0<;
puntoFijo@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
Método del Punto Fijo para sistemas de ecuaciones no lineales.
i -x1 Hx1 + 1L + 2 x2 - 18 zy ij 0 yz
z=j z
f Hx1 , x2 L = jj
k Hx1 - 1L2 + Hx2 - 6L2 - 25 { k 0 {
ij x1H0L yz i 2. y
zz
P0 = jjj H0L zzz = jj
k x2 { k 11. {
25
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Ecuaciones preparadas para el método del Punto Fijo.
#######################
ij "################
2 Hx2Hk-1L L - 17.75 - 0.5 zzzy
ij x1H0L yz jjjj
zz
jj
z j
zz
j H0L zz = jjj
zz
2
j
Hk-1L
x
j
$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%
%
k 2 { j 25 - IHx1 L - 1M + 6 zzz
k
{
Tabla de datos.
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
H0L
jij x1
jj
H0L
k x2
zyz
zz
{
ij x1H1L yz
jj
z
j H1L zz
x
k 2 {
ij x1H2L yz
jj
z
j H2L zz
k x2 {
ij x1H3L yz
jj
z
j H3L zz
k x2 {
ij x1H4L yz
z
jj
j H4L zz
k x2 {
ij x1H5L yz
jj
z
j H5L zz
k x2 {
ij x1H6L yz
jj
z
j H6L zz
k x2 {
ij x1H7L yz
jj
z
j H7L zz
k x2 {
ij x1H8L yz
jj
z
j H8L zz
x
k 2 {
Pi
ij 2.00000000000 yz
j
z
k 11.0000000000 {
ij 1.56155281281 yz
j
z
k 10.8989794856 {
ij 1.51195401815 yz
j
z
k 10.9683657714 {
ij 1.54615042038 yz
j
z
k 10.9737212511 {
ij 1.54876609259 yz
j
z
k 10.9700824659 {
ij 1.54698923590 yz
j
z
k 10.9697943394 {
ij 1.54684847479 yz
j
z
k 10.9699902189 {
1.54694417065 y
jij
zz
k 10.9700057088 {
1.54695173798 y
jij
zz
k 10.9699951785 {
Pi+1
ij 1.56155281281 yz
j
z
k 10.8989794856 {
ij 1.51195401815 yz
j
z
k 10.9683657714 {
ij 1.54615042038 yz
j
z
k 10.9737212511 {
ij 1.54876609259 yz
j
z
k 10.9700824659 {
ij 1.54698923590 yz
j
z
k 10.9697943394 {
ij 1.54684847479 yz
j
z
k 10.9699902189 {
∞Pi+1 - Pi ¥¶
0.438447
0.0693863
0.0341964
0.00363879
0.00177686
0.00019588
ij 1.54694417065 yz
j
z 0.0000956959
k 10.9700057088 {
1.54695173798 y
jij
zz 0.0000105303
k 10.9699951785 {
1.54694659358 y
jij
zz
k 10.9699943457 {
5.1444 µ 10-6
La solución aproximada del sistema es:
i 1.54694659358 yz
z
P9 = jj
k 10.9699943457 {
Clear@ecuaciones, p, dD;
ecuaciones = 8−x1 H1 + x1 L + 2 x2 − 18, Hx1 − 1L2 + Hx2 − 6L2 − 25<;
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! "##############################
ecuacionestrans = 9−0.5 − 2 x2 − 17.75 , 25 − Hx1 − 1L 2 + 6=;
d = 10.−5 ; p = 8−1.5, 10.5<;
puntoFijo@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
26
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Método del Punto Fijo para sistemas de ecuaciones no lineales.
i -x1 Hx1 + 1L + 2 x2 - 18 yz ij 0 yz
z=j z
f Hx1 , x2 L = jj
k Hx1 - 1L2 + Hx2 - 6L2 - 25 { k 0 {
H0L
jij x1 zyz ij -1.5 yz
z
P0 = jj H0L zz = j
k x2 { k 10.5 {
Ecuaciones preparadas para el método del Punto Fijo.
#######################
ij - "################
2 Hx2Hk-1L L - 17.75 - 0.5 yzzz
ij x1H0L yz jjjj
zz
jj
z j
zz
j H0L zz = jjj
zz
2
z
Hk-1L
%%%%%%%%
%
k x2 { jjj $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
25 - IHx1 L - 1M + 6 zz
k
{
Tabla de datos.
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ij x1H0L
jjj
H0L
k x2
ij x1H1L
jjj
H1L
k x2
yz
zz
z
{
yz
zz
z
{
ij x1H2L yz
jj
z
j H2L zz
k x2 {
ij x1H3L yz
jj
z
j H3L zz
k x2 {
ij x1H4L yz
z
jj
j H4L zz
k x2 {
ij x1H5L yz
jj
z
j H5L zz
k x2 {
ij x1H6L yz
z
jj
j H6L zz
x
k 2 {
ij x1H7L yz
jj
z
j H7L zz
x
k 2 {
H8L
jij x1 zyz
jj
z
H8L z
k x2 {
H9L
jij x1 zyz
jj
z
H9L z
k x2 {
ij x1H10L yz
10 jjj H10L zzz
k x2 {
ij x1H11L yz
11 jjj H11L zzz
k x2 {
Pi
ij -1.50000000000 yz
j
z
k 10.5000000000 {
ij -2.30277563773 yz
j
z
k 10.3301270189 {
ij -2.20594666911 yz
j
z
k 9.75388772965 {
ij -1.82581124573 yz
j
z
k 9.83691359752 {
ij -1.88702097859 yz
j
z
k 10.1248988840 {
-2.08107487744 y
jij
zz
k 10.0822922322 {
-2.05389332466 y
jij
zz
k 9.93788999333 {
ij -1.95800548239 yz
j
z
k 9.95900689082 {
ij -1.97241766549 yz
j
z
k 10.0311541233 {
ij -2.02062758317 yz
j
z
k 10.0205389218 {
ij -2.01363068271 yz
j
z
k 9.98444588416 {
ij -1.98959449795 yz
j
z
k 9.98974060663 {
Pi+1
ij -2.30277563773 yz
j
z
k 10.3301270189 {
ij -2.20594666911 yz
j
z
k 9.75388772965 {
ij -1.82581124573 yz
j
z
k 9.83691359752 {
ij -1.88702097859 yz
j
z
k 10.1248988840 {
ij -2.08107487744 yz
j
z
k 10.0822922322 {
-2.05389332466 y
jij
zz
k 9.93788999333 {
-1.95800548239 y
jij
zz
k 9.95900689082 {
ij -1.97241766549 yz
j
z
k 10.0311541233 {
ij -2.02062758317 yz
j
z
k 10.0205389218 {
ij -2.01363068271 yz
j
z
k 9.98444588416 {
ij -1.98959449795 yz
j
z
k 9.98974060663 {
ij -1.99314473956 yz
j
z
k 10.0077830203 {
27
∞Pi+1 - Pi ¥¶
0.802776
0.576239
0.380135
0.287985
0.194054
0.144402
0.0958878
0.0721472
0.0482099
0.036093
0.0240362
0.0180424
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
H12L
ji x1 zy
12 jjj H12L zzz
k x2 {
ij x1H13L yz
13 jjj H13L zzz
k x2 {
ij x1H14L yz
14 jjj H14L zzz
k x2 {
ij x1H15L yz
15 jjj H15L zzz
k x2 {
ij x1H16L yz
16 jjj H16L zzz
k x2 {
ij x1H17L yz
17 jjj H17L zzz
k x2 {
ij x1H18L yz
18 jjj H18L zzz
k x2 {
ij x1H19L yz
19 jjj H19L zzz
k x2 {
ij x1H20L yz
20 jjj H20L zzz
k x2 {
ij x1H21L yz
21 jjj H21L zzz
k x2 {
H22L
ji x1 zy
22 jjj H22L zzz
k x2 {
H23L
ji x1 zy
23 jjj H23L zzz
k x2 {
H24L
jij x1 zyz
24 jj H24L zz
k x2 {
ij x1H25L yz
25 jjj H25L zzz
k x2 {
ij x1H26L yz
26 jjj H26L zzz
k x2 {
ij x1H27L yz
27 jjj H27L zzz
k x2 {
ij x1H28L yz
28 jjj H28L zzz
k x2 {
ij x1H29L yz
29 jjj H29L zzz
k x2 {
ij x1H30L yz
30 jjj H30L zzz
k x2 {
ij -1.99314473956 yz
j
z
k 10.0077830203 {
ij -2.00517973698 yz
j
z
k 10.0051322785 {
ij -2.00341762559 yz
j
z
k 9.99610995200 {
ij -1.99740438893 yz
j
z
k 9.99743449806 {
ij -1.99828868918 yz
j
z
k 10.0019453931 {
ij -2.00129636853 yz
j
z
k 10.0012829113 {
ij -2.00085503051 yz
j
z
k 9.99902739529 {
ij -1.99935145665 yz
j
z
k 9.99935858430 {
-1.99957232857 y
jij
zz
k 10.0004863254 {
-2.00032418188 y
jij
zz
k 10.0003207179 {
ij -2.00021379667 yz
j
z
k 9.99975684306 {
ij -1.99983788661 yz
j
z
k 9.99983964357 {
ij -1.99989309191 yz
j
z
k 10.0001215799 {
ij -2.00008105108 yz
j
z
k 10.0000801788 {
ij -2.00005345161 yz
j
z
k 9.99993921041 {
ij -1.99995947306 yz
j
z
k 9.99995991074 {
ij -1.99997327359 yz
j
z
k 10.0000303949 {
ij -2.00002026312 yz
j
z
k 10.0000200447 {
ij -2.00001336305 yz
j
z
k 9.99998480258 {
ij -2.00517973698 yz
j
z
k 10.0051322785 {
ij -2.00341762559 yz
j
z
k 9.99610995200 {
ij -1.99740438893 yz
j
z
k 9.99743449806 {
ij -1.99828868918 yz
j
z
k 10.0019453931 {
ij -2.00129636853 yz
j
z
k 10.0012829113 {
ij -2.00085503051 yz
j
z
k 9.99902739529 {
ij -1.99935145665 yz
j
z
k 9.99935858430 {
ij -1.99957232857 yz
j
z
k 10.0004863254 {
-2.00032418188 y
jij
zz
k 10.0003207179 {
-2.00021379667 y
jij
zz
k 9.99975684306 {
ij -1.99983788661 yz
j
z
k 9.99983964357 {
ij -1.99989309191 yz
j
z
k 10.0001215799 {
ij -2.00008105108 yz
j
z
k 10.0000801788 {
ij -2.00005345161 yz
j
z
k 9.99993921041 {
ij -1.99995947306 yz
j
z
k 9.99995991074 {
ij -1.99997327359 yz
j
z
k 10.0000303949 {
ij -2.00002026312 yz
j
z
k 10.0000200447 {
ij -2.00001336305 yz
j
z
k 9.99998480258 {
ij -1.99998986835 yz
j
z
k 9.99998997767 {
28
0.012035
0.00902233
0.00601324
0.0045109
0.00300768
0.00225552
0.00150357
0.00112774
0.000751853
0.000563875
0.00037591
0.000281936
0.000187959
0.000140968
0.0000939786
0.0000704842
0.0000469895
0.0000352421
0.0000234947
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
H31L
ji x1 zy
31 jjj H31L zzz
k x2 {
ij x1H32L yz
32 jjj H32L zzz
k x2 {
ij x1H33L yz
33 jjj H33L zzz
k x2 {
ij -1.99998986835 yz
j
z
k 9.99998997767 {
ij -1.99999331843 yz
j
z
k 10.0000075987 {
ij -2.00000506580 yz
j
z
k 10.0000050112 {
ij -1.99999331843 yz
j
z
k 10.0000075987 {
ij -2.00000506580 yz
j
z
k 10.0000050112 {
ij -2.00000334077 yz
j
z
k 9.99999620064 {
0.000017621
0.0000117474
8.81052 µ 10-6
La solución aproximada del sistema es:
i -2.00000334077 yz
z
P34 = jj
k 9.99999620064 {
à Problema 7. Aproximar las soluciones de los siguientes sistemas no lineales,
empleando el método de Punto FIjo con la aproximacióin inicial dada, iterando hasta que
»» Pi+1 - Pi »»¶ § 10-5 .
a)
f1 Hx1 , x2 L = x1 2 + x2 2 - x1 = 0,
f2 Hx1 , x2 L = x1 2 - x2 2 - x2 = 0,
H0L T
T
P0 = IxH0L
1 , x2 M = H0.7, 0.4L
b)
f1 Hx1 , x2 L = 3 x1 2 - x2 2 = 0,
f2 Hx1 , x2 L = 3 x1 x2 2 - x1 3 - 1 = 0,
H0L T
T
P0 = IxH0L
1 , x2 M = H0.4, 0.7L
c)
f1 Hx1 , x2 , x3 L = x1 2 + x2 - 37 = 0,
f2 Hx1 , x2 , x3 L = x1 - x2 2 - 5 = 0,
f3 Hx1 , x2 , x3 L = x3 + x1 + x2 - 3 = 0
H0L H0L T
T
P0 = IxH0L
1 , x2 , x3 M = H5, 1, -1L
d)
f1 Hx1 , x2 , x3 L = x1 2 + 2 x2 2 - x2 - 2 x3 = 0,
f2 Hx1 , x2 , x3 L = x1 2 - 8 x2 2 + 10 x3 = 0,
x1 2
f3 Hx1 , x2 , x3 L = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ - 1 = 0
7 x3 x2
H0L H0L
T
P0 = IxH0L
1 , x2 , x3 M = H0.5, 0.5, 0.1L
T
Solución
a)
Clear@ecuaciones, p, dD;
ecuaciones = 8x1 2 + x2 2 − x1 , x1 2 − x2 2 − x2 <;
è!!!!!!!!!!!!!!!!! è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
ecuacionestrans = 9 x1 − x2 2 , −x2 + x1 2 =;
d = 10.−5 ; p = 80.7, 0.4<;
puntoFijo@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
29
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Método del Punto Fijo para sistemas de ecuaciones no lineales.
i x12 - x1 + x22
f Hx1 , x2 L = jjjj 2
2
k x1 - x2 - x2
ij x1H0L yz i 0.7 y
zz
P0 = jjj H0L zzz = jj
k x2 { k 0.4 {
yz i 0 y
zz = jj zz
z
{ k0 {
Ecuaciones preparadas para el método del Punto Fijo.
2#
######
Hk-1L ################
Hk-1L
ij x1H0L yz ijjj "################
jj
zz = jj Hx1 L - Hx2 L
j H0L z jj
2################
#######
k x2 { k "################
Hx1Hk-1L L - Hx2Hk-1L L
yz
zz
zz
zz
{
Tabla de datos.
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ij x1H0L
jjj
H0L
k x2
yz
zz
z
{
ij x1H1L yz
z
jj
j H1L zz
k x2 {
ij x1H2L yz
jj
z
j H2L zz
k x2 {
ij x1H3L yz
z
jj
j H3L zz
k x2 {
ij x1H4L yz
jj
z
j H4L zz
k x2 {
ij x1H5L yz
jj
z
j H5L zz
x
k 2 {
ij x1H6L yz
jj
z
j H6L zz
x
k 2 {
H7L
jij x1 zyz
jj
z
H7L z
k x2 {
H8L
jij x1 zyz
jj
z
H8L z
k x2 {
ij x1H9L zy
jj
z
j H9L zz
x
k 2 {
ij x1H10L yz
10 jjj H10L zzz
k x2 {
Pi
ij 0.700000000000 yz
j
z
k 0.400000000000 {
ij 0.734846922835 yz
j
z
k 0.300000000000 {
ij 0.803023612875 yz
j
z
k 0.489897948557 {
ij 0.750348994052 yz
j
z
k 0.393635585635 {
0.771621681768 y
jij
zz
k 0.411567767494 {
0.776037147647 y
jij
zz
k 0.428756635260 {
0.769548500984 y
jij
zz
k 0.416505725371 {
ij 0.772056657064 yz
j
z
k 0.419164848234 {
ij 0.772241857884 yz
j
z
k 0.420602702657 {
ij 0.771579694135 yz
j
z
k 0.419231182537 {
ij 0.771896955379 yz
j
z
k 0.419647520980 {
Pi+1
ij 0.734846922835 yz
j
z
k 0.300000000000 {
ij 0.803023612875 yz
j
z
k 0.489897948557 {
ij 0.750348994052 yz
j
z
k 0.393635585635 {
ij 0.771621681768 yz
j
z
k 0.411567767494 {
0.776037147647 y
jij
zz
k 0.428756635260 {
0.769548500984 y
jij
zz
k 0.416505725371 {
0.772056657064 y
jij
zz
k 0.419164848234 {
ij 0.772241857884 yz
j
z
k 0.420602702657 {
ij 0.771579694135 yz
j
z
k 0.419231182537 {
ij 0.771896955379 yz
j
z
k 0.419647520980 {
ij 0.771876229401 yz
j
z
k 0.419734902937 {
30
∞Pi+1 - Pi ¥¶
0.1
0.189898
0.0962624
0.0212727
0.0171889
0.0122509
0.00265912
0.00143785
0.00137152
0.000416338
0.000087382
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
H11L
ji x1 zy
11 jjj H11L zzz
k x2 {
H12L
jji x1 yzz
12 jj H12L zz
k x2 {
ij x1H13L yz
13 jjj H13L zzz
k x2 {
ij 0.771876229401 yz
j
z
k 0.419734902937 {
ij 0.771815289209 yz
j
z
k 0.419592672216 {
ij 0.771853145768 yz
j
z
k 0.419650054738 {
ij 0.771815289209 yz
j
z
k 0.419592672216 {
ij 0.771853145768 yz
j
z
k 0.419650054738 {
ij 0.771846472640 yz
j
z
k 0.419651312275 {
0.000142231
0.0000573825
6.67313 µ 10-6
La solución aproximada del sistema es:
i 0.771846472640 yz
z
P14 = jj
k 0.419651312275 {
Solución
b)
Clear@ecuaciones, p, dD;
ecuaciones = 83 x1 2 − x2 2 , 3 x1 x2 2 − x1 3 − 1<;
è!!!! è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
ecuacionestrans = 9x2 ë 3 , H1 + x1 3 L ê H3 x1 L =;
d = 10.−5 ; p = 80.4, 0.7<;
puntoFijo@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
Método del Punto Fijo para sistemas de ecuaciones no lineales.
i 3 x12 - x22
yz i 0 y
zz = jj zz
f Hx1 , x2 L = jjjj
z
3
2
-x
+
3
x
x
1
1
2
k 1
{ k0 {
ij x1H0L yz i 0.4 y
zz
P0 = jjj H0L zzz = jj
k x2 { k 0.7 {
Ecuaciones preparadas para el método del Punto Fijo.
ij x1H0L
jjj
H0L
k x2
Hx2 L
ij ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
j è!!!!
3
yz jjjj
zz = jj
Hk-1L 3
Hx1
L +1
z jjj $%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ%Å%
Hk-1L
{ jj ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
Hx1
L
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
è!!!!
k
3
Hk-1L
yz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
{
Tabla de datos.
i
0
H0L
jij x1 zyz
jj
z
H0L z
k x2 {
Pi
ij 0.400000000000 yz
j
z
k 0.700000000000 {
Pi+1
ij 0.404145188433 yz
j
z
k 0.941629792788 {
31
∞Pi+1 - Pi ¥¶
0.24163
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
H1L
jij x1 zyz
jj
z
H1L z
k x2 {
ij x1H2L yz
jj
z
j H2L zz
x
k 2 {
ij x1H3L yz
jj
z
j H3L zz
k x2 {
ij x1H4L yz
z
jj
j H4L zz
k x2 {
ij x1H5L yz
jj
z
j H5L zz
k x2 {
ij x1H6L yz
jj
z
j H6L zz
k x2 {
ij x1H7L yz
jj
z
j H7L zz
k x2 {
ij x1H8L yz
z
jj
j H8L zz
k x2 {
ij x1H9L yz
jj
z
j H9L zz
x
k 2 {
ij x1H10L yz
10 jjj H10L zzz
k x2 {
H11L
ji x1 zy
11 jjj H11L zzz
k x2 {
H12L
ji x1 zy
12 jjj H12L zzz
k x2 {
H13L
jij x1 zyz
13 jj H13L zz
k x2 {
ij x1H14L yz
14 jjj H14L zzz
k x2 {
ij x1H15L yz
15 jjj H15L zzz
k x2 {
ij x1H16L yz
16 jjj H16L zzz
k x2 {
ij x1H17L yz
17 jjj H17L zzz
k x2 {
ij x1H18L yz
18 jjj H18L zzz
k x2 {
ij x1H19L yz
19 jjj H19L zzz
k x2 {
ij 0.404145188433 yz
j
z
k 0.941629792788 {
ij 0.543650214343 yz
j
z
k 0.937672940468 {
ij 0.541365724591 yz
j
z
k 0.843598161451 {
ij 0.487051625602 yz
j
z
k 0.844641336143 {
ij 0.487653902791 yz
j
z
k 0.873763836342 {
ij 0.504467786120 yz
j
z
k 0.873392046155 {
ij 0.504253132956 yz
j
z
k 0.863476476688 {
ij 0.498528376255 yz
j
z
k 0.863597549558 {
0.498598277709 y
jij
zz
k 0.866878386985 {
0.500492470081 y
jij
zz
k 0.866837719240 {
ij 0.500468990547 yz
j
z
k 0.865741449200 {
ij 0.499836058744 yz
j
z
k 0.865754970393 {
ij 0.499843865209 yz
j
z
k 0.866120096701 {
ij 0.500054670981 yz
j
z
k 0.866115585789 {
ij 0.500052066604 yz
j
z
k 0.865993844080 {
ij 0.499981778996 yz
j
z
k 0.865995347290 {
ij 0.499982646875 yz
j
z
k 0.866035924197 {
ij 0.500006073963 yz
j
z
k 0.866035423080 {
ij 0.500005784643 yz
j
z
k 0.866021897037 {
ij 0.543650214343 yz
j
z
k 0.937672940468 {
ij 0.541365724591 yz
j
z
k 0.843598161451 {
ij 0.487051625602 yz
j
z
k 0.844641336143 {
ij 0.487653902791 yz
j
z
k 0.873763836342 {
ij 0.504467786120 yz
j
z
k 0.873392046155 {
ij 0.504253132956 yz
j
z
k 0.863476476688 {
ij 0.498528376255 yz
j
z
k 0.863597549558 {
ij 0.498598277709 yz
j
z
k 0.866878386985 {
0.500492470081 y
jij
zz
k 0.866837719240 {
0.500468990547 y
jij
zz
k 0.865741449200 {
ij 0.499836058744 yz
j
z
k 0.865754970393 {
ij 0.499843865209 yz
j
z
k 0.866120096701 {
ij 0.500054670981 yz
j
z
k 0.866115585789 {
ij 0.500052066604 yz
j
z
k 0.865993844080 {
ij 0.499981778996 yz
j
z
k 0.865995347290 {
ij 0.499982646875 yz
j
z
k 0.866035924197 {
ij 0.500006073963 yz
j
z
k 0.866035423080 {
ij 0.500005784643 yz
j
z
k 0.866021897037 {
ij 0.499997975378 yz
j
z
k 0.866022064071 {
32
0.139505
0.0940748
0.0543141
0.0291225
0.0168139
0.00991557
0.00572476
0.00328084
0.00189419
0.00109627
0.000632932
0.000365126
0.000210806
0.000121742
0.0000702876
0.0000405769
0.0000234271
0.000013526
7.80926 µ 10-6
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
La solución aproximada del sistema es:
i 0.499997975378 yz
z
P20 = jj
k 0.866022064071 {
Solución
c)
Clear@ecuaciones, p, dD;
ecuaciones = 8 x1 2 + x2 − 37, x1 − x2 2 − 5, x3 + x1 + x2 − 3<;
è!!!!!!!!!!!!!!! è!!!!!!!!!!!!!
ecuacionestrans = 9 37 − x2 , x1 − 5 , 3 − x1 − x2 =;
d = 10.−5 ; p = 85.0, 1.0, −1.0<;
puntoFijo@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
Método del Punto Fijo para sistemas de ecuaciones no lineales.
2
jij x1 + x2 - 37
zyz ijj 0 yzz
jj
zz jj zz
zz = jj 0 zz
f Hx1 , x2 , x3 L = jjj -x22 + x1 - 5
zz jj zz
jj
z
x
+
x
+
x
3
k 1
2
3
{ k0 {
ij x1H0L yz i 5. y
jj
zz jj
zz
j
z
P0 = jjjj x2H0L zzzz = jjjj 1. zzzz
z
jj
z j
j H0L zz jk -1. z{
x
k 3 {
Ecuaciones preparadas para el método del Punto Fijo.
###########
zzy
ij x1H0L yz ijjj "################
37 - Hx2Hk-1L L
zz
jj
zz jj
zz
jj H0L zz jj
zz
jj x2 zz = jj "################
Hk-1L ########
zz
jj
zz jj Hx1 L - 5
zz
jj H0L zz jjj
z
Hk-1L
Hk-1L
x
k 3 { k -Hx1 L - Hx2 L + 3 z{
Tabla de datos.
i
0
1
ij x1H0L
jj
jj H0L
jj x2
jj
jj H0L
k x3
yz
zz
zz
zz
zz
zz
{
ij x1H1L yz
jj
z
jj H1L zzz
jj x2 zz
jj
z
jj H1L zzz
x
k 3 {
Pi
Pi+1
ij 5.00000000000 yz
jj
z
jj 1.00000000000 zzz
jj
zz
j
z
k -1.00000000000 {
ij 6.00000000000 yz
jj
zz
jj 0
zz
jj
zz
j
z
k -3.00000000000 {
ij 6.00000000000 yz
jj
zz
jj 0
zz
jj
zz
j
z
-3.00000000000
k
{
ij 6.08276253030 yz
jj
z
jj 1.00000000000 zzz
jj
zz
j
z
-3.00000000000
k
{
33
∞Pi+1 - Pi ¥¶
2.
1.
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
2
3
4
5
6
7
8
9
H2L
jij x1 zyz
jj
z
jj x H2L zzz
jj 2 zz
jj
z
j H2L zz
k x3 {
ij x1H3L yz
z
jj
jj H3L zzz
jj x2 zz
zz
jj
jj H3L zz
k x3 {
ij x1H4L yz
jj
z
jj H4L zzz
jj x2 zz
z
jj
jj H4L zzz
x
k 3 {
ij x1H5L yz
jj
z
jj H5L zzz
jjj x2 zzz
jj
z
j H5L zz
k x3 {
ij x1H6L yz
jj
z
jj H6L zzz
jj x2 zz
z
jj
jj H6L zzz
x
k 3 {
H7L
jij x1 zyz
jj
z
jj x H7L zzz
jj 2 zz
jj
z
j H7L zz
k x3 {
ij x1H8L yz
z
jj
jj H8L zzz
jj x2 zz
jj
zz
jj H8L zz
k x3 {
ij x1H9L yz
jj
z
jj H9L zzz
jj x2 zz
jj
z
jj H9L zzz
x
k 3 {
6.08276253030 y
jij
z
jj 1.00000000000 zzz
jj
zz
jj
zz
k -3.00000000000 {
ij 6.00000000000 yz
jj
z
jj 1.04055875870 zzz
jj
zz
j
z
k -4.08276253030 {
ij 5.99661915093 yz
jj
z
jj 1.00000000000 zzz
jj
zz
j
z
k -4.04055875870 {
ij 6.00000000000 yz
jj
z
jj 0.998308144277 zzz
jj
zz
j
z
k -3.99661915093 {
ij 6.00014098632 yz
jj
z
jj 1.00000000000 zzz
jj
zz
j
z
-3.99830814428
k
{
6.00000000000 y
jij
z
jj 1.00007049068 zzz
jj
zz
jj
zz
k -4.00014098632 {
ij 5.99999412577 yz
jj
z
jj 1.00000000000 zzz
jj
zz
j
z
k -4.00007049068 {
6.00000000000 y
jij
z
jj 0.999997062883 zzz
jj
zz
jj
zz
-3.99999412577
k
{
6.00000000000 y
jij
z
jj 1.04055875870 zzz
jj
zz
jj
zz
k -4.08276253030 {
ij 5.99661915093 yz
jj
z
jj 1.00000000000 zzz
jj
zz
j
z
k -4.04055875870 {
ij 6.00000000000 yz
jj
z
jj 0.998308144277 zzz
jj
zz
j
z
k -3.99661915093 {
ij 6.00014098632 yz
jj
z
jj 1.00000000000 zzz
jj
zz
j
z
k -3.99830814428 {
ij 6.00000000000 yz
jj
z
jj 1.00007049068 zzz
jj
zz
j
z
-4.00014098632
k
{
5.99999412577 y
jij
z
jj 1.00000000000 zzz
jj
zz
jj
zz
k -4.00007049068 {
ij 6.00000000000 yz
jj
z
jj 0.999997062883 zzz
jj
zz
j
z
k -3.99999412577 {
6.00000024476 y
jij
z
jj 1.00000000000 zzz
jj
zz
jj
zz
-3.99999706288
k
{
1.08276
0.0422038
0.0439396
0.00169186
0.00183284
0.0000704956
0.0000763649
2.93712 µ 10-6
La solución aproximada del sistema es:
P10
6.00000024476 y
jij
zz
j
j
= jj 1.00000000000 zzzz
jj
zz
k -3.99999706288 {
Solución
d)
Clear@ecuaciones, p, dD;
x1 2
ecuaciones = 9 x1 2 + 2 x2 2 − x2 − 2 x3 , x1 2 − 8 x2 2 + 10 x3 , − 1=;
7 x3 x2
34
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
x1 2
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
ecuacionestrans = 9 2 x3 + x2 − 2 x2 2 , H10 x3 + x1 2 L ê 8 , =;
7 x2
d = 10.−5 ; p = 80.5, 0.5, 0.1<;
puntoFijo@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
Método del Punto Fijo para sistemas de ecuaciones no lineales.
ij x12 + 2 x22 - x2 - 2 x3 yz
jj
zz ij 0 yz
jj 2
zz jj zz
2
j
x
8
x
+
10
x
zz = jj 0 zz
3
2
f Hx1 , x2 , x3 L = jj 1
zz jj zz
jj
zz j z
2
x1
jj ÅÅÅÅÅÅÅÅ
z k0 {
Å
ÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
Å
1
k 7 x2 x3
{
ij x1H0L yz i 0.5 y
jj
zz jj
zz
j
z
P0 = jjjj x2H0L zzzz = jjjj 0.5 zzzz
z
jj
z j
j H0L zz jk 0.1 z{
x
k 3 {
Ecuaciones preparadas para el método del Punto Fijo.
################
######
ij "################################
Hk-1L 2
Hk-1L ################
L + 2 Hx3Hk-1L L
j -2 Hx2 L + Hx2
ij x1H0L yz jjj
jj
z j
2
##############
jj H0L zzz jjjj "################################
Hx1Hk-1L L +10 Hx3Hk-1L L
jj x2 zz = jj ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
è!!!!ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
jj
zz jj
2 2
jj H0L zz jjj
2
Hx1Hk-1L L
k x3 { jj ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ
k 7 Hx2Hk-1L L
yz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
{
Tabla de datos.
i
0
1
2
3
4
H0L
jij x1 zyz
jj
z
jj x H0L zzz
jj 2 zz
jj
z
j H0L zz
k x3 {
ij x1H1L yz
z
jj
jj H1L zzz
jj x2 zz
jj
zz
jj H1L zz
k x3 {
ij x1H2L yz
jj
z
jj H2L zzz
jj x2 zz
z
jj
jj H2L zzz
x
k 3 {
ij x1H3L yz
jj
z
jj H3L zzz
jjj x2 zzz
jj
z
j H3L zz
k x3 {
H4L
jji x1 yzz
jj
z
jj x H4L zzz
jj 2 zz
jj
z
j H4L zz
x
k 3 {
Pi
Pi+1
0.500000000000 y
jij
z
jj 0.500000000000 zzz
jj
zz
jj
zz
k 0.100000000000 {
0.447213595500 y
jij
z
jj 0.395284707521 zzz
jj
zz
jj
zz
k 0.0714285714286 {
ij 0.447213595500 yz
jj
z
jj 0.395284707521 zzz
jj
zz
j
z
k 0.0714285714286 {
0.475017736909 y
jij
z
jj 0.338061701891 zzz
jj
zz
jj
zz
0.0722806322324
k
{
ij 0.504035254506 yz
jj
z
jj 0.344319650307 zzz
jj
zz
j
z
k 0.0953510849460 {
ij 0.545811118450 yz
jj
z
jj 0.388516792952 zzz
jj
zz
j
z
0.105405186123
k
{
35
ij 0.475017736909 yz
jj
z
jj 0.338061701891 zzz
jj
zz
j
z
k 0.0722806322324 {
0.504035254506 y
jij
z
jj 0.344319650307 zzz
jj
zz
jj
zz
0.0953510849460
k
{
ij 0.545811118450 yz
jj
z
jj 0.388516792952 zzz
jj
zz
j
z
k 0.105405186123 {
ij 0.545377454967 yz
jj
z
jj 0.411090263545 zzz
jj
zz
j
z
0.109541055488
k
{
∞Pi+1 - Pi ¥¶
0.104715
0.057223
0.0290175
0.0441971
0.0225735
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
5
6
7
8
9
H5L
jij x1 zyz
jj
z
jj x H5L zzz
jj 2 zz
jj
z
j H5L zz
k x3 {
ij x1H6L yz
z
jj
jj H6L zzz
jj x2 zz
zz
jj
jj H6L zz
k x3 {
ij x1H7L yz
jj
z
jj H7L zzz
jj x2 zz
z
jj
jj H7L zzz
x
k 3 {
ij x1H8L yz
jj
z
jj H8L zzz
jjj x2 zzz
jj
z
j H8L zz
k x3 {
ij x1H9L yz
jj
z
jj H9L zzz
jj x2 zz
z
jj
jj H9L zzz
x
k 3 {
H10L
jij x1 zyz
jj
zz
10 jjjj x2H10L zzzz
jj
z
j H10L zz
k x3 {
ij x1H11L yz
zz
jj
j
z
11 jjjj x2H11L zzzz
jj
z
j H11L zz
x
k 3 {
ij x1H12L yz
zz
jj
j
z
12 jjjj x2H12L zzzz
z
jj
j H12L zz
x
k 3 {
ij x1H13L yz
zz
jj
j
z
13 jjjj x2H13L zzzz
jj
z
j H13L zz
k x3 {
ij x1H14L yz
jj
zz
j
z
14 jjjj x2H14L zzzz
z
jj
j H14L zz
x
k 3 {
H15L
jij x1 zyz
zz
jj
15 jjjj x2H15L zzzz
jj
z
j H15L zz
k x3 {
ij x1H16L yz
jj
zz
j
z
16 jjjj x2H16L zzzz
jj
z
j H16L zz
x
k 3 {
ij x1H17L yz
jj
zz
j
z
17 jjjj x2H17L zzzz
jj
z
j H17L zz
x
k 3 {
0.545377454967 y
jij
z
jj 0.411090263545 zzz
jj
zz
jj
zz
k 0.109541055488 {
ij 0.540538587853 yz
jj
z
jj 0.417259979400 zzz
jj
zz
j
z
k 0.103361578001 {
ij 0.525139366821 yz
jj
z
jj 0.407093009177 zzz
jjj
zzz
k 0.100034229902 {
ij 0.525082881781 yz
jj
z
jj 0.399392296747 zzz
jj
zz
j
z
k 0.0967737271574 {
ij 0.523365395933 yz
jj
z
jj 0.394247591038 zzz
jj
zz
j
z
0.0986184099426
k
{
0.529737751010 y
jij
z
jj 0.396877726303 zzz
jj
zz
jj
zz
k 0.0992528349793 {
ij 0.529489883747 yz
jj
z
jj 0.398928319789 zzz
jj
zz
j
z
k 0.101010630244 {
0.531659638883 y
jij
z
jj 0.401631958300 zzz
jj
zz
jj
zz
0.100397390810
k
{
ij 0.528970963348 yz
jj
z
jj 0.401035515840 zzz
jj
zz
j
z
k 0.100540509352 {
ij 0.529582443642 yz
jj
z
jj 0.400814073727 zzz
jj
zz
j
z
0.0996742073289
k
{
ij 0.528070681812 yz
jj
z
jj 0.399562203841 zzz
jj
zz
j
z
k 0.0999599789518 {
ij 0.529322446405 yz
jj
z
jj 0.399759057825 zzz
jj
zz
j
z
k 0.0997014955401 {
0.528722460539 y
jij
z
jj 0.399561823700 zzz
jj
zz
jj
zz
0.100125401176
k
{
36
0.540538587853 y
jij
z
jj 0.417259979400 zzz
jj
zz
jj
zz
k 0.103361578001 {
ij 0.525139366821 yz
jj
z
jj 0.407093009177 zzz
jj
zz
j
z
k 0.100034229902 {
ij 0.525082881781 yz
jj
z
jj 0.399392296747 zzz
jj
zz
j
z
k 0.0967737271574 {
ij 0.523365395933 yz
jj
z
jj 0.394247591038 zzz
jj
zz
j
z
k 0.0986184099426 {
ij 0.529737751010 yz
jj
z
jj 0.396877726303 zzz
jj
zz
j
z
0.0992528349793
k
{
0.529489883747 y
jij
z
jj 0.398928319789 zzz
jj
zz
jj
zz
k 0.101010630244 {
ij 0.531659638883 yz
jj
z
jj 0.401631958300 zzz
jj
zz
j
z
k 0.100397390810 {
0.528970963348 y
jij
z
jj 0.401035515840 zzz
jj
zz
jj
zz
0.100540509352
k
{
ij 0.529582443642 yz
jj
z
jj 0.400814073727 zzz
jj
zz
j
z
k 0.0996742073289 {
ij 0.528070681812 yz
jj
z
jj 0.399562203841 zzz
jj
zz
j
z
0.0999599789518
k
{
ij 0.529322446405 yz
jj
z
jj 0.399759057825 zzz
jj
zz
j
z
k 0.0997014955401 {
ij 0.528722460539 yz
jj
z
jj 0.399561823700 zzz
jj
zz
j
z
k 0.100125401176 {
0.529635085822 y
jij
z
jj 0.400125207284 zzz
jj
zz
jj
zz
0.0999478584851
k
{
0.00617948
0.0153992
0.00770071
0.00514471
0.00637236
0.00205059
0.00270364
0.00268868
0.000866302
0.00151176
0.00125176
0.000599986
0.000912625
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
H18L
jij x1 zyz
jj
zz
18 jjjj x2H18L zzzz
jj
z
j H18L zz
k x3 {
ij x1H19L yz
zz
jj
j
z
19 jjjj x2H19L zzzz
jj
z
j H19L zz
k x3 {
ij x1H20L yz
jj
zz
z
j
20 jjjj x2H20L zzzz
z
jj
j H20L zz
x
k 3 {
ij x1H21L yz
jj
zz
j
z
21 jjjj x2H21L zzzz
jj
z
j H21L zz
k x3 {
ij x1H22L yz
jj
zz
j
z
22 jjjj x2H22L zzzz
jj
z
j H22L zz
x
k 3 {
H23L
jij x1 zyz
jj
zz
23 jjjj x2H23L zzzz
jj
z
j H23L zz
k x3 {
ij x1H24L yz
zz
jj
j
z
24 jjjj x2H24L zzzz
jj
z
j H24L zz
x
k 3 {
ij x1H25L yz
zz
jj
j
z
25 jjjj x2H25L zzzz
z
jj
j H25L zz
x
k 3 {
ij x1H26L yz
zz
jj
j
z
26 jjjj x2H26L zzzz
jj
z
j H26L zz
k x3 {
ij x1H27L yz
jj
zz
j
z
27 jjjj x2H27L zzzz
z
jj
j H27L zz
x
k 3 {
H28L
jij x1 zyz
zz
jj
28 jjjj x2H28L zzzz
jj
z
j H28L zz
k x3 {
ij x1H29L yz
jj
zz
j
z
29 jjjj x2H29L zzzz
jj
z
j H29L zz
x
k 3 {
ij x1H30L yz
jj
zz
j
z
30 jjjj x2H30L zzzz
jj
z
j H30L zz
x
k 3 {
0.529635085822 y
jij
z
jj 0.400125207284 zzz
jj
zz
jj
zz
k 0.0999478584851 {
ij 0.528980681354 yz
jj
z
jj 0.399998735777 zzz
jj
zz
j
z
k 0.100151980654 {
ij 0.529438117100 yz
jj
z
jj 0.400209377668 zzz
jj
zz
j
z
k 0.0999362305849 {
ij 0.528910906383 yz
jj
z
jj 0.399947969380 zzz
jj
zz
j
z
k 0.100056454546 {
ij 0.529286427230 yz
jj
z
jj 0.400048636473 zzz
jj
zz
j
z
0.0999225500417
k
{
0.528976288191 y
jij
z
jj 0.399901491381 zzz
jj
zz
jj
zz
k 0.100039308263 {
ij 0.529280362652 yz
jj
z
jj 0.400032654307 zzz
jj
zz
j
z
k 0.0999588718364 {
0.529054013269 y
jij
z
jj 0.399957250943 zzz
jj
zz
jj
zz
0.100041012464
k
{
ij 0.529251991690 yz
jj
z
jj 0.400048164850 zzz
jj
zz
j
z
k 0.0999743091457 {
ij 0.529074394336 yz
jj
z
jj 0.399976680909 zzz
jj
zz
j
z
0.100026409432
k
{
ij 0.529213387237 yz
jj
z
jj 0.400028719135 zzz
jj
zz
j
z
k 0.0999771551346 {
ij 0.529090802357 yz
jj
z
jj 0.399974743043 zzz
jj
zz
j
z
k 0.100016679458 {
0.529196099584 y
jij
z
jj 0.400016229627 zzz
jj
zz
jj
zz
0.0999838407686
k
{
37
0.528980681354 y
jij
z
jj 0.399998735777 zzz
jj
zz
jj
zz
k 0.100151980654 {
ij 0.529438117100 yz
jj
z
jj 0.400209377668 zzz
jj
zz
j
z
k 0.0999362305849 {
ij 0.528910906383 yz
jj
z
jj 0.399947969380 zzz
jjj
zzz
k 0.100056454546 {
ij 0.529286427230 yz
jj
z
jj 0.400048636473 zzz
jj
zz
j
z
k 0.0999225500417 {
ij 0.528976288191 yz
jj
z
jj 0.399901491381 zzz
jj
zz
j
z
0.100039308263
k
{
0.529280362652 y
jij
z
jj 0.400032654307 zzz
jj
zz
jj
zz
k 0.0999588718364 {
ij 0.529054013269 yz
jj
z
jj 0.399957250943 zzz
jj
zz
j
z
k 0.100041012464 {
0.529251991690 y
jij
z
jj 0.400048164850 zzz
jj
zz
jj
zz
0.0999743091457
k
{
ij 0.529074394336 yz
jj
z
jj 0.399976680909 zzz
jj
zz
j
z
k 0.100026409432 {
ij 0.529213387237 yz
jj
z
jj 0.400028719135 zzz
jj
zz
j
z
0.0999771551346
k
{
ij 0.529090802357 yz
jj
z
jj 0.399974743043 zzz
jjj
zzz
k 0.100016679458 {
ij 0.529196099584 yz
jj
z
jj 0.400016229627 zzz
jj
zz
j
z
k 0.0999838407686 {
0.529110520812 y
jij
z
jj 0.399982330782 zzz
jj
zz
jj
zz
0.100013267703
k
{
0.000654404
0.000457436
0.000527211
0.000375521
0.000310139
0.000304074
0.000226349
0.000197978
0.000177597
0.000138993
0.000122585
0.000105297
0.0000855788
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
H31L
jij x1 zyz
jj
zz
31 jjjj x2H31L zzzz
jj
z
j H31L zz
k x3 {
ij x1H32L yz
zz
jj
j
z
32 jjjj x2H32L zzzz
jj
z
j H32L zz
k x3 {
ij x1H33L yz
jj
zz
z
j
33 jjjj x2H33L zzzz
z
jj
j H33L zz
x
k 3 {
ij x1H34L yz
jj
zz
j
z
34 jjjj x2H34L zzzz
jj
z
j H34L zz
k x3 {
ij x1H35L yz
jj
zz
j
z
35 jjjj x2H35L zzzz
jj
z
j H35L zz
x
k 3 {
H36L
jij x1 zyz
jj
zz
36 jjjj x2H36L zzzz
jj
z
j H36L zz
k x3 {
ij x1H37L yz
zz
jj
j
z
37 jjjj x2H37L zzzz
jj
z
j H37L zz
x
k 3 {
ij x1H38L yz
zz
jj
j
z
38 jjjj x2H38L zzzz
z
jj
j H38L zz
x
k 3 {
ij x1H39L yz
zz
jj
j
z
39 jjjj x2H39L zzzz
jj
z
j H39L zz
k x3 {
ij x1H40L yz
jj
zz
j
z
40 jjjj x2H40L zzzz
z
jj
j H40L zz
x
k 3 {
H41L
jij x1 zyz
zz
jj
41 jjjj x2H41L zzzz
jj
z
j H41L zz
k x3 {
ij x1H42L yz
jj
zz
j
z
42 jjjj x2H42L zzzz
jj
z
j H42L zz
x
k 3 {
ij x1H43L yz
jj
zz
j
z
43 jjjj x2H43L zzzz
jj
z
j H43L zz
x
k 3 {
0.529110520812 y
jij
z
jj 0.399982330782 zzz
jj
zz
jj
zz
k 0.100013267703 {
ij 0.529185351567 yz
jj
z
jj 0.400014159166 zzz
jj
zz
j
z
k 0.0999893965626 {
ij 0.529122194984 yz
jj
z
jj 0.399989234533 zzz
jjj
zzz
k 0.100009722833 {
ij 0.529174739302 yz
jj
z
jj 0.400010550729 zzz
jj
zz
j
z
k 0.0999920830196 {
ij 0.529129318200 yz
jj
z
jj 0.399991677243 zzz
jj
zz
j
z
0.100006613827
k
{
0.529167479320 y
jij
z
jj 0.400006870824 zzz
jj
zz
jj
zz
k 0.0999941646317 {
ij 0.529135338713 yz
jj
z
jj 0.399993729246 zzz
jj
zz
j
z
k 0.100004789772 {
0.529162868991 y
jij
z
jj 0.400005016281 zzz
jj
zz
jj
zz
0.0999959271514
k
{
ij 0.529139721136 yz
jj
z
jj 0.399995720826 zzz
jj
zz
j
z
k 0.100003510857 {
ij 0.529159323060 yz
jj
z
jj 0.400003742647 zzz
jj
zz
j
z
0.0999970856495
k
{
ij 0.529142632645 yz
jj
z
jj 0.399996944625 zzz
jjj
zzz
k 0.100002489023 {
ij 0.529156698201 yz
jj
z
jj 0.400002627477 zzz
jj
zz
j
z
k 0.0999978801428 {
0.529144766378 y
jij
z
jj 0.399997751975 zzz
jj
zz
jj
zz
0.100001775709
k
{
38
0.529185351567 y
jij
z
jj 0.400014159166 zzz
jj
zz
jj
zz
k 0.0999893965626 {
ij 0.529122194984 yz
jj
z
jj 0.399989234533 zzz
jj
zz
j
z
k 0.100009722833 {
ij 0.529174739302 yz
jj
z
jj 0.400010550729 zzz
jj
zz
j
z
k 0.0999920830196 {
ij 0.529129318200 yz
jj
z
jj 0.399991677243 zzz
jj
zz
j
z
k 0.100006613827 {
ij 0.529167479320 yz
jj
z
jj 0.400006870824 zzz
jj
zz
j
z
0.0999941646317
k
{
0.529135338713 y
jij
z
jj 0.399993729246 zzz
jj
zz
jj
zz
k 0.100004789772 {
ij 0.529162868991 yz
jj
z
jj 0.400005016281 zzz
jj
zz
j
z
k 0.0999959271514 {
0.529139721136 y
jij
z
jj 0.399995720826 zzz
jj
zz
jj
zz
0.100003510857
k
{
ij 0.529159323060 yz
jj
z
jj 0.400003742647 zzz
jj
zz
j
z
k 0.0999970856495 {
ij 0.529142632645 yz
jj
z
jj 0.399996944625 zzz
jj
zz
j
z
0.100002489023
k
{
ij 0.529156698201 yz
jj
z
jj 0.400002627477 zzz
jj
zz
j
z
k 0.0999978801428 {
ij 0.529144766378 yz
jj
z
jj 0.399997751975 zzz
jj
zz
j
z
k 0.100001775709 {
0.529154892468 y
jij
z
jj 0.400001865757 zzz
jj
zz
jj
zz
0.0999984847783
k
{
0.0000748308
0.0000631566
0.0000525443
0.0000454211
0.0000381611
0.0000321406
0.0000275303
0.0000231479
0.0000196019
0.0000166904
0.0000140656
0.0000119318
0.0000101261
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
La solución aproximada del sistema es:
P45
ij 0.529146340907 yz
j
z
= jjjj 0.399998398123 zzzz
jj
zz
k 0.100001283634 {
à Problema 8. Dado el siguiente problema no lineal
f1 Hx1 , x2 , x3 L = 10 x1 - 2 x2 2 + x2 - 2 x3 - 5 = 0,
f2 Hx1 , x2 , x3 L = 4 x3 2 + 8 x2 2 - 9 = 0.
f3 Hx1 , x2 , x3 L = 8 x3 x2 + 4 = 0.
Calcular la solución aproximada del sistema empleando el método de Punto Fijo
H0L H0L T
T
comenzando en los puntosP0 = IxH0L
1 , x2 , x3 M = H1, 1, -1L , e iterando hasta que
∞Pi+1 - Pi ¥¶ § 5 µ 10-4 .
Clear@ecuaciones, p, dD;
ecuaciones = 810 x1 − 2 x2 2 + x2 − 2 x3 − 5, 4 x3 2 + 8 x2 2 − 9, 8 x2 x3 + 4<;
ecuacionestrans =
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
9I2 x2 2 − x2 + 2 x3 + 5M ë 10, H−4 x3 2 + 9L ê 8 , −4 ê H8 x2 L=;
d = 10.−4 ; p = 81., 1., −1.<;
puntoFijo@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
Método del Punto Fijo para sistemas de ecuaciones no lineales.
ij -2 x22 + x2 + 10 x1 - 2 x3 - 5
jj
f Hx1 , x2 , x3 L = jjjj 8 x22 + 4 x32 - 9
jj
k 8 x2 x3 + 4
ij x1H0L yz i 1. y
jj
zz jj
zz
j
z
P0 = jjjj x2H0L zzzz = jjjj 1. zzzz
z
jj
z j
j H0L zz jk -1. z{
x
k 3 {
yz i 0 y
zz jjj zzz
zz = jj 0 zz
zz jj zz
zz j z
{ k0 {
Ecuaciones preparadas para el método del Punto Fijo.
ij x1H0L
jj
jj H0L
jjj x2
jjj H0L
k x3
ij ÅÅÅÅ1ÅÅÅÅ J2 Hx Hk-1L L2 - Hx Hk-1L L + 2 Hx Hk-1L L + 5N yz
2
2
3
j 10
zz
zz
zyz jjjj
zz
zz jj "################Hk-1L
########
#
###
2##
zz
zz = jj 9-4 Hx3 L
zz
zz jj ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
è!!!!ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
zz
zz jj
2
2
zz
z jj
zz
j
1
zz
{ jj - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ
Hk-1L
2
Hx
L
k
{
2
Tabla de datos.
39
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
H0L
jij x1
jj
jj x H0L
jj 2
jjj H0L
k x3
zyz
zz
zz
zz
zz
z
{
ij x1H1L yz
z
jj
jj H1L zzz
jj x2 zz
zz
jj
jj H1L zz
k x3 {
H2L
jij x1 zyz
jj
z
jj x H2L zzz
jj 2 zz
jj
z
j H2L zz
k x3 {
ij x1H3L yz
jj
z
jj H3L zzz
jj x2 zz
jj
zz
jj H3L zz
k x3 {
ij x1H4L yz
z
jj
jj H4L zzz
jj x2 zz
z
jj
jj H4L zzz
x
k 3 {
ij x1H5L yz
jj
z
jj H5L zzz
jjj x2 zzz
jj
z
j H5L zz
k x3 {
ij x1H6L yz
z
jj
jj H6L zzz
jj x2 zz
jj
zz
jj H6L zz
k x3 {
H7L
jij x1 zyz
jj
z
jj x H7L zzz
jj 2 zz
jj
z
j H7L zz
k x3 {
ij x1H8L yz
jj
z
jj H8L zzz
jj x2 zz
jj
zz
jj H8L zz
k x3 {
ij x1H9L yz
jj
z
jj H9L zzz
jj x2 zz
jj
z
jj H9L zzz
x
k 3 {
Pi
Pi+1
ij 1.00000000000 yz
jj
z
jj 1.00000000000 zzz
jj
zz
j
z
k -1.00000000000 {
ij 0.400000000000 yz
jj
z
jj 0.790569415042 zzz
jj
zz
j
z
k -0.500000000000 {
ij 0.400000000000 yz
jj
z
jj 0.790569415042 zzz
jj
zz
j
z
-0.500000000000
k
{
0.445943058496 y
jij
zz
jj 1.00000000000
zz
jj
zz
jj
zz
k -0.632455532034 {
ij 0.473508893593 yz
jj
z
jj 0.961769203084 zzz
jj
zz
j
z
k -0.500000000000 {
ij 0.488823079692 yz
jj
zz
jj 1.00000000000
zz
jj
zz
j
z
-0.519875244910
k
{
ij 0.496024951018 yz
jj
z
jj 0.994919526829 zzz
jj
zz
j
z
k -0.500000000000 {
ij 0.498481020290 yz
jj
zz
jj 1.00000000000
zz
jj
zz
j
z
-0.502553208091
k
{
0.499489358382 y
jij
z
jj 0.999359863372 zzz
jj
zz
jj
zz
k -0.500000000000 {
ij 0.499808040967 yz
jj
zz
jj 1.00000000000
zz
jj
zz
j
z
k -0.500320273333 {
ij 0.499935945333 yz
jj
z
jj 0.999919902815 zzz
jj
zz
j
z
k -0.500000000000 {
ij 0.445943058496 yz
jj
zz
jj 1.00000000000
zz
jj
zz
j
z
-0.632455532034
k
{
0.473508893593 y
jij
z
jj 0.961769203084 zzz
jj
zz
jj
zz
k -0.500000000000 {
ij 0.488823079692 yz
jj
zz
jj 1.00000000000
zz
jj
zz
j
z
k -0.519875244910 {
ij 0.496024951018 yz
jj
z
jj 0.994919526829 zzz
jj
zz
j
z
-0.500000000000
k
{
ij 0.498481020290 yz
jj
zz
jj 1.00000000000
zz
jj
zz
j
z
k -0.502553208091 {
ij 0.499489358382 yz
jj
z
jj 0.999359863372 zzz
jj
zz
j
z
-0.500000000000
k
{
0.499808040967 y
jij
zz
jj 1.00000000000
zz
jj
zz
jj
zz
k -0.500320273333 {
ij 0.499935945333 yz
jj
z
jj 0.999919902815 zzz
jj
zz
j
z
k -0.500000000000 {
0.6
0.209431
0.132456
0.0382308
0.0198752
0.00508047
0.00255321
0.000640137
0.000320273
ij 0.499975972128 yz
jj
zz
jj 1.00000000000
zz 0.0000800972
jj
zz
j
z
k -0.500040051800 {
La solución aproximada del sistema es:
P10
∞Pi+1 - Pi ¥¶
0.499975972128 y
jij
zz
j
zz
j
= jj 1.00000000000
zz
jj
zz
k -0.500040051800 {
40
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
4. Método de Seidel
4.1 Introducción
El método de Seidel es una forma de acelerar la conergencia de la iteración del
método del Punto Fijo. Consiste en usar las estimaciones más recientes de
x1 HkL , x2 HkL , ..., xi-1 HkL en vez de x1 Hk-1L , x2 Hk-1L , ..., xi-1 Hk-1L para calcular xi HkL , igual que en
el método de Gauss -Seidel para los sistemas lineales.
4.2 Pseudocódigo
è Algoritmo 2. Método de Seidel para sistemas no lineales
El pseudocódigo del algoritmo que resuelve un sistema de ecuaciones no lineales de
n ecuaciones con n incognitas mediante el método de Seidel es:
Algoritmo de Seidel
H0L L , errorM
Input I8f Hx1 , ..., xm L<1 m , 8ftrans Hx1 , ..., xm L<1 m , H x1H0L x2H0L ... xm
T
(* Se inicializan las variables *)
H0L L
p H x1H0L x2H0L ... xm
p0 p
error_inicial 160
i 0
F 8f Hx1 , ..., xn L<1 n
While error_inicial >= error do
H* Se evalúa la función transformada en el punto comprobando los índices*L
T
For k = 1,...n do
For j = 1,..., i do
ij ftransj HpL yz
jj
z
jj ftransj HpL zzz
j
j
zzz
p jjj
zz
...
jjj
zzz
j
z
k ftransj HpL {
End
For j = i, ..., n do
41
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
ij ftransj Hp0L yz
jj
z
jj ftransj Hp0L zzz
jj
zz
zz
p jjj
jj
zzz
...
jj
zz
f
Hp0L
transj
k
{
End
End
p1 p
(* Cálculo de la norma de la distancia entre los dos puntos *)
error_inicial »» p1 - p0 »»¶
p0 p1
i i+1
End
Return Hx HiL ª Hp1LT L
Output
4.3 Problemas
à Problema 9. Aplíquese el método de Seidel para sistemas no lineales para aproximar
el sistema de ecuaciones no lineales siguiente, iniciando el método en el punto inicial
H0L H0L T
T
-5
P0 = IxH0L
1 , x2 , x3 M = H0.1, 0.1, -0.1L e iterando hasta que ∞Pi+1 - Pi ¥¶ § 10 .
f1 Hx1 , x2 , x3 L = 3 x1 - cosHx2 x3 L - 1 ê 2 = 0,
f2 Hx1 , x2,x3 L = x21 - 81 Hx2 - 0.1L2 + sen x3 + 1.06 = 0,
f3 Hx1 , x2 , x3 L = e-x1 x2 + 20 x3 + H10 p - 3L ê 3 = 0.
Solución
Clear@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
ecuaciones = 93 x1 − Cos@x2 ∗ x3 D + 1 ê 2,
10 π − 3
x21 − 81 Hx2 − 0.1L2 + Sin@x3 D + 1.06, Exp@−x1 ∗ x2 D + 20 x3 + =;
3
1
1 i"################################
##########
y
ecuacionestrans = 9 H2 Cos@x2 ∗ x3 D + 1L, j
j x21 + Sin@x3 D + 1.06 z
z − 0.1,
9 k
6
{
1 i
10 π − 3 y
− j
jExp@−x1 ∗ x2 D + z
z =;
20 k
3
{
d = 10.−5 ; p = 80.1, 0.1, −0.1<;
seidel@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
42
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Método de Seidel para sistemas de ecuaciones no lineales.
yz
ij -cosHx2 x3 L + 3 x1 + ÅÅÅÅ12Å
jj
zz ijj 0 yzz
jj 2
z
2
f Hx1 , x2 , x3 L = jjj x1 - 81 Hx2 - 0.1L + sinHx3 L + 1.06 zzzz = jjjj 0 zzzz
zz jj zz
jj
j
z k0 {
1
-x1 x2
20
x
+
‰
+
ÅÅÅÅ
Å
H-3
+
10
pL
3
{
k
3
ij x1H0L yz i 0.1 y
jj
zz jj
zz
j
z
P0 = jjjj x2H0L zzzz = jjjj 0.1 zzzz
z
jj
z j
j H0L zz jk -0.1 z{
x
k 3 {
Ecuaciones preparadas para el método de Seidel.
HkL
jji x1
jj
jj x HkL
jj 2
jjj HkL
k x3
yz
ij ÅÅÅÅ16Å I2 cosIHx2Hk-1L L Hx3Hk-1L LM + 1M
zz
yz jjjj
zz
zz jj
zz
zz jj 1
zz
2
HkL
Hk-1L
zz = jj ÅÅÅÅÅ $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%
%
%%%
Hx1 L + sinIHx3 LM + 1.06 - 0.1 zzzz
zz jj 9
zz jj
zz
j
zz
zz
{ jjj 1
1
-Hx1HkL L Hx2HkL L
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
I-‰
+
ÅÅÅÅ
Å
H3
10
pLM
k 20
{
3
Tabla de datos.
i
0
1
2
3
ij x1H0L
jjj
jj x H0L
jj 2
jj
j H0L
k x3
yz
zz
zz
zz
zz
zz
{
H1L
jij x1 zyz
jj
z
jj x H1L zzz
jj 2 zz
jj
z
j H1L zz
k x3 {
ij x1H2L yz
z
jj
jj H2L zzz
jj x2 zz
zz
jj
jj H2L zz
k x3 {
ij x1H3L yz
jj
z
jj H3L zzz
jj x2 zz
jj
z
jj H3L zzz
x
k 3 {
Pi
Pi+1
ij 0.100000000000 yz
jj
z
jj 0.100000000000 zzz
jj
zz
j
z
-0.100000000000
k
{
ij 0.499983333472 yz
jj
z
jj 0.0222297935586 zzz
jj
zz
j
z
-0.523046126191
k
{
0.499983333472 y
jij
z
jj 0.0222297935586 zzz
jj
zz
jj
zz
-0.523046126191
k
{
ij 0.499977468262
yz
jj
z
jj 0.0000281536619354 zzz
jj
zz
j
z
k -0.523598071793
{
ij 0.499999999964
yz
jj
z
jj 3.76220182091 µ 10-8 zzz
jj
zz
j
z
k -0.523598774658
{
ij 0.499999999964
yz
jj
z
jj 3.76220182091 µ 10-8 zzz
zz
jj
z
j
-0.523598774658
k
{
ij 0.500000000000
jj
jj 5.02802799396 µ 10-11
jj
j
k -0.523598775597
zyz
zz
zz
zz
{
à Problema 10. Dado el siguiente problema no lineal
f1 Hx1 , x2 L = -x1 H1 + x1 L + 2 x2 = 18,
43
0.423046
0.499977468262
jij
zy
jj 0.0000281536619354 zzz
jj
zz
jj
zz
-0.523598071793
k
{
La solución aproximada del sistema es:
0.500000000000
jij
jj
P4 = jjj 5.02802799396 µ 10-11
j
k -0.523598775597
∞Pi+1 - Pi ¥¶
yz
zz
zz
zz
z
{
0.0222016
0.000028116
3.75717 µ 10-8
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
f2 Hx1 , x2 L = Hx1 - 1L2 + Hx2 - 6L2 = 25.
Calcular la solución aproximada del sistema empleando el método de Seidel
comenzando en los puntos
H0L T
T
P0 = IxH0L
1 , x2 M = H2, 11L ,
H0L
T
P0 = IxH0L
1 , x2 M = H-1.5, 10.5L
e iterando hasta que ∞Pi+1 - Pi ¥¶ § 5 µ 10-5 , comprobar si se acelera la convergencia
respecto al método del Punto Fijo.
T
Clear@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
ecuaciones = 8−x1 H1 + x1 L + 2 x2 − 18, Hx1 − 1L2 + Hx2 − 6L2 − 25<;
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! "##############################
ecuacionestrans = 9−0.5 + 2 x2 − 17.75 , 25 − Hx1 − 1L 2 + 6=;
d = 10.−5 ; p = 82.0, 11.0<;
seidel@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
Método de Seidel para sistemas de ecuaciones no lineales.
i -x1 Hx1 + 1L + 2 x2 - 18 yz ij 0 yz
z=j z
f Hx1 , x2 L = jj
k Hx1 - 1L2 + Hx2 - 6L2 - 25 { k 0 {
ij x1H0L yz i 2. y
zz
P0 = jjj H0L zzz = jj
11.
k
{
x
k 2 {
Ecuaciones preparadas para el método de Seidel.
#######################
ij "################
2 Hx2Hk-1L L - 17.75 - 0.5 zzzy
ij x1HkL yz jjjj
zz
jj
z j
zz
j HkL zz = jjj
zz
2
zz
HkL
%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%
%
k x2 { jjj $%%%%%%%%%%%%%%%%
z
25 - IHx1 L - 1M + 6
k
{
Tabla de datos.
i
0
1
2
3
4
ij x1H0L
jjj
H0L
k x2
yz
zz
z
{
ij x1H1L yz
jj
z
j H1L zz
k x2 {
ij x1H2L yz
jj
z
j H2L zz
k x2 {
i x H3L y
jjj 1 zzz
j H3L z
k x2 {
ij x1H4L yz
jj
z
j H4L zz
x
k 2 {
Pi
ij 2.00000000000 yz
j
z
k 11.0000000000 {
ij 1.56155281281 yz
j
z
k 10.9683657714 {
ij 1.54615042038 yz
j
z
k 10.9700824659 {
1.54698923590 y
jij
zz
k 10.9699902189 {
1.54694417065 y
jij
zz
k 10.9699951785 {
Pi+1
ij 1.56155281281 yz
j
z
k 10.9683657714 {
ij 1.54615042038 yz
j
z
k 10.9700824659 {
ij 1.54698923590 yz
j
z
k 10.9699902189 {
1.54694417065 y
jij
zz
k 10.9699951785 {
1.54694659358 y
jij
zz
k 10.9699949118 {
44
∞Pi+1 - Pi ¥¶
0.438447
0.0154024
0.000838816
0.0000450652
2.42293 µ 10-6
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
La solución aproximada del sistema es:
i 1.54694659358 yz
z
P5 = jj
k 10.9699949118 {
Con el método del Punto Fijo se llega a la solución aproximada realizando 8
iteraciones, en cambio con el método de Seidel se consigue sólo con 5 iteraciones.
Clear@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
ecuaciones = 8−x1 H1 + x1 L + 2 x2 − 18, Hx1 − 1L2 + Hx2 − 6L2 − 25<;
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! "##############################
ecuacionestrans = 9−0.5 − 2 x2 − 17.75 , 25 − Hx1 − 1L 2 + 6=;
d = 10.−5 ; p = 8−1.5, 10.5<;
seidel@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
Método de Seidel para sistemas de ecuaciones no lineales.
i -x1 Hx1 + 1L + 2 x2 - 18 yz ij 0 yz
z=j z
f Hx1 , x2 L = jj
k Hx1 - 1L2 + Hx2 - 6L2 - 25 { k 0 {
ij x1H0L yz i -1.5 y
zz
P0 = jjj H0L zzz = jj
10.5
k
{
x
k 2 {
Ecuaciones preparadas para el método de Seidel.
#######################
ij - "################
2 Hx2Hk-1L L - 17.75 - 0.5 yzzz
ij x1HkL yz jjjj
zz
jj
z j
zz
j HkL zz = jjj
zz
2
zz
HkL
%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%
%
k x2 { jjj $%%%%%%%%%%%%%%%%
z
25 - IHx1 L - 1M + 6
k
{
Tabla de datos.
i
0
1
2
3
4
ij x1H0L
jjj
H0L
k x2
yz
zz
z
{
ij x1H1L yz
jj
z
j H1L zz
k x2 {
ij x1H2L yz
jj
z
j H2L zz
k x2 {
i x H3L y
jjj 1 zzz
j H3L z
k x2 {
ij x1H4L yz
jj
z
j H4L zz
x
k 2 {
Pi
ij -1.50000000000 yz
j
z
k 10.5000000000 {
ij -2.30277563773 yz
j
z
k 9.75388772965 {
ij -1.82581124573 yz
j
z
k 10.1248988840 {
ij -2.08107487744 yz
j
z
k 9.93788999333 {
-1.95800548239 y
jij
zz
k 10.0311541233 {
Pi+1
ij -2.30277563773 yz
j
z
k 9.75388772965 {
ij -1.82581124573 yz
j
z
k 10.1248988840 {
ij -2.08107487744 yz
j
z
k 9.93788999333 {
ij -1.95800548239 yz
j
z
k 10.0311541233 {
-2.02062758317 y
jij
zz
k 9.98444588416 {
45
∞Pi+1 - Pi ¥¶
0.802776
0.476964
0.255264
0.123069
0.0626221
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
5
6
7
8
9
H5L
jij x1 zyz
jj
z
H5L z
k x2 {
ij x1H6L yz
jj
z
j H6L zz
x
k 2 {
ij x1H7L yz
jj
z
j H7L zz
k x2 {
ij x1H8L yz
z
jj
j H8L zz
k x2 {
ij x1H9L yz
jj
z
j H9L zz
k x2 {
ij x1H10L yz
10 jjj H10L zzz
k x2 {
ij x1H11L yz
11 jjj H11L zzz
k x2 {
ij x1H12L yz
12 jjj H12L zzz
k x2 {
ij x1H13L yz
13 jjj H13L zzz
k x2 {
ij x1H14L yz
14 jjj H14L zzz
k x2 {
H15L
ji x1 zy
15 jjj H15L zzz
k x2 {
ij x1H16L zy
16 jjj H16L zzz
k x2 {
H17L
ji x1 zy
17 jjj H17L zzz
k x2 {
ij -2.02062758317 yz
j
z
k 9.98444588416 {
ij -1.98959449795 yz
j
z
k 10.0077830203 {
ij -2.00517973698 yz
j
z
k 9.99610995200 {
ij -1.99740438893 yz
j
z
k 10.0019453931 {
ij -2.00129636853 yz
j
z
k 9.99902739529 {
ij -1.99935145665 yz
j
z
k 10.0004863254 {
ij -2.00032418188 yz
j
z
k 9.99975684306 {
ij -1.99983788661 yz
j
z
k 10.0001215799 {
-2.00008105108 y
jij
zz
k 9.99993921041 {
-1.99995947306 y
jij
zz
k 10.0000303949 {
ij -2.00002026312 yz
j
z
k 9.99998480258 {
ij -1.99998986835 yz
j
z
k 10.0000075987 {
ij -2.00000506580 yz
j
z
k 9.99999620064 {
ij -1.98959449795 yz
j
z
k 10.0077830203 {
ij -2.00517973698 yz
j
z
k 9.99610995200 {
ij -1.99740438893 yz
j
z
k 10.0019453931 {
ij -2.00129636853 yz
j
z
k 9.99902739529 {
ij -1.99935145665 yz
j
z
k 10.0004863254 {
ij -2.00032418188 yz
j
z
k 9.99975684306 {
ij -1.99983788661 yz
j
z
k 10.0001215799 {
ij -2.00008105108 yz
j
z
k 9.99993921041 {
-1.99995947306 y
jij
zz
k 10.0000303949 {
-2.00002026312 y
jij
zz
k 9.99998480258 {
ij -1.99998986835 yz
j
z
k 10.0000075987 {
ij -2.00000506580 yz
j
z
k 9.99999620064 {
ij -1.99999746709 yz
j
z
k 10.0000018997 {
0.0310331
0.0155852
0.00777535
0.00389198
0.00194491
0.000972725
0.000486295
0.000243164
0.000121578
0.0000607901
0.0000303948
0.0000151975
7.59871 µ 10-6
La solución aproximada del sistema es:
i -1.99999746709 yz
z
P18 = jj
k 10.0000018997 {
Con el método del Punto Fijo se llega a la solución aproximada realizando 33
iteraciones, en cambio con el método de Seidel se consigue sólo con 18 iteraciones.
à Problema 11. Aproximar las soluciones de los siguientes sistemas no lineales,
empleando el método de Seidel con la aproximacióin inicial dada, iterando hasta que
»» Pi+1 - Pi »»¶ § 10-5 . Comparar la convergencia con el método del Punto Fijo.
a)
f1 Hx1 , x2 L = x1 2 + x2 2 - x1 = 0,
46
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
f2 Hx1 , x2 L = x1 2 - x2 2 - x2 = 0,
H0L T
T
P0 = IxH0L
1 , x2 M = H0.7, 0.4L
f1 Hx1 , x2 L = 3 x1 2 - x2 2 = 0,
f2 Hx1 , x2 L = 3 x1 x2 2 - x1 3 - 1 = 0,
H0L T
T
P0 = IxH0L
1 , x2 M = H0.4, 0.7L
f1 Hx1 , x2 , x3 L = x1 2 + x2 - 37 = 0,
f2 Hx1 , x2 , x3 L = x1 - x2 2 - 5 = 0,
f3 Hx1 , x2 , x3 L = x3 + x1 + x2 - 3 = 0
H0L H0L T
T
P0 = IxH0L
1 , x2 , x3 M = H5, 1, -1L
f1 Hx1 , x2 , x3 L = x1 2 + 2 x2 2 - x2 - 2 x3 = 0,
f2 Hx1 , x2 , x3 L = x1 2 - 8 x2 2 + 10 x3 = 0,
x1 2
f3 Hx1 , x2 , x3 L = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ - 1 = 0
7 x3 x2
b)
c)
d)
H0L H0L
T
P0 = IxH0L
1 , x2 , x3 M = H0.5, 0.5, 0.1L
T
Solución
a)
Clear@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
ecuaciones = 8x1 2 + x2 2 − x1 , x1 2 − x2 2 − x2 <;
è!!!!!!!!!!!!!!!!! è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
ecuacionestrans = 9 x1 − x2 2 , −x2 + x1 2 =;
d = 10.−5 ; p = 80.7, 0.4<;
seidel@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
Método de Seidel para sistemas de ecuaciones no lineales.
i x12 - x1 + x22
f Hx1 , x2 L = jjjj 2
2
k x1 - x2 - x2
ij x1H0L yz i 0.7 y
zz
P0 = jjj H0L zzz = jj
k x2 { k 0.4 {
yz i 0 y
zz = jj zz
z
{ k0 {
Ecuaciones preparadas para el método de Seidel.
########
########2##
HkL
Hk-1L
ij x1HkL yz ijjj "################
jj
zz = jj Hx1 L - Hx2 L
j HkL z jj
2 ##############
k x2 { k "################
Hx1HkL L - Hx2HkL L
yz
zz
zz
zz
{
Tabla de datos.
i
0
ij x1H0L
jjj
H0L
k x2
yz
zz
z
{
Pi
ij 0.700000000000 yz
j
z
k 0.400000000000 {
Pi+1
ij 0.758186601593 yz
j
z
k 0.395853396857 {
47
∞Pi+1 - Pi ¥¶
0.0581866
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
H1L
jij x1 zyz
jj
z
H1L z
k x2 {
ij x1H2L yz
jj
z
j H2L zz
x
k 2 {
ij x1H3L yz
jj
z
j H3L zz
k x2 {
ij x1H4L yz
z
jj
j H4L zz
k x2 {
ij x1H5L yz
jj
z
j H5L zz
k x2 {
ij x1H6L yz
jj
z
j H6L zz
k x2 {
ij x1H7L yz
jj
z
j H7L zz
k x2 {
ij x1H8L yz
z
jj
j H8L zz
k x2 {
ij x1H9L yz
jj
z
j H9L zz
x
k 2 {
ij x1H10L yz
10 jjj H10L zzz
k x2 {
H11L
ji x1 zy
11 jjj H11L zzz
k x2 {
H12L
ji x1 zy
12 jjj H12L zzz
k x2 {
H13L
jij x1 zyz
13 jj H13L zz
k x2 {
ij x1H14L yz
14 jjj H14L zzz
k x2 {
ij x1H15L yz
15 jjj H15L zzz
k x2 {
ij x1H16L yz
16 jjj H16L zzz
k x2 {
ij x1H17L yz
17 jjj H17L zzz
k x2 {
ij x1H18L yz
18 jjj H18L zzz
k x2 {
ij x1H19L yz
19 jjj H19L zzz
k x2 {
ij x1H20L yz
zz
20 jj
k
{
ij 0.758186601593 yz
j
z
k 0.395853396857 {
ij 0.786673895490 yz
j
z
k 0.382915782338 {
ij 0.808335559959 yz
j
z
k 0.365129119713 {
ij 0.829623091179 yz
j
z
k 0.346144074853 {
ij 0.850108783922 yz
j
z
k 0.330235800227 {
ij 0.867057510997 yz
j
z
k 0.320183781089 {
ij 0.878556796643 yz
j
z
k 0.315898578348 {
ij 0.884694665710 yz
j
z
k 0.315384225093 {
0.886940471283 y
jij
zz
k 0.316489556832 {
0.887038695732 y
jij
zz
k 0.317833861157 {
ij 0.886317953082 yz
j
z
k 0.318833504567 {
ij 0.885526587708 yz
j
z
k 0.319391371455 {
ij 0.884959544969 yz
j
z
k 0.319613272293 {
ij 0.884653101842 yz
j
z
k 0.319643028398 {
ij 0.884538377982 yz
j
z
k 0.319593068015 {
ij 0.884529978360 yz
j
z
k 0.319529452198 {
ij 0.884563268283 yz
j
z
k 0.319480717288 {
ij 0.884601456979 yz
j
z
k 0.319452706939 {
ij 0.884629490427 yz
j
z
k 0.319441084854 {
0.884645014784 y
jij
zz
k
{
ij 0.786673895490 yz
j
z
k 0.382915782338 {
ij 0.808335559959 yz
j
z
k 0.365129119713 {
ij 0.829623091179 yz
j
z
k 0.346144074853 {
ij 0.850108783922 yz
j
z
k 0.330235800227 {
ij 0.867057510997 yz
j
z
k 0.320183781089 {
ij 0.878556796643 yz
j
z
k 0.315898578348 {
ij 0.884694665710 yz
j
z
k 0.315384225093 {
ij 0.886940471283 yz
j
z
k 0.316489556832 {
0.887038695732 y
jij
zz
k 0.317833861157 {
0.886317953082 y
jij
zz
k 0.318833504567 {
ij 0.885526587708 yz
j
z
k 0.319391371455 {
ij 0.884959544969 yz
j
z
k 0.319613272293 {
ij 0.884653101842 yz
j
z
k 0.319643028398 {
ij 0.884538377982 yz
j
z
k 0.319593068015 {
ij 0.884529978360 yz
j
z
k 0.319529452198 {
ij 0.884563268283 yz
j
z
k 0.319480717288 {
ij 0.884601456979 yz
j
z
k 0.319452706939 {
ij 0.884629490427 yz
j
z
k 0.319441084854 {
ij 0.884645014784 yz
j
z
k 0.319439124922 {
0.884651081736 y
jij
zz
k
{
48
0.0284873
0.0216617
0.0212875
0.0204857
0.0169487
0.0114993
0.00613787
0.00224581
0.0013443
0.000999643
0.000791365
0.000567043
0.000306443
0.000114724
0.0000636158
0.0000487349
0.0000381887
0.0000280334
0.0000155244
6.06695 µ 10-6
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
La solución aproximada del sistema es:
i 0.884651081736 yz
z
P21 = jj
k 0.319441328730 {
Solución
b)
Clear@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
ecuaciones = 83 x1 2 − x2 2 , 3 x1 x2 2 − x1 3 − 1<;
è!!!! è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
ecuacionestrans = 9x2 ë 3 , H1 + x1 3 L ê H3 x1 L =;
d = 10.−5 ; p = 80.4, 0.7<;
seidel@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
Método de Seidel para sistemas de ecuaciones no lineales.
i 3 x12 - x22
yz i 0 y
zz = jj zz
f Hx1 , x2 L = jjjj
z
3
2
k -x1 + 3 x2 x1 - 1 { k 0 {
ij x1H0L yz i 0.4 y
zz
P0 = jjj H0L zzz = jj
k x2 { k 0.7 {
Ecuaciones preparadas para el método de Seidel.
ij x1HkL
jj
j HkL
k x2
Hx2 L
ij ÅÅÅÅÅÅÅÅ
yz
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
j è!!!!
zz
3
zz
yz jjjj
zz
zz = jj
zz
HkL 3
z jj $%%%%%%%%
Hx1 L +1
%HkL
%%%%%%%
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ%Å%% z
j
zz
j
{ j
Hx1 L
z
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
è!!!!ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
k
3
{
Hk-1L
Tabla de datos.
i
0
1
2
3
ij x1H0L
jj
j H0L
k x2
yz
zz
z
{
ij x1H1L yz
jj
z
j H1L zz
x
k 2 {
ij x1H2L yz
jj
z
j H2L zz
x
k 2 {
H3L
jij x1 zyz
jj
z
H3L z
k x2 {
Pi
0.400000000000 y
jij
zz
k 0.700000000000 {
0.404145188433 y
jij
zz
k 0.937672940468 {
ij 0.541365724591 yz
j
z
k 0.844641336143 {
ij 0.487653902791 yz
j
z
k 0.873392046155 {
Pi+1
0.404145188433 y
jij
zz
k 0.937672940468 {
0.541365724591 y
jij
zz
k 0.844641336143 {
ij 0.487653902791 yz
j
z
k 0.873392046155 {
ij 0.504253132956 yz
j
z
k 0.863597549558 {
49
∞Pi+1 - Pi ¥¶
0.237673
0.137221
0.0537118
0.0165992
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
4
5
6
7
8
9
H4L
jij x1 zyz
jj
z
H4L z
k x2 {
ij x1H5L yz
jj
z
j H5L zz
x
k 2 {
ij x1H6L yz
jj
z
j H6L zz
k x2 {
ij x1H7L yz
z
jj
j H7L zz
k x2 {
ij x1H8L yz
jj
z
j H8L zz
k x2 {
ij x1H9L yz
jj
z
j H9L zz
k x2 {
ij x1H10L yz
10 jjj H10L zzz
k x2 {
ij 0.504253132956 yz
j
z
k 0.863597549558 {
ij 0.498598277709 yz
j
z
k 0.866837719240 {
ij 0.500468990547 yz
j
z
k 0.865754970393 {
ij 0.499843865209 yz
j
z
k 0.866115585789 {
ij 0.500052066604 yz
j
z
k 0.865995347290 {
ij 0.499982646875 yz
j
z
k 0.866035423080 {
ij 0.500005784643 yz
j
z
k 0.866022064071 {
ij 0.498598277709 yz
j
z
k 0.866837719240 {
0.00565486
ij 0.500468990547 yz
j
z
k 0.865754970393 {
ij 0.499843865209 yz
j
z
k 0.866115585789 {
ij 0.500052066604 yz
j
z
k 0.865995347290 {
ij 0.499982646875 yz
j
z
k 0.866035423080 {
ij 0.500005784643 yz
j
z
k 0.866022064071 {
ij 0.499998071815 yz
j
z
k 0.866026517028 {
0.00187071
0.000625125
0.000208201
0.0000694197
0.0000231378
7.71283 µ 10-6
La solución aproximada del sistema es:
i 0.499998071815 yz
z
P11 = jj
k 0.866026517028 {
Solución
c)
Clear@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
ecuaciones = 8 x1 2 + x2 − 37, x1 − x2 2 − 5, x3 + x1 + x2 − 3<;
è!!!!!!!!!!!!!!! è!!!!!!!!!!!!!
ecuacionestrans = 9 37 − x2 , x1 − 5 , 3 − x1 − x2 =;
d = 10.−5 ; p = 85.0, 1.0, −1.0<;
seidel@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
Método de Seidel para sistemas de ecuaciones no lineales.
ij x12 + x2 - 37
yz i 0 y
jj
zz jjj zzz
j
zz = jj 0 zz
2
j
f Hx1 , x2 , x3 L = jj -x2 + x1 - 5
zz jj zz
jj
zz j z
k x1 + x2 + x3 - 3 { k 0 {
H0L
jij x1 zyz ij 5. yz
jj
zz j
z
P0 = jjjj x2H0L zzzz = jjjj 1. zzzz
z
jj
z j
j H0L zz jk -1. z{
k x3 {
50
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Ecuaciones preparadas para el método de Seidel.
###########
yz
i HkL y ij "################
37 - Hx2Hk-1L L
zz
jjj x1 zzz jjjj
zz
jj HkL zz jj
zz
jj x2 zz = jj "########
####
zz
jj
zz jj Hx1HkL########
L
5
zz
jj HkL zz jj
zz
j
HkL
HkL
x
k 3 { k -Hx1 L - Hx2 L + 3 z{
Tabla de datos.
i
0
1
ij x1H0L
jj
jj H0L
jj x2
jj
jj H0L
k x3
yz
zz
zz
zz
zz
zz
{
ij x1H1L yz
jj
z
jj H1L zzz
jj x2 zz
jj
z
jj H1L zzz
x
k 3 {
Pi
Pi+1
ij 5.00000000000 yz
jj
z
jj 1.00000000000 zzz
jj
zz
j
z
k -1.00000000000 {
ij 6.00000000000 yz
jj
z
jj 1.00000000000 zzz
jj
zz
j
z
k -4.00000000000 {
ij 6.00000000000 yz
jj
z
jj 1.00000000000 zzz
jj
zz
j
z
-4.00000000000
k
{
ij 6.00000000000 yz
jj
z
jj 1.00000000000 zzz
jj
zz
j
z
-4.00000000000
k
{
∞Pi+1 - Pi ¥¶
3.
0.
La solución aproximada del sistema es:
6.00000000000 y
jij
zz
j
j
P2 = jj 1.00000000000 zzzz
jj
zz
k -4.00000000000 {
Solución
d)
Clear@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
x1 2
ecuaciones = 9 x1 2 + 2 x2 2 − x2 − 2 x3 , x1 2 − 8 x2 2 + 10 x3 , − 1=;
7 x3 x2
x1 2
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
ecuacionestrans = 9 2 x3 + x2 − 2 x2 2 , H10 x3 + x1 2 L ê 8 , =;
7 x2
−5
d = 10. ; p = 80.5, 0.5, 0.1<;
seidel@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
51
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Método de Seidel para sistemas de ecuaciones no lineales.
ij x12 + 2 x22 - x2 - 2 x3 yz
zz ij 0 yz
jj
zz jj zz
jj 2
2
zz = jj 0 zz
f Hx1 , x2 , x3 L = jjj x1 - 8 x2 + 10 x3
zz jj zz
jj
zz j z
jj x12
z k0 {
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
Å
1
{
k 7 x2 x3
H0L
jij x1 zyz ji 0.5 zy
jj
zz j
z
P0 = jjjj x2H0L zzzz = jjjj 0.5 zzzz
j
z
jj
z
j H0L zz jk 0.1 z{
k x3 {
Ecuaciones preparadas para el método de Seidel.
################
######
ij "################################
Hk-1L 2
Hk-1L ################
L + 2 Hx3Hk-1L L
j -2 Hx2 L + Hx2
ij x1HkL yz jjj
jj
z j
2 ################
##########
jj HkL zzz jjjj "################
Hx1HkL L +10 Hx3Hk-1L L
jj x2 zz = jj ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
è!!!!
jj
z
2 2
jj HkL zzz jjjj
2
Hx1HkL L
k x3 { jjj ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅHkLÅÅÅÅÅ
7
Hx
k
2 L
zyz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
z
{
Tabla de datos.
i
0
1
2
3
4
5
ij x1H0L
jj
jj H0L
jj x2
jj
jj H0L
k x3
yz
zz
zz
zz
zz
zz
{
ij x1H1L yz
z
jj
jj H1L zzz
jj x2 zz
z
jj
jj H1L zzz
x
k 3 {
ij x1H2L yz
jj
z
jj H2L zzz
jjj x2 zzz
jj
z
j H2L zz
k x3 {
ij x1H3L yz
jj
z
jj H3L zzz
jj x2 zz
jj
z
jj H3L zzz
x
k 3 {
H4L
jij x1 zyz
z
jj
jj x H4L zzz
jj 2 zz
jj
z
j H4L zz
k x3 {
i H5L y
jjj x1 zzz
jj H5L zz
jj x2 zz
jj
z
jj H5L zzz
k x3 {
Pi
Pi+1
ij 0.500000000000 yz
jj
z
jj 0.500000000000 zzz
jj
zz
j
z
k 0.100000000000 {
ij 0.447213595500 yz
jj
z
jj 0.387298334621 zzz
jj
zz
j
z
k 0.0737711113563 {
ij 0.447213595500 yz
jj
z
jj 0.387298334621 zzz
jj
zz
j
z
k 0.0737711113563 {
ij 0.484603505284 yz
jj
z
jj 0.348667404358 zzz
jj
zz
j
z
k 0.0962196369040 {
ij 0.545865148587 yz
jj
z
jj 0.396888701257 zzz
jj
zz
j
z
0.107251644208
k
{
0.544381031358 y
jij
z
jj 0.413652503526 zzz
jj
zz
jj
zz
k 0.102346329269 {
ij 0.525479185809 yz
jj
z
jj 0.403049573163 zzz
jj
zz
j
z
k 0.0978711138794 {
52
ij 0.484603505284 yz
jj
z
jj 0.348667404358 zzz
jj
zz
j
z
k 0.0962196369040 {
ij 0.545865148587 yz
jj
z
jj 0.396888701257 zzz
jj
zz
j
z
k 0.107251644208 {
ij 0.544381031358 yz
jj
z
jj 0.413652503526 zzz
jj
zz
j
z
0.102346329269
k
{
0.525479185809 y
jij
z
jj 0.403049573163 zzz
jj
zz
jj
zz
k 0.0978711138794 {
ij 0.523348721283 yz
jj
z
jj 0.395696383428 zzz
jj
zz
j
z
k 0.0988831320244 {
∞Pi+1 - Pi ¥¶
0.112702
0.0386309
0.0612616
0.0167638
0.0189018
0.00735319
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
6
7
8
9
H6L
jij x1 zyz
jj
z
jj x H6L zzz
jj 2 zz
jj
z
j H6L zz
k x3 {
ij x1H7L yz
z
jj
jj H7L zzz
jj x2 zz
zz
jj
jj H7L zz
k x3 {
ij x1H8L yz
jj
z
jj H8L zzz
jj x2 zz
z
jj
jj H8L zzz
x
k 3 {
ij x1H9L yz
jj
z
jj H9L zzz
jjj x2 zzz
jj
z
j H9L zz
k x3 {
ij x1H10L yz
jj
zz
j
z
10 jjjj x2H10L zzzz
jj
z
j H10L zz
x
k 3 {
H11L
jij x1 zyz
jj
zz
11 jjjj x2H11L zzzz
jj
z
j H11L zz
k x3 {
ij x1H12L yz
zz
jj
j
z
12 jjjj x2H12L zzzz
jj
z
j H12L zz
x
k 3 {
ij x1H13L yz
zz
jj
j
z
13 jjjj x2H13L zzzz
z
jj
j H13L zz
x
k 3 {
ij x1H14L yz
zz
jj
j
z
14 jjjj x2H14L zzzz
jj
z
j H14L zz
k x3 {
ij x1H15L yz
jj
zz
j
z
15 jjjj x2H15L zzzz
z
jj
j H15L zz
x
k 3 {
H16L
jij x1 zyz
zz
jj
16 jjjj x2H16L zzzz
jj
z
j H16L zz
k x3 {
ij x1H17L yz
jj
zz
j
z
17 jjjj x2H17L zzzz
jj
z
j H17L zz
x
k 3 {
ij x1H18L yz
jj
zz
j
z
18 jjjj x2H18L zzzz
jj
z
j H18L zz
x
k 3 {
0.523348721283 y
jij
z
jj 0.395696383428 zzz
jj
zz
jj
zz
k 0.0988831320244 {
ij 0.529444418009 yz
jj
z
jj 0.398299935979 zzz
jj
zz
j
z
k 0.100538516128 {
ij 0.531122669667 yz
jj
z
jj 0.401166494662 zzz
jjj
zzz
k 0.100453941902 {
ij 0.529344184427 yz
jj
z
jj 0.400740671227 zzz
jj
zz
j
z
k 0.0998883480747 {
ij 0.528517924223 yz
jj
z
jj 0.399720945938 zzz
jj
zz
j
z
0.0998307869756
k
{
0.528988516554 y
jij
z
jj 0.399708756534 zzz
jj
zz
jj
zz
k 0.100011694612 {
ij 0.529337289125 yz
jj
z
jj 0.400049201939 zzz
jj
zz
j
z
k 0.100058394353 {
0.529232711291 y
jij
z
jj 0.400104862229 zzz
jj
zz
jj
zz
0.100004948396
k
{
ij 0.529100139352 yz
jj
z
jj 0.399999443972 zzz
jj
zz
j
z
k 0.0999811952175 {
ij 0.529115038580 yz
jj
z
jj 0.399964791611 zzz
jj
zz
j
z
0.0999954888614
k
{
ij 0.529161695776 yz
jj
z
jj 0.399994841981 zzz
jjj
zzz
k 0.100005611105 {
ij 0.529163790303 yz
jj
z
jj 0.400011004226 zzz
jj
zz
j
z
k 0.100002362081 {
0.529148487085 y
jij
z
jj 0.400003397204 zzz
jj
zz
jj
zz
0.0999984797779
k
{
53
0.529444418009 y
jij
z
jj 0.398299935979 zzz
jj
zz
jj
zz
k 0.100538516128 {
ij 0.531122669667 yz
jj
z
jj 0.401166494662 zzz
jj
zz
j
z
k 0.100453941902 {
ij 0.529344184427 yz
jj
z
jj 0.400740671227 zzz
jj
zz
j
z
k 0.0998883480747 {
ij 0.528517924223 yz
jj
z
jj 0.399720945938 zzz
jj
zz
j
z
k 0.0998307869756 {
ij 0.528988516554 yz
jj
z
jj 0.399708756534 zzz
jj
zz
j
z
0.100011694612
k
{
0.529337289125 y
jij
z
jj 0.400049201939 zzz
jj
zz
jj
zz
k 0.100058394353 {
ij 0.529232711291 yz
jj
z
jj 0.400104862229 zzz
jj
zz
j
z
k 0.100004948396 {
0.529100139352 y
jij
z
jj 0.399999443972 zzz
jj
zz
jj
zz
0.0999811952175
k
{
ij 0.529115038580 yz
jj
z
jj 0.399964791611 zzz
jj
zz
j
z
k 0.0999954888614 {
ij 0.529161695776 yz
jj
z
jj 0.399994841981 zzz
jj
zz
j
z
0.100005611105
k
{
ij 0.529163790303 yz
jj
z
jj 0.400011004226 zzz
jjj
zzz
k 0.100002362081 {
ij 0.529148487085 yz
jj
z
jj 0.400003397204 zzz
jj
zz
j
z
k 0.0999984797779 {
0.0060957
0.00286656
0.00177849
0.00101973
0.000470592
0.000348773
0.000104578
0.000132572
0.0000346524
0.0000466572
0.0000161622
0.0000153032
0.529145463186 y
jij
z
jj 0.399996831080 zzz 6.56612 µ 10-6
jj
zz
jj
zz
0.0999989783686
k
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
La solución aproximada del sistema es:
P19
ij 0.529145463186 yz
j
z
= jjjj 0.399996831080 zzzz
jj
zz
k 0.0999989783686 {
à Problema 12. Dado el siguiente problema no lineal
f1 Hx1 , x2 , x3 L = x1 2 + x2 - 37 = 0,
f1 Hx1 , x2 , x3 L = x1 - x2 2 - 5 = 0.
f1 Hx1 , x2 , x3 L = x1 + x2 + x3 - 3 = 0
Calcular la solución aproximada del sistema empleando el método de Seidel
H0L
T
H0L T
comenzando en el punto: P0 = IxH0L
1 , x2 , x3 M = H0, 0, 0L , e iterando hasta que
∞Pi+1 - Pi ¥¶ § 5 µ 10-5 .
Clear@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
ecuaciones = 8x1 2 + x2 − 37, x1 − x2 2 − 5, x1 + x2 + x3 − 3<;
è!!!!!!!!!!!!!!!!!! è!!!!!!!!!!!!!
ecuacionestrans = 9 −x2 + 37 , x1 − 5 , 3 − x1 − x2 =;
d = 10.−5 ; p = 80., 0., 0.<;
seidel@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
Método de Seidel para sistemas de ecuaciones no lineales.
ij x12 + x2 - 37
yz i 0 y
jj
zz jjj zzz
j
zz = jj 0 zz
2
f Hx1 , x2 , x3 L = jjj -x2 + x1 - 5
zz jj zz
jj
zz j z
k x1 + x2 + x3 - 3 { k 0 {
ij x1H0L yz i 0. y
jj
zz jj zz
j
z
P0 = jjjj x2H0L zzzz = jjjj 0. zzzz
jj
z j z
j H0L zz jk 0. z{
k x3 {
Ecuaciones preparadas para el método de Seidel.
###########
HkL
i "################Hk-1L
yz
zz
jji x1 zyz jjjj 37 - Hx2 L
zz
jj
zz jj
zz
jj x HkL zz = jj "########
####
zz
jj 2 zz jj Hx HkL########
zz
jj
zz jj
1 L-5
zz
j HkL z jj
HkL
HkL
k x3 { k -Hx1 L - Hx2 L + 3 z{
Tabla de datos.
i
0
H0L
jji x1
jj
jj x H0L
jj 2
jj
j H0L
k x3
yz
zz
zz
zz
zz
zz
{
Pi
Pi+1
0
jij zyz
jj 0 zz
jj zz
jj zz
k0 {
6.08276253030 y
jij
z
jj 1.04055875870 zzz
jj
zz
jj
zz
-4.12332128899
k
{
54
∞Pi+1 - Pi ¥¶
6.08276
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
1
2
3
4
H1L
jij x1 zyz
jj
z
jj x H1L zzz
jj 2 zz
jj
z
j H1L zz
k x3 {
ij x1H2L yz
z
jj
jj H2L zzz
jj x2 zz
zz
jj
jj H2L zz
k x3 {
ij x1H3L yz
jj
z
jj H3L zzz
jj x2 zz
z
jj
jj H3L zzz
x
k 3 {
ij x1H4L yz
jj
z
jj H4L zzz
jjj x2 zzz
jj
z
j H4L zz
k x3 {
6.08276253030 y
jij
z
jj 1.04055875870 zzz
jj
zz
jj
zz
k -4.12332128899 {
ij 5.99661915093 yz
jj
z
jj 0.998308144277 zzz
jj
zz
j
z
k -3.99492729521 {
ij 6.00014098632 yz
jj
z
jj 1.00007049068 zzz
jj
zz
j
z
k -4.00021147700 {
ij 5.99999412577 yz
jj
z
jj 0.999997062883 zzz
jj
zz
j
z
k -3.99999118866 {
5.99661915093 y
jij
z
jj 0.998308144277 zzz
jj
zz
jj
zz
k -3.99492729521 {
ij 6.00014098632 yz
jj
z
jj 1.00007049068 zzz
jj
zz
j
z
k -4.00021147700 {
ij 5.99999412577 yz
jj
z
jj 0.999997062883 zzz
jj
zz
j
z
k -3.99999118866 {
ij 6.00000024476 yz
jj
z
jj 1.00000012238 zzz
jj
zz
j
z
k -4.00000036714 {
La solución aproximada del sistema es:
ij 6.00000024476 yz
j
z
P5 = jjjj 1.00000012238 zzzz
jj
zz
k -4.00000036714 {
55
0.128394
0.00528418
0.000220288
9.17848 µ 10-6
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
5. Método de Newton
5.1 Introducción
En los métodos del Punto Fijo y de Seidel es necesario convertir el problema a un
problema de punto fijo convergente, si se resuelven algebraicamente las ecuaciones
iniciales para las variables del problema. Sin embargo, es dificil encontrar una
transformación de las ecuaciones para que el problema sea convergente. Con el método de
Newton se puede obtener la solución de un sistema de ecuaciones no lineales de una forma
más general.
Para construir un algoritmo que lleve a un método de Punto Fijo apropiado en el
caso unidimensional, se obtiene una función f con la propiedad de que
gHxL = x - f HxL f HxL
(5)
da una convergencia cuadrática en el punto fijo p de la función g. A partir de esta condición
1
el método de Newton evoluciona al seccionar f HxL = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ , suponiendo que f £ ∫ 0.
f £ HxL
La aplicación de un procedimiento semejante en el caso n - dimensional incluye una
matriz
a1 n HxL y
ij a11 HxL a12 HxL
zz
jj
zz
jj a21 HxL a22 HxL
a
HxL
2
n
zz
A HxL = jjj
... ....
zz
jj ...
zz
...
...
jj
zz
ann HxL {
k an1 HxL an2 HxL
(6)
donde todos los elementos ai j HxL son una función de n en . Esto requiere obtener AHxL de
modo que
56
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
GHxL = x - AHxL-1 FHxL
(7)
de la convergencia cuadrática a la solución de FHxL = 0, suponiendo que AHxL es no singular
en el punto fijo p de G.
ô Teorema 3.
Suponiendo que
p es una solución de GHxL = x para alguna función
G = Hg1 , g2 , ..., gn Lt de n en n . Si existe un número d > 0 con las propiedades:
∑gi
(i) ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ sea continua en
∑x j
Nd = 8x ê ∞x - p¥ d<, i = 1, 2, .., n ; j = 1, 2, ..., n
∑ gi HxL
∑ gi HxL
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ sea continua y … ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ … M para alguna contante M y siempre que
(ii) ÅÅÅÅÅÅÅÅ
H∑x j ∑xk L
H∑x j ∑xk L
2
2
x œ Nd i = 1, 2, ...., n, j = 1, 2, ..., n, k = 1, 2, ..., n.
∑gi H pL
(iii) ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ = 0 , para i = 1, 2, .. n y k = 1, 2, ..., n.
∑xk
`
entonces existe un número d § d tal que la sucesión generada por xHkL = G HxHk-1L L con-
verge cuadráticamente a p para cualquier elección de xH0L
a condición de que
»» xH0L - p »» d. Incluso
n M
»» xHkL - p »»∂ § ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ »» xHk-1L - p »»2∂ , k ¥ 1.
2
2
Para utilizar el teorema anterior se supone una matriz AHxL de n µ n de funciones de
n a en la forma de la ecuación matricial, cuyos elementos específicos se escogerán más
adelante. Suponiendo además que AHxL es no singular cerca de una solución p de FHxL = 0, y
57
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
denotando con bi j HxL el elemento AHxL-1 en la i - ésima fila y la j - ésima columna.
Dado que GHxL = x - HAL-1 FHxL, se tiene:
bi j HxL f j HxL,
gi HxL = xi - ‚
j=1
n
1 - S Ibi j HxL ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅjÅ HxL + ÅÅÅÅ∑xÅÅÅÅikÅjÅ HxL f j HxLM i = k
∑xk
n
∑ gi HxL
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 9
∑ xk
(8)
∑f
∑b
j=1
- S Ibi j HxL
n
j=1
∑ fj
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ
∑xk
HxL +
∑b
ÅÅÅÅ∑xÅÅÅÅikÅjÅ
HxL f j HxLM
(9)
i∫k
∑gi H pL
El teorema implica que se necesita ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ = 0 para toda i = 1, 2, .., n y toda
∑xk
k = 1, 2, .., n. Esto significa que, para toda i = k,
n
∑ fj
0 = 1 - ‚ bi j H pL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H pL,
∑ xi
j=1
(10)
así que
n
∑ fj
‚ bi j H pL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H pL = 1.
∑ xi
j=1
(11)
Cuando k ∫ i,
n
∑ fj
0 = - ‚ bi j H pL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H pL,
∑ xk
j=1
(12)
así que
n
∑ fj
‚ bi j H pL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H pL = 0.
∑ xk
j=1
(13)
Al definir la matriz JHxL por medio de
58
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
∑ f1
∑ f1
∑ f1
ij ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ HxL ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ HxL
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ HxL yz
∑x2
∑xn
jj ∑x1
zz
jj ∑ f
zz
∑ f2
∑ f2
jj ÅÅÅÅÅÅÅÅ2Å HxL ÅÅÅÅ
zz
Å
ÅÅÅ
Å
HxL
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
Å
HxL
jj ∑x1
zz
∑x
∑x
2
n
j
zz
J HxL = j
... ....
jj ...
zz
...
...
jj
zz
jj
zz
j ∑ fn
z
∑ fn
∑ fn
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
Å
HxL
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
Å
HxL
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
Å
HxL
∑x2
∑xn
k ∑x1
{
(14)
se requiere que
AH pL-1 JH pL = I, la matriz identidad,
(15)
De modo que
AH pL = JH pL
(16)
En consecuencia, una elección apropiada de AHxL es AHxL = JHxL dado que entonces
se cumple la condición (iii) del teorema.
La función G está definida por
GHxL = x - JHxL-1 FHxL,
(17)
y el procedimiento de la iteración funcional pasa de seleccionar xH0L a generar para k ¥ 1
xHkL = G IxHk-1L = xHk-1L - JHxHk-1L L
-1
FHxHk-1L L M
(18)
A esto se le llama método de Newton para sistemas no lineales y generalmente se
espera que dé una convergencia cuadrática, siempre y cuando se conozca un valor inicial
suficientemente preciso y exista JH pL-1 . A la matriz JHxL se le llama matriz jacobiana.
La debilidad del método de Newton se debe a la necesidad de calcular e invertir la
matriz JHxL en cada paso. En la práctica, el cálculo explícito de J HxL-1 se evita efectuando
la operación en dos pasos. Primero, encontrando un vector
59
y que satisfaga
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
JHxHk-1L L y = -FHxHk-1L L.
Una vez hecho esto, se obtiene la nueva aproximación xHkL agregando y a xHk-1L .
5.2 Pseudocódigo
è Algoritmo 3. Método de Newton para sistemas 2 ¥ 2
El pseudocódigo del algoritmo que resuelve un sistema de ecuaciones no lineales de
2 ecuaciones con 2 incognitas mediante el método de Newton es:
Algoritmo Newton 2 × 2
Input If1 Hx1 , x2 L, f2 Hx1 , x2 L, H x1H0L , x2H0L L , n, errorM
T
(* Se inicializan las variables *)
p H x1H0L x2H0L L
F 8f1 Hx1 , x2 L, f2 Hx1 , x2 L<
T
∑f1 Hx1 ,x2 L
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
jij ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
∑x1
J jjjj ∑f Hx ,x L
2 1 2
j ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
k ∑x1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
1 1 2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ zyz
∑x2
zz
zz
∑f2 Hx1 ,x2 L z
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
Å
∑x2
{
∑f Hx ,x L
For k = 1, ..., n do
H* Se evalúa la función F y la matriz jacobiana en el punto *L
ij f1 H x1Hk-1L , x2Hk-1L
f_valor jjj
Hk-1L
Hk-1L
k f2 H x1 , x2
L yz
zz
z
L{
ij j11 H x1Hk-1L , x2Hk-1L L j12 H x1Hk-1L , x2Hk-1L
j_valor jjj
Hk-1L
Hk-1L
L j22 H x1Hk-1L , x2Hk-1L
k j21 H x1 , x2
(* Cálculo del vector y *)
- f_valor
y ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ
j_valor
p p +y
End
Return Hx HkL ª HpLT L
Output
60
Lyz
zz
z
L{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
è Algoritmo 4. Método de Newton para sistemas n ¥ n
El pseudocódigo del algoritmo que resuelve un sistema de ecuaciones no lineales
mediante el método de Newton es:
Algoritmo Newton
T
Input I8f Hx1 , ..., xn L<1 n , H x1H0L x2H0L ... xnH0L L , n, errorM
(* Se inicializan las variables *)
H0L LT
p H x1H0L x2H0L ... xm
F 8f Hx1 , ..., xn L<1 n
∑f1
∑f1
∑f1
ij ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ HxL
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ HxL yzz
∑x2
∑xn
jj ∑xÅÅÅÅ1Å HxL ÅÅÅÅ
zz
jj
zz
jj ∑f2
∑f2
∑f2
jj ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ HxL ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ HxL
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ HxL zzzz
∑x1
∑x2
∑xn
j
j
zz Hx ª Hx1 , ..., xn LL
J HxL = j
... ....
jj ...
...
... zzzz
jj
jj
zz
jj ∑fn
zz
∑fn
∑fn
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
Å
HxL
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
Å
HxL
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
Å
HxL
∑x2
∑xn
k ∑x1
{
p_ant p
For k = 1, ..., n do
H* Se evalúa la función F y la matriz jacobiana en el punto *L
ij f1 H p1Hk-1L , p2Hk-1L , ..., pnHk-1L L yz
jj
zz
jj
z
Hk-1L
Hk-1L
, ..., pnHk-1L L zzzz
jjj f2 H p1 , p2
zz
f_valor jj
jj . . . . . . . . . . . . . . . .
zz
jj
zz
z
jj
Hk-1L
Hk-1L
Hk-1L z
, ..., pn L {
k fn H p1 , p2
ij j11 H p1Hk-1L , ..., pnHk-1L L ... j1 n H p1Hk-1L , ..., pnHk-1L
jj
jj
jj j21 H p1Hk-1L , ..., pnHk-1L L ... j2 n H p1Hk-1L , ..., pnHk-1L
j_valor jjjj
jj
...
...
...
jj
jj
Hk-1L
Hk-1L
Hk-1L
L ... jn n H p1 , ..., pnHk-1L
k jn 1 H p1 , ..., pn
(* Cálculo del vector y *)
- f_valor
y ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ
j_valor
pp+y
(* Cálculo de la norma de la distancia entre los dos puntos*)
error »» p - p_ant »»¶
p_ant p
If Herror § error_iniL do
Break
End
End
Return Hx HkL ª HpLT L
Output
61
L yz
zz
z
L zzzz
zz
zz
zz
zz
z
L{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
5.3 Problemas
à Problema 13. Considérese el sistema no lineal siguiente,
f1 Hx, yL = x2 + y2 - 2 = 0
(circunferencia)
f2 Hx, yL = x2 - y - 0.5 x + 0.1 = 0
(parábola).
a)
Usar el método de Newton comenzando en el punto P0 = H p0 , q0 L= H1.2, 0.8L y
calcular los puntos P1 y P2 .
b)
Empleando el método de Newton y comenzando en el punto
P0 = H p0 , q0 L= H-0.8, 1.2L, calcular los puntos P1 y P2 .
Solución
Clear@f1, f2, p, y1, y2, g1, g2, gD;
f1 = x2 + y2 − 2;
f2 = x2 − y − 0.5 x + 0.1;
è!!!!!!!!!!!!!
y1 = 2 − x2 ;
y2 = x2 − 0.5 x + 0.1;
p = 81.2, 0.8<;
newtonRaphsonNoLineal@f1, f2, p, 2, 0.2D;
Print@"Representación de las funciones",
"\n\t f1 Hx,yL = ", f1, "\n\t f2 Hx,yL = ", f2D;
è!!!! è!!!!
g1 = Plot AEvaluateA8y1, −y1<, 9x, − 2 , 2 =E,
PlotStyle −> 88Thickness @0.010D, RGBColor @0, 0, 1D<<,
AxesLabel −> 8"X", "Y"<, DisplayFunction −> Identity E;
è!!!! è!!!!
g2 = Plot AEvaluateA8y2<, 9x, − 2 , 2 =E,
PlotStyle −> 88Thickness @0.010D, RGBColor @1, 0, 0D<<,
AxesLabel −> 8"X", "Y"<, DisplayFunction −> Identity E;
g = Show @g1, g2, AxesLabel −> 8"X", "Y"<,
AspectRatio −> Automatic, DisplayFunction −> $DisplayFunctionD;
p = 8−0.8, 1.2<;
newtonRaphsonNoLineal@f1, f2, p, 2, 0.2D;
Print@"Representación de las funciones",
"\n\t f1 Hx, yL = ", f1, "\n\t f2 Hx, yL = ", f2D;
è!!!! è!!!!
g1 = Plot AEvaluateA8y1, −y1<, 9x, − 2 , 2 =E,
PlotStyle −> 88Thickness @0.010D, RGBColor @0, 0, 1D<<,
AxesLabel −> 8"X", "Y"<, DisplayFunction −> Identity E;
è!!!! è!!!!
g2 = Plot AEvaluateA8y2<, 9x, − 2 , 2 =E,
PlotStyle −> 88Thickness @0.010D, RGBColor @1, 0, 0D<<,
AxesLabel −> 8"X", "Y"<, DisplayFunction −> Identity E;
g = Show @g1, g2, AxesLabel −> 8"X", "Y"<,
AspectRatio −> Automatic, DisplayFunction −> $DisplayFunctionD;
62
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Método de Newton- Raphson para sistemas de ecuaciones no lineales.
f1 Hx,yL = x 2 + y2 - 2
f2 Hx,yL = x 2 - 0.5 x - y + 0.1
i x H0L y i 1.2 yz
z
P0 = jj H0L zz = jj
k y { k 0.8 {
La función vectorial y la matriz jacobiana son:
i x 2 + y2 - 2
zyz
F Hx, yL = jj 2
k x - 0.5 x - y + 0.1 {
2y y
i2x
zz
J Hx, yL = jj
k 2 x - 0.5 -1 {
J
-1
1
ij - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
x+1. y
jj -4 y x-2
Hx, yL = jjj
0.5-2 x
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
-4 y x-2 x+1. y
k ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
2y
- ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ yz
-4 y x-2 x+1. y z
zz
zz
2x
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅ
Å
-4 y x-2 x+1. y
{
Iteración i = 0.
i x H0L y i 1.20000 yz
z
P0 = jj H0L zz = jj
k y { k 0.800000 {
i 0.0800000 yz
z
F HP0 L = F H1.2, 0.8L = jj
k 0.140000 {
i 2.40000 1.60000
J HP0 L = J H1.2, 0.8L = jj
k 1.90000 -1.00000
yz
z
{
Se resuelve el sistema lineal J HP0 L DP = -F HP0 L:
ij 2.4 1.6 yz ij Dx yz
i 0.08 yz
j
z.j
z = - jj
z
k 1.9 -1 { k Dy {
k 0.14 {
i Dx yz
i 0.183824 0.294118 yz ji 0.08 yz
z = - jj
z.j
z
DP = jj
k Dy {
k 0.349265 -0.441176 { k 0.14 {
i Dx yz ij -0.0558824 yz
z=j
z
DP = jj
k Dy { k 0.0338235 {
El siguiente punto de la iteración es:
P1 = P0 + DP
i 1.2 zy ji -0.0558824 zy
z+j
z=
P1 = jj
k 0.8 { k 0.0338235 {
63
1.14412 y
jij
zz
k 0.833824 {
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Iteración i = 1.
i x H1L y i 1.14412 yz
z
P1 = jj H1L zz = jj
k y { k 0.833824 {
i 0.00426687 yz
z
F HP1 L = F H1.14412, 0.833824L = jj
k 0.00312284 {
i 2.28824 1.66765
J HP1 L = J H1.14412, 0.833824L = jj
k 1.78824 -1.00000
yz
z
{
Se resuelve el sistema lineal J HP1 L DP = -F HP1 L:
ij 2.28824 1.66765 yz ij Dx yz
i 0.00426687 yz
z.j
z = - jj
z
j
k 1.78824 -1
{ k Dy {
k 0.00312284 {
0.316419 y i 0.00426687 y
i Dx yz
i 0.18974
zz.jj
zz
z = - jj
DP = jj
Dy
0.339299
-0.434169 { k 0.00312284 {
k
{
k
i Dx yz ij -0.00179772 yz
z=j
z
DP = jj
k Dy { k -0.0000919057 {
El siguiente punto de la iteración es:
P2 = P1 + DP
i 1.14412 yz ij -0.00179772 yz ij 1.14232 yz
z+j
z=j
z
P2 = jj
k 0.833824 { k -0.0000919057 { k 0.833732 {
Tabla de datos.
i
0
1
i
0
1
Pi
J HPi L DP = -F HPi L
ij 1.2 zy
ij 2.4 1.6 yz ji Dx yz
i 0.08 yz
j
z
j
z.j
z = - jj
z
0.8
1.9
-1
Dy
k
{
k
{k
{
k 0.14 {
ij 1.14412 zy ij 2.28824 1.66765 zy ji Dx zy
i 0.00426687 zy
j
z j
z.j
z = - jj
z
k 0.833824 { k 1.78824 -1
{ k Dy {
k 0.00312284 {
Pi
i 1.2 zy
jj
z
k 0.8 {
ij 1.14412 yz
j
z
k 0.833824 {
i Dx yz
z
DP = jj
Pi+1 = Pi + DP
k Dy {
ij -0.0558824 yz
ij 1.14412 zy
j
z
j
z
k 0.0338235 {
k 0.833824 {
ij -0.00179772 yz ij 1.14232 yz
j
z j
z
k -0.0000919057 { k 0.833732 {
La solución aproximada del sistema es:
i 1.14232 yz
z
P2 = jj
k 0.833732 {
64
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Representación de las funciones
f1 Hx,yL = x 2 + y2 - 2
f2 Hx,yL = x 2 - 0.5 x - y + 0.1
Y
2
1
-1 -0.5
0.5 1
X
-1
Método de Newton- Raphson para sistemas de ecuaciones no lineales.
f1 Hx,yL = x 2 + y2 - 2
f2 Hx,yL = x 2 - 0.5 x - y + 0.1
i x H0L y i -0.8 yz
z
P0 = jj H0L zz = jj
k y { k 1.2 {
La función vectorial y la matriz jacobiana son:
yz
i x 2 + y2 - 2
z
F Hx, yL = jj 2
k x - 0.5 x - y + 0.1 {
2y y
i2x
zz
J Hx, yL = jj
k 2 x - 0.5 -1 {
1
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
jij - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
-4 y x-2 x+1. y
J -1 Hx, yL = jjjj
0.5-2 x
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
-4 y x-2 x+1. y
k ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
2y
- ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ yz
-4 y x-2 x+1. y z
zz
zz
2x
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅ
Å
-4 y x-2 x+1. y
{
Iteración i = 0.
i x H0L y i -0.800000 yz
z
P0 = jj H0L zz = jj
k y { k 1.20000
{
i 0.0800000 zy
z
F HP0 L = F H-0.8, 1.2L = jj
k -0.0600000 {
i -1.60000 2.40000
J HP0 L = J H-0.8, 1.2L = jj
k -2.10000 -1.00000
65
yz
z
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Se resuelve el sistema lineal J HP0 L DP = -F HP0 L:
-1.6 2.4 y i Dx y
0.08 y
jij
zz.jj
zz = - jij
zz
k -2.1 -1 { k Dy {
k -0.06 {
i -0.150602 -0.361446 yz ji 0.08 zy
i Dx yz
z = - jj
z.j
z
DP = jj
-0.240964 { k -0.06 {
k Dy {
k 0.316265
i Dx yz ij -0.00963855 yz
z=j
z
DP = jj
k Dy { k -0.039759
{
El siguiente punto de la iteración es:
P1 = P0 + DP
i -0.8 yz ij -0.00963855 yz ij -0.809639 yz
z+j
z=j
z
P1 = jj
k 1.2 { k -0.039759
{ k 1.16024
{
Iteración i = 1.
i x H1L y i -0.809639 yz
z
P1 = jj H1L zz = jj
k y { k 1.16024
{
i 0.00167368 yz
z
F HP1 L = F H-0.809639, 1.16024L = jj
k 0.0000929017 {
i -1.61928 2.32048
J HP1 L = J H-0.809639, 1.16024L = jj
k -2.11928 -1.00000
yz
z
{
Se resuelve el sistema lineal J HP1 L DP = -F HP1 L:
-1.61928 2.32048 y i Dx y
0.00167368 y
jij
zz.jj
zz = - jij
zz
k -2.11928 -1
{ k Dy {
k 0.0000929017 {
i Dx yz
i -0.152975 -0.354975 yz ji 0.00167368 yz
z = - jj
z.j
z
DP = jj
Dy
-0.247709 { k 0.0000929017 {
k
{
k 0.324196
i Dx yz ij 0.000289009 yz
z=j
z
DP = jj
k Dy { k -0.000519589 {
El siguiente punto de la iteración es:
P2 = P1 + DP
i -0.809639 yz ij 0.000289009 yz ij -0.80935 yz
z+j
z=j
z
P2 = jj
k 1.16024
{ k -0.000519589 { k 1.15972 {
Tabla de datos.
66
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
i
0
1
i
0
1
Pi
-0.8
ij
zzy
j
k 1.2 {
ij -0.809639 yz
j
z
k 1.16024
{
Pi
ij -0.8 zy
j
z
k 1.2 {
ij -0.809639 yz
j
z
k 1.16024
{
J HPi L DP = -F HPi L
-1.6
2.4 y i Dx y
0.08 y
jij
zz.jj
zz = - jji
zz
k -2.1 -1 { k Dy {
k -0.06 {
ij -1.61928 2.32048 yz ij Dx yz
i 0.00167368 yz
j
z.j
z = - jj
z
-2.11928
-1
Dy
k
{k
{
k 0.0000929017 {
i Dx yz
z
DP = jj
k Dy {
ij -0.00963855 zy
j
z
k -0.039759
{
0.000289009
ij
yz
j
z
k -0.000519589 {
Pi+1 = Pi + DP
ij -0.809639 yz
j
z
k 1.16024
{
-0.80935
ij
yz
j
z
k 1.15972 {
La solución aproximada del sistema es:
i -0.80935 zy
z
P2 = jj
k 1.15972 {
Representación de las funciones
f1 Hx, yL = x 2 + y2 - 2
f2 Hx, yL = x 2 - 0.5 x - y + 0.1
Y
2
1
-1 -0.5
0.5 1
X
-1
à Problema 14. Sean la hipérbola 3 x2 - 2 y2 - 1 = 0 y la elipse de ecuación
x2 - 2 x + y2 + 2 y - 8 = 0.
Se pide:
a)
Representar gráficamente los puntos de corte de ambas curvas.
b)
Aproximar cada uno de los puntos de corte de abscisa positiva mediante el
método de Newton-Raphson para sistemas, comenzando a iterar en los puntos
P0 = Hx0 , y0 L = H1.5, 1.5L,
67
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
P0 = Hx0 , y0 L = H2.0, -3.0L,
y calculando las tres primeras iteraciones en cada caso (puntos P1 , P2 , y P3 ).
Solución
<< Graphics`ImplicitPlot`;
Clear@x, y, f1, f2, p, g1, g2, g, p, lD;
f1 = 3 x2 − 2 y2 − 1;
f2 = x2 − 2 x + y2 + 2 y − 8;
Print@"Representación de las funciones",
"\n\t f1 Hx, yL = ", f1, "\t HhipérbolaL",
"\n\t f2 Hx, yL = ", f2, "\t HelipseL"D;
g1 = ImplicitPlot@f1 0, 8x, −5, 5<,
PlotStyle −> 88Thickness @0.010D, RGBColor @0, 0, 1D<<,
AxesLabel −> 8"X", "Y"<, DisplayFunction −> Identity D;
g2 = ImplicitPlot@f2 0, 8x, −5, 5<,
PlotStyle −> 88Thickness @0.010D, RGBColor @1, 0, 0D<<,
AxesLabel −> 8"X", "Y"<, DisplayFunction −> Identity D;
g = Show @g1, g2, AxesLabel −> 8"X", "Y"<,
AxesOrigin −> 80, 0<, DisplayFunction −> $DisplayFunctionD;
p = 81.5, 1.5<;
l = newtonRaphsonNoLineal@f1, f2, p, 3, 0.2D;
Print@"\t f1 Hx, yL = ", f1,
StringReplace@"\n\t f1 Haa, bbL = ",
8"aa" −> ToString@l@@1, 1DD, TraditionalFormD,
"bb" −> ToString@l@@2, 1DD, TraditionalFormD
<D,
f1 ê. 8x −> l@@1, 1DD, y −> l@@2, 1DD<,
"\n\t f2 Hx, yL = ", f2,
StringReplace@"\n\t f2 Haa, bbL = ",
8"aa" −> ToString@l@@1, 1DD, TraditionalFormD,
"bb" −> ToString@l@@2, 1DD, TraditionalFormD
<D,
f2 ê. 8x −> l@@1, 1DD, y −> l@@2, 1DD< D;
Representación de las funciones
f1 Hx, yL = - 1 + 3 x 2 - 2 y2
HhipérbolaL
2
2
f2 Hx, yL = - 8 - 2 x + x + 2 y + y
HelipseL
68
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Y
6
4
2
-4
-2
2
X
4
-2
-4
-6
Método de Newton- Raphson para sistemas de ecuaciones no lineales.
f1 Hx,yL = - 1 + 3 x 2 - 2 y2
f2 Hx,yL = - 8 - 2 x + x 2 + 2 y + y2
i x H0L y i 1.5 yz
z
P0 = jj H0L zz = jj
k y { k 1.5 {
La función vectorial y la matriz jacobiana son:
i -1 + 3 x 2 - 2 y2
F Hx, yL = jj
k -8 - 2 x + x 2 + 2 y + y2
-4 y
i6x
J Hx, yL = jj
k -2 + 2 x 2 + 2 y
J
-1
2+2 y
ij ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
y+20 x y
jj 12 x-8ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
Hx, yL = jjj
2-2 x
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
12 x-8 y+20 x y
k ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
yz
z
{
yz
z
{
4y
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ yz
12 x-8 y+20 x y z
zz
z
6x
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ z
12 x-8 y+20 x y {
Iteración i = 0.
i x H0L y i 1.50000 yz
z
P0 = jj H0L zz = jj
k y { k 1.50000 {
i 1.25000 yz
z
F HP0 L = F H1.5, 1.5L = jj
k -3.50000 {
i 9.00000 -6.00000
J HP0 L = J H1.5, 1.5L = jj
k 1.00000 5.00000
Se resuelve el sistema lineal J HP0 L DP = -F HP0 L:
69
yz
z
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
ij 9. -6. yz ij Dx yz
i 1.25 yz
j
z.j
z = - jj
z
k 1. 5. { k Dy {
k -3.5 {
i Dx yz
i 0.0980392
z = - jj
DP = jj
k Dy {
k -0.0196078
i Dx yz ij 0.289216 yz
z=j
z
DP = jj
k Dy { k 0.642157 {
0.117647 y i 1.25 y
zz.jj
zz
0.176471 { k -3.5 {
El siguiente punto de la iteración es:
P1 = P0 + DP
i 1.5 yz ij 0.289216 yz ij 1.78922 yz
z+j
z=j
z
P1 = jj
k 1.5 { k 0.642157 { k 2.14216 {
Iteración i = 1.
i x H1L y i 1.78922 yz
z
P1 = jj H1L zz = jj
k y { k 2.14216 {
i -0.573794 yz
z
F HP1 L = F H1.78922, 2.14216L = jj
k 0.496011 {
i 10.7353 -8.56863 yz
z
J HP1 L = J H1.78922, 2.14216L = jj
k 1.57843 6.28431 {
Se resuelve el sistema lineal J HP1 L DP = -F HP1 L:
ij 10.7353 -8.56863 yz ij Dx yz
i -0.573794 yz
j
z.j
z = - jj
z
k 1.57843 6.28431 { k Dy {
k 0.496011 {
0.1058
-0.573794 y
i Dx yz
i 0.0775947
zzy.jji
zz
z = - jj
DP = jj
k Dy {
k -0.0194895 0.132553 { k 0.496011 {
i Dx yz ij -0.0079546 yz
z=j
z
DP = jj
k Dy { k -0.0769305 {
El siguiente punto de la iteración es:
P2 = P1 + DP
i 1.78922 zy ji -0.0079546 zy ji 1.78126 zy
z+j
z=j
z
P2 = jj
k 2.14216 { k -0.0769305 { k 2.06523 {
Iteración i = 2.
i x H2L y i 1.78126 yz
z
P2 = jj H2L zz = jj
k y { k 2.06523 {
i -0.0116468 yz
z
F HP2 L = F H1.78126, 2.06523L = jj
k 0.00598158 {
i 10.6876 -8.26091 yz
z
J HP2 L = J H1.78126, 2.06523L = jj
k 1.56252 6.13045 {
70
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Se resuelve el sistema lineal J HP2 L DP = -F HP2 L:
10.6876 -8.26091 y i Dx y
-0.0116468 y
jij
zz.jj
zz = - jij
zz
k 1.56252 6.13045 { k Dy {
k 0.00598158 {
0.105332 y i -0.0116468 y
i 0.0781672
i Dx yz
zz.jj
zz
z = - jj
DP = jj
k Dy {
k -0.0199231 0.136273 { k 0.00598158 {
i Dx yz ij 0.000280345 yz
z=j
z
DP = jj
k Dy { k -0.00104717 {
El siguiente punto de la iteración es:
P3 = P2 + DP
i 1.78126 yz ij 0.000280345 yz ij 1.78154 yz
z+j
z=j
z
P3 = jj
k 2.06523 { k -0.00104717 { k 2.06418 {
Tabla de datos.
i
0
1
2
i
0
1
2
Pi
ij 1.5 yz
j
z
k 1.5 {
1.78922 y
jji
zz
k 2.14216 {
ij 1.78126 yz
j
z
k 2.06523 {
Pi
ij 1.5 yz
j
z
k 1.5 {
1.78922 y
jji
zz
k 2.14216 {
ij 1.78126 yz
j
z
k 2.06523 {
J HPi L DP = -F HPi L
ij 9. -6. yz ij Dx yz
i 1.25 yz
j
z.j
z = - jj
z
k 1. 5. { k Dy {
k -3.5 {
ij 10.7353 -8.56863 yz ji Dx yz
i -0.573794 yz
j
z.j
z = - jj
z
k 1.57843 6.28431 { k Dy {
k 0.496011 {
ij 10.6876 -8.26091 yz ij Dx yz
i -0.0116468 yz
j
z.j
z = - jj
z
1.56252
6.13045
Dy
k
{k
{
k 0.00598158 {
i Dx yz
z
DP = jj
Pi+1 = Pi + DP
k Dy {
ij 0.289216 yz
ij 1.78922 yz
j
z
j
z
k 0.642157 {
k 2.14216 {
ij -0.0079546 zy
ij 1.78126 zy
j
z
j
z
k -0.0769305 {
k 2.06523 {
ij 0.000280345 yz
ij 1.78154 yz
j
z
j
z
-0.00104717
k
{
k 2.06418 {
La solución aproximada del sistema es:
i 1.78154 yz
z
P3 = jj
k 2.06418 {
f1 Hx, yL = - 1 + 3 x 2 - 2 y2
f1 H1.78154, 2.06418L = - 1.95735 µ 10-6
f2 Hx, yL = - 8 - 2 x + x 2 + 2 y + y2
f2 H1.78154, 2.06418L = 1.17516 µ 10-6
71
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
p = 82.0, −3.0<;
l = newtonRaphsonNoLineal@f1, f2, p, 3, 0.2D;
Print@"\t f1 Hx, yL = ", f1,
StringReplace@"\n\t f1 Haa, bbL = ",
8"aa" −> ToString@l@@1, 1DD, TraditionalFormD,
"bb" −> ToString@l@@2, 1DD, TraditionalFormD<D,
f1 ê. 8x −> l@@1, 1DD, y −> l@@2, 1DD<,
"\n\t f2 Hx, yL = ", f2,
StringReplace@"\n\t f2 Haa, bbL = ",
8"aa" −> ToString@l@@1, 1DD, TraditionalFormD,
"bb" −> ToString@l@@2, 1DD, TraditionalFormD<D,
f2 ê. 8x −> l@@1, 1DD, y −> l@@2, 1DD<D;
Método de Newton- Raphson para sistemas de ecuaciones no lineales.
f1 Hx,yL = - 1 + 3 x 2 - 2 y2
f2 Hx,yL = - 8 - 2 x + x 2 + 2 y + y2
i x H0L y i 2. zy
z
P0 = jj H0L zz = jj
k y { k -3. {
La función vectorial y la matriz jacobiana son:
i -1 + 3 x 2 - 2 y2
yz
z
F Hx, yL = jj
k -8 - 2 x + x 2 + 2 y + y2 {
-4 y y
i6x
zz
J Hx, yL = jj
k -2 + 2 x 2 + 2 y {
J
-1
2+2 y
ij ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
y+20 x y
jj 12 x-8ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
Hx, yL = jjj
2-2 x
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
12 x-8 y+20 x y
k ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
4y
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ yz
12 x-8 y+20 x y z
zz
zz
6x
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅÅ
12 x-8 y+20 x y {
Iteración i = 0.
i x H0L y i 2.00000 yz
z
P0 = jj H0L zz = jj
k y { k -3.00000 {
i -7.00000 yz
z
F HP0 L = F H2., -3.L = jj
k -5.00000 {
i 12.0000 12.0000 yz
z
J HP0 L = J H2., -3.L = jj
k 2.00000 -4.00000 {
72
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Se resuelve el sistema lineal J HP0 L DP = -F HP0 L:
12. 12. y i Dx y
-7. y
jij
zz.jj
zz = - jij
zz
-4. { k Dy {
k 2.
k -5. {
i 0.0555556
i Dx yz
z = - jj
DP = jj
k Dy {
k 0.0277778
i Dx yz ij 1.22222
yz
z=j
z
DP = jj
Dy
-0.638889
k
{ k
{
El siguiente punto de la iteración es:
P1 = P0 + DP
i 2. yz ij 1.22222
yz
z+j
z=
P1 = jj
k -3. { k -0.638889 {
0.166667 y i -7. y
zz.jj
zz
-0.166667 { k -5. {
ij 3.22222 yz
j
z
k -3.63889 {
Iteración i = 1.
i x H1L y i 3.22222 yz
z
P1 = jj H1L zz = jj
k y { k -3.63889 {
i 3.66512 zy
z
F HP1 L = F H3.22222, -3.63889L = jj
k 1.90201 {
i 19.3333 14.5556
J HP1 L = J H3.22222, -3.63889L = jj
k 4.44444 -5.27778
Se resuelve el sistema lineal J HP1 L DP = -F HP1 L:
19.3333 14.5556 y i Dx y
3.66512 y
jij
zz.jj
zz = - jij
zz
k 4.44444 -5.27778 { k Dy {
k 1.90201 {
i Dx yz
i 0.0316549 0.087301 yz ji 3.66512 yz
z = - jj
z.j
z
DP = jj
Dy
k
{
k 0.0266568 -0.115957 { k 1.90201 {
i Dx yz ij -0.282066 yz
z=j
z
DP = jj
k Dy { k 0.122851 {
El siguiente punto de la iteración es:
P2 = P1 + DP
i 3.22222 yz ij -0.282066 yz ij 2.94016 yz
z+j
z=j
z
P2 = jj
k -3.63889 { k 0.122851 { k -3.51604 {
73
yz
z
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Iteración i = 2.
i x H2L y i 2.94016 yz
z
P2 = jj H2L zz = jj
k y { k -3.51604 {
i 0.208500 yz
z
F HP2 L = F H2.94016, -3.51604L = jj
k 0.0946537 {
i 17.6409 14.0642
J HP2 L = J H2.94016, -3.51604L = jj
k 3.88031 -5.03208
yz
z
{
Se resuelve el sistema lineal J HP2 L DP = -F HP2 L:
ij 17.6409 14.0642 yz ij Dx yz
i 0.2085
yz
z.j
z = - jj
z
j
k 3.88031 -5.03208 { k Dy {
k 0.0946537 {
i Dx yz
i 0.0351049 0.0981148 yz ji 0.2085
yz
z = - jj
z.j
z
DP = jj
Dy
0.02707
-0.123067
0.0946537
k
{
k
{k
{
i Dx yz ij -0.0166063 yz
z=j
z
DP = jj
k Dy { k 0.00600469 {
El siguiente punto de la iteración es:
P3 = P2 + DP
i 2.94016 yz ij -0.0166063 yz ij 2.92355 yz
z+j
z=j
z
P3 = jj
k -3.51604 { k 0.00600469 { k -3.51003 {
Tabla de datos.
i
0
1
2
i
0
1
2
Pi
ij 2. yz
j
z
k -3. {
ij 3.22222 yz
j
z
k -3.63889 {
ij 2.94016 yz
j
z
k -3.51604 {
Pi
ij 2. yz
z
j
k -3. {
ij 3.22222 yz
j
z
k -3.63889 {
ij 2.94016 yz
j
z
k -3.51604 {
J HPi L DP = -F HPi L
ij 12. 12. yz ij Dx yz
i -7. yz
j
z.j
z = - jj
z
2.
-4.
Dy
k
{k
{
k -5. {
19.3333 14.5556 y i Dx y
3.66512 y
jij
zz.jj
zz = - jji
zz
k 4.44444 -5.27778 { k Dy {
k 1.90201 {
ij 17.6409 14.0642 yz ij Dx yz
i 0.2085
yz
j
z.j
z = - jj
z
3.88031
-5.03208
Dy
0.0946537
k
{k
{
k
{
i Dx yz
z
DP = jj
Pi+1 = Pi + DP
k Dy {
ij 1.22222
yz
ij 3.22222 yz
j
z
j
z
-0.638889
k
{
k -3.63889 {
-0.282066 y
2.94016 y
jij
zz
jij
zz
k 0.122851 {
k -3.51604 {
ij -0.0166063 yz ij 2.92355 yz
j
z j
z
k 0.00600469 { k -3.51003 {
74
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
La solución aproximada del sistema es:
i 2.92355 yz
z
P3 = jj
k -3.51003 {
f1 Hx, yL = - 1 + 3 x 2 - 2 y2
f1 H2.92355, -3.51003L = 0.000755194
f2 Hx, yL = - 8 - 2 x + x 2 + 2 y + y2
f2 H2.92355, -3.51003L = 0.000311825
à Problema 15. Dado el sistema no lineal de ecuaciones,
f1 Hx1 , x2 , x3 L = 2 x1 - 3 x2 + x3 - 4 = 0,
f2 Hx1 , x2,x3 L = 2 x1 + x2 - x3 + 4 = 0,
f3 Hx1 , x2 , x3 L = x21 + x22 + x23 - 4 = 0,
se pide aplicar el método de Newton para sistemas no lineales para calcular la
aproximación del sistema en los dos casos siguientes:
H0L H0L T
T
a)
Iniciando el método en el punto inicial P0 = IxH0L
1 , x2 , x3 M = H-0.5, -1.5, 1.5L
e iterando hasta que ∞Pi+1 - Pi ¥¶ § 10-5 .
H0L H0L T
T
b)
Con el punto inicial P0 = IxH0L
1 , x2 , x3 M = H-1.0, -1.5, 0.5L e iterando hasta
que ∞Pi+1 - Pi ¥¶ § 10-5 .
Solución
a)
Clear@ecuaciones, p, m, dD;
ecuaciones = 82 x1 − 3 x2 + x3 − 4, 2 x1 + x2 − x3 + 4, x21 + x22 + x23 − 4<;
p = 8−0.5, −1.5, 1.5<;
m = 12; d = 10.−5 ;
newtonSistemasNoLineal@ecuaciones, p, m, dD;
Método de Newton- Raphson para sistemas de ecuaciones no lineales.
ij 2 x1 - 3 x2 + x3 - 4 yz ji 0 zy
zz j z
jj
fi Hx1 , x2 , x3 L = jjjj 2 x1 + x2 - x3 + 4 zzzz = jjjj 0 zzzz
j 2
z jj zz
2
2
k x1 + x2 + x3 - 4
{ k0 {
ij x1H0L yz i -0.5 y
jj
zz jj
zz
j
z
P0 = jjjj x2H0L zzzz = jjjj -1.5 zzzz
z
jj
z j
j H0L zz jk 1.5 z{
x
k 3 {
75
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
La función vectorial y la matriz jacobiana son:
2 x1 - 3 x2 + x3 - 4 y
jij
z
jj 2 x + x - x + 4 zzz
zz
F Hx1 , x2 , x3 L = jjj
1
2
3
zz
j 2
2
2
k x1 + x2 + x3 - 4
{
ij 2
j
J Hx1 , x2 , x3 L = jjjj 2
jj
k 2 x1
-3
1
2 x2
1
-1
2 x3
yz
zz
zz
zz
z
{
Iteración i = 0.
H0L
jij x1 zyz ij -0.500000 yz
jj
zz j
z
P0 = jjjj x2H0L zzzz = jjjj -1.50000 zzzz
j
zz
jj
z
j H0L zz jk 1.50000
{
k x3 {
ij 1.00000 yz
j
zz
zz
F HP0 L = jjjj 0
zz
jj
z
k 0.750000 {
-3.00000 1.00000 y
ij 2.00000
zz
jj
1.00000
-1.00000 zzzz
J HP0 L = jjj 2.00000
jj
zz
k -1.00000 -3.00000 3.00000 {
Se resuelve el sistema lineal J HP0 L DP = -F HP0 L:
-3.00000 1.00000 y ji Dx1
ij 2.00000
zz j
jj
jj 2.00000
1.00000
-1.00000 zzzz.jjjj Dx2
jj
zz jj
j
k -1.00000 -3.00000 3.00000 { k Dx3
ij Dx1
jj
DP = jjj Dx2
jj
k Dx3
yz ij -0.15 yz
zz jj
zz
zz = jj 0.2
zz
zz jj
zz
z j
z
{ k -0.1 {
El siguiente punto de la iteración es:
P1 = P0 + DP
ij -0.5 yz ij -0.15 yz ij -0.65 yz
j
z j
zz jj
z
zz = jj -1.3 zzz
P1 = jjjj -1.5 zzzz + jjjj 0.2
zz jj
zz
jj
zz jj
z j
z
k 1.5 { k -0.1 { k 1.4
{
76
zyz
zz
zz
zz
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Iteración i = 1.
ij x1H1L yz i -0.650000 y
jj
zz jj
zz
j
z
P1 = jjjj x2H1L zzzz = jjjj -1.30000 zzzz
zz
jj
z j
j H1L zz jk 1.40000
{
k x3 {
ij 4.44089 µ 10-16 yz
zz
jj
F HP1 L = jjjj 2.22045 µ 10-16 zzzz
zz
jj
{
k 0.0725000
-3.00000 1.00000 y
ij 2.00000
zz
j
1.00000
-1.00000 zzzz
J HP1 L = jjjj 2.00000
jj
zz
k -1.30000 -2.60000 2.80000 {
Se resuelve el sistema lineal J HP1 L DP = -F HP1 L:
-3.00000 1.00000 y ij Dx1
ij 2.00000
zz j
jj
jj 2.00000
1.00000
-1.00000 zzzz.jjjj Dx2
jj
zz jj
j
k -1.30000 -2.60000 2.80000 { k Dx3
ij Dx1
jj
DP = jjj Dx2
jj
k Dx3
yz ij -0.0154255 yz
zz jj
zz = jj -0.0308511 zzzz
zz jj
zz
z j
z
{ k -0.0617021 {
yz
zz
zz
zz
z
{
El siguiente punto de la iteración es:
P2 = P1 + DP
ij -0.65 yz ij -0.0154255 yz ij -0.665426 yz
j
z j
z j
z
P2 = jjjj -1.3 zzzz + jjjj -0.0308511 zzzz = jjjj -1.33085 zzzz
jj
zz jj
zz jj
zz
k 1.4
{ k -0.0617021 { k 1.3383
{
Iteración i = 2.
H2L
jij x1 zyz ij -0.665426 yz
jj
zz j
z
P2 = jjjj x2H2L zzzz = jjjj -1.33085 zzzz
zz
jj
z j
j H2L zz jk 1.33830
{
k x3 {
-16
jij -4.44089 µ 10
zyz
jj
z
F HP2 L = jjj -4.44089 µ 10-16 zzzz
jj
zz
k 0.00499689
{
-3.00000 1.00000 y
ij 2.00000
zz
j
1.00000
-1.00000 zzzz
J HP2 L = jjjj 2.00000
jj
zz
k -1.33085 -2.66170 2.67660 {
77
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Se resuelve el sistema lineal J HP2 L DP = -F HP2 L:
2.00000
-3.00000 1.00000 y ji Dx1
jij
zz j
jj 2.00000
1.00000
-1.00000 zzzz.jjjj Dx2
jj
jj
zz jj
k -1.33085 -2.66170 2.67660 { k Dx3
ij Dx1
jj
DP = jjj Dx2
jj
k Dx3
yz ij -0.00123315 yz
zz jj
zz = jj -0.0024663 zzzz
zz jj
zz
z j
z
-0.00493261
{
{ k
zyz
zz
zz
zz
{
El siguiente punto de la iteración es:
P3 = P2 + DP
ij -0.665426 yz ij -0.00123315 yz ij -0.666659 yz
j
z j
z j
z
P3 = jjjj -1.33085 zzzz + jjjj -0.0024663 zzzz = jjjj -1.33332 zzzz
jj
zz jj
zz jj
zz
k 1.3383
{ k -0.00493261 { k 1.33337
{
Iteración i = 3.
ij x1H3L yz i -0.666659 y
zz jj
jj
zz
z
j
P3 = jjjj x2H3L zzzz = jjjj -1.33332 zzzz
zz
z j
jj
j H3L zz jk 1.33337
{
x
k 3 {
ij 4.44089 µ 10-16 yz
jj
zz
F HP3 L = jjjj 2.22045 µ 10-16 zzzz
jj
zz
k 0.0000319339 {
-3.00000 1.00000 y
ij 2.00000
zz
jj
j
1.00000
-1.00000 zzzz
J HP3 L = jj 2.00000
jj
zz
k -1.33332 -2.66663 2.66673 {
Se resuelve el sistema lineal J HP3 L DP = -F HP3 L:
2.00000
-3.00000 1.00000 y ij Dx1
jij
zz j
jj 2.00000
1.00000
-1.00000 zzzz.jjjj Dx2
jj
jj
zz jj
k -1.33332 -2.66663 2.66673 { k Dx3
ij Dx1
jj
DP = jjj Dx2
jj
k Dx3
yz ij -7.98281 µ 10-6 yz
z
zz jjj
zz = jj -0.0000159656 zzzz
zz jj
zz
z
{ k -0.0000319312 {
El siguiente punto de la iteración es:
P4 = P3 + DP
-6
ij -0.666659 yz ijj -7.98281 µ 10
jj
zz jj
P4 = jjj -1.33332 zzz + jjj -0.0000159656
jj
zz j
k 1.33337
{ k -0.0000319312
78
yz
zz
zz
zz
z
{
yz ij -0.666667 yz
zz jj
zz = jj -1.33333 zzzz
zz jj
zz
z j
z
1.33333
{
{ k
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Iteración i = 4.
ij x1H4L yz i -0.666667 y
jj
zz jj
zz
j
z
P4 = jjjj x2H4L zzzz = jjjj -1.33333 zzzz
zz
jj
z j
j H4L zz jk 1.33333
{
k x3 {
ij 2.22045 µ 10-16 yz
zz
jj
zz
F HP4 L = jjjj 0
zz
z
jj
-9 z
{
k 1.33823 µ 10
-3.00000 1.00000 y
ij 2.00000
zz
j
1.00000
-1.00000 zzzz
J HP4 L = jjjj 2.00000
jj
zz
k -1.33333 -2.66667 2.66667 {
Se resuelve el sistema lineal J HP4 L DP = -F HP4 L:
-3.00000 1.00000 y ij Dx1
ij 2.00000
zz j
jj
jj 2.00000
1.00000
-1.00000 zzzz.jjjj Dx2
jj
zz jj
j
k -1.33333 -2.66667 2.66667 { k Dx3
D
jij x1
jj D
DP = jj x2
jj
k Dx3
i -3.34558 µ 10-10 yz
zyz jjj
zz
zz jj
z
zz = jj -6.69115 µ 10-10 zzz
zz jj
zz
j
z
{ k -1.33823 µ 10-9 {
yz
zz
zz
zz
z
{
El siguiente punto de la iteración es:
P5 = P4 + DP
-10
yz i -0.666667 y
ij -0.666667 yz ijj -3.34558 µ 10
zz jj
jj
zz jjj
zz jj -1.33333 zzzz
-10
P5 = jjj -1.33333 zzz + jj -6.69115 µ 10
zz = jj
zz
j
zz jj
jj
zz jj
zz
z
-9
k 1.33333
{ k -1.33823 µ 10
{
{ k 1.33333
Tabla de datos.
i
Pi
0
ij -0.5 yz
jj
z
jj -1.5 zzz
jj
zz
j
z
k 1.5 {
1
ij -0.65 yz
jj
z
jj -1.3 zzz
jj
zz
j
z
k 1.4
{
ij Dx1
jj
DP = jjj Dx2
jj
k Dx3
ij -0.15 yz
jj
zz
jj 0.2
zz
jj
zz
j
z
k -0.1 {
yz
zz
zz
zz
z
{
ij -0.0154255 yz
jj
z
jj -0.0308511 zzz
jj
zz
j
z
k -0.0617021 {
79
Pi+1 = Pi + DP
¥Pi+1 - Pi ∞¶
ij -0.65 yz
jj
z
jj -1.3 zzz
jj
zz
j
z
k 1.4
{
0.2
ij -0.665426 yz
jj
z
jj -1.33085 zzz
jj
zz
j
z
k 1.3383
{
0.0617021
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
2
3
4
-0.665426 y
jij
z
jj -1.33085 zzz
jj
zz
jj
zz
1.3383
k
{
-0.666659
ij
yz
jj
zz
jjj -1.33332 zzz
jj
zz
k 1.33337
{
ij -0.666667 yz
jj
z
jj -1.33333 zzz
jj
zz
j
z
k 1.33333
{
-0.00123315 y
jij
z
jj -0.0024663 zzz
jj
zz
jj
zz
-0.00493261
k
{
-6
jij -7.98281 µ 10
jj
jj -0.0000159656
jj
k -0.0000319312
zyz
zz
zz
zz
{
ij -3.34558 µ 10-10 yz
jj
zz
jj
z
jj -6.69115 µ 10-10 zzz
jj
zz
j
-9 z
k -1.33823 µ 10
{
-0.666659 y
jij
z
jj -1.33332 zzz
jj
zz
jj
zz
1.33337
k
{
-0.666667
ij
yz
jj
zz
jjj -1.33333 zzz
jj
zz
k 1.33333
{
0.00493261
0.0000319312
ij -0.666667 yz
jj
z
jj -1.33333 zzz 1.33823 µ 10-9
jj
zz
j
z
k 1.33333
{
La solución aproximada del sistema es:
ij -0.666667 yz
j
z
P5 = jjjj -1.33333 zzzz
jj
zz
k 1.33333
{
Solución
b)
Clear@ecuaciones, p, m, dD;
ecuaciones = 82 x1 − 3 x2 + x3 − 4, 2 x1 + x2 − x3 + 4, x21 + x22 + x23 − 4<;
p = 8−1.0, −1.5, 0.5<;
m = 12;
d = 10.−5 ;
newtonSistemasNoLineal@ecuaciones, p, m, dD;
Método de Newton- Raphson para sistemas de ecuaciones no lineales.
2 x1 - 3 x2 + x3 - 4 y i 0 y
jij
z
jj 2 x + x - x + 4 zzz jjjj zzzz
zz = jj 0 zz
fi Hx1 , x2 , x3 L = jjj
1
2
3
zz jj zz
j 2
2
2
k x1 + x2 + x3 - 4
{ k0 {
ij x1H0L yz i -1. y
jj
zz jj
zz
j
z
P0 = jjjj x2H0L zzzz = jjjj -1.5 zzzz
z
jj
z j
j H0L zz jk 0.5 z{
k x3 {
80
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
La función vectorial y la matriz jacobiana son:
2 x1 - 3 x2 + x3 - 4 y
jij
z
jj 2 x + x - x + 4 zzz
zz
F Hx1 , x2 , x3 L = jjj
1
2
3
zz
j 2
2
2
k x1 + x2 + x3 - 4
{
ij 2
j
J Hx1 , x2 , x3 L = jjjj 2
jj
k 2 x1
-3
1
2 x2
1
-1
2 x3
yz
zz
zz
zz
z
{
Iteración i = 0.
H0L
jij x1 zyz ij -1.00000 yz
jj
zz j
z
P0 = jjjj x2H0L zzzz = jjjj -1.50000 zzzz
j
z
jj
z
j H0L zz jk 0.500000 z{
k x3 {
ij -1.00000 yz
j
zz
zz
F HP0 L = jjjj 0
zz
jj
z
k -0.500000 {
-3.00000 1.00000 y
ij 2.00000
zz
jj
1.00000
-1.00000 zzzz
J HP0 L = jjj 2.00000
jj
zz
k -2.00000 -3.00000 1.00000 {
Se resuelve el sistema lineal J HP0 L DP = -F HP0 L:
-3.00000 1.00000 y ji Dx1
ij 2.00000
zz j
jj
jj 2.00000
1.00000
-1.00000 zzzz.jjjj Dx2
jj
zz jj
j
k -2.00000 -3.00000 1.00000 { k Dx3
ij Dx1
jj
DP = jjj Dx2
jj
k Dx3
yz ij 0.125 yz
zz jj
zz = jj -0.25 zzzz
zz jj
zz
z j
z
{
{ k 0.
El siguiente punto de la iteración es:
P1 = P0 + DP
ij -1. yz ij 0.125 yz ij -0.875 yz
j
z j
z j
z
P1 = jjjj -1.5 zzzz + jjjj -0.25 zzzz = jjjj -1.75 zzzz
jj
zz jj
zz jj
zz
k 0.5 { k 0.
{ k 0.5
{
81
zyz
zz
zz
zz
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Iteración i = 1.
ij x1H1L yz i -0.875000 y
jj
zz jj
zz
j
z
P1 = jjjj x2H1L zzzz = jjjj -1.75000 zzzz
z
jj
z j
j H1L zz jk 0.500000 z{
k x3 {
0
jij
zyz
j
zz
j
F HP1 L = jj 0
zz
jj
zz
0.0781250
k
{
-3.00000 1.00000 y
ij 2.00000
zz
jj
1.00000
-1.00000 zzzz
J HP1 L = jjj 2.00000
jj
zz
k -1.75000 -3.50000 1.00000 {
Se resuelve el sistema lineal J HP1 L DP = -F HP1 L:
-3.00000 1.00000 y ij Dx1
ij 2.00000
zz j
jj
jj 2.00000
1.00000
-1.00000 zzzz.jjjj Dx2
jj
zz jj
j
k -1.75000 -3.50000 1.00000 { k Dx3
ij Dx1
jj
DP = jjj Dx2
jj
k Dx3
yz ji 0.0164474 zy
zz jj
zz = jj 0.0328947 zzzz
zz jj
zz
z j
z
{ k 0.0657895 {
yz
zz
zz
zz
z
{
El siguiente punto de la iteración es:
P2 = P1 + DP
ij -0.875 yz ij 0.0164474 yz ij -0.858553 yz
j
z j
z j
z
P2 = jjjj -1.75 zzzz + jjjj 0.0328947 zzzz = jjjj -1.71711 zzzz
jj
zz jj
zz jj
zz
k 0.5
{ k 0.0657895 { k 0.565789 {
Iteración i = 2.
ij x1H2L yz i -0.858553 y
jj
zz jj
zz
j
z
P2 = jjjj x2H2L zzzz = jjjj -1.71711 zzzz
z
jj
z j
j H2L zz jk 0.565789 z{
x
k 3 {
ij -1.11022 µ 10-16 yz
zz
jj
F HP2 L = jjjj 1.11022 µ 10-16 zzzz
jj
zz
{
k 0.00568083
-3.00000 1.00000 y
ij 2.00000
zz
jj
1.00000
-1.00000 zzzz
J HP2 L = jjj 2.00000
jj
zz
k -1.71711 -3.43421 1.13158 {
82
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Se resuelve el sistema lineal J HP2 L DP = -F HP2 L:
2.00000
-3.00000 1.00000 y ji Dx1
jij
zz j
jj 2.00000
1.00000
-1.00000 zzzz.jjjj Dx2
jj
jj
zz jj
k -1.71711 -3.43421 1.13158 { k Dx3
ij Dx1
jj
DP = jjj Dx2
jj
k Dx3
yz ij 0.00139949 yz
zz jj
zz = jj 0.00279898 zzzz
zz jj
zz
z j
z
0.00559797
{
{ k
zyz
zz
zz
zz
{
El siguiente punto de la iteración es:
P3 = P2 + DP
ij -0.858553 yz ij 0.00139949 yz ij -0.857153 yz
j
z j
z j
z
P3 = jjjj -1.71711 zzzz + jjjj 0.00279898 zzzz = jjjj -1.71431 zzzz
jj
zz jj
zz jj
zz
k 0.565789 { k 0.00559797 { k 0.571387 {
Iteración i = 3.
ij x1H3L yz i -0.857153 y
zz jj
jj
zz
z
j
P3 = jjjj x2H3L zzzz = jjjj -1.71431 zzzz
z
z j
jj
j H3L zz jk 0.571387 z{
x
k 3 {
ij -9.99201 µ 10-16 yz
jj
zz
F HP3 L = jjjj 1.11022 µ 10-16 zzzz
jj
zz
k 0.0000411302 {
-3.00000 1.00000 y
ij 2.00000
zz
jj
j
1.00000
-1.00000 zzzz
J HP3 L = jj 2.00000
jj
zz
k -1.71431 -3.42861 1.14277 {
Se resuelve el sistema lineal J HP3 L DP = -F HP3 L:
2.00000
-3.00000 1.00000 y ij Dx1
jij
zz j
jj 2.00000
1.00000
-1.00000 zzzz.jjjj Dx2
jj
jj
zz jj
k -1.71431 -3.42861 1.14277 { k Dx3
ij Dx1
jj
DP = jjj Dx2
jj
k Dx3
yz ij 0.0000102814 yz
zz jj
zz = jj 0.0000205629 zzzz
zz jj
zz
z j
z
0.0000411257
k
{
{
El siguiente punto de la iteración es:
P4 = P3 + DP
yz
zz
zz
zz
z
{
ij -0.857153 yz ij 0.0000102814 yz ij -0.857143 yz
j
z j
z j
z
P4 = jjjj -1.71431 zzzz + jjjj 0.0000205629 zzzz = jjjj -1.71429 zzzz
jj
zz jj
zz jj
zz
k 0.571387 { k 0.0000411257 { k 0.571429 {
83
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Iteración i = 4.
ij x1H4L yz i -0.857143 y
jj
zz jj
zz
j
z
P4 = jjjj x2H4L zzzz = jjjj -1.71429 zzzz
z
jj
z j
j H4L zz jk 0.571429 z{
k x3 {
ij 1.44329 µ 10-15 yz
jj
zz
j
z
F HP4 L = jjj -1.11022 µ 10-16 zzz
jj
zz
j
z
-9
2.21986
µ
10
k
{
-3.00000 1.00000 y
ij 2.00000
zz
jj
1.00000
-1.00000 zzzz
J HP4 L = jjj 2.00000
jj
zz
k -1.71429 -3.42857 1.14286 {
Se resuelve el sistema lineal J HP4 L DP = -F HP4 L:
-3.00000 1.00000 y ij Dx1
ij 2.00000
zz j
jj
jj 2.00000
1.00000
-1.00000 zzzz.jjjj Dx2
jj
zz jj
j
k -1.71429 -3.42857 1.14286 { k Dx3
ij Dx1
jj
DP = jjj Dx2
jj
k Dx3
-10
yz jij 5.54966 µ 10
zyz
zz jj
z
zz = jj 1.10993 µ 10-9 zzz
zz jj
zz
z jj
zz
-9
{ k 2.21986 µ 10
{
yz
zz
zz
zz
z
{
El siguiente punto de la iteración es:
P5 = P4 + DP
-10
ij -0.857143 yz jij 5.54966 µ 10
zyz ij -0.857143 yz
zz jj
jj
zz jjj
-9
zz = jj -1.71429 zzzz
j
z
P5 = jj -1.71429 zz + jj 1.10993 µ 10
zz jj
zz
jj
zz jjj
zz j
z
-9
0.571429
0.571429
k
{ k 2.21986 µ 10
{
{ k
Tabla de datos.
i
0
1
Pi
-1. y
jij
z
jj -1.5 zzz
jj
zz
jj
zz
0.5
k
{
-0.875
jij
zy
jj -1.75 zzz
jj
zz
jj
zz
k 0.5
{
ij Dx1
jj
DP = jjj Dx2
jj
k Dx3
yz
zz
zz
zz
z
{
Pi+1 = Pi + DP
0.125 y
jij
z
jj -0.25 zzz
jj
zz
jj
zz
0.
k
{
0.0164474
jij
zy
jj 0.0328947 zzz
jj
zz
jj
zz
k 0.0657895 {
84
-0.875 y
jij
z
jj -1.75 zzz
jj
zz
jj
zz
0.5
k
{
-0.858553
jij
zy
jj -1.71711 zzz
jj
zz
jj
zz
k 0.565789 {
¥Pi+1 - Pi ∞¶
0.25
0.0657895
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
2
3
4
-0.858553 y
jij
z
jj -1.71711 zzz
jj
zz
jj
zz
0.565789
k
{
-0.857153
jij
zy
jj -1.71431 zzz
jj
zz
jj
zz
k 0.571387 {
-0.857143 y
jij
z
jj -1.71429 zzz
jj
zz
jj
zz
0.571429
k
{
0.00139949 y
jij
z
jj 0.00279898 zzz
jj
zz
jj
zz
0.00559797
k
{
0.0000102814
jij
zy
jj 0.0000205629 zzz
jj
zz
jj
zz
k 0.0000411257 {
ij 5.54966 µ 10-10 yz
jj
zz
jj
z
jj 1.10993 µ 10-9 zzz
jj
zz
j
-9 z
2.21986
µ
10
k
{
-0.857153 y
jij
z
jj -1.71431 zzz
jj
zz
jj
zz
0.571387
k
{
-0.857143
jij
zy
jj -1.71429 zzz
jj
zz
jj
zz
k 0.571429 {
-0.857143 y
jij
z
jj -1.71429 zzz
jj
zz
jj
zz
0.571429
k
{
0.00559797
0.0000411257
2.21986 µ 10-9
La solución aproximada del sistema es:
ij -0.857143 yz
j
z
P5 = jjjj -1.71429 zzzz
jj
zz
k 0.571429 {
à Problema 16. Aplicando el método de Newton para sistemas no lineales calcular la
aproximación del sistema de ecuaciones no lineales siguiente, iniciando el método en el
H0L H0L T
T
punto inicial P0 = IxH0L
e iterando hasta que
1 , x2 , x3 M = H0.5, 0.1, -0.1L
∞Pi+1 - Pi ¥¶ § 10-5 .
f1 Hx1 , x2 , x3 L = 3 x1 - cosHx2 x3 L - 1 ê 2 = 0,
f2 Hx1 , x2,x3 L = x21 - 81 Hx2 + 0.1L2 + sen x3 + 1.06 = 0,
f3 Hx1 , x2 , x3 L = e-x1 x2 + 20 x3 + H10 p - 3L ê 3 = 0.
Solución
Clear@ecuaciones, p, m, dD;
ecuaciones = 83 x1 − Cos@x2 ∗ x3 D − 1 ê 2,
x21 − 81 Hx2 + 0.1L2 + Sin@x3 D + 1.06,
Exp@−x1 ∗ x2 D + 20 x3 + H10 Pi − 3L ê 3
<;
p = 80.5, 0.1, −0.1<;
m = 12;
d = 10.−5 ;
newtonSistemasNoLineal@ecuaciones, p, m, dD;
85
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Método de Newton- Raphson para sistemas de ecuaciones no lineales.
yz
ij -cosHx2 x3 L + 3 x1 - ÅÅÅÅ12Å
jj
zz ijj 0 yzz
jj 2
z
2
fi Hx1 , x2 , x3 L = jjj x1 - 81 Hx2 + 0.1L + sinHx3 L + 1.06 zzzz = jjjj 0 zzzz
zz jj zz
jj
j
z k0 {
1
-x1 x2
20
x
+
‰
+
ÅÅÅÅ
Å
H-3
+
10
pL
3
{
k
3
ij x1H0L yz i 0.5 y
jj
zz jj
zz
j
z
P0 = jjjj x2H0L zzzz = jjjj 0.1 zzzz
z
jj
z j
j H0L zz jk -0.1 z{
x
k 3 {
La función vectorial y la matriz jacobiana son:
1
jij -cosHx2 x3 L + 3 x1 - ÅÅÅÅ2Å
zyz
jj
zz
j
2
2
F Hx1 , x2 , x3 L = jjj x1 - 81 Hx2 + 0.1L + sinHx3 L + 1.06 zzzz
zz
jj
j
z
-x1 x2
+ ÅÅÅÅ13Å H-3 + 10 pL
{
k 20 x3 + ‰
sinHx2 x3 L x3
sinHx2 x3 L x2
-162 Hx2 + 0.1L cosHx3 L
-‰-x1 x2 x1
20
ij 3
j
J Hx1 , x2 , x3 L = jjjj 2 x1
jj -x x
k -‰ 1 2 x2
Iteración i = 0.
ij x1H0L yz i 0.500000 y
zz jj
jj
zz
z
j
P0 = jjjj x2H0L zzzz = jjjj 0.100000 zzzz
z
z j
jj
j H0L zz jk -0.100000 z{
x
k 3 {
ij 0.0000499996 yz
j
zz
zz
F HP0 L = jjjj -2.02983
zz
jj
z
k 8.42320
{
ij 3.00000
j
J HP0 L = jjjj 1.00000
jj
k -0.0951229
0.000999983 -0.000999983 y
zz
zz
-32.4000
0.995004
zz
zz
-0.475615
20.0000
{
Se resuelve el sistema lineal J HP0 L DP = -F HP0 L:
ij 3.00000
jj
jj 1.00000
jj
j
k -0.0951229
D
jij x1
jj D
DP = jj x2
jj
k Dx3
0.000999983 -0.000999983 y ij Dx1
zz jj
zz.jj D
-32.4000
0.995004
zz jj x2
zz j
-0.475615
20.0000
{ k Dx3
zyz ijj -0.000132437 yzz
zz jj -0.0756424 zz
zz = jj
zz
zz jj
zz
{
{ k -0.42296
86
yz
zz
zz
zz
z
{
yz
zz
zz
zz
z
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
El siguiente punto de la iteración es:
P1 = P0 + DP
ij 0.5 yz ij -0.000132437 yz ij 0.499868 yz
j
z j
z j
z
P1 = jjjj 0.1 zzzz + jjjj -0.0756424 zzzz = jjjj 0.0243576 zzzz
jj
zz jj
zz jj
zz
k -0.1 { k -0.42296
{ k -0.52296 {
Iteración i = 1.
ij x1H1L yz i 0.499868 y
jj
zz jj
zz
j
z
P1 = jjjj x2H1L zzzz = jjjj 0.0243576 zzzz
z
jj
z j
j H1L zz jk -0.522960 z{
x
k 3 {
ij -0.000316183 yz
j
zz
zz
F HP1 L = jjjj -0.442229
zz
jj
z
k 0.000679587 {
ij 3.00000
j
J HP1 L = jjjj 0.999735
jj
k -0.0240629
0.00666131 -0.000310261 y
zz
zz
-20.1459
0.866345
zz
zz
-0.493818
20.0000
{
Se resuelve el sistema lineal J HP1 L DP = -F HP1 L:
ij 3.00000
jj
jj 0.999735
jj
j
k -0.0240629
ij Dx1
jj
DP = jjj Dx2
jj
k Dx3
0.00666131 -0.000310261 y ij Dx1
zz jj
zz.jj D
-20.1459
0.866345
zz jj x2
zz j
-0.493818
20.0000
{ k Dx3
yz ij 0.000154114 yz
zz jj
zz = jj -0.0219684 zzzz
zz jj
zz
z j
z
-0.000576215
k
{
{
El siguiente punto de la iteración es:
P2 = P1 + DP
yz
zz
zz
zz
z
{
ij 0.499868 yz ij 0.000154114 yz ij 0.500022
yz
j
z j
z j
z
P2 = jjjj 0.0243576 zzzz + jjjj -0.0219684 zzzz = jjjj 0.00238921 zzzz
jj
zz jj
zz jj
zz
k -0.52296 { k -0.000576215 { k -0.523536 {
87
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Iteración i = 2.
ij x1H2L yz i 0.500022
yz
jj
zz jj
z
j
z
P2 = jjjj x2H2L zzzz = jjjj 0.00238921 zzzz
z
jj
z j
j H2L zz jk -0.523536 z{
k x3 {
0.0000658141 y
jij
zz
j
j
F HP2 L = jj -0.0390915 zzzz
jj
zz
k 0.0000631242 {
ij 3.00000
0.000654858 -2.98851 µ 10-6
jj
J HP2 L = jjjj 1.00004
-16.5871
0.866057
j
-0.00238636
-0.499425
20.0000
k
Se resuelve el sistema lineal J HP2 L DP = -F HP2 L:
ij 3.00000
0.000654858 -2.98851 µ 10-6
jj
jj 1.00004
-16.5871
0.866057
jj
j
20.0000
k -0.00238636 -0.499425
ij Dx1
jj
DP = jjj Dx2
jj
k Dx3
yz ij -0.0000214227 yz
zz jj
zz = jj -0.00236128 zzzz
zz jj
zz
z j
z
{ k -0.0000621228 {
yz ji Dx1
zz jj
zz.jj Dx
zz jj 2
zj
{ k Dx3
yz
zz
zz
zz
z
{
zyz
zz
zz
zz
{
El siguiente punto de la iteración es:
P3 = P2 + DP
ij 0.500022
yz ij -0.0000214227 yz ij 0.5
yz
j
z j
z j
z
P3 = jjjj 0.00238921 zzzz + jjjj -0.00236128 zzzz = jjjj 0.000027929 zzzz
jj
zz jj
zz jj
zz
k -0.523536 { k -0.0000621228 { k -0.523598 {
Iteración i = 3.
ij x1H3L yz i 0.500000
yz
jj
z
z
jj H3L zzz jjjj
j
z
P3 = jj x2 zz = jj 0.0000279290 zzzz
zz
jj
zz jj
j H3L z k -0.523598
{
x
k 3 {
ij 7.63928 µ 10-7 yz
jj
zz
F HP3 L = jjjj -0.000451626 zzzz
jj
z
-7 z
k 6.45934 µ 10 {
ij 3.00000
7.65687 µ 10-6
jj
J HP3 L = jjjj 1.00000
-16.2045
j
k -0.0000279286 -0.499993
88
-4.08422 µ 10-10
0.866026
20.0000
yz
zz
zz
zz
z
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Se resuelve el sistema lineal J HP3 L DP = -F HP3 L:
7.65687 µ 10-6
jij 3.00000
jj
jj 1.00000
-16.2045
jj
k -0.0000279286 -0.499993
ij Dx1
jj
DP = jjj Dx2
jj
k Dx3
-7
yz jij -2.54571 µ 10
zz jj
zz = jj -0.0000279251
zz jj
z j
{ k -7.30415 µ 10-7
-4.08422 µ 10-10
0.866026
20.0000
zyz
zz
zz
zz
z
{
El siguiente punto de la iteración es:
P4 = P3 + DP
-7
i
0.5
jij
zyz jjj -2.54571 µ 10
P4 = jjjj 0.000027929 zzzz + jjjj -0.0000279251
jj
zz jj
k -0.523598 { k -7.30415 µ 10-7
zyz jij Dx1
zz jj D
zz.jj x2
zz jj
{ k Dx3
zyz
zz
zz
zz
{
yz ij 0.5
zz jj
zz = jj 3.90671 µ 10-9
zz jj
zz j
{ k -0.523599
yz
zz
zz
zz
z
{
Iteración i = 4.
ij x1H4L yz i 0.500000
zz jj
jj
z j
j
P4 = jjjj x2H4L zzzz = jjjj 3.90671 µ 10-9
z
jj
j H4L zz j -0.523599
x
k 3 { k
ij 1.06894 µ 10-10
jj
j
F HP4 L = jjj -6.31645 µ 10-8
jj
j
-11
k 9.03668 µ 10
jij 3.00000
j
J HP4 L = jjjj 1.00000
jj
-9
k -3.90671 µ 10
yz
zz
zz
zz
zz
z
{
yz
zz
zz
zz
z
{
1.07105 µ 10-9
-16.2000
-7.99135 µ 10-18
0.866025
-0.500000
20.0000
Se resuelve el sistema lineal J HP4 L DP = -F HP4 L:
jij 3.00000
jj
jj 1.00000
jj
j
-9
k -3.90671 µ 10
ij Dx1
jj
DP = jjj Dx2
jj
k Dx3
1.07105 µ 10-9
-16.2000
-7.99135 µ 10-18
0.866025
-0.500000
20.0000
-11
yz
yz ijj -3.56313 µ 10
zz
zz jj
zz
-9
zz = jj -3.90671 µ 10
zz
zz jj
zz
z jj
z
-10
{ k -1.02186 µ 10
{
El siguiente punto de la iteración es:
P5 = P4 + DP
ij 0.5
jj
P5 = jjjj 3.90671 µ 10-9
j
k -0.523599
zyz ijj Dx1
zz jj
zz.jj Dx2
zz jj
z
{ k Dx3
zyz
zz
zz
zz
z
{
yz
zz
zz
zz
z
{
-11
yz i 0.5
yz ijj -3.56313 µ 10
yz
zz jjj
zz jj
z
zz jj
-9
-17 z
zz + jj -3.90671 µ 10
zz
=
z
8.71767
µ
10
zz jj
j
zz
z
zz jj
z jj
z
z
-10
-0.523599
{ k -1.02186 µ 10
{
{ k
89
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Tabla de datos.
i
Pi
0
ij 0.5 yz
jj
z
jj 0.1 zzz
jj
zz
j
z
k -0.1 {
1
2
3
4
ij Dx1
jj
DP = jjj Dx2
jj
k Dx3
ij 0.499868 yz
jj
z
jj 0.0243576 zzz
jj
zz
j
z
k -0.52296 {
ij 0.500022
yz
jj
z
jj 0.00238921 zzz
jj
zz
j
z
-0.523536
k
{
ij 0.5
yz
jj
z
jj 0.000027929 zzz
jj
zz
j
z
k -0.523598 {
ij 0.5
jj
jj 3.90671 µ 10-9
jj
j
k -0.523599
yz
zz
zz
zz
z
{
yz
zz
zz
zz
z
{
-0.000132437
ij
yz
jj
zz
jjj -0.0756424 zzz
jj
zz
k -0.42296
{
ij 0.000154114 yz
jj
zz
jjj -0.0219684 zzz
jj
zz
k -0.000576215 {
ij -0.0000214227 yz
jj
z
jj -0.00236128 zzz
jj
zz
j
z
-0.0000621228
k
{
ij -2.54571 µ 10-7
jj
jj -0.0000279251
jj
jj
-7
k -7.30415 µ 10
yz
zz
zz
zz
zz
{
-11
jij -3.56313 µ 10
zyz
jj
z
jj -3.90671 µ 10-9 zzz
jj
zz
jj
z
-10 z
k -1.02186 µ 10
{
Pi+1 = Pi + DP
¥Pi+1 - Pi ∞¶
ij 0.499868 yz
jj
z
jj 0.0243576 zzz
jj
zz
j
z
k -0.52296 {
0.42296
ij 0.500022
yz
jj
z
jj 0.00238921 zzz
jj
zz
j
z
k -0.523536 {
0.0219684
ij 0.5
yz
jj
z
jj 0.000027929 zzz
jj
zz
j
z
-0.523598
k
{
0.5
jij
jj
jj 3.90671 µ 10-9
jj
k -0.523599
zyz
zz
zz
zz
{
ij 0.5
yz
jj
z
jj 8.71767 µ 10-17 zzz
jj
zz
j
z
-0.523599
k
{
0.00236128
0.0000279251
3.90671 µ 10-9
La solución aproximada del sistema es:
ij 0.500000
yz
jj
zz
-17
j
zz
P5 = jjj 8.71767 µ 10
zz
j
z
k -0.523599
{
à Problema 17. Mediante el método de Newton para sistemas no lineales calcular las
aproximaciones P1 y P2 , partiendo del punto inicial P0 para los sistemas no lineales
siguientes:
a)
f1 Hx1 , x2 L = 4 x21 - 20 x1 + 1 ê 4 x22 + 8 = 0,
f2 Hx1 , x2 L = 1 ê 2 x1 x22 + 2 x1 - 5 x2 + 8 = 0,
H0L T
T
P0 = IxH0L
1 , x2 M = H0, 0L .
b)
f1 Hx1 , x2 L = senH4 p x1 x2 L - 2 x2 - x1 = 0,
f2 Hx1 , x2 L = HH4 p - 1L ê H4 pLL He2 x1 - eL + 4 e x22 - 2 e x1 = 0,
H0L T
T
P0 = IxH0L
1 , x2 M = H0, 0L .
c)
f1 Hx1 , x2 , x3 L = 3 x1 - cosHx2 x3 L - 1 ê 2 = 0,
f2 Hx1 , x2,x3 L = 4 x21 - 625 x22 + 2 x2 - 1 = 0,
f3 Hx1 , x2 , x3 L = e-x1 x2 + 20 x3 + H10 p - 3L ê 3 = 0,
H0L H0L T
T
P0 = IxH0L
1 , x2 , x3 M = H0, 0, 0L .
d)
f1 Hx1 , x2 , x3 L = x21 + x2 - 37 = 0,
f2 Hx1 , x2 , x3 L = x1 - x22 - 5 = 0,
90
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
f3 Hx1 , x2 , x3 L = x1 + x2 + x3 - 3 = 0,
H0L H0L T
T
P0 = IxH0L
1 , x2 , x3 M = H0, 0, 0L
Solución
a)
Clear@ecuaciones, p, m, dD;
ecuaciones = 84 x21 − 20 x1 + x22 ê 4 + 8, x1 x22 ê 2 + 2 x1 − 5 x2 + 8 <;
p = 80.0, 0.0<;
m = 2;
d = 10.−6 ;
newtonSistemasNoLineal@ecuaciones, p, m, dD;
Método de Newton- Raphson para sistemas de ecuaciones no lineales.
x2
ij 4 x12 - 20 x1 + ÅÅÅÅ
yz i 0 y
ÅÅÅÅ + 8
jj
zz jj zz
4
fi Hx1 , x2 L = jj
z=
j ÅÅÅÅ1Å x x 2 - 5 x + 2 x + 8 zz k 0 {
2
1
k 2 1 2
{
2
ij x1H0L yz i 0. y
P0 = jjj H0L zzz = jj zz
k x2 { k 0. {
La función vectorial y la matriz jacobiana son:
x
jij 4 x12 - 20 x1 + ÅÅÅÅ42ÅÅÅÅ + 8
zyz
zz
F Hx1 , x2 L = jjj
j ÅÅÅÅ1Å x x 2 - 5 x + 2 x + 8 zz
1
2
1
2
k 2
{
2
x
ij 8 x1 - 20 ÅÅÅÅ22ÅÅ
j
j
J Hx1 , x2 L = jj x 2
2
x1 x2 - 5
k ÅÅÅÅ2ÅÅÅÅ + 2
yz
zz
zz
{
Iteración i = 0.
ij x1H0L yz i 0 y
P0 = jjj H0L zzz = jj zz
k x2 { k 0 {
i 8.00000 yz
z
F HP0 L = jj
k 8.00000 {
i -20.0000 0
J HP0 L = jj
-5.00000
k 2.00000
91
yz
z
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Se resuelve el sistema lineal J HP0 L DP = -F HP0 L:
-20.0000 0
yz ji Dx1 yz
jji
z
z.j
2.00000
-5.00000
k
{ k Dx2 {
i Dx1
DP = jj
k Dx2
yz ij 0.4 yz
z=j
z
{ k 1.76 {
El siguiente punto de la iteración es:
P1 = P0 + DP
i 0. y i 0.4 zy ji 0.4 zy
z=j
z
P1 = jj zz + jj
k 0. { k 1.76 { k 1.76 {
Iteración i = 1.
H1L
ji x1 zy i 0.400000 yz
z
P1 = jjj H1L zzz = jj
k x2 { k 1.76000 {
i 1.41440 zy
z
F HP1 L = jj
k 0.619520 {
i -16.8000 0.880000 yz
z
J HP1 L = jj
-4.29600 {
k 3.54880
Se resuelve el sistema lineal J HP1 L DP = -F HP1 L:
-16.8000 0.880000 y ji Dx1 zy
jji
zz.j
z
-4.29600 { k Dx2 {
k 3.54880
i Dx1 yz ji 0.0958936 zy
z=j
z
DP = jj
k Dx2 { k 0.223423 {
El siguiente punto de la iteración es:
P2 = P1 + DP
i 0.4 yz ij 0.0958936 yz
z+j
z=
P2 = jj
k 1.76 { k 0.223423 {
ij 0.495894 yz
j
z
k 1.98342 {
Tabla de datos.
i
0
1
Pi
ij 0. yz
j z
k 0. {
0.4 y
jij
zz
k 1.76 {
i Dx1 yz
z
DP = jj
Pi+1 = Pi + DP
k Dx2 {
ij 0.4 yz
ij 0.4 yz
j
z
j
z
1.76
k
{
k 1.76 {
0.0958936 y i 0.495894 y
jij
zz jj
zz
k 0.223423 { k 1.98342 {
92
¥Pi+1 - Pi ∞¶
1.76
0.223423
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
La solución aproximada del sistema es:
i 0.495894 yz
z
P2 = jj
k 1.98342 {
Solución
b)
Clear@ecuaciones, p, m, dD;
ecuaciones = 8 Sin@4 ∗ Pi ∗ x1 ∗ x2 D − 2 x2 − x1 ,
HH4 Pi − 1L ê H4 PiLL HExp@2 x1 D − EL + 4 E Hx2 L2 − 2 E ∗ x1 <;
p = 80.0, 0.0<;
m = 2;
d = 10.−6 ;
newtonSistemasNoLineal@ecuaciones, p, m, dD;
Método de Newton- Raphson para sistemas de ecuaciones no lineales.
ij sinH4 p x1 x2 L - x1 - 2 x2
yz i 0 y
z = jj zz
fi Hx1 , x2 L = jjj
z
H-‰+‰2 x1 L H-1+4 pL z
2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ { k 0 {
k 4 ‰ x2 - 2 ‰ x1 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
4p
H0L
ji x1 zy i 0. y
P0 = jjj H0L zzz = jj zz
k x2 { k 0. {
La función vectorial y la matriz jacobiana son:
ij sinH4 p x1 x2 L - x1 - 2 x2
F Hx1 , x2 L = jjj
H-‰+‰2 x1 L H-1+4 pL
2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
k 4 ‰ x2 - 2 ‰ x1 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
4p
yz
zz
z
{
ij 4 p cosH4 p x1 x2 L x2 - 1 4 p cosH4 p x1 x2 L x1 - 2
J Hx1 , x2 L = jjj
‰2 x1 H-1+4 pL
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
8 ‰ x2
k -2 ‰ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
2p
Iteración i = 0.
H0L
jij x1 zyz ij 0 yz
P0 = jj H0L zz = j z
k x2 { k 0 {
yz
i0
z
F HP0 L = jj
k -1.58155 {
i -1.00000 -2.00000 yz
z
J HP0 L = jj
k -3.59572 0
{
93
yz
zz
z
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Se resuelve el sistema lineal J HP0 L DP = -F HP0 L:
-1.00000 -2.00000 y ji Dx1 yz
jji
zz.j
z
k -3.59572 0
{ k Dx2 {
i Dx1
DP = jj
k Dx2
yz ij -0.439841 yz
z=j
z
{ k 0.219921 {
El siguiente punto de la iteración es:
P1 = P0 + DP
i 0. y i -0.439841 zy ji -0.439841 zy
z=j
z
P1 = jj zz + jj
k 0. { k 0.219921 { k 0.219921 {
Iteración i = 1.
H1L
ji x1 zy i -0.439841 yz
z
P1 = jjj H1L zzz = jj
k x2 { k 0.219921 {
i -0.937560 yz
z
F HP1 L = jj
k 0.797033 {
i -0.0387518 -3.92250 yz
z
J HP1 L = jj
4.78245 {
k -4.67277
Se resuelve el sistema lineal J HP1 L DP = -F HP1 L:
-0.0387518 -3.92250 y ji Dx1 zy
jji
zz.j
z
4.78245 { k Dx2 {
k -4.67277
i Dx1 yz ji -0.0733204 zy
z=j
z
DP = jj
k Dx2 { k -0.238297 {
El siguiente punto de la iteración es:
P2 = P1 + DP
i -0.439841 yz ij -0.0733204 yz ij -0.513162 yz
z+j
z=j
z
P2 = jj
k 0.219921 { k -0.238297 { k -0.0183762 {
Tabla de datos.
i
0
1
Pi
0.
jji yzz
k 0. {
-0.439841 y
jij
zz
k 0.219921 {
i Dx1 yz
z
DP = jj
k Dx2 {
ij -0.439841 yz
j
z
k 0.219921 {
-0.0733204 y
jij
zz
k -0.238297 {
Pi+1 = Pi + DP
ij -0.439841 yz
j
z
k 0.219921 {
-0.513162 y
jij
zz
k -0.0183762 {
94
¥Pi+1 - Pi ∞¶
0.439841
0.238297
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
La solución aproximada del sistema es:
i -0.513162 yz
z
P2 = jj
k -0.0183762 {
Solución
c)
Clear@ecuaciones, p, m, dD;
ecuaciones = 83 x1 − Cos@x2 ∗ x3 D − 1 ê 2, 4 Hx1 L2 − 625 Hx2 L2 + 2 x2 − 1,
Exp@−x1 ∗ x2 D + 20 x3 + H10 Pi − 3L ê 3<;
p = 80.0, 0.0, 0.0<;
m = 2;
d = 10.−6 ;
newtonSistemasNoLineal@ecuaciones, p, m, dD;
Método de Newton- Raphson para sistemas de ecuaciones no lineales.
ij -cosHx2 x3 L + 3 x1 - ÅÅÅÅ12Å
yz i 0 y
jj
zz jj zz
jj
zz jj zz
zz = j 0 z
fi Hx1 , x2 , x3 L = jjj 4 x12 - 625 x22 + 2 x2 - 1
zz jjj zzz
jj
zz
j
1
-x1 x2
+ ÅÅÅÅ3Å H-3 + 10 pL { k 0 {
k 20 x3 + ‰
ij x1H0L yz i 0. y
jj
zz jj zz
j
z
P0 = jjjj x2H0L zzzz = jjjj 0. zzzz
jj
z j z
j H0L zz jk 0. z{
x
k 3 {
La función vectorial y la matriz jacobiana son:
ij -cosHx2 x3 L + 3 x1 - ÅÅÅÅ12Å
yz
jj
zz
jj
zz
2
2
zz
F Hx1 , x2 , x3 L = jjj 4 x1 - 625 x2 + 2 x2 - 1
zz
jj
zz
j
1
-x1 x2
20
x
+
‰
+
ÅÅÅÅ
Å
H-3
+
10
pL
3
k
{
3
ij 3
j
J Hx1 , x2 , x3 L = jjjj 8 x1
jj -x x
k -‰ 1 2 x2
sinHx2 x3 L x3 sinHx2 x3 L x2
2 - 1250 x2 0
-‰-x1 x2 x1
20
95
yz
zz
zz
zz
z
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Iteración i = 0.
ij x1H0L yz i 0 y
jj
zz jj zz
j
z
P0 = jjjj x2H0L zzzz = jjjj 0 zzzz
jj
z j z
j H0L zz jk 0 z{
k x3 {
-1.50000 y
jij
zz
j
j
F HP0 L = jj -1.00000 zzzz
jj
zz
k 10.4720 {
0
ij 3.00000 0
yz
jj
zz
zz
2.00000 0
J HP0 L = jjj 0
zz
jj
z
0
20.0000 {
k0
Se resuelve el sistema lineal J HP0 L DP = -F HP0 L:
0
ij 3.00000 0
yz ij Dx1
jj
zz jjj
jj 0
zz.jj Dx2
2.00000 0
jj
zz jj
j
z
0
20.0000 { k Dx3
k0
ij Dx1
jj
DP = jjj Dx2
jj
k Dx3
yz ji 0.5
zyz
zz jj
zz
zz = jj 0.5
zz
zz jj
zz
z j
-0.523599
{
{ k
yz
zz
zz
zz
z
{
El siguiente punto de la iteración es:
P1 = P0 + DP
ij 0. yz ij 0.5
yz ij 0.5
yz
jj zz jj
zz jj
zz
j
z
j
z
j
zz
0.
0.5
0.5
P1 = jj zz + jj
zz = jj
zz
jj zz jj
zz jj
z
0.
-0.523599
-0.523599
k { k
{ k
{
Iteración i = 1.
ij x1H1L yz i 0.500000 y
jj
zz jj
zz
j
z
P1 = jjjj x2H1L zzzz = jjjj 0.500000 zzzz
z
jj
z j
j H1L zz jk -0.523599 z{
x
k 3 {
ij 0.0340742 yz
j
z
F HP1 L = jjjj -155.250 zzzz
jj
zz
k -0.221199 {
3.00000
0.135517
-0.129410 y
jij
zz
j
zz
j
-623.000
0
J HP1 L = jj 4.00000
zz
jj
zz
-0.389400
-0.389400
20.0000
k
{
96
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Se resuelve el sistema lineal J HP1 L DP = -F HP1 L:
3.00000
0.135517
-0.129410 y ji Dx1
jij
zz jj
jj 4.00000
zz.jj D
-623.000
0
jj
zz jj x2
jj
zz j
k -0.389400 -0.389400 20.0000
{ k Dx3
ij Dx1
jj
DP = jjj Dx2
jj
k Dx3
yz ij 0.000166687 yz
zz jj
zz = jj -0.249196 zzzz
zz jj
zz
z j
z
0.00621135
{
{ k
zyz
zz
zz
zz
{
El siguiente punto de la iteración es:
P2 = P1 + DP
ij 0.5
yz ij 0.000166687 yz ij 0.500167 yz
jj
zz jj
z j
z
zz + jj -0.249196 zzz = jjj 0.250804 zzz
P2 = jjj 0.5
z
j
z
j
zz
jj
zz jj
zz jj
z
k -0.523599 { k 0.00621135 { k -0.517387 {
Tabla de datos.
i
Pi
0
ij 0. yz
jj zz
jj 0. zz
jj zz
j z
k 0. {
1
ij 0.5
yz
jj
zz
jj 0.5
zz
jj
zz
j
z
-0.523599
k
{
ij Dx1
jj
DP = jjj Dx2
jj
k Dx3
yz
zz
zz
zz
z
{
ij 0.5
yz
jj
zz
jj 0.5
zz
jj
zz
j
z
-0.523599
k
{
ij 0.000166687 yz
jj
z
jj -0.249196 zzz
jj
zz
j
z
0.00621135
k
{
Pi+1 = Pi + DP
¥Pi+1 - Pi ∞¶
ij 0.5
yz
jj
zz
jj 0.5
zz
jj
zz
j
z
-0.523599
k
{
0.523599
ij 0.500167 yz
jj
z
jj 0.250804 zzz
jj
zz
j
z
-0.517387
k
{
La solución aproximada del sistema es:
ij 0.500167 yz
j
z
P2 = jjjj 0.250804 zzzz
jj
zz
k -0.517387 {
Solución
d)
97
0.249196
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Clear@ecuaciones, p, m, dD;
ecuaciones = 8x21 + x2 − 37, x1 − x22 − 5, x1 + x2 + x3 − 3<;
p = 80.0, 0.0, 0.0<;
m = 2;
d = 10.−6 ;
newtonSistemasNoLineal@ecuaciones, p, m, dD;
Método de Newton- Raphson para sistemas de ecuaciones no lineales.
ij x12 + x2 - 37
yz i 0 y
jj
zz jjj zzz
j
zz = jj 0 zz
fi Hx1 , x2 , x3 L = jjj -x22 + x1 - 5
zz jj zz
jj
zz j z
x
+
x
+
x
3
k 1
2
3
{ k0 {
ij x1H0L yz i 0. y
jj
zz jj zz
j
z
P0 = jjjj x2H0L zzzz = jjjj 0. zzzz
jj
z j z
j H0L zz jk 0. z{
x
k 3 {
La función vectorial y la matriz jacobiana son:
ij x12 + x2 - 37
yz
jj
zz
j
zz
F Hx1 , x2 , x3 L = jjj -x22 + x1 - 5
zz
jj
zz
+
x
+
x
3
x
k 1
2
3
{
ij 2 x1
j
J Hx1 , x2 , x3 L = jjjj 1
jj
k1
1
-2 x2
1
0
0
1
yz
zz
zz
zz
z
{
Iteración i = 0.
ij x1H0L yz i 0 y
zz jj zz
jj
j
z
P0 = jjjj x2H0L zzzz = jjjj 0 zzzz
jj
z j z
j H0L zz jk 0 z{
x
k 3 {
ij -37.0000 yz
j
z
F HP0 L = jjjj -5.00000 zzzz
jj
zz
k -3.00000 {
1.00000 0
ij 0
yz
jj
zz
j
zz
1.00000
0
0
J HP0 L = jj
zz
jj
z
1.00000
1.00000
1.00000
k
{
98
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Se resuelve el sistema lineal J HP0 L DP = -F HP0 L:
D
0
1.00000 0
jij
zyz jijj x1
jj 1.00000 0
z
j
z
0
jj
zz.jjj Dx2
jj
zz j
k 1.00000 1.00000 1.00000 { k Dx3
ij Dx1
jj
DP = jjj Dx2
jj
k Dx3
yz ij 5.
yz
zz jj
zz = jj 37. zzzz
zz jj
zz
z j
z
-39.
{
{ k
zyz
zz
zz
zz
{
El siguiente punto de la iteración es:
P1 = P0 + DP
ij 0. yz ij 5.
yz ij 5.
yz
jj zz jj
z j
z
P1 = jjj 0. zzz + jjj 37. zzzz = jjjj 37. zzzz
jj zz jj
zz jj
zz
k 0. { k -39. { k -39. {
Iteración i = 1.
ij x1H1L yz i 5.00000 y
zz jj
jj
zz
z
j
P1 = jjjj x2H1L zzzz = jjjj 37.0000 zzzz
z
z j
jj
j H1L zz jk -39.0000 z{
x
k 3 {
ij 25.0000 yz
j
z
F HP1 L = jjjj -1369.00 zzzz
jj
zz
k0
{
0
ij 10.0000 1.00000
yz
jj
zz
j
zz
1.00000
-74.0000
0
J HP1 L = jj
zz
jj
z
1.00000
1.00000
1.00000
k
{
Se resuelve el sistema lineal J HP1 L DP = -F HP1 L:
0
ij 10.0000 1.00000
yz ij Dx1
jj
zz jjj
jj 1.00000 -74.0000 0
zz.jj Dx2
jj
zz jj
j
z
1.00000
1.00000
1.00000
k
{ k Dx3
ij Dx1
jj
DP = jjj Dx2
jj
k Dx3
yz ij -0.649123 yz
zz jj
zz = jj -18.5088 zzzz
zz jj
zz
z j
z
{
{ k 19.1579
El siguiente punto de la iteración es:
P2 = P1 + DP
yz
zz
zz
zz
z
{
5.
-0.649123 y i 4.35088 y
jij
zyz jij
zz jj
zz
j
z
j
j
z
j
P2 = jj 37. zz + jj -18.5088 zzzz = jjjj 18.4912 zzzz
jj
zz jj
zz jj
zz
k -39. { k 19.1579
{ k -19.8421 {
Tabla de datos.
99
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
i
Pi
0
ij 0. yz
jj zz
jj 0. zz
jj zz
j z
k 0. {
1
5.
jij
zy
jj 37. zzz
jj
zz
jj
zz
-39.
k
{
ij Dx1
jj
DP = jjj Dx2
jj
k Dx3
ij 5.
yz
jj
z
jj 37. zzz
jj
zz
j
z
-39.
k
{
yz
zz
zz
zz
z
{
-0.649123 y
jij
z
jj -18.5088 zzz
jj
zz
jj
zz
19.1579
k
{
Pi+1 = Pi + DP
¥Pi+1 - Pi ∞¶
ij 5.
yz
jj
z
jj 37. zzz
jj
zz
j
z
-39.
k
{
39.
4.35088 y
jij
z
jj 18.4912 zzz
jj
zz
jj
zz
-19.8421
k
{
19.1579
La solución aproximada del sistema es:
4.35088 y
jij
zz
j
j
P2 = jj 18.4912 zzzz
jj
zz
k -19.8421 {
à Problema 18. Dado el siguiente problema no lineal
f1 Hx1 , x2 L = x1 H1 - x1 L + 4 x2 = 12,
f2 Hx1 , x2 L = Hx1 - 2L2 + H2 x2 - 3L2 = 25.
a)
Representar gráficamente las curvas f1 y f2 .
b)
Calcular la solución aproximada del sistema empleando el método de Newton
comenzando en los puntos
H0L T
T
P0 = IxH0L
1 , x2 M = H2, 3L ,
H0L
T
P0 = IxH0L
1 , x2 M = H-2, -2L
e iterando hasta que ∞Pi+1 - Pi ¥¶ § 5 µ 10-2 .
T
Solución
a)
<< Graphics`ImplicitPlot`;
Clear@ecuaciones, p, m, d, f, g, g1, g2, gD;
f = x H1 − xL + 4 y − 12;
g = Hx − 2L2 + H2 y − 3L2 − 25;
Print@"Representación gráfica de la solución",
"\n\t f1 Hx, yL = ", f, "\n\t f2 Hx, yL = ", gD;
g1 = ImplicitPlot @f == 0, 8x, −3, 7<,
PlotStyle −> 88Thickness @0.010D, RGBColor @0, 0, 1D<<,
AxesLabel −> 8"X", "Y"<, DisplayFunction −> Identity D;
g2 = ImplicitPlot @g == 0, 8x, −3, 7<,
PlotStyle −> 88Thickness @0.010D, RGBColor @1, 0, 0D<<,
D
100
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
AxesLabel −> 8"X", "Y"<, DisplayFunction −> Identity D;
g = Show @g1, g2, AxesLabel −> 8"X", "Y"<,
AspectRatio −> Automatic, DisplayFunction −> $DisplayFunctionD;
Representación gráfica de la solución
f1 Hx, yL = H1 - xL x + 4 y - 12
f2 Hx, yL = Hx - 2L2 + H2 y - 3L2 - 25
Y
12
10
8
6
4
2
-2
2
4
6
X
Solución
b)
Clear@ecuaciones, p, m, dD;
ecuaciones = 8x1 H1 − x1 L + 4 x2 − 12, Hx1 − 2L2 + H2 x2 − 3L2 − 25<;
p = 82.0, 3.0<;
m = 10;
d = 5 ∗ 10.−2 ;
newtonSistemasNoLineal@ecuaciones, p, m, dD;
p = 8−2.0, 2.0<;
m = 10;
d = 5 ∗ 10.−2 ;
newtonSistemasNoLineal@ecuaciones, p, m, dD;
Método de Newton- Raphson para sistemas de ecuaciones no lineales.
i H1 - x1 L x1 + 4 x2 - 12
yz ij 0 yz
z=j z
fi Hx1 , x2 L = jj
2
2
k Hx1 - 2L + H2 x2 - 3L - 25 { k 0 {
ij x1H0L yz i 2. y
P0 = jjj H0L zzz = jj zz
k x2 { k 3. {
101
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
La función vectorial y la matriz jacobiana son:
i H1 - x1 L x1 + 4 x2 - 12
yz
z
F Hx1 , x2 L = jj
2
2
k Hx1 - 2L + H2 x2 - 3L - 25 {
4
i 1 - 2 x1
J Hx1 , x2 L = jj
k 2 Hx1 - 2L 4 H2 x2 - 3L
yz
z
{
Iteración i = 0.
ij x1H0L yz i 2.00000 y
zz
P0 = jjj H0L zzz = jj
k x2 { k 3.00000 {
i -2.00000 yz
z
F HP0 L = jj
k -16.0000 {
i -3.00000 4.00000
J HP0 L = jj
12.0000
k0
yz
z
{
Se resuelve el sistema lineal J HP0 L DP = -F HP0 L:
-3.00000 4.00000 y ji Dx1 yz
jji
zz.j
z
12.0000 { k Dx2 {
k0
i Dx1
DP = jj
k Dx2
yz ij 1.11111 yz
z=j
z
{ k 1.33333 {
El siguiente punto de la iteración es:
P1 = P0 + DP
i 2. y i 1.11111 yz ij 3.11111 yz
z=j
z
P1 = jj zz + jj
k 3. { k 1.33333 { k 4.33333 {
Iteración i = 1.
ij x1H1L yz i 3.11111 y
zz
P1 = jjj H1L zzz = jj
4.33333
k
{
x
k 2 {
i -1.23457 zy
z
F HP1 L = jj
k 8.34568 {
i -5.22222 4.00000
J HP1 L = jj
22.6667
k 2.22222
yz
z
{
Se resuelve el sistema lineal J HP1 L DP = -F HP1 L:
-5.22222 4.00000 y ji Dx1 yz
jji
zz.j
z
22.6667 { k Dx2 {
k 2.22222
i Dx1 yz ij -0.482214 yz
z=j
z
DP = jj
k Dx2 { k -0.320916 {
102
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
El siguiente punto de la iteración es:
P2 = P1 + DP
i 3.11111 zy ji -0.482214 zy ji 2.6289 zy
z+j
z=j
z
P2 = jj
k 4.33333 { k -0.320916 { k 4.01242 {
Iteración i = 2.
H2L
jij x1 zyz ij 2.62890 yz
z
P2 = jj H2L zz = j
k x2 { k 4.01242 {
i -0.232531 yz
z
F HP2 L = jj
k 0.644479 {
i -4.25779 4.00000 yz
z
J HP2 L = jj
20.0993 {
k 1.25779
Se resuelve el sistema lineal J HP2 L DP = -F HP2 L:
-4.25779 4.00000 y ji Dx1 yz
jji
zz.j
z
20.0993 { k Dx2 {
k 1.25779
i Dx1
DP = jj
k Dx2
yz ji -0.0800312 zy
z=j
z
{ k -0.0270564 {
El siguiente punto de la iteración es:
P3 = P2 + DP
i 2.6289 yz ij -0.0800312 yz ij 2.54887 yz
z+j
z=j
z
P3 = jj
k 4.01242 { k -0.0270564 { k 3.98536 {
Iteración i = 3.
ij x1H3L yz i 2.54887 y
zz
P3 = jjj H3L zzz = jj
k x2 { k 3.98536 {
i -0.00640500 yz
z
F HP3 L = jj
k 0.00933319 {
i -4.09773 4.00000
J HP3 L = jj
19.8829
k 1.09773
yz
z
{
Se resuelve el sistema lineal J HP3 L DP = -F HP3 L:
-4.09773 4.00000 y ji Dx1 yz
jji
zz.j
z
19.8829 { k Dx2 {
k 1.09773
i Dx1
DP = jj
k Dx2
yz ij -0.00191791 yz
z=j
z
{ k -0.000363521 {
103
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
El siguiente punto de la iteración es:
P4 = P3 + DP
i 2.54887 zy ji -0.00191791 zy ji 2.54695 zy
z+j
z=j
z
P4 = jj
k 3.98536 { k -0.000363521 { k 3.985 {
Tabla de datos.
i
0
1
2
3
Pi
2.
jij zyz
k 3. {
3.11111
ij
yz
j
z
k 4.33333 {
ij 2.6289 zy
j
z
k 4.01242 {
ij 2.54887 yz
j
z
k 3.98536 {
i Dx1 yz
z
DP = jj
Pi+1 = Pi + DP
k Dx2 {
1.11111 y
3.11111 y
jij
zz
jij
zz
k 1.33333 {
k 4.33333 {
ij -0.482214 yz
ij 2.6289 yz
j
z
j
z
k -0.320916 {
k 4.01242 {
ij -0.0800312 zy
ij 2.54887 yz
j
z
j
z
k -0.0270564 {
k 3.98536 {
ij -0.00191791 yz
ij 2.54695 yz
j
z
j
z
k -0.000363521 {
k 3.985 {
¥Pi+1 - Pi ∞¶
1.33333
0.482214
0.0800312
0.00191791
La solución aproximada del sistema es:
i 2.54695 zy
z
P4 = jj
k 3.98500 {
Método de Newton- Raphson para sistemas de ecuaciones no lineales.
i H1 - x1 L x1 + 4 x2 - 12
yz ji 0 zy
z=j z
fi Hx1 , x2 L = jj
2
2
k Hx1 - 2L + H2 x2 - 3L - 25 { k 0 {
ij x1H0L yz i -2. y
zz
P0 = jjj H0L zzz = jj
2.
k
{
k x2 {
La función vectorial y la matriz jacobiana son:
yz
i H1 - x1 L x1 + 4 x2 - 12
z
F Hx1 , x2 L = jj
2
2
k Hx1 - 2L + H2 x2 - 3L - 25 {
4
i 1 - 2 x1
zyz
J Hx1 , x2 L = jj
k 2 Hx1 - 2L 4 H2 x2 - 3L {
104
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Iteración i = 0.
ij x1H0L yz i -2.00000 y
zz
P0 = jjj H0L zzz = jj
k x2 { k 2.00000 {
i -10.0000 yz
z
F HP0 L = jj
k -8.00000 {
4.00000
i 5.00000
J HP0 L = jj
k -8.00000 4.00000
yz
z
{
Se resuelve el sistema lineal J HP0 L DP = -F HP0 L:
5.00000
4.00000 y ji Dx1 yz
jji
zz.j
z
-8.00000
4.00000 { k Dx2 {
k
i Dx1
DP = jj
k Dx2
yz ij 0.153846 yz
z=j
z
{ k 2.30769 {
El siguiente punto de la iteración es:
P1 = P0 + DP
i -2. yz ij 0.153846 yz ij -1.84615 yz
z+j
z=j
z
P1 = jj
k 2. { k 2.30769 { k 4.30769 {
Iteración i = 1.
H1L
ji x1 zy i -1.84615 yz
z
P1 = jjj H1L zzz = jj
k x2 { k 4.30769 {
i -0.0236686 yz
z
F HP1 L = jj
k 21.3254
{
4.69231
4.00000
i
yz
z
J HP1 L = jj
k -7.69231 22.4615 {
Se resuelve el sistema lineal J HP1 L DP = -F HP1 L:
4.69231
4.00000 y ji Dx1 zy
jji
zz.j
z
k -7.69231 22.4615 { k Dx2 {
i Dx1 yz ij 0.63036
yz
z=j
z
DP = jj
k Dx2 { k -0.733544 {
El siguiente punto de la iteración es:
P2 = P1 + DP
i -1.84615 yz ij 0.63036
yz ij -1.21579 yz
z+j
z=j
z
P2 = jj
4.30769
-0.733544
k
{ k
{ k 3.57415 {
105
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Iteración i = 2.
ij x1H2L yz i -1.21579 y
zz
P2 = jjj H2L zzz = jj
k x2 { k 3.57415 {
i -0.397354 yz
z
F HP2 L = jj
k 2.54970
{
4.00000
i 3.43159
J HP2 L = jj
k -6.43159 16.5932
yz
z
{
Se resuelve el sistema lineal J HP2 L DP = -F HP2 L:
3.43159
4.00000 y ji Dx1 yz
jji
zz.j
z
-6.43159
16.5932 { k Dx2 {
k
i Dx1
DP = jj
k Dx2
yz ij 0.203129
yz
z=j
z
-0.0749256
{ k
{
El siguiente punto de la iteración es:
P3 = P2 + DP
i -1.21579 yz ij 0.203129
yz ij -1.01266 yz
z+j
z=j
z
P3 = jj
k 3.57415 { k -0.0749256 { k 3.49922 {
Iteración i = 3.
H3L
ji x1 zy i -1.01266 yz
z
P3 = jjj H3L zzz = jj
k x2 { k 3.49922 {
i -0.0412615 yz
z
F HP3 L = jj
k 0.0637169 {
4.00000 y
i 3.02533
zz
J HP3 L = jj
k -6.02533 15.9938 {
Se resuelve el sistema lineal J HP3 L DP = -F HP3 L:
3.02533
4.00000 y ji Dx1 zy
jji
zz.j
z
k -6.02533 15.9938 { k Dx2 {
i Dx1 yz ij 0.01262
yz
z=j
z
DP = jj
k Dx2 { k 0.000770471 {
El siguiente punto de la iteración es:
P4 = P3 + DP
i -1.01266 yz ij 0.01262
yz ij -1.00004 yz
z+j
z=j
z
P4 = jj
3.49922
0.000770471
k
{ k
{ k 3.49999 {
Tabla de datos.
106
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
i
Pi
-2. y
jij
zz
k 2. {
ij -1.84615 yz
j
z
k 4.30769 {
-1.21579 y
jji
zz
k 3.57415 {
ij -1.01266 yz
j
z
k 3.49922 {
0
1
2
3
i Dx1 yz
z
DP = jj
Pi+1 = Pi + DP
k Dx2 {
0.153846 y
-1.84615 y
jij
zz
jij
zz
k 2.30769 {
k 4.30769 {
ij 0.63036
yz
ij -1.21579 yz
j
z
j
z
-0.733544
k
{
k 3.57415 {
0.203129
-1.01266 y
jij
zzy
jij
zz
k -0.0749256 {
k 3.49922 {
ij 0.01262
yz ij -1.00004 yz
j
z j
z
k 0.000770471 { k 3.49999 {
¥Pi+1 - Pi ∞¶
2.30769
0.733544
0.203129
0.01262
La solución aproximada del sistema es:
i -1.00004 yz
z
P4 = jj
k 3.49999 {
à Problema 19. Aproximar las soluciones de los siguientes sistemas no lineales,
empleando el método de Newton con la aproximacióin inicial dada, iterando hasta que
»» Pi+1 - Pi »»¶ § 10-6 .
a)
f1 Hx1 , x2 L = 3 x21 - x22 = 0,
f2 Hx1 , x2 L = 3 x1 x22 - x31 - 1 = 0,
T
H0L
H0L H0L T
T
T
P0 = IxH0L
1 , x2 M = H1, 1L y P0 = Ix1 , x2 M = H1, -1L .
b)
f1 Hx1 , x2 L = lnHx21 + x22 L - senHx1 x2 L - Hln 2 + ln pL,
f2 Hx1 , x2 L = eHx1 -x2 L + cosHx1 x2 L = 0,
H0L T
T
P0 = IxH0L
1 , x2 M = H2, 2L .
c)
f1 Hx1 , x2 , x3 L = x31 + x21 x2 - x1 x3 + 6 = 0,
f2 Hx1 , x2 , x3 L = ex1 + ex2 - x3 = 0,
f3 Hx1 , x2 , x3 L = x22 - 2 x1 x3 = 4,
H0L H0L T
T
P0 = IxH0L
1 , x2 , x3 M = H-1, -2, 1L .
d)
f1 Hx1 , x2 , x3 L = 6 x1 - 2 cosHx2 x3 L - 1 = 0,
################
#### + 0.9 = 0,
f Hx , x , x L = 9 x + "################
x2 + senHx
L + 1.06
f3 Hx1 , x2 , x3 L = 60 x3 + 3 e-x1 x2 + 10 p - 3 = 0
H0L H0L T
T
P0 = IxH0L
1 , x2 , x3 M = H0, 0, 0L
2
1
2
3
2
1
3
Solución
a)
<< Graphics`ImplicitPlot`;
Clear@f, g, g1, g2, ecuaciones, p, m, dD;
f = 3 x2 − y2 ;
g = 3 x ∗ y2 − x3 − 1;
107
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
g = 3 x ∗ y2 − x3 − 1;
Print@"Representación gráfica de la solución",
"\n\t f1 Hx, yL = ", f, "\n\t f2 Hx, yL = ", g D;
g1 = ImplicitPlot @f == 0, 8x, −2, 2<,
PlotStyle −> 88Thickness @0.010D, RGBColor @0, 0, 1D<<,
AxesLabel −> 8"X", "Y"<, DisplayFunction −> Identity D;
g2 = ImplicitPlot @g == 0, 8x, −2, 2<,
PlotStyle −> 88Thickness @0.010D, RGBColor @1, 0, 0D<<,
AxesLabel −> 8"X", "Y"<, DisplayFunction −> Identity D;
g = Show @g1, g2, AxesLabel −> 8"X", "Y"<,
AspectRatio −> Automatic, DisplayFunction −> $DisplayFunctionD;
ecuaciones = 83 x21 − x22 , 3 x1 x22 − x31 − 1<;
p = 81.0, 1.0<;
m = 10;
d = 10.−6 ;
newtonSistemasNoLineal@ecuaciones, p, m, dD;
p = 81.0, −1.0<;
m = 10;
d = 10.−6 ;
newtonSistemasNoLineal@ecuaciones, p, m, dD;
Representación gráfica de la solución
f1 Hx, yL = 3 x 2 - y2
f2 Hx, yL = -x 3 + 3 y2 x - 1
Y
4
2
-2 -1
1
-2
-4
108
2
X
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Método de Newton- Raphson para sistemas de ecuaciones no lineales.
yz i 0 y
i 3 x12 - x22
zz = jj zz
fi Hx1 , x2 L = jjjj
z
3
2
-x
+
3
x
x
1
2 1
k 1
{ k0 {
ij x1H0L yz i 1. y
P0 = jjj H0L zzz = jj zz
k x2 { k 1. {
La función vectorial y la matriz jacobiana son:
i 3 x12 - x22
yz
zz
F Hx1 , x2 L = jjjj
z
3
2
k -x1 + 3 x2 x1 - 1 {
-2 x2
i 6 x1
J Hx1 , x2 L = jj
2
2
k 3 x2 - 3 x1 6 x1 x2
yz
z
{
Iteración i = 0.
ij x1H0L yz i 1.00000 y
zz
P0 = jjj H0L zzz = jj
1.00000
k
{
k x2 {
i 2.00000 yz
z
F HP0 L = jj
k 1.00000 {
i 6.00000 -2.00000
J HP0 L = jj
6.00000
k0
yz
z
{
Se resuelve el sistema lineal J HP0 L DP = -F HP0 L:
6.00000 -2.00000 y ji Dx1 yz
jji
zz.j
z
6.00000 { k Dx2 {
k0
i Dx1
DP = jj
k Dx2
yz ij -0.388889 yz
z=j
z
{ k -0.166667 {
El siguiente punto de la iteración es:
P1 = P0 + DP
i 1. y i -0.388889 yz ij 0.611111 yz
z=j
z
P1 = jj zz + jj
k 1. { k -0.166667 { k 0.833333 {
Iteración i = 1.
ij x1H1L yz i 0.611111 y
zz
P1 = jjj H1L zzz = jj
0.833333
k
{
x
k 2 {
i 0.425926 yz
z
F HP1 L = jj
k 0.0449246 {
-1.66667 y
i 3.66667
zz
J HP1 L = jj
k 0.962963 3.05556 {
109
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Se resuelve el sistema lineal J HP1 L DP = -F HP1 L:
3.66667
-1.66667 y ji Dx1 yz
jji
zz.j
z
0.962963
3.05556
k
{ k Dx2 {
i Dx1
DP = jj
k Dx2
yz ij -0.107452 yz
z=j
z
{ k 0.0191611 {
El siguiente punto de la iteración es:
P2 = P1 + DP
i 0.611111 zy ji -0.107452 zy ji 0.503659 zy
z+j
z=j
z
P2 = jj
k 0.833333 { k 0.0191611 { k 0.852494 {
Iteración i = 2.
H2L
ji x1 zy i 0.503659 yz
z
P2 = jjj H2L zzz = jj
k x2 { k 0.852494 {
i 0.0342707 yz
z
F HP2 L = jj
k -0.0296667 {
i 3.02195 -1.70499 yz
z
J HP2 L = jj
k 1.41922 2.57620 {
Se resuelve el sistema lineal J HP2 L DP = -F HP2 L:
3.02195 -1.70499 y ji Dx1 zy
jji
zz.j
z
k 1.41922 2.57620 { k Dx2 {
i Dx1 yz ji -0.00369496 zy
z=j
z
DP = jj
k Dx2 { k 0.0135512
{
El siguiente punto de la iteración es:
P3 = P2 + DP
i 0.503659 yz ij -0.00369496 yz ij 0.499964 yz
z+j
z=j
z
P3 = jj
k 0.852494 { k 0.0135512
{ k 0.866046 {
Iteración i = 3.
ij x1H3L yz i 0.499964 y
zz
P3 = jjj H3L zzz = jj
k x2 { k 0.866046 {
i -0.000142677 zy
z
F HP3 L = jj
k -1.25763 µ 10-6 {
i 2.99978 -1.73209 yz
z
J HP3 L = jj
k 1.50021 2.59795 {
110
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Se resuelve el sistema lineal J HP3 L DP = -F HP3 L:
2.99978 -1.73209 y ji Dx1 yz
jji
zz.j
z
1.50021
2.59795 { k Dx2 {
k
i Dx1
DP = jj
k Dx2
yz ij 0.0000358789 yz
z=j
z
{ k -0.0000202346 {
El siguiente punto de la iteración es:
P4 = P3 + DP
i 0.499964 zy ji 0.0000358789 zy ji 0.5
zyz
z+j
z=j
P4 = jj
k 0.866046 { k -0.0000202346 { k 0.866025 {
Iteración i = 4.
H4L
ji x1 zy i 0.500000 yz
z
P4 = jjj H4L zzz = jj
k x2 { k 0.866025 {
i 3.45246 µ 10-9 yz
zz
F HP4 L = jjjj
-9 z
k -5.08917 µ 10 {
i 3.00000 -1.73205
J HP4 L = jj
k 1.50000 2.59808
yz
z
{
Se resuelve el sistema lineal J HP4 L DP = -F HP4 L:
3.00000 -1.73205 y ji Dx1 yz
jji
zz.j
z
k 1.50000 2.59808 { k Dx2 {
i Dx1
DP = jj
k Dx2
-11
yz
yz ijj -1.49197 µ 10
zz
z = jj
z
-9
{ k 1.96744 µ 10
{
El siguiente punto de la iteración es:
P5 = P4 + DP
-11
yz i 0.5
i 0.5
yz ijj -1.49197 µ 10
yz
zz = jj
z + jj
z
P5 = jj
z
k 0.866025 { k 1.96744 µ 10-9 { k 0.866025 {
Tabla de datos.
i
0
1
Pi
ij 1. yz
j z
k 1. {
0.611111
ij
yz
j
z
k 0.833333 {
i Dx1 zy
z
DP = jj
k Dx2 {
ij -0.388889 yz
j
z
k -0.166667 {
ij -0.107452 yz
j
z
k 0.0191611 {
111
Pi+1 = Pi + DP
ij 0.611111 zy
j
z
k 0.833333 {
ij 0.503659 yz
j
z
k 0.852494 {
¥Pi+1 - Pi ∞¶
0.388889
0.107452
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
2
3
4
0.503659 y
jij
zz
k 0.852494 {
ij 0.499964 zy
j
z
k 0.866046 {
ij 0.5
yz
j
z
k 0.866025 {
-0.00369496 y
jij
zz
k 0.0135512
{
ij 0.0000358789 yz
j
z
k -0.0000202346 {
0.499964 y
jij
zz
k 0.866046 {
0.5
jji
zzy
0.866025
k
{
ij -1.49197 µ 10-11 yz
jj
zz
j
z
-9
k 1.96744 µ 10
{
ij 0.5
yz
j
z
k 0.866025 {
0.0135512
0.0000358789
1.96744 µ 10-9
La solución aproximada del sistema es:
i 0.500000 yz
z
P5 = jj
k 0.866025 {
Método de Newton- Raphson para sistemas de ecuaciones no lineales.
i 3 x12 - x22
yz i 0 y
zz = jj zz
fi Hx1 , x2 L = jjjj
z
3
2
-x
+
3
x
x
1
2 1
k 1
{ k0 {
ij x1H0L yz i 1. y
zz
P0 = jjj H0L zzz = jj
k x2 { k -1. {
La función vectorial y la matriz jacobiana son:
i 3 x12 - x22
yz
zz
F Hx1 , x2 L = jjjj
z
3
2
k -x1 + 3 x2 x1 - 1 {
-2 x2
i 6 x1
J Hx1 , x2 L = jj
2
2
k 3 x2 - 3 x1 6 x1 x2
yz
z
{
Iteración i = 0.
ij x1H0L yz i 1.00000 y
zz
P0 = jjj H0L zzz = jj
-1.00000
k
{
x
k 2 {
i 2.00000 yz
z
F HP0 L = jj
k 1.00000 {
i 6.00000 2.00000
J HP0 L = jj
-6.00000
k0
yz
z
{
Se resuelve el sistema lineal J HP0 L DP = -F HP0 L:
6.00000 2.00000 y ji Dx1 yz
jji
zz.j
z
-6.00000 { k Dx2 {
k0
i Dx1
DP = jj
k Dx2
yz ij -0.388889 yz
z=j
z
{ k 0.166667 {
112
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
El siguiente punto de la iteración es:
P1 = P0 + DP
i 1. zy ji -0.388889 zy
z+j
z=
P1 = jj
k -1. { k 0.166667 {
0.611111 y
jij
zz
k -0.833333 {
Iteración i = 1.
H1L
jij x1 zyz ij 0.611111 yz
z
P1 = jj H1L zz = j
k x2 { k -0.833333 {
i 0.425926 yz
z
F HP1 L = jj
k 0.0449246 {
1.66667 y
i 3.66667
zz
J HP1 L = jj
k 0.962963 -3.05556 {
Se resuelve el sistema lineal J HP1 L DP = -F HP1 L:
3.66667
1.66667 y ji Dx1 yz
jji
zz.j
z
k 0.962963 -3.05556 { k Dx2 {
i Dx1
DP = jj
k Dx2
yz ji -0.107452 zy
z=j
z
{ k -0.0191611 {
El siguiente punto de la iteración es:
P2 = P1 + DP
i 0.611111 yz ij -0.107452 yz ij 0.503659 yz
z+j
z=j
z
P2 = jj
k -0.833333 { k -0.0191611 { k -0.852494 {
Iteración i = 2.
ij x1H2L yz i 0.503659 y
zz
P2 = jjj H2L zzz = jj
k x2 { k -0.852494 {
i 0.0342707 yz
z
F HP2 L = jj
k -0.0296667 {
i 3.02195 1.70499
J HP2 L = jj
k 1.41922 -2.57620
yz
z
{
Se resuelve el sistema lineal J HP2 L DP = -F HP2 L:
3.02195 1.70499 y ji Dx1 yz
jji
zz.j
z
k 1.41922 -2.57620 { k Dx2 {
i Dx1
DP = jj
k Dx2
yz ij -0.00369496 yz
z=j
z
{ k -0.0135512 {
113
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
El siguiente punto de la iteración es:
P3 = P2 + DP
i 0.503659 zy ji -0.00369496 zy ji 0.499964 zy
z+j
z=j
z
P3 = jj
k -0.852494 { k -0.0135512 { k -0.866046 {
Iteración i = 3.
H3L
jij x1 zyz ij 0.499964 yz
z
P3 = jj H3L zz = j
k x2 { k -0.866046 {
i -0.000142677
F HP3 L = jj
k -1.25763 µ 10-6
yz
z
{
i 2.99978 1.73209
J HP3 L = jj
k 1.50021 -2.59795
yz
z
{
Se resuelve el sistema lineal J HP3 L DP = -F HP3 L:
2.99978 1.73209 y ji Dx1 yz
jji
zz.j
z
k 1.50021 -2.59795 { k Dx2 {
i Dx1
DP = jj
k Dx2
yz ij 0.0000358789 yz
z=j
z
{ k 0.0000202346 {
El siguiente punto de la iteración es:
P4 = P3 + DP
i 0.499964 yz ij 0.0000358789 yz ij 0.5
yz
z+j
z=j
z
P4 = jj
k -0.866046 { k 0.0000202346 { k -0.866025 {
Iteración i = 4.
H4L
ji x1 zy i 0.500000 yz
z
P4 = jjj H4L zzz = jj
k x2 { k -0.866025 {
i 3.45246 µ 10-9 yz
zz
F HP4 L = jjjj
-9 z
k -5.08917 µ 10 {
i 3.00000 1.73205
J HP4 L = jj
k 1.50000 -2.59808
yz
z
{
Se resuelve el sistema lineal J HP4 L DP = -F HP4 L:
3.00000 1.73205 y ji Dx1 yz
jji
zz.j
z
k 1.50000 -2.59808 { k Dx2 {
i Dx1
DP = jj
k Dx2
-11
yz
yz ijj -1.49197 µ 10
zz
z = jj
-9 z
{ k -1.96744 µ 10
{
114
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
El siguiente punto de la iteración es:
P5 = P4 + DP
-11
yz i 0.5
i 0.5
yz ijj -1.49197 µ 10
yz
zz = jj
z + jj
z
P5 = jj
-9 z
-0.866025
-0.866025
k
{ k -1.96744 µ 10
{
{ k
Tabla de datos.
i
0
1
2
3
4
Pi
1. y
jij
zz
k -1. {
ij 0.611111 yz
j
z
k -0.833333 {
ij 0.503659 yz
j
z
k -0.852494 {
0.499964 y
jji
zz
k -0.866046 {
ij 0.5
yz
j
z
k -0.866025 {
i Dx1 yz
z
DP = jj
k Dx2 {
-0.388889 y
jij
zz
k 0.166667 {
ij -0.107452 yz
j
z
k -0.0191611 {
ij -0.00369496 yz
j
z
k -0.0135512 {
0.0000358789 y
jji
zz
k 0.0000202346 {
ij -1.49197 µ 10-11 yz
jj
zz
j
-9 z
k -1.96744 µ 10
{
Pi+1 = Pi + DP
0.611111 y
jij
zz
k -0.833333 {
ij 0.503659 yz
j
z
k -0.852494 {
ij 0.499964 yz
j
z
k -0.866046 {
ij 0.5
yz
j
z
k -0.866025 {
¥Pi+1 - Pi ∞¶
0.388889
0.107452
0.0135512
0.0000358789
ij 0.5
yz
j
z 1.96744 µ 10-9
k -0.866025 {
La solución aproximada del sistema es:
i 0.500000 yz
z
P5 = jj
k -0.866025 {
Solución
b)
Clear@ecuaciones, p, d, m, dD;
ecuaciones = 8 Log@x21 + x22 D − Sin@x1 ∗ x2 D − HLog @2D + Log @PiDL,
Exp@x1 − x2 D + Cos@x1 ∗ x2 D<;
p = 82.0, 2.0<;
m = 10;
d = 10.−6 ;
newtonSistemasNoLineal@ecuaciones, p, m, dD;
115
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Método de Newton- Raphson para sistemas de ecuaciones no lineales.
i logHx12 + x22 L - sinHx1 x2 L - logHpL - logH2L yz ij 0 yz
z=j z
fi Hx1 , x2 L = jj
k cosHx1 x2 L + ‰x1 -x2
{ k0 {
H0L
jij x1 zyz ij 2. yz
P0 = jj H0L zz = j z
k x2 { k 2. {
La función vectorial y la matriz jacobiana son:
i logHx12 + x22 L - sinHx1 x2 L - logHpL - logH2L yz
z
F Hx1 , x2 L = jj
k cosHx1 x2 L + ‰x1 -x2
{
2 x1
ij ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - cosHx1 x2 L x2
x12 +x22
j
j
J Hx1 , x2 L = j
x -x
k ‰ 1 2 - sinHx1 x2 L x2
2 x2
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - cosHx1 x2 L x1 yz
x12 +x22
zz
z
-sinHx1 x2 L x1 - ‰x1 -x2 {
Iteración i = 0.
ij x1H0L yz i 2.00000 y
zz
P0 = jjj H0L zzz = jj
2.00000
k
{
x
k 2 {
i 0.998367 zy
z
F HP0 L = jj
k 0.346356 {
i 1.80729 1.80729 yz
z
J HP0 L = jj
k 2.51360 0.513605 {
Se resuelve el sistema lineal J HP0 L
1.80729 1.80729 y ji Dx1
jji
zz.j
k 2.51360 0.513605 { k Dx2
DP = -F HP0 L:
zyz
{
i Dx1 yz ij -0.0313174 yz
z=j
z
DP = jj
k Dx2 { k -0.521094 {
El siguiente punto de la iteración es:
P1 = P0 + DP
i 2. y i -0.0313174 yz
z=
P1 = jj zz + jj
k 2. { k -0.521094 {
ij 1.96868 yz
j
z
k 1.47891 {
Iteración i = 1.
ij x1H1L yz i 1.96868 y
zz
P1 = jjj H1L zzz = jj
k x2 { k 1.47891 {
i -0.263765 yz
z
F HP1 L = jj
k 0.658308 {
i 2.08935 2.40465
J HP1 L = jj
k 1.29466 -2.08095
116
yz
z
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Se resuelve el sistema lineal J HP1 L DP = -F HP1 L:
2.08935 2.40465 y ji Dx1 yz
jji
zz.j
z
k 1.29466 -2.08095 { k Dx2 {
i Dx1
DP = jj
k Dx2
yz ij -0.138603 yz
z=j
z
{ k 0.230118 {
El siguiente punto de la iteración es:
P2 = P1 + DP
i 1.96868 zy ji -0.138603 zy ji 1.83008 zy
z+j
z=j
z
P2 = jj
k 1.47891 { k 0.230118 { k 1.70902 {
Iteración i = 2.
H2L
ji x1 zy i 1.83008 yz
z
P2 = jjj H2L zzz = jj
k x2 { k 1.70902 {
i -0.0160496 yz
z
F HP2 L = jj
k 0.128786
{
2.29262
2.37505
i
yz
z
J HP2 L = jj
k 1.10486 -1.15420 {
Se resuelve el sistema lineal J HP2 L DP = -F HP2 L:
2.29262 2.37505 y ji Dx1 zy
jji
zz.j
z
k 1.10486 -1.15420 { k Dx2 {
i Dx1 yz ji -0.0545226 zy
z=j
z
DP = jj
k Dx2 { k 0.0593879 {
El siguiente punto de la iteración es:
P3 = P2 + DP
i 1.83008 yz ij -0.0545226 yz ij 1.77556 yz
z+j
z=j
z
P3 = jj
k 1.70902 { k 0.0593879 { k 1.76841 {
Iteración i = 3.
ij x1H3L yz i 1.77556 y
zz
P3 = jjj H3L zzz = jj
k x2 { k 1.76841 {
i -0.00220154 yz
z
F HP3 L = jj
k 0.00717276 {
i 2.33388 2.33875
J HP3 L = jj
k 1.00421 -1.01015
117
yz
z
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Se resuelve el sistema lineal J HP3 L DP = -F HP3 L:
2.33388 2.33875 y ji Dx1 yz
jji
zz.j
z
k 1.00421 -1.01015 { k Dx2 {
i Dx1
DP = jj
k Dx2
yz ij -0.003092 yz
z=j
z
{ k 0.00402689 {
El siguiente punto de la iteración es:
P4 = P3 + DP
i 1.77556 zy ji -0.003092 zy ji 1.77247 zy
z+j
z=j
z
P4 = jj
k 1.76841 { k 0.00402689 { k 1.77244 {
Iteración i = 4.
H4L
ji x1 zy i 1.77247 yz
z
P4 = jjj H4L zzz = jj
k x2 { k 1.77244 {
i -8.48201 µ 10-6
F HP4 L = jj
k 0.0000268752
zzy
{
i 2.33663 2.33665
J HP4 L = jj
k 1.00002 -1.00004
yz
z
{
Se resuelve el sistema lineal J HP4 L DP = -F HP4 L:
2.33663 2.33665 y ji Dx1 yz
jji
zz.j
z
k 1.00002 -1.00004 { k Dx2 {
i Dx1
DP = jj
k Dx2
yz ij -0.0000116223 yz
z=j
z
{ k 0.0000152522 {
El siguiente punto de la iteración es:
P5 = P4 + DP
i 1.77247 yz ij -0.0000116223 yz ij 1.77245 yz
z+j
z=j
z
P5 = jj
k 1.77244 { k 0.0000152522 { k 1.77245 {
Iteración i = 5.
ij x1H5L yz i 1.77245 y
zz
P5 = jjj H5L zzz = jj
1.77245
k
{
x
k 2 {
i -1.20840 µ 10-10 yz
zz
F HP5 L = jjjj
-10 z
k 3.81824 µ 10
{
i 2.33664 2.33664
J HP5 L = jj
k 1.00000 -1.00000
118
yz
z
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Se resuelve el sistema lineal J HP5 L DP = -F HP5 L:
2.33664 2.33664 y ji Dx1 yz
jji
zz.j
z
k 1.00000 -1.00000 { k Dx2 {
-10
yz
i Dx1 yz ijj -1.65054 µ 10
zz
z = jj
DP = jj
z
-10
k Dx2 { k 2.16769 µ 10
{
El siguiente punto de la iteración es:
P6 = P5 + DP
-10
i 1.77245 yz jij -1.65054 µ 10
zyz = ijj 1.77245 yzz
z + jj
P6 = jj
z
-10 z
1.77245
k
{ k 2.16769 µ 10
{ k 1.77245 {
Tabla de datos.
i
0
1
2
3
4
5
Pi
2.
jij zyz
k 2. {
ij 1.96868 yz
j
z
k 1.47891 {
ij 1.83008 yz
j
z
k 1.70902 {
ij 1.77556 yz
j
z
k 1.76841 {
1.77247 y
jji
zz
k 1.77244 {
ij 1.77245 yz
j
z
k 1.77245 {
i Dx1 yz
z
DP = jj
k Dx2 {
-0.0313174 y
jij
zz
k -0.521094 {
ij -0.138603 yz
j
z
k 0.230118 {
ij -0.0545226 yz
j
z
k 0.0593879 {
ij -0.003092 yz
j
z
k 0.00402689 {
ij -0.0000116223 zy
j
z
k 0.0000152522 {
-10
jij -1.65054 µ 10
zyz
jj
z
-10 z
k 2.16769 µ 10
{
Pi+1 = Pi + DP
1.96868 y
jij
zz
k 1.47891 {
ij 1.83008 yz
j
z
k 1.70902 {
ij 1.77556 yz
j
z
k 1.76841 {
ij 1.77247 yz
j
z
k 1.77244 {
1.77245 y
jji
zz
k 1.77245 {
ij 1.77245 yz
j
z
k 1.77245 {
La solución aproximada del sistema es:
i 1.77245 yz
z
P6 = jj
k 1.77245 {
Solución
c)
Clear@ecuaciones, p, m, dD;
ecuaciones = 8 x31 + x21 x2 − x1 x3 + 6,
Exp@x1 D + Exp@x2 D − x3 , x22 − 2 x1 x3 − 4<;
p = 8−1.0, −2.0, 1.0<;
119
¥Pi+1 - Pi ∞¶
0.521094
0.230118
0.0593879
0.00402689
0.0000152522
2.16769 µ 10-10
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
m = 10;
d = 10.−6 ;
newtonSistemasNoLineal@ecuaciones, p, m, dD;
Método de Newton- Raphson para sistemas de ecuaciones no lineales.
ij x13 + x2 x12 - x3 x1 + 6 yz i 0 y
zz jjj zzz
jj
zz = jj 0 zz
fi Hx1 , x2 , x3 L = jjjj -x3 + ‰x1 + ‰x2
zz jj zz
jj
zz j z
2
{ k0 {
k x2 - 2 x1 x3 - 4
ij x1H0L yz i -1. y
jj
zz jj
zz
j
z
P0 = jjjj x2H0L zzzz = jjjj -2. zzzz
z
jj
z j
j H0L zz jk 1. z{
k x3 {
La función vectorial y la matriz jacobiana son:
ij x13 + x2 x12 - x3 x1 + 6 yz
zz
jj
zz
F Hx1 , x2 , x3 L = jjjj -x3 + ‰x1 + ‰x2
zz
zz
jj
2
k x2 - 2 x1 x3 - 4
{
ij 3 x12 + 2 x2 x1 - x3
jj
J Hx1 , x2 , x3 L = jjjj ‰x1
j
k -2 x3
x12
-x1
‰x2
2 x2
-1
-2 x1
Iteración i = 0.
ij x1H0L yz i -1.00000 y
jj
zz jj
zz
j
z
P0 = jjjj x2H0L zzzz = jjjj -2.00000 zzzz
z
jj
z j
j H0L zz jk 1.00000 z{
x
k 3 {
ij 4.00000
yz
jj
zz
j
zz
-0.496785
F HP0 L = jj
zz
jj
z
2.00000
k
{
6.00000
1.00000
1.00000 y
jij
zz
j
j
J HP0 L = jj 0.367879 0.135335 -1.00000 zzzz
jj
zz
k -2.00000 -4.00000 2.00000 {
Se resuelve el sistema lineal J HP0 L DP = -F HP0 L:
6.00000
1.00000
1.00000 y ji Dx1
jij
z
jj 0.367879 0.135335 -1.00000 zzz.jjjj D
jj
zz jj x2
jj
zz j
k -2.00000 -4.00000 2.00000 { k Dx3
ij Dx1
jj
DP = jjj Dx2
jj
k Dx3
yz ij -0.636738 yz
zz jj
zz = jj 0.485723 zzzz
zz jj
zz
z j
z
-0.665293
{
{ k
120
zyz
zz
zz
zz
{
yz
zz
zz
zz
z
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
El siguiente punto de la iteración es:
P1 = P0 + DP
ij -1. yz ij -0.636738 yz ij -1.63674 yz
j
z j
z j
z
P1 = jjjj -2. zzzz + jjjj 0.485723 zzzz = jjjj -1.51428 zzzz
jj
zz jj
zz jj
zz
k 1. { k -0.665293 { k 0.334707 {
Iteración i = 1.
ij x1H1L yz i -1.63674 y
jj
zz jj
zz
j
z
P1 = jjjj x2H1L zzzz = jjjj -1.51428 zzzz
z
jj
z j
j H1L zz jk 0.334707 z{
x
k 3 {
ij -1.89347 yz
j
z
F HP1 L = jjjj 0.0798737 zzzz
jj
zz
k -0.611308 {
2.67891
1.63674 y
ij 12.6590
zz
jj
j
0.219967 -1.00000 zzzz
J HP1 L = jj 0.194614
jj
zz
k -0.669414 -3.02855 3.27348 {
Se resuelve el sistema lineal J HP1 L DP = -F HP1 L:
2.67891
1.63674 y ij Dx1
ij 12.6590
zz jj
jj
zz.jj D
jj 0.194614
0.219967
-1.00000
zz jj x2
jj
zz j
j
-0.669414
-3.02855
3.27348
k
{ k Dx3
ij Dx1
jj
DP = jjj Dx2
jj
k Dx3
yz ij 0.171881 yz
zz jj
zz = jj -0.153955 zzzz
zz jj
zz
z j
z
0.0794592
k
{
{
El siguiente punto de la iteración es:
P2 = P1 + DP
yz
zz
zz
zz
z
{
ij -1.63674 yz ij 0.171881 yz ij -1.46486 yz
j
z j
z j
z
P2 = jjjj -1.51428 zzzz + jjjj -0.153955 zzzz = jjjj -1.66823 zzzz
jj
zz jj
zz jj
zz
k 0.334707 { k 0.0794592 { k 0.414166 {
121
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Iteración i = 2.
ij x1H2L yz i -1.46486 y
jj
zz jj
zz
j
z
P2 = jjjj x2H2L zzzz = jjjj -1.66823 zzzz
z
jj
z j
j H2L zz jk 0.414166 z{
k x3 {
-0.116306
jij
zyz
j
j
F HP2 L = jj 0.00552485 zzzz
jj
zz
k -0.00361305 {
2.14581
1.46486 y
ij 10.9107
zz
jj
0.188580 -1.00000 zzzz
J HP2 L = jjj 0.231111
jj
zz
k -0.828333 -3.33646 2.92971 {
Se resuelve el sistema lineal J HP2 L DP = -F HP2 L:
2.14581
1.46486 y ij Dx1
ij 10.9107
jj
zz j
jj 0.231111
0.188580 -1.00000 zzzz.jjjj Dx2
jj
zz jj
j
k -0.828333 -3.33646 2.92971 { k Dx3
ij Dx1
jj
DP = jjj Dx2
jj
k Dx3
yz ji 0.00874949 zy
zz jj
zz = jj 0.00404093 zzzz
zz jj
zz
z j
z
{ k 0.00830899 {
yz
zz
zz
zz
z
{
El siguiente punto de la iteración es:
P3 = P2 + DP
ij -1.46486 yz ij 0.00874949 yz ij -1.45611 yz
j
z j
z j
z
P3 = jjjj -1.66823 zzzz + jjjj 0.00404093 zzzz = jjjj -1.66419 zzzz
jj
zz jj
zz jj
zz
k 0.414166 { k 0.00830899 { k 0.422475 {
Iteración i = 3.
ij x1H3L yz i -1.45611 y
jj
zz jj
zz
j
z
P3 = jjjj x2H3L zzzz = jjjj -1.66419 zzzz
z
jj
z j
j H3L zz jk 0.422475 z{
x
k 3 {
ij -0.000639433 yz
j
z
F HP3 L = jjjj 0.0000104138 zzzz
jj
zz
k -0.000129070 {
10.7848
2.12025
1.45611 y
jij
zz
j
j
0.189344 -1.00000 zzzz
J HP3 L = jj 0.233142
jj
zz
k -0.844951 -3.32838 2.91221 {
122
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Se resuelve el sistema lineal J HP3 L DP = -F HP3 L:
10.7848
2.12025
1.45611 y ji Dx1
jij
zz j
jj 0.233142
0.189344 -1.00000 zzzz.jjjj Dx2
jj
jj
zz jj
k -0.844951 -3.32838 2.91221 { k Dx3
ij Dx1
jj
DP = jjj Dx2
jj
k Dx3
yz ij 0.0000646082 yz
zz jj
zz = jj -0.0000394195 zzzz
zz jj
zz
z j
z
0.0000180128
{
{ k
zyz
zz
zz
zz
{
El siguiente punto de la iteración es:
P4 = P3 + DP
ij -1.45611 yz ij 0.0000646082 yz ij -1.45604 yz
j
z j
z j
z
P4 = jjjj -1.66419 zzzz + jjjj -0.0000394195 zzzz = jjjj -1.66423 zzzz
jj
zz jj
zz jj
zz
k 0.422475 { k 0.0000180128 { k 0.422493 {
Iteración i = 4.
ij x1H4L yz i -1.45604 y
zz jj
jj
zz
z
j
P4 = jjjj x2H4L zzzz = jjjj -1.66423 zzzz
z
z j
jj
j H4L zz jk 0.422493 z{
x
k 3 {
ij -1.89278 µ 10-8 yz
zz
jj
z
j
F HP4 L = jjj 6.33712 µ 10-10 zzz
zz
jj
j
-10 z
-7.73657
µ
10
k
{
2.12006
1.45604 y
ij 10.7841
zz
j
0.189336 -1.00000 zzzz
J HP4 L = jjjj 0.233157
jj
zz
k -0.844987 -3.32846 2.91209 {
Se resuelve el sistema lineal J HP4 L DP = -F HP4 L:
2.12006
1.45604 y ij Dx1
ij 10.7841
zz j
jj
jj 0.233157
0.189336
-1.00000 zzzz.jjjj Dx2
jj
zz jj
j
k -0.844987 -3.32846 2.91209 { k Dx3
ij Dx1
jj
DP = jjj Dx2
jj
k Dx3
-9
yz
yz ijj 1.55555 µ 10
zz
zz jj
zz = jj 2.92941 µ 10-10 zzz
zz jj
zz
z jj
zz
{ k 1.05186 µ 10-9 {
El siguiente punto de la iteración es:
P5 = P4 + DP
yz
zz
zz
zz
z
{
-9
yz i -1.45604 y
ij -1.45604 yz ijj 1.55555 µ 10
zz jj
jj
zz jjj
zz jj -1.66423 zzzz
-10
P5 = jjj -1.66423 zzz + jj 2.92941 µ 10
zz = jj
zz
zz jj
jj
zz jjj
zz
z
-9
0.422493
k 0.422493 { k 1.05186 µ 10
k
{
{
123
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Tabla de datos.
i
Pi
0
ij -1. yz
jj
z
jj -2. zzz
jj
zz
j
z
k 1. {
1
2
3
4
ij -1.63674 yz
jj
z
jj -1.51428 zzz
jj
zz
j
z
k 0.334707 {
ij -1.46486 yz
jj
z
jj -1.66823 zzz
jj
zz
j
z
0.414166
k
{
ij -1.45611 yz
jj
z
jj -1.66419 zzz
jj
zz
j
z
0.422475
k
{
ij -1.45604 yz
jj
z
jj -1.66423 zzz
jj
zz
j
z
0.422493
k
{
ij Dx1
jj
DP = jjj Dx2
jj
k Dx3
yz
zz
zz
Pi+1 = Pi + DP
zz
z
{
-0.636738
ij
yz
ij -1.63674 yz
jj
zz
jj
z
jj -1.51428 zzz
jjj 0.485723 zzz
j
zz
jj
zz
jj
z
k -0.665293 {
k 0.334707 {
ij 0.171881 yz
ij -1.46486 yz
jj
zz
jj
z
jj -1.66823 zzz
jjj -0.153955 zzz
j
zz
jj
zz
jj
z
k 0.0794592 {
k 0.414166 {
ij 0.00874949 yz
ij -1.45611 yz
jj
z
jj
z
jj 0.00404093 zzz
jj -1.66419 zzz
jj
zz
jj
zz
j
z
j
z
0.00830899
0.422475
k
{
k
{
ij 0.0000646082 yz ij -1.45604 yz
z
jj
z j
jj -0.0000394195 zzz jjj -1.66423 zzz
zz
jj
zz jj
z
j
z j
0.422493
0.0000180128
{
k
{ k
-9
jij 1.55555 µ 10
zyz
jj
z
jj 2.92941 µ 10-10 zzz
jj
zz
jj
z
-9 z
k 1.05186 µ 10
{
ij -1.45604 yz
jj
z
jj -1.66423 zzz
jj
zz
j
z
0.422493
k
{
¥Pi+1 - Pi ∞¶
0.665293
0.171881
0.00874949
0.0000646082
1.55555 µ 10-9
La solución aproximada del sistema es:
ij -1.45604 yz
j
z
P5 = jjjj -1.66423 zzzz
jj
zz
k 0.422493 {
Solución
d)
Clear@f, g, g1, g2, ecuaciones, p, m, dD;
ecuaciones = 9 6 x1 − 2 Cos@x2 x3 D − 1, 9 x2 +
60 x3 + 3 Exp@−x1 x2 D + 10 Pi − 3=;
"################################
##########
x21 + Sin@x3 D + 1.06 + 0.9,
p = 80., 0., 0.<;
m = 10;
d = 10.−6 ;
newtonSistemasNoLineal@ecuaciones, p, m, dD;
124
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Método de Newton- Raphson para sistemas de ecuaciones no lineales.
-2 cosHx2 x3 L + 6 x1 - 1
zyz ji 0 zy
jij
jj
zz j z
j
"################################
########
#
#
2
fi Hx1 , x2 , x3 L = jjj 9 x2 + x1 + sinHx3 L + 1.06 + 0.9 zzzz = jjjj 0 zzzz
jj
zz jj zz
-x1 x2
0
60
x
+
3
‰
+
10
p
3
3
{ k {
k
ij x1H0L yz i 0. y
jj
zz jj zz
j
z
P0 = jjjj x2H0L zzzz = jjjj 0. zzzz
jj
z j z
j H0L zz jk 0. z{
x
k 3 {
La función vectorial y la matriz jacobiana son:
-2 cosHx2 x3 L + 6 x1 - 1
jij
zyz
jj
zz
j
"################################
########
#
#
2
F Hx1 , x2 , x3 L = jjj 9 x2 + x1 + sinHx3 L + 1.06 + 0.9 zzzz
jj
zz
-x x
k 60 x3 + 3 ‰ 1 2 + 10 p - 3
{
ij 6
jj
x1
j
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
J Hx1 , x2 , x3 L = jjjj ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
################
#########
x12 +sinHx3 L+1.06
jj "################
j
-x x
k -3 ‰ 1 2 x2
2 sinHx2 x3 L x3 2 sinHx2 x3 L x2
9
-3 ‰-x1 x2 x1
Iteración i = 0.
ij x1H0L yz i 0 y
zz jj zz
jj
z
j
P0 = jjjj x2H0L zzzz = jjjj 0 zzzz
z j z
jj
j H0L zz jk 0 z{
k x3 {
ij -3.00000 yz
j
z
F HP0 L = jjjj 1.92956 zzzz
jj
zz
k 31.4159 {
0
ij 6.00000 0
yz
j
z
9.00000 0.485643 zzzz
J HP0 L = jjjj 0
jj
zz
0
60.0000 {
k0
Se resuelve el sistema lineal J HP0 L DP = -F HP0 L:
0
ij 6.00000 0
yz ij Dx1
jj
zz jjj
jj 0
zz.jj Dx2
9.00000
0.485643
jj
zz jj
j
z
0
60.0000 { k Dx3
k0
D
jij x1
jj D
DP = jj x2
jj
k Dx3
y
zyz ijj 0.5
zz jj -0.186142 zzzz
zz = jj
zz
zz jj
zz
{ k -0.523599 {
125
yz
zz
zz
zz
z
{
cosHx3 L
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ
"################
################
#########
2 x12 +sinHx3 L+1.06
60
zzy
zz
zz
zz
zz
z
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
El siguiente punto de la iteración es:
P1 = P0 + DP
ij 0. yz ij 0.5
yz ij 0.5
yz
j z j
z j
z
P1 = jjjj 0. zzzz + jjjj -0.186142 zzzz = jjjj -0.186142 zzzz
jj zz jj
zz jj
zz
k 0. { k -0.523599 { k -0.523599 {
Iteración i = 1.
ij x1H1L yz i 0.500000 y
jj
zz jj
zz
j
z
P1 = jjjj x2H1L zzzz = jjjj -0.186142 zzzz
z
jj
z j
j H1L zz jk -0.523599 z{
x
k 3 {
ij 0.00949169 yz
j
zz
zz
F HP1 L = jjjj 0.124719
zz
jj
z
k 0.292620
{
-0.101902 -0.0362269
ij 6.00000
jj
j
0.481125
J HP1 L = jj 0.555556 9.00000
jj
0.612896
-1.64631
60.0000
k
Se resuelve el sistema lineal J HP1 L DP = -F HP1 L:
-0.101902 -0.0362269
ij 6.00000
jj
jj 0.555556 9.00000
0.481125
jj
j
0.612896
-1.64631
60.0000
k
ij Dx1
jj
DP = jjj Dx2
jj
k Dx3
yz ij -0.00184219 yz
zz jj
zz = jj -0.0134645 zzzz
zz jj
zz
z j
z
-0.00522762
k
{
{
El siguiente punto de la iteración es:
P2 = P1 + DP
yz ij Dx1
zz jjj
zz.jj Dx2
zzz jj
{ k Dx3
yz
zz
zz
zz
z
{
yz
zz
zz
zz
z
{
ij 0.5
yz ij -0.00184219 yz ij 0.498158 yz
jj
z j
z j
z
j
P2 = jj -0.186142 zzzz + jjjj -0.0134645 zzzz = jjjj -0.199607 zzzz
jj
zz jj
zz jj
zz
k -0.523599 { k -0.00522762 { k -0.528826 {
126
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Iteración i = 2.
ij x1H2L yz i 0.498158 y
jj
zz jj
zz
j
z
P2 = jjjj x2H2L zzzz = jjjj -0.199607 zzzz
z
jj
z j
j H2L zz jk -0.528826 z{
k x3 {
0.0000788744
jij
jj
F HP2 L = jjj -1.26903 µ 10-6
j
k -0.0000148414
zyz
zz
zz
zz
{
6.00000
-0.111436 -0.0420617
jij
j
j
0.481561
J HP2 L = jj 0.555694 9.00000
jj
0.661426
-1.65072
60.0000
k
Se resuelve el sistema lineal J HP2 L DP = -F HP2 L:
6.00000
-0.111436 -0.0420617
jij
jj 0.555694 9.00000
0.481561
jj
jj
0.661426
-1.65072
60.0000
k
D
jij x1
jj D
DP = jj x2
jj
k Dx3
-0.0000131256 y
zz
zyz ijjj
zz
zz jj
zz
zz = jj 9.2908 µ 10-7
zz
zz jj
z
-7
{ k 4.1761 µ 10
{
D
zyz ijjj x1
zz.jj D
zz jj x2
zz j
{ k Dx3
zyz
zz
zz
zz
{
yz
zz
zz
zz
z
{
El siguiente punto de la iteración es:
P3 = P2 + DP
ij 0.498158 yz ijj -0.0000131256 yzz ij 0.498145 yz
j
z j
z
zz jjj
zz = jj -0.199606 zzzz
P3 = jjjj -0.199607 zzzz + jjjj 9.2908 µ 10-7
zz jj
jj
zz jj
zz
z
k -0.528826 { k 4.1761 µ 10-7
{ k -0.528826 {
Iteración i = 3.
ij x1H3L yz i 0.498145 y
jj
zz jj
zz
j
z
P3 = jjjj x2H3L zzzz = jjjj -0.199606 zzzz
z
jj
z j
j H3L zz jk -0.528826 z{
x
k 3 {
ij 4.09894 µ 10-13 yz
jj
zz
j
z
F HP3 L = jjj 6.80560 µ 10-11 zzz
jj
zz
j
-11 z
5.61542
µ
10
{
k
-0.111435 -0.0420613
ij 6.00000
j
0.481565
J HP3 L = jjjj 0.555684 9.00000
jj
60.0000
k 0.661421 -1.65067
127
yz
zz
zz
zz
z
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Se resuelve el sistema lineal J HP3 L DP = -F HP3 L:
6.00000
-0.111435 -0.0420613
jij
jj 0.555684 9.00000
0.481565
jj
jj
60.0000
k 0.661421 -1.65067
ij Dx1
jj
DP = jjj Dx2
jj
k Dx3
-13
yz
yz ijj -2.15366 µ 10
zz
zz jj
zz
-12
zz = jj -7.48751 µ 10
zz
zz jj
zz
z jj
z
{ k -1.13952 µ 10-12 {
D
zyz jijj x1
zz.jj D
zz jj x2
zz j
{ k Dx3
zyz
zz
zz
zz
{
El siguiente punto de la iteración es:
P4 = P3 + DP
-13
yz i 0.498145 y
ij 0.498145 yz ijj -2.15366 µ 10
zz jj
zz
jj
zz jjj
z
P4 = jjj -0.199606 zzz + jj -7.48751 µ 10-12 zzz = jjjj -0.199606 zzzz
zz jj
jj
zz jjj
zz
z
k -0.528826 { k -1.13952 µ 10-12 { k -0.528826 {
Tabla de datos.
i
Pi
0
ij 0. yz
jj zz
jj 0. zz
jj zz
j z
k 0. {
1
2
3
ij 0.5
yz
jj
z
jj -0.186142 zzz
jjj
zzz
k -0.523599 {
ij 0.498158 yz
jj
z
jj -0.199607 zzz
jj
zz
j
z
k -0.528826 {
0.498145 y
jij
z
jj -0.199606 zzz
jj
zz
jj
zz
-0.528826
k
{
ij Dx1
jj
DP = jjj Dx2
jj
k Dx3
yz
zz
zz
zz
z
{
ij 0.5
yz
jj
z
jj -0.186142 zzz
jj
zz
j
z
-0.523599
k
{
ij -0.00184219 yz
jj
z
jj -0.0134645 zzz
jjj
zzz
k -0.00522762 {
-0.0000131256 y
jij
zz
jj
zz
zz
jj 9.2908 µ 10-7
jj
zz
j
z
-7
{
k 4.1761 µ 10
ij -2.15366 µ 10-13 yz
jj
zz
jj
z
jj -7.48751 µ 10-12 zzz
jj
zz
j
-12 z
-1.13952
µ
10
k
{
La solución aproximada del sistema es:
ij 0.498145 yz
j
z
P4 = jjjj -0.199606 zzzz
jj
zz
k -0.528826 {
128
Pi+1 = Pi + DP
¥Pi+1 - Pi ∞¶
ij 0.5
yz
jj
z
jj -0.186142 zzz
jj
zz
j
z
-0.523599
k
{
0.523599
ij 0.498158 yz
jj
z
jj -0.199607 zzz
jjj
zzz
k -0.528826 {
ij 0.498145 yz
jj
z
jj -0.199606 zzz
jj
zz
j
z
k -0.528826 {
0.0134645
0.0000131256
0.498145 y
jij
z
jj -0.199606 zzz 7.48751 µ 10-12
jj
zz
jj
zz
-0.528826
k
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
à Problema 20. El sistema de ecuaciones no lineal :
f1 Hx1 , x2 , x3 , x4 L = 4 x1 - x2 + x3 = x1 x4 ,
f2 Hx1 , x2 , x3 , x4 L = -x1 + 3 x2 - 2 x3 = x2 x4 ,
f3 Hx1 , x2 , x3 , x4 L = x1 - 2 x2 + 3 x3 =x3 x4 ,
f4 Hx1 , x2 , x3 , x4 L = x21 + x22 + x23 = 1
tiene vaias soluciones. Aplíquese el método de Newton para aproximarlas tomando como
puntos inicial el punto P0 , y aplicando el método hasta que »» Pi+1 - Pi »»¶ § 10-5 .
H0L H0L H0L T
T
a)
P0 = IxH0L
1 , x2 , x3 , x4 M = H0, 1, 1, 1L ,
H0L H0L H0L
T
P0 = IxH0L
1 , x2 , x3 , x4 M = H1, -1, 1, 1L .
T
b)
H0L H0L H0L
T
P0 = IxH0L
1 , x2 , x3 , x4 M = H1, 0, 0, 1L .
T
c)
Solución
a)
Clear@ecuaciones, p, m, dD;
ecuaciones = 8 4 x1 − x2 + x3 − x1 x4 , −x1 + 3 x2 − 2 x3 − x2 x4 ,
x1 − 2 x2 + 3 x3 − x3 x4 , x21 + x22 + x23 − 1 <;
p = 80.0, 1.0, 1.0, 1.0<;
m = 10;
d = 10.−5 ;
newtonSistemasNoLineal@ecuaciones, p, m, dD;
Método de Newton- Raphson para sistemas de ecuaciones no lineales.
ij -x4 x1 + 4 x1 - x2 + x3
jj
jj -x1 + 3 x2 - 2 x3 - x2 x4
j
fi Hx1 , x2 , x3 , x4 L = jjj
jj x1 - 2 x2 + 3 x3 - x3 x4
jj
j 2
2
2
k x1 + x2 + x3 - 1
ij x1H0L zy
0.
jj
z
jj H0L zzz ijjj yzzz
jjj x2 zzz jjj 1. zzz
P0 = jjj H0L zzz = jjj zzz
jj x zz jj 1. zz
jj 3 zz jj zz
jj
z
j H0L zz k 1. {
x
k 4 {
129
yz ij 0 yz
zz jj zz
zz jj 0 zz
zz jj zz
zz = jj zz
zz jj 0 zz
zz jj zz
z
{ k0 {
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
La función vectorial y la matriz jacobiana son:
ij -x4 x1 + 4 x1 - x2 + x3
jj
jj -x1 + 3 x2 - 2 x3 - x2 x4
j
F Hx1 , x2 , x3 , x4 L = jjj
jjj x1 - 2 x2 + 3 x3 - x3 x4
jj
2
2
2
k x1 + x2 + x3 - 1
ij 4 - x4
jj
jj -1
J Hx1 , x2 , x3 , x4 L = jjjj
jj 1
jj
k 2 x1
-1
3 - x4
-2
2 x2
1
-2
3 - x4
2 x3
yz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
z
{
-x1
-x2
-x3
0
yz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
{
Iteración i = 0.
ij x1H0L yz
0
jj
z
yz
jj H0L zzz ijjj
jj x2 zz jj 1.00000 zzzz
j
z
zz
P0 = jjj H0L zzz = jjjj
jj x zz jj 1.00000 zzzz
jj 3 zz jj
zz
jj
z
j H0L zz k 1.00000 {
k x4 {
ij 0
yz
jj
zz
jj 0
zz
zz
F HP0 L = jjjj
zz
zz
jjj 0
zz
j
k 1.00000 {
ij 3.00000
jj
jj -1.00000
J HP0 L = jjjj
jjj 1.00000
j
k0
-1.00000
2.00000
-2.00000
2.00000
1.00000
-2.00000
2.00000
2.00000
Se resuelve el sistema lineal J HP0 L DP = -F HP0 L:
ij 3.00000
jj
jj -1.00000
jj
jj
jj 1.00000
jj
k0
D
jji x1
jj D
j x2
DP = jjjj
jj Dx3
jj
j
k Dx4
-1.00000
2.00000
-2.00000
2.00000
1.00000
-2.00000
2.00000
2.00000
yz ij 0.
yz
zz jj
zz jj -0.25 zzzz
zz = jj
zz
zz jj
zz jj -0.25 zzzz
zz jj
zz
z
0.
k
{
{
130
0
zzy
-1.00000 zzzz
zz
-1.00000 zzzz
z
0
{
0
yz ij Dx1
zj
-1.00000 zzzz jjjj Dx2
zz.jj
-1.00000 zzzz jjjj Dx3
z jj
0
{ k Dx4
yz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
z
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
El siguiente punto de la iteración es:
P1 = P0 + DP
ij 0. zy ji 0.
yz ij 0. yz
jj zz jj
z j
z
jj 1. zz jj -0.25 zzz jjj 0.75 zzz
j
z
j
z
j
zz
j
z
j
z
j
P1 = jj zz + jj
z=j
z
jj 1. zz jj -0.25 zzz jjj 0.75 zzz
jj zz jj
zz jj
zz
k 1. { k 0.
{ k 1. {
Iteración i = 1.
ij x1H1L yz
0
jj
z
yz
jj H1L zzz ijjj
jj x2 zz jj 0.750000 zzzz
j
z
zz
P1 = jjj H1L zzz = jjjj
jj x zz jj 0.750000 zzzz
jj 3 zz jj
z
jjj H1L zzz k 1.00000 z{
k x4 {
ij 0
yz
jj
zz
jj 0
zz
zz
F HP1 L = jjjj
zz
jj 0
zz
jj
zz
k 0.125000 {
ij 3.00000
jj
jj -1.00000
J HP1 L = jjjj
jjj 1.00000
j
k0
-1.00000
2.00000
-2.00000
1.50000
1.00000
-2.00000
2.00000
1.50000
Se resuelve el sistema lineal J HP1 L DP = -F HP1 L:
ij 3.00000
jj
jj -1.00000
jj
jj
jj 1.00000
jj
k0
ij Dx1
jj
jj Dx2
DP = jjjj
jj Dx3
jj
j
k Dx4
-1.00000
2.00000
-2.00000
1.50000
1.00000
-2.00000
2.00000
1.50000
yz ij 0.
yz
zz jj
zz jj -0.0416667 zzzz
zz = jj
zz
zz jj
zz jj -0.0416667 zzzz
zz jj
zz
z
{
{ k 0.
El siguiente punto de la iteración es:
P2 = P1 + DP
0
yz ij Dx1
zj
-0.750000 zzzz jjjj Dx2
zz.jj
-0.750000 zzzz jjjj Dx3
z jj
0
{ k Dx4
yz ij 0.
ij 0. yz ij 0.
zzy
jj
z j
z j
jj 0.75 zzz jjj -0.0416667 zzz jjj 0.708333 zzz
zz + jj
zz = jj
zz
P2 = jjjj
z j
z j
z
jj 0.75 zzz jjj -0.0416667 zzz jjj 0.708333 zzz
jj
zz jj
zz jj
zz
k 1. { k 0.
{ k 1.
{
131
0
zzy
-0.750000 zzzz
zz
-0.750000 zzzz
z
0
{
yz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
z
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Iteración i = 2.
ij x1H2L yz
jj
z i0
yz
jj H2L zzz jjj
jj x2 zz jj 0.708333 zzzz
j
z
zz
P2 = jjj H2L zzz = jjjj
jj x zz jj 0.708333 zzzz
jj 3 zz jj
zz
jj
z
j H2L zz k 1.00000 {
k x4 {
0
jij
zyz
jj
z
jj -1.11022 µ 10-16 zzz
zz
F HP2 L = jjjj
z
jj -1.11022 µ 10-16 zzz
jj
zz
j
z
0.00347222
k
{
ij 3.00000
jj
jj -1.00000
J HP2 L = jjjj
jj 1.00000
jj
k0
-1.00000
2.00000
-2.00000
1.41667
1.00000
-2.00000
2.00000
1.41667
Se resuelve el sistema lineal J HP2 L DP = -F HP2 L:
ij 3.00000
jj
jj -1.00000
jj
jj
jjj 1.00000
j
k0
ij Dx1
jj
jj Dx2
DP = jjjj
jj Dx3
jj
j
k Dx4
-1.00000
2.00000
-2.00000
1.41667
1.00000
-2.00000
2.00000
1.41667
yz
yz ij 0.
zz
zz jjj
zz
zz jj -0.00122549
zz
zz = jj
zz
zz jj
zz
zz jj -0.00122549
zz
zz jj
z
-16 z
{ k -1.56737 µ 10
{
El siguiente punto de la iteración es:
P3 = P2 + DP
0
zzy
-0.708333 zzzz
zz
-0.708333 zzzz
z
0
{
0
yz ij Dx1
zj
-0.708333 zzzz jjjj Dx2
zz.jj
-0.708333 zzzz jjjj Dx3
z jj
0
{ k Dx4
yz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
z
{
0.
yz ij 0.
ij 0.
zzy jji
zy
zz jj
jj
zz jj 0.707108 zzzz
jj 0.708333 zzz jjjj -0.00122549
z
z
zz = jjj
zzz + jj
P3 = jjjj
zz jj 0.707108 zzzz
jj 0.708333 zzz jjjj -0.00122549
zz jj
zz
jj
zz jj
zz j
z
k 1.
{ k -1.56737 µ 10-16 { k 1.
{
132
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Iteración i = 3.
ij x1H3L yz
jj
z i0
yz
jj H3L zzz jjj
jj x2 zz jj 0.707108 zzzz
j
z
zz
P3 = jjj H3L zzz = jjjj
jj x zz jj 0.707108 zzzz
jj 3 zz jj
zz
jj
z
j H3L zz k 1.0000 {
k x4 {
ij 0
yz
jj
z
jj 2.22045 µ 10-16 zzz
jj
zz
zz
F HP3 L = jjj
jj 2.22045 µ 10-16 zzz
jj
zz
z
jj
-6 z
k 3.00365 µ 10
{
ij 3.00000
jj
jj -1.00000
J HP3 L = jjjj
jj 1.00000
jj
k0
-1.00000
2.00000
-2.00000
1.41422
1.00000
-2.00000
2.00000
1.41422
0
zzy
-0.707108 zzzz
zz
-0.707108 zzzz
z
0
{
Se resuelve el sistema lineal J HP3 L DP = -F HP3 L:
3.00000
jij
jj -1.00000
jj
jj
jj 1.00000
jj
j
k0
ij Dx1
jj
jj Dx2
DP = jjjj
jj Dx3
jj
j
k Dx4
-1.00000
2.00000
-2.00000
1.41422
1.00000
-2.00000
2.00000
1.41422
yz ijj 0.
zz jj
zz jj -1.06195 µ 10-6
zz = jj
zz jj
zz jj -1.06195 µ 10-6
zz jj
z jj
{ k 3.14018 µ 10-16
El siguiente punto de la iteración es:
P4 = P3 + DP
yz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
zzz
{
D
0
zyz ijjj x1
z
j
z
-0.707108 zz jj Dx2
zz.jj
-0.707108 zzzz jjjj Dx3
z jj
0
{ k Dx4
i 0.
ij 0.
zzy jjjj
jj
z
jj 0.707108 zz jjj -1.06195 µ 10-6
zz + jj
P4 = jjjj
zz j
-6
jjj 0.707108 zzz jjjj -1.06195 µ 10
j
z jj
k 1.
{ k 3.14018 µ 10-16
Tabla de datos.
133
yz i 0.
y
zz jj
zz jj 0.707107 zzzz
zz jj
z
z
zz = jj
zz jj 0.707107 zzzz
zz jj
zz
zzz j
z
1.
{
{ k
yz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
z
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
i
0
1
2
3
Pi
ij 0. yz
jj zz
jj 1. zz
jj zz
jj zz
jj 1. zz
jj zz
k 1. {
ij 0. yz
jj
zz
jjj 0.75 zzz
jj
z
jj 0.75 zzz
jj
zz
j
z
k 1. {
ij 0.
yz
jj
z
jj 0.708333 zzz
jj
zz
jj
z
jj 0.708333 zzz
jj
zz
k 1.
{
0.
jji
zy
jj 0.707108 zzz
jj
zz
jjj
zz
jj 0.707108 zzz
jj
zz
k 1.
{
ij Dx1
jj
jj Dx2
DP = jjjj
jjj Dx3
jj
k Dx4
ij 0.
yz
jj
z
jj -0.25 zzz
jj
zz
jj
z
jj -0.25 zzz
jj
zz
k 0.
{
yz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
z
{
Pi+1 = Pi + DP
ij 0.
yz
jj
z
jj -0.0416667 zzz
jj
zz
jj
zz
jjj -0.0416667 zzz
z
j
k 0.
{
0.
ij
yz
jj
zz
zz
jjj -0.00122549
zz
jj
zz
jj -0.00122549
zz
jj
zz
jj
-16 z
k -1.56737 µ 10
{
ij 0.
jj
jj -1.06195 µ 10-6
jj
jj
jj -1.06195 µ 10-6
jj
jjj
-16
k 3.14018 µ 10
yz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
zzz
{
ij 0. yz
jj
z
jj 0.75 zzz
jj
zz
jj
z
jj 0.75 zzz
jj
zz
k 1. {
ij 0.
yz
jj
zz
jjj 0.708333 zzz
jj
z
jj 0.708333 zzz
zz
jj
j
z
k 1.
{
ij 0.
yz
jj
z
jj 0.707108 zzz
jj
zz
jj
z
jj 0.707108 zzz
jj
zz
{
k 1.
ij 0.
zzy
jj
jj 0.707107 zzz
jj
zz
jj
zz
jjj 0.707107 zzz
j
z
k 1.
{
¥Pi+1 - Pi ∞¶
0.25
0.0416667
0.00122549
1.06195 µ 10-6
La solución aproximada del sistema es:
ij 0
zzy
jj
jj 0.707107 zzz
zz
P4 = jjjj
zz
jjj 0.707107 zzz
j
z
k 1.00000 {
Solución
b)
Clear@ecuaciones, p, m, dD;
ecuaciones = 8 4 x1 − x2 + x3 − x1 x4 , −x1 + 3 x2 − 2 x3 − x2 x4 ,
x1 − 2 x2 + 3 x3 − x3 x4 , x21 + x22 + x23 − 1 <;
p = 81.0, −1.0, 1.0, 1.0<;
m = 10;
d = 10.−5 ;
newtonSistemasNoLineal@ecuaciones, p, m, dD;
134
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Método de Newton- Raphson para sistemas de ecuaciones no lineales.
ij -x4 x1 + 4 x1 - x2 + x3
jj
jj -x1 + 3 x2 - 2 x3 - x2 x4
j
fi Hx1 , x2 , x3 , x4 L = jjj
jjj x1 - 2 x2 + 3 x3 - x3 x4
jj
2
2
2
k x1 + x2 + x3 - 1
ij x1H0L yz
jj
z i 1. zy
jj H0L zzz jjj
jj x2 zz jj -1. zzzz
j
z
zz
P0 = jjj H0L zzz = jjjj
jj x zz jj 1. zzzz
jj 3 zz jj
zz
jj
z
j H0L zz k 1. {
k x4 {
yz ij 0 yz
zz jj zz
zz jj 0 zz
zz jj zz
zz = jj zz
zz jj 0 zz
zz jj zz
z
{ k0 {
La función vectorial y la matriz jacobiana son:
ij -x4 x1 + 4 x1 - x2 + x3
jj
jj -x1 + 3 x2 - 2 x3 - x2 x4
j
F Hx1 , x2 , x3 , x4 L = jjj
jjj x1 - 2 x2 + 3 x3 - x3 x4
jj
2
2
2
k x1 + x2 + x3 - 1
ij 4 - x4
jj
jj -1
J Hx1 , x2 , x3 , x4 L = jjjj
jj 1
jj
k 2 x1
-1
3 - x4
-2
2 x2
1
-2
3 - x4
2 x3
yz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
z
{
-x1
-x2
-x3
0
yz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
{
Iteración i = 0.
ij x1H0L yz
1.00000 y
jj
z
z
jj H0L zzz ijjj
jj x2 zz jj -1.00000 zzzz
jj
zz jj
zz
P0 = jj H0L zz = jj
jj x zz jj 1.00000 zzzz
jj 3 zz jj
zz
jj
z
j H0L zz k 1.00000 {
k x4 {
ij 5.00000 yz
jj
z
jj -5.00000 zzz
zz
F HP0 L = jjjj
zz
jjj 5.00000 zzz
j
z
k 2.00000 {
ij 3.00000
jj
jj -1.00000
J HP0 L = jjjj
jjj 1.00000
j
k 2.00000
-1.00000
2.00000
-2.00000
-2.00000
135
1.00000
-2.00000
2.00000
2.00000
-1.00000 y
zz
1.00000 zzzz
zz
-1.00000 zzzz
z
0
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Se resuelve el sistema lineal J HP0 L DP = -F HP0 L:
ij 3.00000
jj
jj -1.00000
jj
jj
jjj 1.00000
j
k 2.00000
D
jji x1
jj D
j x2
DP = jjjj
jj Dx3
jj
j
k Dx4
-1.00000
2.00000
-2.00000
-2.00000
1.00000
-2.00000
2.00000
2.00000
yz ij -0.333333 yz
zz jj
zz jj 0.333333 zzzz
zz = jj
zz
zz jj
zz jj -0.333333 zzzz
zz jj
zz
z
{
{ k 3.33333
-1.00000 y ij Dx1
zz j
1.00000 zzzz jjjj Dx2
zz.jj
-1.00000 zzzz jjjj Dx3
z jj
0
{ k Dx4
yz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
z
{
El siguiente punto de la iteración es:
P1 = P0 + DP
ij 1. yz ij -0.333333 yz ij 0.666667 yz
jj
z j
z j
z
jj -1. zzz jjj 0.333333 zzz jjj -0.666667 zzz
zz + jj
zz = jj
zz
P1 = jjjj
zz jj
zz jj
zz
jjj 1. zzz jjj -0.333333 zzz jjj 0.666667 zzz
j
z j
z j
z
k 1. { k 3.33333
{ k 4.33333
{
Iteración i = 1.
ij x1H1L yz
0.666667 y
z
jj
zz
jj H1L zzz ijjj
jjj x2 zzz jjj -0.666667 zzzz
z
P1 = jjj H1L zzz = jjj
jj x zz jj 0.666667 zzzz
jj 3 zz jj
zz
jj
z
j H1L zz k 4.33333
{
k x4 {
ij 1.11111 yz
jj
z
jj -1.11111 zzz
j
j
zzz
F HP1 L = jj
jj 1.11111 zzz
jj
zz
k 0.333333 {
ij -0.333333
jj
jj -1.00000
J HP1 L = jjjj
jj 1.00000
jj
k 1.33333
-1.00000
-1.33333
-2.00000
-1.33333
136
1.00000
-2.00000
-1.33333
1.33333
-0.666667 y
zz
0.666667 zzzz
zz
-0.666667 zzzz
z
0
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Se resuelve el sistema lineal J HP1 L DP = -F HP1 L:
ij -0.333333
jj
jj -1.00000
jj
jj
jjj 1.00000
j
k 1.33333
D
jji x1
jj D
j x2
DP = jjjj
jj Dx3
jj
j
k Dx4
-1.00000
-1.33333
-2.00000
-1.33333
1.00000
-2.00000
-1.33333
1.33333
yz ij -0.0833333 yz
zz jj
zz jj 0.0833333 zzzz
zz = jj
zz
zz jj
zz jj -0.0833333 zzzz
zz jj
zz
z
{
{ k 1.45833
-0.666667 y ij Dx1
zz j
0.666667 zzzz jjjj Dx2
zz.jj
-0.666667 zzzz jjjj Dx3
z jj
0
{ k Dx4
yz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
z
{
El siguiente punto de la iteración es:
P2 = P1 + DP
ij 0.666667 yz ij -0.0833333 yz ij 0.583333 yz
jj
z j
z j
z
jj -0.666667 zzz jjj 0.0833333 zzz jjj -0.583333 zzz
zz + jj
zz = jj
zz
P2 = jjjj
zz jj
zz jj
zz
jjj 0.666667 zzz jjj -0.0833333 zzz jjj 0.583333 zzz
j
z j
z j
z
k 4.33333
{ k 1.45833
{ k 5.79167
{
Iteración i = 2.
ij x1H2L yz
0.583333 y
z
jj
zz
jj H2L zzz ijjj
jjj x2 zzz jjj -0.583333 zzzz
z
P2 = jjj H2L zzz = jjj
jj x zz jj 0.583333 zzzz
jj 3 zz jj
zz
jj
z
j H2L zz k 5.79167
{
k x4 {
ij 0.121528 yz
jj
z
jj -0.121528 zzz
j
j
zzz
F HP2 L = jj
jj 0.121528 zzz
jj
zz
k 0.0208333 {
ij -1.79167
jj
jj -1.00000
J HP2 L = jjjj
jj 1.00000
jj
k 1.16667
-1.00000
-2.79167
-2.00000
-1.16667
137
1.00000
-2.00000
-2.79167
1.16667
-0.583333 y
zz
0.583333 zzzz
zz
-0.583333 zzzz
z
0
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Se resuelve el sistema lineal J HP2 L DP = -F HP2 L:
ij -1.79167
jj
jj -1.00000
jj
jj
jjj 1.00000
j
k 1.16667
ij Dx1
jj
jj Dx2
DP = jjjj
jj Dx3
jj
j
k Dx4
-1.00000
-2.79167
-2.00000
-1.16667
1.00000
-2.00000
-2.79167
1.16667
yz ij -0.00595238 yz
zz jj
zz jj 0.00595238 zzzz
zz = jj
zz
zz jj
zz jj -0.00595238 zzzz
zz jj
zz
z
{
{ k 0.206207
-0.583333 y ij Dx1
zz j
0.583333 zzzz jjjj Dx2
zz.jj
-0.583333 zzzz jjjj Dx3
z jj
0
{ k Dx4
yz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
z
{
El siguiente punto de la iteración es:
P3 = P2 + DP
ij 0.583333 yz ij -0.00595238 yz ij 0.577381 yz
jj
z j
z j
z
jj -0.583333 zzz jjj 0.00595238 zzz jjj -0.577381 zzz
zz + jj
zz = jj
zz
P3 = jjjj
zz jj
zz jj
zz
jjj 0.583333 zzz jjj -0.00595238 zzz jjj 0.577381 zzz
j
z j
z j
z
k 5.79167
{ k 0.206207
{ k 5.99787
{
Iteración i = 3.
ij x1H3L yz
0.577381 y
z
jj
zz
jj H3L zzz ijjj
jjj x2 zzz jjj -0.577381 zzzz
z
P3 = jjj H3L zzz = jjj
jj x zz jj 0.577381 zzzz
jj 3 zz jj
zz
jj
z
j H3L zz k 5.99787
{
k x4 {
ij 0.00122743 yz
jj
z
jj -0.00122743 zzz
j
j
zzz
F HP3 L = jj
jj 0.00122743 zzz
jj
zz
k 0.000106293 {
ij -1.99787
jj
jj -1.00000
J HP3 L = jjjj
jj 1.00000
jj
k 1.15476
-1.00000
-2.99787
-2.00000
-1.15476
138
1.00000
-2.00000
-2.99787
1.15476
-0.577381 y
zz
0.577381 zzzz
zz
-0.577381 zzzz
z
0
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Se resuelve el sistema lineal J HP3 L DP = -F HP3 L:
ij -1.99787
jj
jj -1.00000
jj
jj
jjj 1.00000
j
k 1.15476
ij Dx1
jj
jj Dx2
DP = jjjj
jj Dx3
jj
j
k Dx4
-1.00000
-2.99787
-2.00000
-1.15476
1.00000
-2.00000
-2.99787
1.15476
yz ij -0.0000306824 yz
zz jj
zz jj 0.0000306824 zzzz
zz = jj
zz
zz jj
zz jj -0.0000306824 zzzz
zz jj
zz
z
{
{ k 0.00212574
-0.577381 y ij Dx1
zz j
0.577381 zzzz jjjj Dx2
zz.jj
-0.577381 zzzz jjjj Dx3
z jj
0
{ k Dx4
yz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
z
{
El siguiente punto de la iteración es:
P4 = P3 + DP
ij 0.577381 yz ij -0.0000306824 yz ij 0.57735 zy
jj
z j
z j
z
jj -0.577381 zzz jjj 0.0000306824 zzz jjj -0.57735 zzz
zz + jj
zz = jj
zz
P4 = jjjj
zz jj
zz jj
zz
jjj 0.577381 zzz jjj -0.0000306824 zzz jjj 0.57735 zzz
j
z j
z j
z
k 5.99787
{ k 0.00212574
{ k 6.
{
Iteración i = 4.
ij x1H4L yz
z i 0.577350 yz
jj
jj H4L zzz jjj
z
jjj x2 zzz jjj -0.577350 zzzz
j
z
z
P4 = jj
z=j
jj x H4L zzz jjjj 0.577350 zzzz
jj 3 zz jj
zz
jj
zz
6.00000
H4L
k
{
k x4 {
-8
jij 6.52227 µ 10
jj
jj -6.52227 µ 10-8
j
F HP4 L = jjjj
-8
jjj 6.52227 µ 10
jj
-9
k 2.82422 µ 10
ij -2.00000
jj
jj -1.00000
J HP4 L = jjjj
jjj 1.00000
j
k 1.15470
zyz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
{
-1.00000
-3.00000
-2.00000
-1.15470
139
1.00000
-2.00000
-3.00000
1.15470
-0.577350 y
zz
0.577350 zzzz
zz
-0.577350 zzzz
z
0
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Se resuelve el sistema lineal J HP4 L DP = -F HP4 L:
ij -2.00000
jj
jj -1.00000
jj
jj
jjj 1.00000
j
k 1.15470
ij Dx1
jj
jj Dx2
DP = jjjj
jj Dx3
jj
j
k Dx4
-1.00000
-3.00000
-2.00000
-1.15470
1.00000
-2.00000
-3.00000
1.15470
-10
yz
yz ijjj -8.15283 µ 10
zz
zz jj
zz jj 8.15283 µ 10-10 zzzz
zz = jj
zz
zz jj
zz jj -8.15283 µ 10-10 zzzz
zz jj
zz
z j
z
{ k 1.12969 µ 10-7 {
El siguiente punto de la iteración es:
P5 = P4 + DP
-0.577350 y ij Dx1
zz j
0.577350 zzzz jjjj Dx2
zz.jj
-0.577350 zzzz jjjj Dx3
z jj
0
{ k Dx4
yz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
z
{
-10
yz i 0.57735 y
ij 0.57735 zy jjji -8.15283 µ 10
zz jj
zz
jj
zz jj
zz jj
-10
jj -0.57735 zz jj 8.15283 µ 10
zz jj -0.57735 zzzz
j
z
zz = jj
zz + jj
zz
P5 = jjj
jj 0.57735 zzz jjjj -8.15283 µ 10-10 zzzz jjj 0.57735 zzz
jj
zz jj
j
zz
zz j
j
z
k 6.
{ k 1.12969 µ 10-7 { k 6.
{
Tabla de datos.
140
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
i
0
1
2
3
4
Pi
ij 1. yz
jj
z
jj -1. zzz
jj
zz
jj
z
jj 1. zzz
jj
zz
k 1. {
ij 0.666667 yz
jj
zz
jjj -0.666667 zzz
jj
z
jj 0.666667 zzz
jj
zz
j
z
k 4.33333
{
0.583333
ij
yz
jj
zz
jjj -0.583333 zzz
z
jj
jj 0.583333 zzz
zz
jj
j
z
k 5.79167
{
0.577381
yz
ij
zz
jj
jjj -0.577381 zzz
z
jj
jj 0.577381 zzz
zz
jj
z
j
5.99787
{
k
i 0.57735 zy
jjj
z
jj -0.57735 zzz
zz
jjj
jj 0.57735 zzz
jj
zz
j
z
6.
k
{
ij Dx1
jj
jj Dx2
DP = jjjj
jjj Dx3
jj
k Dx4
yz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
z
{
ij -0.333333 yz
jj
z
jj 0.333333 zzz
jj
zz
jj
z
jj -0.333333 zzz
jj
zz
k 3.33333
{
ij -0.0833333 yz
jj
zz
jjj 0.0833333 zzz
jj
z
jj -0.0833333 zzz
jj
zz
z
j
k 1.45833
{
-0.00595238
ij
yz
jj
zz
jjj 0.00595238 zzz
jj
z
jj -0.00595238 zzz
jj
zz
j
z
k 0.206207
{
-0.0000306824
yz
ij
zz
jj
jjj 0.0000306824 zzz
z
jj
jj -0.0000306824 zzz
zz
jj
z
j
0.00212574
{
k
ij -8.15283 µ 10-10 yz
jj
zz
jj
-10 z
zz
jjj 8.15283 µ 10
zz
jj
z
jj -8.15283 µ 10-10 zzz
jj
zz
jj
zz
-7
k 1.12969 µ 10
{
Pi+1 = Pi + DP
ij 0.666667 yz
jj
z
jj -0.666667 zzz
jj
zz
jj
z
jj 0.666667 zzz
jj
zz
k 4.33333
{
ij 0.583333 yz
jj
zz
jjj -0.583333 zzz
jj
z
jj 0.583333 zzz
zz
jj
j
z
k 5.79167
{
0.577381
ij
yz
jj
zz
jjj -0.577381 zzz
jj
z
jj 0.577381 zzz
jj
zz
j
z
k 5.99787
{
0.57735
yz
ij
zz
jj
jjj -0.57735 zzz
z
jj
jj 0.57735 zzz
zz
jj
z
j
6.
{
k
ij 0.57735 zy
jj
z
jj -0.57735 zzz
jjj
zz
jj 0.57735 zzz
jj
zz
j
z
6.
k
{
¥Pi+1 - Pi ∞¶
3.33333
1.45833
0.206207
0.00212574
1.12969 µ 10-7
La solución aproximada del sistema es:
ij 0.577350 yz
jj
z
jj -0.577350 zzz
j
zz
P5 = jjj
zz
jjj 0.577350 zzz
j
z
k 6.00000
{
Solución
c)
Clear@ecuaciones, p, m, dD;
ecuaciones = 8 4 x1 − x2 + x3 − x1 x4 , −x1 + 3 x2 − 2 x3 − x2 x4 ,
x1 − 2 x2 + 3 x3 − x3 x4 , x21 + x22 + x23 − 1 <;
p = 81.0, 0.0, 0.0, 1.0<;
m = 10;
d = 10.−5 ;
newtonSistemasNoLineal@ecuaciones, p, m, dD;
141
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Método de Newton- Raphson para sistemas de ecuaciones no lineales.
ij -x4 x1 + 4 x1 - x2 + x3
jj
jj -x1 + 3 x2 - 2 x3 - x2 x4
j
fi Hx1 , x2 , x3 , x4 L = jjj
jjj x1 - 2 x2 + 3 x3 - x3 x4
jj
2
2
2
k x1 + x2 + x3 - 1
ij x1H0L yz
jj
z i 1. y
jj H0L zzz jjj zzz
jj x2 zz jj 0. zz
j
z
P0 = jjj H0L zzz = jjjj zzzz
jj x zz jj 0. zz
jj 3 zz jj zz
jj
z
j H0L zz k 1. {
x
k 4 {
yz ij 0 yz
zz jj zz
zz jj 0 zz
zz jj zz
zz = jj zz
zz jj 0 zz
zz jj zz
z
{ k0 {
La función vectorial y la matriz jacobiana son:
ij -x4 x1 + 4 x1 - x2 + x3
jj
jj -x1 + 3 x2 - 2 x3 - x2 x4
j
F Hx1 , x2 , x3 , x4 L = jjj
jjj x1 - 2 x2 + 3 x3 - x3 x4
jj
2
2
2
k x1 + x2 + x3 - 1
ij 4 - x4
jj
jj -1
J Hx1 , x2 , x3 , x4 L = jjjj
jj 1
jj
k 2 x1
-1
3 - x4
-2
2 x2
1
-2
3 - x4
2 x3
yz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
z
{
-x1
-x2
-x3
0
yz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
{
Iteración i = 0.
ij x1H0L yz
1.00000 y
jj
z
zz
jj H0L zzz ijjj
zz
jj x2 zz jj 0
zz
jj
zz jj
zz
P0 = jj H0L zz = jj
zz
jj x zz jj 0
zz
jj 3 zz jj
z
jj
zz
j H0L z k 1.00000 {
x
k 4 {
ij 3.00000 yz
jj
z
jj -1.00000 zzz
zz
F HP0 L = jjjj
zz
jjj 1.00000 zzz
j
z
k0
{
ij 3.00000
jj
jj -1.00000
J HP0 L = jjjj
jjj 1.00000
j
k 2.00000
-1.00000
2.00000
-2.00000
0
142
1.00000
-2.00000
2.00000
0
-1.00000 y
zz
zz
0
zz
zz
zz
0
zz
z
0
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Se resuelve el sistema lineal J HP0 L DP = -F HP0 L:
ij 3.00000
jj
jj -1.00000
jj
jj
jjj 1.00000
j
k 2.00000
D
jji x1
jj D
j x2
DP = jjjj
jj Dx3
jj
j
k Dx4
-1.00000
2.00000
-2.00000
0
1.00000
-2.00000
2.00000
0
yz ij -5.9848 µ 10-17
zz jjj
zz jj 0.25
zz = jj
zz jj
zz jj -0.25
zz jj
z
{ k 2.5
El siguiente punto de la iteración es:
P1 = P0 + DP
-17
ij 1. zy jji -5.9848 µ 10
jj zz jj
jj 0. zz jj 0.25
P1 = jjjj zzzz + jjj
jj 0. zz jjj -0.25
jj zz jj
k 1. { k 2.5
zzy
zz
zz
zz
zz
zz
zz
{
-1.00000 y ij Dx1
zz jj
zz jj D
0
zz jj x2
zz.jj
zz jj D
0
zz jj x3
zj
0
{ k Dx4
yz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
z
{
yz
zzy ijj 1.
z
zz jj
zz jj 0.25 zzzz
zz = jj
zz jj -0.25 zzzz
zz jj
zz
zz j
z
3.5
{
{ k
Iteración i = 1.
ij x1H1L yz
1.0000
jj
z
yz
jj H1L zzz ijjj
jj x2 zz jj 0.250000 zzzz
j
z
zz
P1 = jjj H1L zzz = jjjj
jj x zz jj -0.250000 zzzz
jj 3 zz jj
zz
jj
z
j H1L zz k 3.50000
{
k x4 {
-16
zyz
jij -4.44089 µ 10
zz
jj
jj -0.625000
zz
zz
F HP1 L = jjj
zz
jj 0.625000
zz
jjj
zz
k 0.125000
{
ij 0.500000
jj
jj -1.00000
J HP1 L = jjjj
jjj 1.00000
j
k 2.00000
-1.00000
-0.500000
-2.00000
0.500000
143
1.00000
-2.00000
-0.500000
-0.500000
-1.0000 y
zz
-0.250000 zzzz
zz
0.250000 zzzz
z
0
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Se resuelve el sistema lineal J HP1 L DP = -F HP1 L:
ij 0.500000
jj
jj -1.00000
jj
jj
jjj 1.00000
j
k 2.00000
D
jji x1
jj D
j x2
DP = jjjj
jj Dx3
jj
j
k Dx4
-1.00000
-0.500000
-2.00000
0.500000
1.00000
-2.00000
-0.500000
-0.500000
yz ij -0.170732 yz
zz jj
zz jj 0.216463 zzzz
zz = jj
zz
zz jj
zz jj -0.216463 zzzz
zz jj
zz
z
{ k -0.518293 {
-1.0000 y ij Dx1
zz j
-0.250000 zzzz jjjj Dx2
zz.jj
0.250000 zzzz jjjj Dx3
z jj
0
{ k Dx4
yz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
z
{
El siguiente punto de la iteración es:
P2 = P1 + DP
ij 1.
yz ji -0.170732 yz ij 0.829268 yz
jj
z j
z j
z
jj 0.25 zzz jjj 0.216463 zzz jjj 0.466463 zzz
zz + jj
zz = jj
zz
P2 = jjjj
zz jj
zz jj
zz
jjj -0.25 zzz jjj -0.216463 zzz jjj -0.466463 zzz
j
z j
z j
z
k 3.5
{ k -0.518293 { k 2.98171
{
Iteración i = 2.
ij x1H2L yz
0.829268 y
z
jj
zz
jj H2L zzz ijjj
jjj x2 zzz jjj 0.466463 zzzz
z
P2 = jjj H2L zzz = jjj
jj x zz jj -0.466463 zzzz
jj 3 zz jj
zz
jj
z
j H2L zz k 2.98171
{
k x4 {
ij -0.0884890 yz
jj
zz
jj 0.112191
zz
j
j
zzz
F HP2 L = jj
jj -0.112191 zzz
jj
zz
k 0.122862
{
ij 1.01829
jj
jj -1.00000
J HP2 L = jjjj
jj 1.00000
jj
k 1.65854
-1.00000
0.0182927
-2.00000
0.932927
144
1.00000
-2.00000
0.0182927
-0.932927
-0.829268 y
zz
-0.466463 zzzz
zz
0.466463 zzzz
z
0
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Se resuelve el sistema lineal J HP2 L DP = -F HP2 L:
ij 1.01829
jj
jj -1.00000
jj
jj
jjj 1.00000
j
k 1.65854
D
jji x1
jj D
j x2
DP = jjjj
jj Dx3
jj
j
k Dx4
-1.00000
0.0182927
-2.00000
0.932927
1.00000
-2.00000
0.0182927
-0.932927
yz ij -0.0103077 yz
zz jj
zz jj -0.0566853 zzzz
zz = jj
zz
zz jj
zz jj 0.0566853 zzzz
zz jj
zz
z
{ k 0.0173469 {
-0.829268 y ij Dx1
zz j
-0.466463 zzzz jjjj Dx2
zz.jj
0.466463 zzzz jjjj Dx3
z jj
0
{ k Dx4
yz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
z
{
El siguiente punto de la iteración es:
P3 = P2 + DP
ij 0.829268 yz ij -0.0103077 yz ij 0.818961 yz
jj
z j
z j
z
jj 0.466463 zzz jjj -0.0566853 zzz jjj 0.409778 zzz
zz + jj
zz = jj
zz
P3 = jjjj
zz jj
zz jj
zz
jjj -0.466463 zzz jjj 0.0566853 zzz jjj -0.409778 zzz
j
z j
z j
z
k 2.98171
{ k 0.0173469 { k 2.99905
{
Iteración i = 3.
ij x1H3L yz
0.818961 y
z
jj
zz
jj H3L zzz ijjj
jjj x2 zzz jjj 0.409778 zzzz
z
P3 = jjj H3L zzz = jjj
jj x zz jj -0.409778 zzzz
jj 3 zz jj
zz
jj
z
j H3L zz k 2.99905
{
k x4 {
ij 0.000178807 yz
jj
z
jj 0.000983313 zzz
j
zz
j
F HP3 L = jj
z
jj -0.000983313 zzz
jj
zz
k 0.00653269
{
ij 1.00095
jj
jj -1.00000
J HP3 L = jjjj
jj 1.00000
jj
k 1.63792
-1.00000
0.000945783
-2.00000
0.819556
145
1.00000
-2.00000
0.000945783
-0.819556
-0.818961 y
zz
-0.409778 zzzz
zz
0.409778 zzzz
z
0
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Se resuelve el sistema lineal J HP3 L DP = -F HP3 L:
ij 1.00095
jj
jj -1.00000
jj
jj
jjj 1.00000
j
k 1.63792
D
jji x1
jj D
j x2
DP = jjjj
jj Dx3
jj
j
k Dx4
-1.00000
0.000945783
-2.00000
0.819556
1.00000
-2.00000
0.000945783
-0.819556
yz ij -0.00245967 yz
zz jj
zz jj -0.00152762 zzzz
zz = jj
zz
zz jj
zz jj 0.00152762 zzzz
zz jj
zz
z
{ k 0.000942714 {
-0.818961 y ij Dx1
zz j
-0.409778 zzzz jjjj Dx2
zz.jj
0.409778 zzzz jjjj Dx3
z jj
0
{ k Dx4
yz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
z
{
El siguiente punto de la iteración es:
P4 = P3 + DP
ij 0.818961 yz ij -0.00245967 yz ij 0.816501 yz
jj
z j
z j
z
jj 0.409778 zzz jjj -0.00152762 zzz jjj 0.408251 zzz
zz + jj
zz = jj
zz
P4 = jjjj
zz jj
zz jj
zz
jjj -0.409778 zzz jjj 0.00152762 zzz jjj -0.408251 zzz
j
z j
z j
z
k 2.99905
{ k 0.000942714 { k 3.
{
Iteración i = 4.
ij x1H4L yz
z i 0.816501 yz
jj
jj H4L zzz jjj
z
jjj x2 zzz jjj 0.408251 zzzz
j
z
z
P4 = jj
z=j
jj x H4L zzz jjjj -0.408251 zzzz
jj 3 zz jj
zz
jj
zz
3.00000
H4L
k
{
k x4 {
-6
jij 2.31877 µ 10
jj
jj 1.44011 µ 10-6
F HP4 L = jjjj
jj -1.44011 µ 10-6
jj
jj
k 0.0000107172
ij 1.00000
jj
jj -1.00000
j
J HP4 L = jjjj
jjj 1.00000
jj
k 1.63300
zyz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
{
-1.00000
3.06909 µ 10
-2.00000
0.816501
146
1.00000
-6
-2.00000
3.06909 µ 10-6
-0.816501
-0.816501 y
zz
z
-0.408251 zzzz
zz
0.408251 zzzz
zz
0
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Se resuelve el sistema lineal J HP4 L DP = -F HP4 L:
ij 1.00000
jj
jj -1.00000
jj
jj
jj 1.00000
jj
jj
k 1.63300
ij Dx1
jj
jj Dx2
DP = jjjj
jj Dx3
jj
j
k Dx4
-1.00000
1.00000
3.06909 µ 10
-6
-2.00000
3.06909 µ 10-6
-0.816501
-2.00000
0.816501
-6
yz ijjj -4.31288 µ 10
zz jj
zz jj -2.25001 µ 10-6
zz = jj
zz jj
zz jj 2.25001 µ 10-6
zz jj
z j
{ k 3.06908 µ 10-6
El siguiente punto de la iteración es:
P5 = P4 + DP
yz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
z
{
-6
ij 0.816501 yz ijjj -4.31288 µ 10
jj
z
jj 0.408251 zzz jjjj -2.25001 µ 10-6
zz + jj
P5 = jjjj
z
jj -0.408251 zzz jjjj 2.25001 µ 10-6
jj
zz jj
j
k 3.
{ k 3.06908 µ 10-6
Tabla de datos.
147
-0.816501 y i Dx1
zz jj
z
-0.408251 zzzz jjjj Dx2
zz.jjj
0.408251 zzzz jjjj Dx3
zz j
0
{ k Dx4
yz i 0.816497 y
zz jj
zz
zz jj
zz jj 0.408248 zzzz
zz = jj
zz jj -0.408248 zzzz
zz jj
zzz
zz j
z
3.
k
{
{
yz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
z
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
i
0
1
2
3
4
Pi
ij 1. yz
jj zz
jj 0. zz
jj zz
jj zz
jj 0. zz
jj zz
k 1. {
ij 1.
zyz
jj
jj 0.25 zzz
jj
zz
z
jj
jj -0.25 zzz
zz
jj
k 3.5
{
ij 0.829268 yz
jj
z
jj 0.466463 zzz
jj
zz
z
jj
jj -0.466463 zzz
jj
zz
{
k 2.98171
ij 0.818961 yz
z
jj
jj 0.409778 zzz
zz
jj
jj
z
jj -0.409778 zzz
zz
jj
{
k 2.99905
ij 0.816501 yz
jj
z
jj 0.408251 zzz
jj
zz
jj
z
jj -0.408251 zzz
jj
zz
k 3.
{
ij Dx1
jj
jj Dx2
DP = jjjj
jjj Dx3
jj
k Dx4
yz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
z
{
ij -5.9848 µ 10-17 yz
jj
zz
jj 0.25
zz
jj
zz
jj
zz
jj -0.25
zz
jj
zz
j
z
2.5
k
{
-0.170732
jij
zy
jj 0.216463 zzz
jj
zz
z
jj
jj -0.216463 zzz
jj
zz
j
z
-0.518293
k
{
ij -0.0103077 yz
jj
z
jj -0.0566853 zzz
zz
jjj
jj 0.0566853 zzz
jjj
zzz
k 0.0173469 {
ij -0.00245967 yz
z
jj
jj -0.00152762 zzz
zz
jj
jj
z
jj 0.00152762 zzz
zz
jj
k 0.000942714 {
ij -4.31288 µ 10-6
jj
jj
jj -2.25001 µ 10-6
jj
jj
jj 2.25001 µ 10-6
jj
j
-6
k 3.06908 µ 10
yz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
z
{
La solución aproximada del sistema es:
ij 0.816497 yz
jj
z
jj 0.408248 zzz
j
zz
j
P5 = jj
z
jj -0.408248 zzz
jj
zz
k 3.00000
{
148
Pi+1 = Pi + DP
¥Pi+1 - Pi ∞¶
yz
ij 1.
jj
z
jj 0.25 zzz
jj
zz
jj
z
jj -0.25 zzz
jj
zz
k 3.5
{
2.5
0.829268 y
jij
z
jj 0.466463 zzz
jj
zz
jj
z
jj -0.466463 zzz
jj
zz
j
z
2.98171
{
k
ij 0.818961 yz
jj
z
jj 0.409778 zzz
zz
jjj
jj -0.409778 zzz
jjj
zzz
{
k 2.99905
ij 0.816501 yz
z
jj
jj 0.408251 zzz
zz
jj
jj
z
jj -0.408251 zzz
zz
jj
{
k 3.
ij 0.816497 yz
jj
z
jj 0.408248 zzz
jj
zz
jj
z
jj -0.408248 zzz
jj
zz
k 3.
{
0.518293
0.0566853
0.00245967
4.31288 µ 10-6
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
6. Método de Cuasi- Newton
6.1 Introducción
Un
punto débil importante del método de Newton para resolver sistemas de
ecuaciones no lineales está en el hecho de que, en cada iteración, es necesario calcular una
matriz jacobiana y resolver un sistema de n ecuaciones con n incógnitas con dicha matriz.
Para ejemplificar la importancia de esta debilidad, se consideran la cantidad de cálculos
necesarios para llevar a cabo una sola iteración del método de Newton. La matriz jacobiana
asociada a un sistema de n ecuaciones no lineales escritas de la forma FHxL = 0 , requiere
que se determinen y evaluen las n2 derivadas parciales de las componentes de F. En la
mayoría de las situaciones la evaluación exacta de las derivadas parciales resulta complicada
y, en muchas aplicaciones, imposible.
Cuando no es práctico efectuar la evaluación exacta, se pueden usar las
aproximaciones de diferencia finita a las derivadas parciales. Por ejemplo,
∑ fj
f j HxHiL + ek h - f j HxHiL LL
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ HxHiL L º ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ,
h
∑ xk
(19)
donde h es un número pequeño en valor absoluto y ek es el vector cuya única coordenada no
nula es la k - ésima que vale 1. Sin embargo, esta aproximación requiere efectuar al menos
n2 evaluaciones de funciones escalares para aproximar la matriz jacobiana y no disminuye el
número de operaciones que hay que realizar, casi siempre es necesario O(n3 ) para resolver el
sistema lineal que contiene esta matriz jacobiana aproximada. El esfuerzo computacional
total para realizar solamente una iteración del método de Newton conlleva, en consecuencia,
149
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
al menos n2 + n evaluaciones de funciones escalares (n2 para evaluar la matriz jacobiana y n
para evaluar la función F), junto con un número de operaciones aritméticas de orden O(n3 )
para resolver el sistema lineal. Esta cantidad de cálculos es muy grande, excepto en el caso
de los valores relativamente pequeños de n y de funciones escalares que se pueden evaluar
fácilmente.
El método de cuasi-Newton o de Broyden es una generalización del método de la
secante para los sistemas de ecuaciones no lineales. El método requiere únicamente n
evaluaciones de funciones escalares por iteración y también disminuye el número de
operaciones aritméticas a O(n2 ). Este método pertenece a una clase de técnicas denominadas
actualizaciones de secante con cambio mínimo, en los que se sustituye la matriz jacobiana
del método de Newton por una matriz de aproximaciones que se actualiza en cada iteración.
La desventaja de este método es que se pierde la convergencia cuadrática del método de
Newton, que se reemplaza por una convergencia denominada superlineal, la cual implica que
∞xHi+1L - p¥
lím ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 0.
i Ø ¶ ∞xHiL - p¥
(20)
donde p denota la solución de F(x) = 0 y pHiL + pHi+1L son aproximaciones consecutivas de p.
En la mayoria de las aplicaciones, el descenso en el número de cálculos es una
compensación más que aceptable por la reducción a convergencia superlineal.
Una desventaja añadida de los métodos actualización de secante con cambio mínimo
es que, a diferencia del método de Newton, no se corriguen a si mismos. En el método de
Newton, por ejemplo, generalmente los errores de redondeo se van corrigiendo en las
sucesivas iteraciones, lo que no ocurre con este método salvo que se incorporen medidas
150
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
especiales de correción.
Suponiendo que se se dispone de una aproximación inicial pH0L a la solución p de
F(x) = 0. La siguiente aproximación pH1L se calcula como en el método de Newton o, si es
dificil de determinar exactamente J( pH0L ), se utilizarán las ecuaciones de diferencias dadas
por (19) para aproximar las derivadas parciales. Sin embargo, para calcular pH2L se procede
de manera diferente al método de Newton examinando el método de la Secante para una sola
ecuación. En el método de la Secante se utiliza la aproximación
f H p1 L - f H p0 L
f £ H p1 L º ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
p1 - p0
(21)
como sustituto de la f £ H p1 L del método de Newton.
En el caso de los sistemas no lineales, pH1L - pH0L es un vector, así que el cociente
correspondiente no está definido. Aún así, el método procede de manera semejante al
método de Newton, en el sentido de que, en vez de la matriz jacobiana J ( pH1L ) del método de
Newton se emplea una matriz A1 tal que
A1 H pH1L - pH0L L = FH pH1L L - F H pH0L L.
(22)
Todo vector distinto de cero de n puede escribirse como la suma de un múltiplo de
pH1L - pH0L y de un múltiplo de un vector del subespacio ortogonal de pH1L - pH0L . Por tanto,
para definir la matriz A1 de forma única, se debe especificar cómo actúa esta matriz sobre el
subespacio ortogonal de pH1L - pH0L . Dado que no se tiene información sobre la variación de
F en las direcciones ortogonales a pH1L - pH0L , se requiere, simplemente, que no haya
variación, o sea, que
A1 z = JH pH0L L z
siempre que H pH1L - pH0L L z = 0.
t
151
(23)
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Esta condición especifica que ningún vector ortogonal a pH1L - pH0L se ve afectado
por la sustitución de J H pH0L L, la matriz que se utilizó para calcular pH1L , por la matriz A1 con
la que se va a determinar pH2L .
Estas condiciones (22 y 23) definen de manera única a A1 como
@FH pH1L L - FH pH0L L - JH pH0L L H pH1L - pH0L LD H pH1L - pH0L L
A1 = JH p L + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ .
∞ pH1L - pH0L ¥22
t
H0L
(24)
Esta matriz es la que se usa en lugar de J H pH1L L para determinar pH2L como:
pH2L = pH1L - A1 -1 FH pH1L L .
(25)
Una vez que se ha determinado pH2L , se repite el procedimiento para determinar pH3L ,
utilizando A1 en lugar de A0 ª JH pH0L L y con pH2L y pH1L en lugar de pH1L y pH0L ,
respectivamente. En general, una vez que se ha determinado pHiL , la siguiente aproximación
pHi+1L se calcula mediante
yi - Ai-1 si t
Ai = Ai-1 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ si
∞si ¥22
(26)
pHi+1L = pHiL - Ai -1 FH pHiL L,
(27)
y
donde la notación si = pHiL - pHi-1L e yi = F H pHiL L - F H pHi-1L L
se introduce en las
ecuaciones anteriores para simplificarlas.
Si el método se aplica como se ha descrito anteriormente, el número de evaluaciones
de funciones escalares disminuye de n2 + n a n (las necesarias para calcular F( pHiL )), pero
sigue requiriendo del orden de O(n3 ) para resolver el sistema lineal asociado de n ecuaciones
con n incógnitas
152
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Ai yi = -F H pHiL L.
(28)
Esta manera de usar el método no compensaría la reducción a convergencia
superlineal de la convergencia cuadrática del método de Newton. La mejora significativa se
consigue usando la siguien fórmula de invesión matricial.
ô Fórmula de Sherman - Morrison.
Si A es una matriz invertible y si x e y son vectores tales que yt = A-1 x ∫ -1,
entonces A + x yt es invertible y
A xy A
HA + x yt L-1 = A-1 - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ .
1+yt A-1 x
-1
t
-1
Esta fórmula permite calcular Ai -1 directamente a partir de A-1
i , con lo que se
prescinde de realizar la inversión matricial en cada iteración. Al utilizar A = Ai-1 -1 ,
yi -Ai-1 si
x = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ , e y = si la ecuación (26) junto con la ecuación de la Fórmula de Sherman ∞s ¥2
i 2
Morrison implican que
Ai
-1
yi - Ai-1 si t yz-1
ij
= j Ai-1 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ si z
∞si ¥22
k
{
=
A-1
i-1
yi - Ai-1 si
A-1
ÅÅÅÅÅÅ si t M A-1
i-1 I ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
i-1
∞si ¥22
- ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
yi - Ai-1 si
1 + sti A-1
2 ÅÅÅÅÅÅ M
i-1 I ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
∞s ¥
i 2
t -1
HA-1
i-1 yi - si L si Ai-1
= A-1
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ2ÅÅÅ
i-1
∞si ¥22 + sti A-1
i-1 yi - ∞si ¥2
(29)
t -1
H si - A-1
i-1 yi L si Ai-1
= A-1
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
i-1 - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
sti A-1
i-1 yi
En este cálculo intervienen exclusivamente la multiplicación de matrices y vectores
en cada paso; por tanto, sólo se requieren O(n2 ) cálculos aritméticos. El cálculo de Ai se
omite, y se prescinde de la resolución del sistema lineal (28).
153
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
6.2 Pseudocódigo
è Algoritmo 5. Método de Cuasi - Newton para sistemas no lineales
El pseudocódigo del algoritmo que resuelve un sistema de ecuaciones no lineales de
n ecuaciones con n incognitas mediante el método de Cuasi - Newton es:
Algoritmo Cuasi - Newton
Input I8f Hx1 , ..., xn L<1 n , H x1H0L x2H0L ... xnH0L L , n, errorM
T
(* Se inicializan las variables *)
H0L L
p H x1H0L x2H0L ... xm
n
F 8f Hx1 , ..., xn L<1
T
H0L
H0L
H0L
jij f1 H p1 , p2 , ..., pn L zyz
jj
z
jj f H pH0L , pH0L , ..., pH0L L zzz
jj 2 1
zz
n
2
zz
f_valor jj
jj . . . . . . . . . . . . . . . .
zz
jj
zz
jj
z
H0L
H0L
H0L z
fn H p1 , p2 , ..., pn L {
k
∑f1
∑f1
∑f1
ij ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ HxL
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ HxL yzz
∑x2
∑xn
jj ∑xÅÅÅÅ1Å HxL ÅÅÅÅ
zz
jj
zz
jj ∑f2
∑f2
∑f2
jj ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ HxL ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ HxL
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ HxL zzzz
∑x1
∑x2
∑xn
j
zz
J HxL = jj
... ....
jj ...
...
... zzzz
jj
jj
zz
jj ∑fn
zz
∑fn
∑fn
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
Å
HxL
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
Å
HxL
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
Å
HxL
∑x2
∑xn
k ∑x1
{
Hx ª Hx1 , ..., xn LL
A y J (xL-1
s y A . f_valor
p_sig p - s
p y p_sig
error »» p_sig - p »»¶
For k = 2, ..., n do
H* Se evalúa la función F *L
w y f_valor
ij f1 H p1Hk-1L , p2Hk-1L , ..., pnHk-1L L yz
jj
zz
jj
z
jj f2 H p1Hk-1L , p2Hk-1L , ..., pnHk-1L L zzz
zz
f_valor jjj
zz
jj . . . . . . . . . . . . . . . .
zz
jj
zz
jj
Hk-1L
Hk-1L
Hk-1L z
f
H
,
...,
p
L
p
,
p
n
n
k
{
1
2
y y f_valor - w
s y -A.w
154
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
1
A_sig y A + I ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ * HH s - A yL Hst ALL M
st A y
(* Cálculo del siguiente punto *)
p_sig p - A_sig . f_valor
A y A_sig
(* Cálculo de la norma de la distancia entre los dos puntos*)
error »» p_sig - p »»¶
If Herror § error_iniL do
Break
End
p y p_sig
End
Return Hx HkL ª HpLT L
Output
6.3 Problemas
à Problema 21. Sea el sistema no lineal de ecuaciones siguiente:
f1 Hx1 , x2 , x3 L = 3 x1 - cosHx2 x3 L - 1 ê 2 = 0,
f2 Hx1 , x2,x3 L = x21 - 81 Hx2 + 0.1L2 + sen x3 + 1.06 = 0,
f3 Hx1 , x2 , x3 L = e-x1 x2 + 20 x3 + H10 p - 3L ê 3 = 0.
Mediante el método de Cuasi Newton calcúlese la aproximación de la solución,
comenzando en el punto inicial
H0L H0L T
T
P0 = IxH0L
1 , x2 , x3 M = H0.1, 0.1, -0.1L
-5
e iterando hasta que ∞Pi+1 - Pi ¥¶ § 10 .
Solución
Clear@ecuaciones, p, m, dD;
ecuaciones = 83 x1 − Cos@x2 ∗ x3 D − 1 ê 2,
x21 − 81 Hx2 + 0.1L2 + Sin@x3 D + 1.06,
Exp@−x1 ∗ x2 D + 20 x3 + H10 Pi − 3L ê 3
<;
p = 80.1, 0.1, −0.1<;
m = 12;
d = 10.−5 ;
cuasinewtonSistemasNoLineal@ecuaciones, p, m, dD;
155
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Método de Cuasi - Newton para sistemas de ecuaciones no lineales.
yz
ij -cosHx2 x3 L + 3 x1 - ÅÅÅÅ12Å
jj
zz ijj 0 yzz
jj 2
z
2
fi Hx1 , x2 , x3 L = jjj x1 - 81 Hx2 + 0.1L + sinHx3 L + 1.06 zzzz = jjjj 0 zzzz
zz jj zz
jj
j
z k0 {
1
-x1 x2
20
x
+
‰
+
ÅÅÅÅ
Å
H-3
+
10
pL
3
{
k
3
ij x1H0L yz i 0.1 y
jj
zz jj
zz
j
z
P0 = jjjj x2H0L zzzz = jjjj 0.1 zzzz
z
jj
z j
j H0L zz jk -0.1 z{
x
k 3 {
La matriz jacobiana es:
ij 3
j
J Hx1 , x2 , x3 L = jjjj 2 x1
jj -x x
k -‰ 1 2 x2
sinHx2 x3 L x3
sinHx2 x3 L x2
-162 Hx2 + 0.1L cosHx3 L
-‰-x1 x2 x1
20
Iteración i = 0
ij -1.1999500 yz
j
z
F HP0 L = jjjj -2.2698334 zzzz
jj
zz
k 8.4620253 {
A0
-1
0.333333
0.0000102385 0.000016157 y
jij
zz
j
j
0.00153584 zzzz
= jj 0.00210861 -0.0308688
jj
zz
k 0.00166052 -0.000152758 0.0500077
{
Cálculo de P1 .
P1 = P0 - A0 -1 * F HP0 L
0.10000000 y i -0.39986967 y
jij
zz jj
zz
j
j
P1 = jj 0.10000000 zzzz - jjjj 0.080533151 zzzz
jj
zz jj
zz
k -0.10000000 { k 0.42152047 {
ij 0.49986967 yz
j
z
P1 = jjjj 0.019466849 zzzz
jj
zz
k -0.52152047 {
156
yz
zz
zz
zz
z
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Iteración i = 1.
ij -0.00033944646 yz
j
zz
zz
F HP1 L = jjjj -0.34438793
jj
zzz
k 0.031882378
{
ij 1.1996106 yz
j
z
y1 = F HP1 L - F HP0 L = jjjj 1.9254455 zzzz
jj
zz
k -8.4301430 {
ij 0.39986967
yz
j
z
s1 = P1 - P0 = jjjj -0.080533151 zzzz
jj
zz
k -0.42152047 {
ij 0.33337810
0.000011104966
jj
j
A1 = jjj -0.0020207098 -0.030948482
j
-0.00016503843
k 0.0010238994
Cálculo de P2 .
8.9673439 µ 10-6
0.0021968158
0.050109587
yz
zz
zz
zz
z
{
P2 = P1 - A1 * F HP1 L
ij 0.49986967 yz ij -0.00011670253 yz
j
z j
zz
zz
P2 = jjjj 0.019466849 zzzz - jjjj 0.010729009
zz
jj
zz jj
z
k -0.52152047 { k 0.0016541025
{
ij 0.49998638 yz
j
z
P2 = jjjj 0.0087378393 zzzz
jj
zz
k -0.52317457 {
Iteración i = 2.
ij -0.000030424728 yz
j
zz
zz
F HP2 L = jjjj -0.14738354
zz
jj
z
k 0.0041247527
{
ij 0.00030902173 yz
j
zz
zz
y2 = F HP2 L - F HP1 L = jjjj 0.19700438
zz
jj
z
-0.027757625
k
{
ij 0.00011670253 yz
j
z
s2 = P2 - P1 = jjjj -0.010729009 zzzz
jj
zz
k -0.0016541025 {
ij 0.33338820
0.000068121639 -9.2972649 µ 10-6
jj
A2 = jjjj -0.0059534545 -0.053140268
0.0093056886
j
0.050468859
k 0.00082514415 -0.0012865794
157
yz
zz
zz
zz
z
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Cálculo de P3 .
P3 = P2 - A2 * F HP2 L
ij 0.49998638 yz ij -0.000020221603 yz
j
z j
zz
zz
P3 = jjjj 0.0087378393 zzzz - jjjj 0.0078705657
zz
jj
zz jj
z
k -0.52317457 { k 0.00039776709
{
ij 0.50000660
yz
j
z
P3 = jjjj 0.00086727356 zzzz
jj
zz
k -0.52357234 {
Iteración i = 3.
0.000019894274 y
jij
zz
j
j
F HP3 L = jj -0.014081267 zzzz
jj
zz
k 0.000095133748 {
ij 0.000050319003 yz
j
zz
zz
y3 = F HP3 L - F HP2 L = jjjj 0.13330228
zz
jj
z
k -0.0040296189 {
ij 0.000020221603 yz
j
z
s3 = P3 - P2 = jjjj -0.0078705657 zzzz
jj
zz
k -0.00039776709 {
0.000025855527 1.2133979 µ 10-7
jij 0.33338283
jj
A3 = jjj -0.0066634584 -0.058721580
0.010549431
j
0.050506940
k 0.00080340526 -0.0014574679
Cálculo de P4 .
P4 = P3 - A3 * F HP3 L
-6
ij 0.50000660
yz ijj 6.2683424 µ 10 yzz
jj
zz jj
z
P4 = jjj 0.00086727356 zzz - jjj 0.00082774528 zzzz
jj
zz j
z
k -0.52357234 { k 0.000025343892 {
ij 0.50000033
yz
j
z
P4 = jjjj 0.000039528275 zzzz
jj
zz
k -0.52359769
{
158
zyz
zz
zz
zz
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Iteración i = 4.
-7
jij 9.8636682 µ 10 zyz
jj
z
F HP4 L = jjj -0.00063921175 zzzz
jj
z
-6 z
k 2.0404339 µ 10 {
ij -0.000018907908 yz
j
zz
zz
y4 = F HP4 L - F HP3 L = jjjj 0.013442055
zz
jj
z
k -0.000093093314 {
ij -6.2683424 µ 10-6 yz
jj
zz
s4 = P4 - P3 = jjjj -0.00082774528 zzzz
j
z
k -0.000025343892 {
ij 0.33338120
2.6524561 µ 10-6 4.8972458 µ 10-6
jj
A4 = jjjj -0.0068587733 -0.061511385
0.011123659
j
0.050522775
k 0.00079801933 -0.0015343986
Cálculo de P5 .
yz
zz
zz
zz
z
{
P5 = P4 - A4 * F HP4 L
-7
ij 0.50000033
yz ijj 3.2715067 µ 10 yzz
jj
zz jj
z
P5 = jjj 0.000039528275 zzz - jjj 0.000039334731 zzzz
jj
zz jj
zz
k -0.52359769
{ k 1.0846811 µ 10-6 {
ij 0.50000000
yz
jj
zz
-7
j
P5 = jjj 1.9354398 µ 10 zzzz
j
z
k -0.52359877
{
Iteración i = 5.
ij 4.7006390 µ 10-9 yz
jj
zz
j
z
F HP5 L = jjj -3.1290522 µ 10-6 zzz
jj
zz
j
-8 z
1.3994331
µ
10
k
{
ij -9.8166618 µ 10-7 yz
jj
zz
zz
y5 = F HP5 L - F HP4 L = jjjj 0.00063608269
zz
jj
z
-6 z
k -2.0264396 µ 10 {
-7
jij -3.2715067 µ 10 zyz
jj
z
s5 = P5 - P4 = jjj -0.000039334731 zzzz
z
jj
-6 z
k -1.0846811 µ 10 {
ij 0.33338104
2.0305293 µ 10-7 5.3953303 µ 10-6
jj
A5 = jjjj -0.0068787533 -0.061814004
0.011185196
j
0.050524536
k 0.00079744751 -0.0015430594
159
yz
zz
zz
zz
z
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Cálculo de P6 .
P6 = P5 - A5 * F HP5 L
-9
ij 0.50000000
yz jij 1.5665441 µ 10 zyz
jj
z
j
zz
z
j
P6 = jjjj 1.9354398 µ 10-7 zzzz - jjj 1.9354344 µ 10-7 zzz
j
zz
j
z jj
z
k -0.52359877
{ k 5.5391192 µ 10-9 {
ij 0.50000000
jj
P6 = jjjj 5.3466189 µ 10-13
j
k -0.52359878
yz
zz
zz
zz
z
{
Tabla de datos.
i
0
1
2
3
4
5
6
F HPi L
-1.1999500
ij
yz
jj
z
jj -2.2698334 zzz
jj
zz
j
z
k 8.4620253 {
Pi
0.10000000
ij
yz
jj
z
jj 0.10000000 zzz
jj
zz
j
z
k -0.10000000 {
ij 0.49986967 yz
jj
z
jj 0.019466849 zzz
jj
zz
j
z
k -0.52152047 {
ij -0.000339446 yz
jj
zz
jj -0.344388
zz
jj
zz
j
z
k 0.0318824
{
ij 0.49998638 yz
jj
z
jj 0.0087378393 zzz
jj
zz
j
z
k -0.52317457 {
ij -0.00033944646 yz
jj
zz
jj -0.34438793
zz
jj
zz
j
z
k 0.031882378
{
yz
ij 0.50000660
jj
z
jj 0.00086727356 zzz
jj
zz
j
z
-0.52357234
k
{
ij 0.50000033
yz
z
jj
jj 0.000039528275 zzz
zzz
jjj
{
k -0.52359769
ij 0.50000000
yz
jj
z
jj 1.9354398 µ 10-7 zzz
jj
zz
j
z
-0.52359877
k
{
ij 0.50000000
jj
jj 5.3466189 µ 10-13
jj
j
k -0.52359878
yz
zz
zz
zz
z
{
ij -0.000030424728 yz
zz
jj
jj -0.14738354
zz
zz
jj
j
z
0.0041247527
k
{
ij 0.000019894274 yz
jj
z
jj -0.014081267 zzz
jjj
zzz
k 0.000095133748 {
-7
jij 9.8636682 µ 10 zyz
jj
z
jj -0.00063921175 zzz
jj
zz
j
-6 z
k 2.0404339 µ 10 {
ij 4.7006390 µ 10-9 yz
jj
zz
jj
z
jj -3.1290522 µ 10-6 zzz
jj
zz
j
-8 z
1.3994331
µ
10
k
{
¥Pi - Pi-1 ∞¶
0.42152
0.010729
0.00787057
0.000827745
0.0000393347
1.93543 µ 10-7
La solución aproximada del sistema es:
ij 0.50000000
jj
P6 = jjjj 5.3466189 µ 10-13
j
k -0.52359878
yz
zz
zz
zz
z
{
à Problema 22. Sea el sistema de ecuaciones no lineales siguiente.
f1 Hx1 , x2 L = 4 x21 - 20 x1 + 1 ê 4 x22 + 8 = 0,
f2 Hx1 , x2 L = 1 ê 2 x1 x22 + 2 x1 - 5 x2 + 8 = 0.
160
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
P0 =
Aplíquese el método de Cuasi Newton iniciando el método en el punto inicial
T
T
-5
xH0L
2 M = H0, 0L e iterando hasta que ∞Pi+1 - Pi ¥¶ § 10 .
IxH0L
1 ,
Solución
Clear@ecuaciones, p, m, dD;
ecuaciones = 84 x21 − 20 x1 + 1 ê 4 x22 + 8, 1 ê 2 x1 x22 + 2 x1 − 5 x2 + 8<;
p = 80., 0.<;
m = 12;
d = 10.−5 ;
cuasinewtonSistemasNoLineal@ecuaciones, p, m, dD;
Método de Cuasi - Newton para sistemas de ecuaciones no lineales.
x
zyz ij 0 yz
jij 4 x12 - 20 x1 + ÅÅÅÅ42ÅÅÅÅ + 8
zz = j z
fi Hx1 , x2 L = jjj
j ÅÅÅÅ1Å x x 2 - 5 x + 2 x + 8 zz k 0 {
1
2
1
2
k 2
{
2
ij x1H0L yz i 0. y
P0 = jjj H0L zzz = jj zz
k x2 { k 0. {
La matriz jacobiana es:
x
ij 8 x1 - 20 ÅÅÅÅ22ÅÅ
j
J Hx1 , x2 L = jjj x 2
2
x1 x2 - 5
k ÅÅÅÅ2ÅÅÅÅ + 2
yz
zz
zz
{
Iteración i = 0
i 8.0000000 yz
z
F HP0 L = jj
k 8.0000000 {
i -0.05 0.
yz
z
A0 -1 = jj
-0.02
-0.2
k
{
P1 = P0 - A0 -1 * F HP0 L
i 0 y i -0.40000000 zy
z
P1 = jj zz - jj
k 0 { k -1.7600000 {
i 0.40000000 yz
z
P1 = jj
k 1.7600000 {
Cálculo de P1 .
Iteración i = 1.
i 1.4144000 zy
z
F HP1 L = jj
k 0.61952000 {
H
L
161
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
i -6.5856000 yz
z
y1 = F HP1 L - F HP0 L = jj
k -7.3804800 {
i 0.40000000 yz
z
s1 = P1 - P0 = jj
k 1.7600000 {
i -0.051318185 -0.0084058166 yz
z
A1 = jj
k -0.022836782 -0.21808962
{
P2 = P1 - A1 * F HP1 L
i 0.40000000 yz ij -0.077792012 yz
z-j
z
P2 = jj
k 1.7600000 { k -0.16741123 {
Cálculo de P2 .
i 0.47779201 yz
z
P2 = jj
k 1.9274112 {
Iteración i = 2.
i 0.28602909 zy
z
F HP2 L = jj
k 0.20600602 {
i -1.1283709 yz
z
y2 = F HP2 L - F HP1 L = jj
k -0.41351398 {
i 0.077792012 yz
z
s2 = P2 - P1 = jj
k 0.16741123 {
i -0.056620702 -0.033621257 yz
z
A2 = jj
k -0.039464683 -0.29716148 {
P3 = P2 - A2 * F HP2 L
0.47779201
i
yz ij -0.023121349 yz
z-j
z
P3 = jj
k 1.9274112 { k -0.072505101 {
Cálculo de P3 .
i 0.50091336 yz
z
P3 = jj
k 1.9999163 {
Iteración i = 3.
i -0.014694116 yz
z
F HP3 L = jj
k 0.0039879863 {
i -0.30072321 yz
z
y3 = F HP3 L - F HP2 L = jj
k -0.20201803 {
i 0.023121349 yz
z
s3 = P3 - P2 = jj
k 0.072505101 {
i -0.056115716 -0.030918285
A3 = jj
k -0.039902570 -0.29950530
162
yz
z
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
P4 = P3 - A3 * F HP3 L
i 0.50091336 yz ij 0.00070126913 yz
z-j
z
P4 = jj
k 1.9999163 { k -0.00060809004 {
Cálculo de P4 .
i 0.50021209 yz
z
P4 = jj
k 2.0005244 {
Iteración i = 4.
i -0.0028688097 zy
z
F HP4 L = jj
k -0.0012490081 {
i 0.011825306
yz
z
y4 = F HP4 L - F HP3 L = jj
-0.0052369944
k
{
i -0.00070126913 yz
z
s4 = P4 - P3 = jj
k 0.00060809004 {
i -0.059072114 0.00052001246 yz
z
A4 = jj
k -0.047138803 -0.22255529
{
P5 = P4 - A4 * F HP4 L
i 0.50021209 yz ij 0.00016881715 zy
z-j
z
P5 = jj
k 2.0005244 { k 0.00041320562 {
Cálculo de P5 .
i 0.50004328 yz
z
P5 = jj
k 2.0001112 {
Iteración i = 5.
i -0.00058117897 yz
z
F HP5 L = jj
k -0.00027173274 {
i 0.0022876307 zy
z
y5 = F HP5 L - F HP4 L = jj
k 0.00097727535 {
i -0.00016881715 yz
z
s5 = P5 - P4 = jj
k -0.00041320562 {
i -0.065479166 -0.019467391
A5 = jj
k -0.063605474 -0.27392462
yz
z
{
P6 = P5 - A5 * F HP5 L
0.50004328
i
yz ij 0.000043345042 yz
z-j
z
P6 = jj
k 2.0001112 { k 0.00011140045 {
Cálculo de P6 .
i 0.49999993 zy
z
P6 = jj
k 1.9999998 {
Iteración i = 6.
i 9.3066080 µ 10-7 yz
zz
F HP6 L = jjjj
-7 z
k 4.7618543 µ 10 {
H
L
163
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
i 0.00058210963 yz
z
y6 = F HP6 L - F HP5 L = jj
k 0.00027220893 {
i -0.000043345042 yz
z
s6 = P6 - P5 = jj
k -0.00011140045 {
i -0.065430487 -0.019313566 yz
z
A6 = jj
k -0.063473992 -0.27350915 {
Cálculo de P7 .
P7 = P6 - A6 * F HP6 L
-8
i 0.49999993 yz ijj -7.0090428 µ 10 yzz
z - jj
P7 = jj
zz
k 1.9999998 { k -1.8931383 µ 10-7 {
i 0.50000000 yz
z
P7 = jj
k 2.0000000 {
Tabla de datos.
i
0
1
2
3
4
5
6
7
Pi
ij 0 yz
j z
k0 {
ij 0.40000000 yz
j
z
k 1.7600000 {
ij 0.47779201 yz
j
z
k 1.9274112 {
ij 0.50091336 yz
j
z
k 1.9999163 {
ij 0.50021209 yz
j
z
k 2.0005244 {
ij 0.50004328 yz
z
j
k 2.0001112 {
0.49999993 y
jji
zz
k 1.9999998 {
ij 0.50000000 yz
j
z
k 2.0000000 {
F HPi L
ij 8.0000000 yz
j
z
k 8.0000000 {
ij 1.4144 yz
j
z
k 0.61952 {
ij 1.4144000 yz
j
z
k 0.61952000 {
ij 0.28602909 yz
j
z
k 0.20600602 {
ij -0.014694116 yz
j
z
k 0.0039879863 {
ij -0.0028688097 yz
j
z
k -0.0012490081 {
ij -0.00058117897 yz
j
z
k -0.00027173274 {
ij 9.3066080 µ 10-7 yz
jj
zz
j
-7 z
4.7618543
µ
10
k
{
La solución aproximada del sistema es:
i 0.50000000 yz
z
P7 = jj
k 2.0000000 {
164
¥Pi - Pi-1 ∞¶
1.76
0.167411
0.0725051
0.000701269
0.000413206
0.0001114
1.89314 µ 10-7
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
à Problema 23. Sea el sistema de ecuaciones no lineales siguiente.
f1 Hx1 , x2 , x3 L = x1 3 + x1 2 x2 - x1 x3 + 6 = 0,
f2 Hx1 , x2 , x3 L = ‰x1 + ‰x2 - x3 = 0.
f3 Hx1 , x2 , x3 L = x2 2 - 2 x1 x3 - 4 = 0
Aplíquese el método de Cuasi Newton iniciando el método en el punto inicial
H0L H0L H0L T
P0 = Ix1 , x2 , x3 M = H-1, -2, 1LT e iterando hasta que ∞Pi+1 - Pi ¥¶ § 10-6 .
Solución
Clear@ecuaciones, p, m, dD;
ecuaciones =
8x1 3 + x1 2 x2 − x1 x3 + 6, Exp@x1 D + Exp@x2 D − x3 , x2 2 − 2 x1 x3 − 4 <;
p = 8−1., −2., 1<;
m = 11;
d = 10.−6 ;
cuasinewtonSistemasNoLineal@ecuaciones, p, m, dD;
Método de Cuasi - Newton para sistemas de ecuaciones no lineales.
ij x13 + x2 x12 - x3 x1 + 6 yz i 0 y
jj
zz jjj zzz
zz = jj 0 zz
fi Hx1 , x2 , x3 L = jjjj -x3 + ‰x1 + ‰x2
zz jj zz
jj
zz j z
2
k x2 - 2 x1 x3 - 4
{ k0 {
H0L
jij x1 zyz ij -1. yz
jj
zz j
z
P0 = jjjj x2H0L zzzz = jjjj -2. zzzz
j
z
jj
z
j H0L zz jk 1 z{
k x3 {
La matriz jacobiana es:
ij 3 x12 + 2 x2 x1 - x3
jj
J Hx1 , x2 , x3 L = jjjj ‰x1
j
k -2 x3
x12
x2
‰
2 x2
yz
zz
zz
-1
zz
z
-2 x1 {
-x1
Iteración i = 0
ij 4.0000000
yz
jj
zz
j
zz
-0.49678528
F HP0 L = jj
zz
jj
z
2.0000000
k
{
A0
-1
0.16714
jij
j
j
= jj -0.0566605
jj
k 0.0538193
0.268907
0.0508832 y
zz
-0.627449 -0.285394 zzzz
zz
-0.985991 -0.019905 {
165
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Cálculo de P1 .
P1 = P0 - A0 -1 * F HP0 L
ij -1.0000000 yz ij 0.63673833 yz
j
z j
z
P1 = jjjj -2.0000000 zzzz - jjjj -0.48572277 zzzz
jj
zz jj
zz
k 1.0000000 { k 0.66529279 {
ij -1.6367383 yz
j
z
P1 = jjjj -1.5142772 zzzz
jj
zz
k 0.33470721 {
Iteración i = 1.
-1.8934664 y
jij
zz
j
j
F HP1 L = jj 0.079873675 zzzz
jj
zz
k -0.61130823 {
ij -5.8934664 yz
j
z
y1 = F HP1 L - F HP0 L = jjjj 0.57665895 zzzz
jj
zz
k -2.6113082 {
ij -0.63673833 yz
j
z
s1 = P1 - P0 = jjjj 0.48572277 zzzz
jj
zz
k -0.66529279 {
0.13063097
0.30761641
0.016948919 y
jij
zz
j
j
A1 = jj -0.030727708 -0.65494452 -0.26129036 zzzz
jj
zz
-0.96598994 -0.037438346 {
k 0.034955507
Cálculo de P2 .
P2 = P1 - A1 * F HP1 L
-1.6367383 y i -0.23313592 y
jij
zz jj
zz
j
j
P2 = jj -1.5142772 zzzz - jjjj 0.16559801 zzzz
jj
zz jj
zz
k 0.33470721 { k -0.12045788 {
ij -1.4036024 yz
j
z
P2 = jjjj -1.6798752 zzzz
jj
zz
k 0.45516509 {
166
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Iteración i = 2.
ij 0.56411230
yz
jj
z
j
F HP2 L = jj -0.023057640 zzzz
jj
zz
k 0.099722438 {
ij 2.4575787
yz
j
z
y2 = F HP2 L - F HP1 L = jjjj -0.10293131 zzzz
jj
zz
k 0.71103067 {
ij 0.23313592 yz
j
z
s2 = P2 - P1 = jjjj -0.16559801 zzzz
jj
zz
k 0.12045788 {
0.27175067
-0.0070565193 y
ij 0.10828747
zz
jj
zz
j
A2 = jj -0.021471687 -0.64008677 -0.25134587
zz
jj
zz
0.022437366
-0.98608403
-0.050887600
k
{
Cálculo de P3 .
P3 = P2 - A2 * F HP2 L
ij -1.4036024 yz ij 0.054116669 yz
j
z j
z
P3 = jjjj -1.6798752 zzzz - jjjj -0.022418375 zzzz
jj
zz jj
zz
k 0.45516509 { k 0.030319329 {
-1.4577191 y
jij
zz
j
j
P3 = jj -1.6574569 zzzz
jj
zz
k 0.42484576 {
....
....
Nota: Se han eliminado varias iteraciones. En la tabla final se pueden ver los resultados
167
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Iteración i = 6.
-0.000033783397 y
jij
zz
jj
z
F HP6 L = jjj 4.3150610 µ 10-7 zzzz
jj
z
-6 z
k -9.9292832 µ 10 {
ij -0.0010724581 yz
jj
zz
y6 = F HP6 L - F HP5 L = jjjj 6.0574834 µ 10-6 zzzz
j
z
k -0.00043231324 {
ij -0.00012944703 yz
jj
zz
zz
s6 = P6 - P5 = jjjj 0.00015704500
zz
j
z
-6
-6.5087361
µ
10
k
{
0.49488871
ij 0.10571545
jj
A6 = jjj -0.013434126 -1.0563685
jj
-1.0384105
k 0.025056559
Cálculo de P7 .
0.044110192 y
zz
-0.34474168 zzzz
zz
-0.061653279 {
P7 = P6 - A6 * F HP6 L
-6
ij -1.4560465 yz ijj -3.7958620 µ 10 yzz
zz
jj
zz jjj
P7 = jjj -1.6642271 zzz - jj 3.4210587 µ 10-6 zzz
zz
jj
zz jjj
z
k 0.42249274 { k -6.8240327 µ 10-7 {
ij -1.4560427 yz
j
z
P7 = jjjj -1.6642305 zzzz
jj
zz
k 0.42249343 {
Iteración i = 7.
ij 8.9224981 µ 10-7 yz
zz
jj
z
j
F HP7 L = jjj -1.3598257 µ 10-8 zzz
jj
zz
j
-7 z
k 2.3733420 µ 10
{
ij 0.000034675647 yz
jj
zz
y7 = F HP7 L - F HP6 L = jjjj -4.4510435 µ 10-7 zzzz
j
z
k 0.000010166617 {
ij 3.7958620 µ 10-6 yz
jj
zz
j
z
s7 = P7 - P6 = jjj -3.4210587 µ 10-6 zzz
jj
zz
j
-7 z
k 6.8240327 µ 10
{
0.47766499
ij 0.10404363
jj
j
-0.012079802
-1.0424157
A7 = jj
jj
-1.0422473
k 0.024684143
168
0.039412566 y
zz
-0.34093616 zzzz
zz
-0.062699729 {
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Cálculo de P8 .
P8 = P7 - A7 * F HP7 L
-8
yz
ij -1.4560427 yz jij 9.5691449 µ 10
zz
jj
zz jjj
z
-8
j
z
P8 = jj -1.6642305 zz - jj -7.7518975 µ 10 zzz
zz
jj
zz jjj
z
k 0.42249343 { k 2.1316378 µ 10-8 {
-1.4560428 y
jij
zz
j
j
P8 = jj -1.6642305 zzzz
jj
zz
k 0.42249340 {
Tabla de datos.
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Pi
ij -1.0000000 yz
jj
z
jj -2.0000000 zzz
jj
zz
j
z
1.0000000
k
{
ij -1.6367383 yz
z
jj
jj -1.5142772 zzz
zz
jj
j
z
0.33470721
k
{
-1.4036024 y
jij
z
jj -1.6798752 zzz
jj
zz
jj
zz
0.45516509
k
{
-1.4577191
ij
yz
jj
z
jj -1.6574569 zzz
jjj
zzz
k 0.42484576 {
ij -1.4573983 yz
z
jj
jj -1.6619153 zzz
jj
zz
z
j
k 0.42271835 {
ij -1.4559170 yz
jj
z
jj -1.6643842 zzz
zz
jj
j
z
k 0.42249925 {
ij -1.4560465 yz
z
jj
jj -1.6642271 zzz
zzz
jjj
k 0.42249274 {
ij -1.4560427 yz
jj
z
jj -1.6642305 zzz
jj
zz
j
z
0.42249343
k
{
ij -1.4560428 yz
jj
z
jj -1.6642305 zzz
jj
zz
j
z
k 0.42249340 {
F HPi L
ij 4.0000000
yz
jj
z
jj -0.49678528 zzz
jj
zz
j
z
2.0000000
k
{
ij -1.89347 yz
jj
z
jj 0.0798737 zzz
jj
zz
j
z
-0.611308
k
{
-1.8934664 y
jij
z
jj 0.079873675 zzz
jj
zz
jj
zz
-0.61130823
k
{
0.56411230
ij
yz
jj
z
jj -0.023057640 zzz
jjj
zzz
k 0.099722438 {
ij -0.00027155345 yz
jj
z
jj -0.0014560223 zzz
zz
jj
j
z
k -0.014225217
{
ij -0.0093840223 yz
z
jj
jj -0.00010193191 zzz
jj
zz
j
z
k -0.0058993987 {
ij 0.0010386747
yz
jj
z
jj -5.6259773 µ 10-6 zzz
jj
zz
j
z
k 0.00042238396
{
-0.000033783397
ij
yz
jj
zz
jjj 4.3150610 µ 10-7 zzz
jj
zz
j
-6 z
k -9.9292832 µ 10 {
ij 8.9224981 µ 10-7 yz
jj
zz
jj
z
jj -1.3598257 µ 10-8 zzz
jj
zz
j
-7 z
2.3733420
µ
10
k
{
169
¥Pi - Pi-1 ∞¶
0.665293
0.233136
0.0541167
0.00445848
0.00246883
0.000157045
3.79586 µ 10-6
9.56914 µ 10-8
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
La solución aproximada del sistema es:
ij -1.4560428 yz
j
z
P8 = jjjj -1.6642305 zzzz
jj
zz
k 0.42249340 {
à Problema 24. Sea el sistema no lineal de ecuaciones siguiente:
f1 Hx1 , x2 , x3 L = 3 x1 - cosHx2 x3 L - 1 ê 2 = 0,
f2 Hx1 , x2 , x3 L = 4 x21 - 625 x22 + 2 x2 - 1 = 0,
f3 Hx1 , x2 , x3 L = eH-x1 x2 L + 20 x3 + H10 p - 3L ê 3 = 0.
Aplíquese el método de Cuasi Newton con la aproximación inicial
H0L H0L T
T
-5
P0 = IxH0L
1 , x2 , x3 M = H0, 0, 0L y aplicando el método hasta que »» Pi+1 - Pi »»¶ § 10 .
Solución
Clear@ecuaciones, p, m, dD;
ecuaciones = 8 3 x1 − Cos@x2 ∗ x3 D − 1 ê 2,
4 x21 − 625 x22 + 2 x2 − 1, Exp@−x1 ∗ x2 D + 20 x3 + H10 Pi − 3L ê 3 <;
d = 10.−5 ;
p = 80.0, 0.0, 0.0<;
m = 12;
cuasinewtonSistemasNoLineal@ecuaciones, p, m, dD;
Método de Cuasi - Newton para sistemas de ecuaciones no lineales.
ij -cosHx2 x3 L + 3 x1 - ÅÅÅÅ12Å
yz
jj
zz ijj 0 yzz
jj
zz jj zz
2
2
j
zz = jj 0 zz
fi Hx1 , x2 , x3 L = jj 4 x1 - 625 x2 + 2 x2 - 1
zz jj zz
jj
zz
j
1
-x1 x2
+ ÅÅÅÅ3Å H-3 + 10 pL { k 0 {
k 20 x3 + ‰
H0L
jij x1 zyz ji 0. zy
jj
zz j z
P0 = jjjj x2H0L zzzz = jjjj 0. zzzz
jj
z j z
j H0L zz jk 0. z{
k x3 {
La matriz jacobiana es:
3
jij
j
j
J Hx1 , x2 , x3 L = jj 8 x1
jj -x x
k -‰ 1 2 x2
sinHx2 x3 L x3 sinHx2 x3 L x2
2 - 1250 x2 0
-‰-x1 x2 x1
20
170
zyz
zz
zz
zz
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Iteración i = 0
ij -1.5000000 yz
j
z
F HP0 L = jjjj -1.0000000 zzzz
jj
zz
k 10.471976 {
A0
-1
0.
ij 0.333333 0.
yz
jj
zz
zz
0.5 0.
= jjj 0.
zz
jj
z
0.
0.05 {
k 0.
Cálculo de P1 .
P1 = P0 - A0 -1 * F HP0 L
0
-0.50000000 y
jij zyz jij
zz
j
z
j
j
z
j
P1 = jj 0 zz - jj -0.50000000 zzzz
jj zz jj
zz
k 0 { k 0.52359878 {
ij 0.50000000 yz
j
z
P1 = jjjj 0.50000000 zzzz
jj
zz
k -0.52359878 {
Iteración i = 1.
ij 0.034074174 yz
j
z
F HP1 L = jjjj -155.25000 zzzz
jj
zz
k -0.22119922 {
ij 1.5340742 yz
j
z
y1 = F HP1 L - F HP0 L = jjjj -154.25000 zzzz
jj
zz
k -10.693175 {
0.50000000 y
jij
zz
j
j
s1 = P1 - P0 = jj 0.50000000 zzzz
jj
zz
k -0.52359878 {
A1 =
0.000074671256
-7.8195557 µ 10-6
jij 0.33338311
jj
jj -0.34021992
-0.010329875
0.053441620
jj
k -0.000048474318 -0.000072711477 0.050007614
Cálculo de P2 .
P2 = P1 - A1 * F HP1 L
ij 0.50000000 yz ij -0.00023122871 yz
j
z j
zz
zz
P2 = jjjj 0.50000000 zzzz - jjjj 1.5802991
zz
jj
zz jj
z
k -0.52359878 { k 0.00022516001 {
ij 0.50023123 yz
j
z
P2 = jjjj -1.0802991 zzzz
jj
zz
k -0.52382394 {
171
zyz
zz
zz
zz
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Iteración i = 2.
ij 0.15658007 yz
j
z
F HP2 L = jjjj -731.56349 zzzz
jj
zz
k 0.71218906 {
ij 0.12250590 yz
j
z
y2 = F HP2 L - F HP1 L = jjjj -576.31349 zzzz
jj
zz
k 0.93338828 {
ij 0.00023122871 yz
j
zz
zz
s2 = P2 - P1 = jjjj -1.5802991
zz
jj
z
k -0.00022516001 {
0.000070458556 0.000013977716
ij 0.33324435
jj
j
0.0027383079
-0.014175515
A2 = jj 0.090248461
jj
0.0050200777
0.000081159901
0.049211456
k
Cálculo de P3 .
yz
zz
zz
zz
z
{
P3 = P2 - A2 * F HP2 L
ij 0.50023123 yz ij 0.00064447181 yz
j
z j
zz
zz
P3 = jjjj -1.0802991 zzzz - jjjj -1.9992106
zz
jj
zz jj
z
-0.52382394
-0.023539715
k
{ k
{
0.49958676 y
jij
zz
j
j
P3 = jj 0.91891155 zzzz
jj
zz
k -0.50028422 {
....
....
Nota: Se han eliminado varias iteraciones. En la tabla final se pueden ver los resultados
172
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Iteración i = 10.
ij 0.0011160823 yz
j
zz
zz
F HP10 L = jjjj -5.3749283
zz
jj
z
k 0.00099511573 {
y10
ij -0.0016566050 yz
j
zz
zz
= F HP10 L - F HP9 L = jjjj 8.4151117
jj
zzz
k -0.0015409534 {
ij 0.000059694684 yz
j
z
s10 = P10 - P9 = jjjj -0.055798137 zzzz
jj
zz
k -0.0013888404 {
A10
0.000073447929
ij 0.33704107
jj
j
-0.0067540471
= jj -0.65297008
jj
-0.013201957
-0.00015843129
k
Cálculo de P11 .
P11
P11
0.000022024267
0.028417241
0.050289560
yz
zz
zz
zz
z
{
P11 = P10 - A10 * F HP10 L
ij 0.49996902 yz ij -0.000018589872 yz
j
z j
zz
zz
= jjjj 0.094348299 zzzz - jjjj 0.035602029
zz
jj
zz jj
z
-0.52124522
0.00088686628
k
{ k
{
0.49998761 y
jij
zz
j
j
= jj 0.058746270 zzzz
jj
zz
k -0.52213209 {
Iteración i = 11.
0.00043321741 y
jij
zz
j
zz
j
F HP11 L = jj -2.0395097
zz
jj
zz
0.00038851313
k
{
y11
ij -0.00068286487 yz
j
zz
zz
= F HP11 L - F HP10 L = jjjj 3.3354186
zz
jj
z
k -0.00060660260 {
ij 0.000018589872 yz
j
zz
zz
s11 = P11 - P10 = jjjj -0.035602029
zz
jj
z
k -0.00088686628 {
A11
0.33715269
0.000074602296
jij
j
j
-0.010880849
= jj -1.0520154
jj
-0.023159275
-0.00026140674
k
173
0.000016956222
0.046535249
0.050741656
zyz
zz
zz
zz
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Cálculo de P12 .
P12
P12
P12 = P11 - A11 * F HP11 L
-6
ij 0.49998761 yz jij -6.0850991 µ 10 zyz
jj
zz jj
zz
zz
= jjj 0.058746270 zzz - jjj 0.021753924
zz
jj
zz j
k -0.52213209 { k 0.00054282238
{
ij 0.49999369 yz
j
z
= jjjj 0.036992346 zzzz
jj
zz
k -0.52267491 {
Tabla de datos.
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Pi
ij 0 yz
jj zz
jjj 0 zzz
jj zz
k0 {
ij 0.50000000 yz
jj
z
jj 0.50000000 zzz
jj
zz
j
z
k -0.52359878 {
ij 0.50023123 yz
jj
z
jj -1.0802991 zzz
jj
zz
j
z
-0.52382394
k
{
0.49958676 y
jij
z
jj 0.91891155 zzz
jj
zz
zz
jj
-0.50028422
k
{
0.50970676
jij
zyz
zz
jj 5.9713714
zz
jj
zz
jj
k -0.36857038 {
ij 0.47746396 yz
z
jj
jj 0.79729393 zzz
jj
zz
j
z
k -0.50602980 {
ij 0.48230959 yz
jj
z
jj 0.70355047 zzz
zz
jj
z
j
k -0.50830770 {
ij 0.49882332 yz
z
jj
jj 0.37483057 zzz
zz
jj
z
j
k -0.51428842 {
ij 0.49964924 yz
z
jj
jj 0.24762963 zzz
zz
jj
z
j
-0.51737005
{
k
ij 0.49990932 yz
jj
z
jj 0.15014644 zzz
jj
zz
j
z
k -0.51985638 {
F HPi L
ij -1.5000000 yz
jj
zz
jjj -1.0000000 zzz
jj
zz
k 10.471976 {
ij 0.0340742 yz
jj
z
jj -155.25 zzz
jj
zz
j
z
k -0.221199 {
ij 0.034074174 yz
jj
z
jj -155.25000 zzz
jj
zz
j
z
-0.22119922
k
{
0.15658007 y
jij
z
jj -731.56349 zzz
zz
jj
zz
jj
0.71218906
{
k
0.10258215
zy
jij
jj -525.91285 zzz
jj
zz
jj
zz
k 0.098158298 {
ij 1.6183251 yz
jj
z
jj -22273.816 zzz
zz
jj
j
z
k 2.1482287 {
ij 0.012681619 yz
jj
z
jj -395.79203 zzz
zz
jj
z
j
k 0.034776583 {
ij 0.010196232 yz
z
jj
jj -308.02695 zzz
zz
jj
z
j
k 0.018069454 {
ij 0.014992813 yz
z
jj
jj -87.066262 zzz
zz
jj
z
j
0.015672164
{
k
ij 0.0071433695 yz
jj
z
jj -37.831414 zzz
jjj
zzz
k 0.0081946310 {
174
¥Pi - Pi-1 ∞¶
0.523599
1.5803
1.99921
5.05246
5.17408
0.0937435
0.32872
0.127201
0.0974832
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
0.49996902 y
jij
zz
j
j
10 jj 0.094348299 zzzz
jj
zz
k -0.52124522 {
0.49998761 y
jij
zz
j
j
11 jj 0.058746270 zzzz
jj
zz
k -0.52213209 {
ij 0.49999369 yz
j
z
12 jjjj 0.036992346 zzzz
jj
zz
k -0.52267491 {
0.0027726873 y
jij
z
jj -13.790040 zzz
jj
zz
jj
zz
0.0025360692
k
{
0.0011160823
jij
zyz
jj -5.3749283
zz
jj
zz
jj
zz
k 0.00099511573 {
ij 0.00043321741 yz
jj
zz
jj -2.0395097
zz
jj
zz
j
z
k 0.00038851313 {
0.0557981
0.035602
0.0217539
La solución aproximada del sistema es:
P12
ij 0.49999369 yz
j
z
= jjjj 0.036992346 zzzz
jj
zz
k -0.52267491 {
à Problema 25. Dado el siguiente problema no lineal
f1 Hx1 , x2 , x3 L = x1 2 + x2 - 37 = 0,
f1 Hx1 , x2 , x3 L = x1 - x2 2 - 5 = 0.
f1 Hx1 , x2 , x3 L = x1 + x2 + x3 - 3 = 0
Calcular la solución aproximada del sistema empleando el método de Cuasi Newton
comenzando en el punto:
H0L
T
H0L T
P0 = IxH0L
1 , x2 , x3 M = H0, 0, 0L ,
e iterando hasta que ∞Pi+1 - Pi ¥¶ § 5 µ 10-5 .
Solución
Clear@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
ecuaciones = 8x1 2 + x2 − 37, x1 − x2 2 − 5, x1 + x2 + x3 − 3<;
d = 10.−5 ;
p = 80.0, 0.0, 0.0<;
m = 12;
cuasinewtonSistemasNoLineal@ecuaciones, p, m, dD;
Método de Cuasi - Newton para sistemas de ecuaciones no lineales.
ij x12 + x2 - 37
yz i 0 y
jj
zz jjj zzz
j
zz = jj 0 zz
2
j
fi Hx1 , x2 , x3 L = jj -x2 + x1 - 5
zz jj zz
jj
zz j z
k x1 + x2 + x3 - 3 { k 0 {
H0L
jij x1 zyz ij 0. yz
jj
zz j z
P0 = jjjj x2H0L zzzz = jjjj 0. zzzz
jj
z j z
j H0L zz jk 0. z{
k x3 {
175
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
La matriz jacobiana es:
ij 2 x1
j
J Hx1 , x2 , x3 L = jjjj 1
jj
k1
1
-2 x2
1
0
0
1
yz
zz
zz
zz
z
{
Iteración i = 0
ij -37.000000 yz
j
z
F HP0 L = jjjj -5.0000000 zzzz
jj
zz
k -3.0000000 {
A0
-1
0.
1.
0. y
jij
zz
j
j
0.
0. zzzz
= jj 1.
jj
zz
k -1. -1. 1. {
Cálculo de P1 .
P1 = P0 - A0 -1 * F HP0 L
0
-5.0000000 y
jij zyz jij
zz
j
z
j
j
z
j
P1 = jj 0 zz - jj -37.000000 zzzz
jj zz jj
zz
k 0 { k 39.000000 {
ij 5.0000000 yz
j
z
P1 = jjjj 37.000000 zzzz
jj
zz
k -39.000000 {
Iteración i = 1.
ij 25.000000 yz
j
z
F HP1 L = jjjj -1369.0000 zzzz
jj
zz
k0
{
ij 62.000000 yz
j
z
y1 = F HP1 L - F HP0 L = jjjj -1364.0000 zzzz
jj
zz
k 3.0000000 {
ij 5.0000000 yz
j
z
s1 = P1 - P0 = jjjj 37.000000 zzzz
jj
zz
k -39.000000 {
ij -1.8773389
j
A1 = jjjj 1.0342830
jj
k 0.84305588
-0.086880424 0.96337129
yz
z
0.019848072
-0.017592609 zzzz
zz
0.067032352
0.054221324 {
176
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Cálculo de P2 .
P2 = P1 - A1 * F HP1 L
ij 5.0000000 yz ij 72.005828 yz
j
z j
z
P2 = jjjj 37.000000 zzzz - jjjj -1.3149348 zzzz
jj
zz jj
zz
k -39.000000 { k -70.690893 {
ij -67.005828 yz
j
z
P2 = jjjj 38.314935 zzzz
jj
zz
k 31.690893 {
Iteración i = 2.
ij 4491.0959
jj
F HP2 L = jjjj -1540.0401
j
-13
k -1.7053026 µ 10
yz
zz
zz
zz
z
{
4466.0959
jij
jj -171.04005
y2 = F HP2 L - F HP1 L = jjj
j
-13
k -1.7053026 µ 10
-72.005828 y
jij
zz
j
j
s2 = P2 - P1 = jj 1.3149348 zzzz
jj
zz
k 70.690893 {
zyz
zz
zz
zz
{
0.017736688
0.34103124 y
ij -0.015443498
zz
jj
A2 = jjj -0.0011736178 -0.038332685 0.32850961 zzzz
jj
zz
0.020595997
0.33045915 {
k 0.016617116
Cálculo de P3 .
P3 = P2 - A2 * F HP2 L
ij -67.005828 yz ij -96.673441 yz
j
z j
z
P3 = jjjj 38.314935 zzzz - jjjj 53.763040 zzzz
jj
zz jj
zz
k 31.690893 { k 42.910401 {
ij 29.667613 yz
j
z
P3 = jjjj -15.448105 zzzz
jj
zz
k -11.219508 {
......
.....
Nota: Se han eliminado varias iteraciones.En la tabla final se pueden ver los resultados
177
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Iteración i = 10.
75.340243
jij
jj -85.146029
F HP10 L = jjj
j
-15
k -3.5527137 µ 10
y10
ij -110.35308
jj
= F HP10 L - F HP9 L = jjjj -94.943726
j
-15
k 7.1054274 µ 10
s10 = P10
A10
ij -4.7944161 yz
j
z
- P9 = jjjj 9.8729439 zzzz
jj
zz
k -5.0785278 {
P11
P11 = P10 - A10 * F HP10 L
10.140922 y i -8.3964610 y
jij
zz jj
zz
j
j
= jj 9.5019446 zzzz - jjjj 37.917288 zzzz
jj
zz jj
zz
k -16.642867 { k -29.520827 {
ij 18.537383 yz
j
z
= jjjj -28.415343 zzzz
jj
zz
k 12.877960 {
Iteración i = 11.
ij 278.21922
jj
F HP11 L = jjjj -793.89436
j
-14
k -2.1316282 µ 10
y11
yz
zz
zz
zz
z
{
-0.023503588 0.077815667 0.35197622 y
jij
zz
j
j
-0.29778579 0.23573419 zzzz
= jj 0.16673706
jj
zz
0.21997012
0.41228959 {
k -0.14323347
Cálculo de P11 .
P11
zyz
zz
zz
zz
{
yz
zz
zz
zz
z
{
ij 202.87898
jj
= F HP11 L - F HP10 L = jjjj -708.74833
j
-14
k -1.7763568 µ 10
s11 = P11 - P10
8.3964610 y
jij
zz
j
j
= jj -37.917288 zzzz
jj
zz
k 29.520827 {
yz
zz
zz
zz
z
{
-0.0047911153 0.32425254 y
ij 0.024649010
zz
j
0.35049776 zzzz
A11 = jjjj -0.032593066 0.044169191
jj
zz
0.32524970 {
k 0.0079440555 -0.039378075
178
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Cálculo de P12 .
P12
P12
P12 = P11 - A11 * F HP11 L
ij 18.537383 yz ij 10.661468 yz
j
z j
z
= jjjj -28.415343 zzzz - jjjj -44.133689 zzzz
jj
zz jj
zz
k 12.877960 { k 33.472221 {
ij 7.8759151 yz
j
z
= jjjj 15.718345 zzzz
jj
zz
k -20.594260 {
Tabla de datos.
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Pi
ij 0 yz
jj zz
jj 0 zz
jj zz
j z
k0 {
5.0000000 y
jij
z
jj 37.000000 zzz
jj
zz
jj
zz
-39.000000
k
{
-67.005828
ij
yz
jj
z
jj 38.314935 zzz
jjj
zzz
k 31.690893 {
ij 29.667613 yz
jj
z
jj -15.448105 zzz
jj
zz
j
z
k -11.219508 {
ij 49.640098 yz
jj
z
jj -24.159488 zzz
jjj
zzz
k -22.480610 {
ij 18.834135 yz
jj
z
jj -12.101120 zzz
jjj
zzz
k -3.7330147 {
ij 13.615493 yz
jj
z
jj -12.445404 zzz
jj
zz
j
z
k 1.8299106 {
ij -8.9418766 yz
jj
z
jj -31.210731 zzz
jjj
zzz
k 43.152608 {
ij 16.237302 yz
jj
z
jj -5.9507478 zzz
jj
zz
j
z
-7.2865541
k
{
ij 14.935338
yz
jj
z
jj -0.37099930 zzz
jj
zz
j
z
k -11.564339 {
F HPi L
ij -37.000000 yz
jj
z
jj -5.0000000 zzz
jj
zz
j
z
-3.0000000
k
{
¥Pi - Pi-1 ∞¶
25.
jij
zy
jj -1369. zzz
jj
zz
jj
zz
0.
k
{
25.000000
ij
yz
jj
z
jj -1369.0000 zzz
jjj
zzz
k0
{
39.
72.0058
ij 4491.0959
jj
jj -1540.0401
jj
j
-13
k -1.7053026 µ 10
ij 827.71915
jj
jj -213.97634
jj
j
-12
k -1.1652901 µ 10
ij 2402.9798
jj
jj -539.04078
jj
j
-14
k -1.4210855 µ 10
ij 305.62352
jj
jj -132.60298
jj
j
-14
k 1.5987212 µ 10
ij 135.93625
jj
jj -146.27258
jj
j
-14
k 1.0658141 µ 10
ij 11.746425
jj
jj -988.05163
jj
j
-14
k 5.6843419 µ 10
zyz
zz
zz
zz
{
yz
zz
zz
zz
z
{
yz
zz
zz
zz
z
{
zyz
zz
zz
zz
{
yz
zz
zz
zz
z
{
ij 220.69922
jj
jj -24.174097
jj
j
-14
k -3.1974423 µ 10
179
yz
zz
zz
zz
z
{
yz
zz
zz
zz
z
{
96.6734
19.9725
30.806
5.56293
41.3227
50.4392
5.57975
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
10
11
12
ij 10.140922 yz
jj
z
jj 9.5019446 zzz
jj
zz
j
z
k -16.642867 {
ij 18.537383 yz
jj
z
jj -28.415343 zzz
jjj
zzz
k 12.877960 {
ij 7.8759151 yz
jj
z
jj 15.718345 zzz
jj
zz
j
z
k -20.594260 {
185.69332
jij
jj 9.7976976
jj
jj
-14
k -1.0658141 µ 10
ij 75.340243
jj
jj -85.146029
jj
j
-15
k -3.5527137 µ 10
ij 278.21922
jj
jj -793.89436
jj
j
-14
k -2.1316282 µ 10
zyz
zz
zz
zz
{
yz
zz
zz
zz
z
{
yz
zz
zz
zz
z
{
9.87294
37.9173
44.1337
La solución aproximada del sistema es:
P12
ij 7.8759151 yz
j
z
= jjjj 15.718345 zzzz
jj
zz
k -20.594260 {
à Problema 26. Dado el siguiente problema no lineal
f1 Hx1 , x2 L = 3 x1 2 - x2 2 = 0,
f1 Hx1 , x2 L = 3 x1 x2 2 - x1 3 - 1 = 0.
Calcular la solución aproximada del sistema empleando el método de Cuasi Newton
comenzando en el punto:
H0L T
T
P0 = IxH0L
1 , x2 M = H1, 1L ,
e iterando hasta que ∞Pi+1 - Pi ¥¶ § 5 µ 10-6 .
Solución
Clear@ecuaciones, m, p, dD;
ecuaciones = 83 x1 2 − x2 2 , 3 x1 x2 2 − x1 3 − 1<;
d = 10.−6 ;
p = 81.0, 1.0<;
m = 12;
cuasinewtonSistemasNoLineal@ecuaciones, p, m, dD;
Método de Cuasi - Newton para sistemas de ecuaciones no lineales.
i 3 x12 - x22
yz i 0 y
zz = jj zz
fi Hx1 , x2 L = jjjj
z
3
2
-x
+
3
x
x
1
1
2
k 1
{ k0 {
ij x1H0L yz i 1. y
P0 = jjj H0L zzz = jj zz
k x2 { k 1. {
La matriz jacobiana es:
-2 x2
i 6 x1
J Hx1 , x2 L = jj
2
2
k 3 x2 - 3 x1 6 x1 x2
180
yz
z
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Iteración i = 0
i 2.0000000 yz
z
F HP0 L = jj
k 1.0000000 {
i 0.166667 0.0555556 yz
z
A0 -1 = jj
0.166667 {
k 0.
P1 = P0 - A0 -1 * F HP0 L
i 1.0000000 yz ij 0.38888889 yz
z-j
z
P1 = jj
k 1.0000000 { k 0.16666667 {
Cálculo de P1 .
i 0.61111111 yz
z
P1 = jj
k 0.83333333 {
Iteración i = 1.
i 0.42592593 yz
z
F HP1 L = jj
k 0.044924554 {
i -1.5740741 zy
z
y1 = F HP1 L - F HP0 L = jj
k -0.95507545 {
i -0.38888889 zy
z
s1 = P1 - P0 = jj
k -0.16666667 {
0.079879390
i 0.19859170
A1 = jj
0.0032529266
0.16914509
k
yz
z
{
P2 = P1 - A1 * F HP1 L
0.61111111
i
yz ij 0.088173899 yz
z-j
z
P2 = jj
k 0.83333333 { k 0.0089842734 {
Cálculo de P2 .
i 0.52293721 zy
z
P2 = jj
k 0.82434906 {
Iteración i = 2.
i 0.14083861
yz
z
F HP2 L = jj
k -0.076916050 {
i -0.28508732 yz
z
y2 = F HP2 L - F HP1 L = jj
k -0.12184060 {
i -0.088173899 yz
z
s2 = P2 - P1 = jj
k -0.0089842734 {
0.11080236 y
i 0.26193264
zz
A2 = jj
k -0.033174631 0.15136120 {
181
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
P3 = P2 - A2 * F HP2 L
i 0.52293721 yz ij 0.028367749 yz
z-j
z
P3 = jj
k 0.82434906 { k -0.016314374 {
Cálculo de P3 .
i 0.49456946 yz
z
P3 = jj
k 0.84066343 {
Iteración i = 3.
i 0.027081850 zy
z
F HP3 L = jj
k -0.072412185 {
i -0.11375676 yz
z
y3 = F HP3 L - F HP2 L = jj
k 0.0045038649 {
i -0.028367749 yz
z
s3 = P3 - P2 = jj
k 0.016314374 {
0.11010910 y
i 0.25373143
zz
A3 = jj
k -0.13777191 0.14251952 {
P4 = P3 - A3 * F HP3 L
i 0.49456946 yz ij -0.0011017241 yz
z-j
z
P4 = jj
k 0.84066343 { k -0.014051268 {
Cálculo de P4 .
i 0.49567119 yz
z
P4 = jj
k 0.85471470 {
Iteración i = 4.
i 0.0065325540 yz
z
F HP4 L = jj
k -0.035462661 {
i -0.020549296 zy
z
y4 = F HP4 L - F HP3 L = jj
k 0.036949524 {
i 0.0011017241 yz
z
s4 = P4 - P3 = jj
k 0.014051268 {
0.15253000
i 0.22064925
A4 = jj
-0.22542377
0.25491446
k
yz
z
{
P5 = P4 - A4 * F HP4 L
0.49567119
i
yz ij -0.0039677166 yz
z-j
z
P5 = jj
k 0.85471470 { k -0.010512538 {
Cálculo de P5 .
i 0.49963890 zy
z
P5 = jj
k 0.86522724 {
Iteración i = 5.
i 0.00029892374 yz
z
F HP5 L = jj
k -0.0026130772 {
H
L
182
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
i -0.0062336302 yz
z
y5 = F HP5 L - F HP4 L = jj
k 0.032849584
{
0.0039677166
i
yz
z
s5 = P5 - P4 = jj
k 0.010512538 {
0.16185083 y
i 0.21640932
zz
A5 = jj
k -0.23477381 0.27546909 {
P6 = P5 - A5 * F HP5 L
i 0.49963890 yz ij -0.00035823882 yz
z-j
z
P6 = jj
k 0.86522724 { k -0.00079000147 {
Cálculo de P6 .
i 0.49999714 yz
z
P6 = jj
k 0.86601724 {
Iteración i = 6.
i 5.5633653 µ 10-6 zy
z
F HP6 L = jj
k -0.000025491707 {
i -0.00029336038 yz
z
y6 = F HP6 L - F HP5 L = jj
k 0.0025875855
{
0.00035823882
i
zzy
s6 = P6 - P5 = jj
k 0.00079000147 {
0.16293201 y
i 0.21598585
zz
A6 = jj
k -0.23598083 0.27855081 {
Cálculo de P7 .
P7 = P6 - A6 * F HP6 L
-6
i 0.49999714 yz ijj -2.9518069 µ 10 yzz
z - jj
P7 = jj
zz
k 0.86601724 { k -8.4135833 µ 10-6 {
i 0.50000009 yz
z
P7 = jj
k 0.86602566 {
Iteración i = 7.
i -1.5392563 µ 10-7 yz
zz
F HP7 L = jjjj
-7 z
7.9492530
µ
10
k
{
i -5.7172909 µ 10-6 yz
z
y7 = F HP7 L - F HP6 L = jj
k 0.000026286632 {
i 2.9518069 µ 10-6 yz
zz
s7 = P7 - P6 = jjjj
-6 z
k 8.4135833 µ 10 {
0.15961396 y
i 0.21756925
zz
A7 = jj
-0.23174163
0.26966745 {
k
183
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Cálculo de P8 .
P8 = P7 - A7 * F HP7 L
-8
i 0.50000009 yz ijj 9.3391695 µ 10 yzz
z - jj
P8 = jj
zz
k 0.86602566 { k 2.5003645 µ 10-7 {
i 0.50000000 yz
z
P8 = jj
k 0.86602541 {
Tabla de datos.
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Pi
1.0000000
ij
yz
j
z
k 1.0000000 {
ij 0.61111111 yz
j
z
k 0.83333333 {
ij 0.52293721 yz
j
z
k 0.82434906 {
ij 0.49456946 yz
j
z
k 0.84066343 {
0.49567119 y
jij
zz
k 0.85471470 {
ij 0.49963890 yz
z
j
k 0.86522724 {
ij 0.49999714 yz
j
z
k 0.86601724 {
0.50000009 y
jji
zz
k 0.86602566 {
ij 0.50000000 yz
j
z
k 0.86602541 {
F HPi L
2.0000000
ij
yz
j
z
k 1.0000000 {
ij 0.425926 yz
j
z
k 0.0449246 {
ij 0.42592593 yz
j
z
k 0.044924554 {
ij 0.14083861
yz
j
z
-0.076916050
k
{
0.027081850
jij
zyz
k -0.072412185 {
ij 0.0065325540 yz
j
z
k -0.035462661 {
ij 0.00029892374 yz
z
j
k -0.0026130772 {
¥Pi - Pi-1 ∞¶
0.388889
0.0881739
0.0283677
0.0140513
0.0105125
0.000790001
ij 5.5633653 µ 10-6 yz
j
z 8.41358 µ 10-6
k -0.000025491707 {
ij -1.5392563 µ 10-7 yz
jj
zz 2.50036 µ 10-7
j
-7 z
k 7.9492530 µ 10
{
La solución aproximada del sistema es:
i 0.50000000 zy
z
P8 = jj
k 0.86602541 {
184
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
7. Método de la Máxima Pendiente
7.1 Introducción
La ventaja del método de Newton y de cuasi - Newton en la resolución de sistemas
de ecuaciones no lineales es su rapidez de convergencia cuando se dispone de una solución
aproximada suficentemente precisa. La necesidad de disponer de dicha aproximación inicial
lo suficientemene precisa para asegurar la convergencia es, por tanto, una debilidad de estos
métodos. El método de la Máxima Pendiente converge a la solución generalmente sólo de
manera lineal, pero es de naturaleza global, esto es, a partir de casi cada valor inicial se
produce convergencia, aunque estos valores iniciales sean deficientes. En consecuencia, con
él se logran aproximaciones iniciales suficientemente exactas para las técnicas que tienen
como base el método de Newton, del mismo modo que el método de la bisección se utiliza
en una sola ecuación.
El método de la Máxima Pendiente determina un mínimo local para una función de
varias
variables
de
la
forma
g : n ö .
El
método
es
de
gran
utiilidad
independientemente de su aplicación como primer método para resolver los sistemas no
lineales.
La conexión entre el problema de minimizar una función de n en y la resolución
de un sistema de ecuaciones no lineales reside en el hecho de que un sistema lineal de la
forma
f1 H x1 , x2 , ..., xn L = 0,
f2 H x1 , x2 , ..., xn L = 0;
185
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
..
..
..
fn H x1 , x2 , ..., xn L = 0,
tiene una solución en p = ( p1 , p2 , ...., pn ) justo cuando la función g definida por
gHx1 , x2 , ..., xn L = ‚ @ fi Hx1 , x2 , ..., xn LD2
n
(31)
i=1
alcanza su valor mínimo cero en p.
En el método de la Máxima Pendiente para encontrar un mínimo local de una
función cualquiera g de n en puede describirse de manera intuitiva como sigue:
H0L
H0L
- Evaluar la función g en una aproximación inicial pH0L = I pH0L
1 , p2 , ..., pn M .
t
- Determinar una dirección que, desde pH0L , se origine una disminución del valor de
g.
pH1L .
- Desplazar una cantidad apropiada hacia esta dirección y llamar al nuevo vector
- Repetir los tres pasos anteriores sustituyendo pH0L por pH1L .
Antes de describir cómo seleccionar la dirección correcta y la distancia apropiada
que se recorre en dicha dirección, es preciso repasar algunos resultados del cálculo
infinitesimal.
ô Teorema 4. Teorema de los Valores Extremos
Este teorema establece que una función diferenciable de una sola variable puede
tener un mínimo relativo sólo cuando su derivada sea cero.
186
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Para extender este resultado a las funciones de varias variables se necesita la
siguiente definición.
Definición 5. Si g: n ö , se define el gradiente de g en x = (x1 , x2 , ..., xn Lt ,
que se denota con “ gHxL y se define por medio de:
∑g
∑g
∑g
“ gHxL = I ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ HxL, ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ HxL, ...., ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ HxLM
∑x1
∑x2
∑xn
t
El gradiente de una función de varias variables es el análogo a la derivada de una
función de varias variables en el sentido de que una función de varias variables diferenciable
puede tener un mínimo local en un punto x sólo cuando su gradiente en x es el vector cero.
El gradiente tiene otra propiedad muy importante en relación con la minimización de
las funciones de varias variables. Supóngase que v = (v1 , v2 , ..., vn Lt es un vector unitario
de n ; es decir,
∞ v ¥22
n
= ‚ v2i = 1
(32)
i=1
Definición 6. La derivada direccional de g en x en la dirección de v está definida por
Dv gHxL = limhö0 ÅÅÅÅ1h @ gH x + h vL - gHxL D = v “ gHxL.
La derivada direccional de g en x en la dirección de v mide la variación de los
valores de la función g con respecto a los cambios de su variable en la dirección de v.
187
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Cuando g es una función de dos variables
Figura 2
Un resultado estándar del cálculo infinitesimal de las funciones de varias variables
establece que si la función g es diferenciable, la dirección en la que se obtiene la derivada
direccional de mayor tamaño se obtiene cuando v es paralelo al gradiente “ gHxL, siempre y
cuando “ gHxL ∫ 0. En consecuencia, la dirección de la máxima disminución de los valores
de g desde x es la dirección dada por – “ gHxL.
Puesto que el objetivo es reducir g HxL a su valor mínimo de cero, dada la
aproximación inicial pH0L , se toma
pH1L = pH0L - a zH0L
(33)
para alguna constante a > 0, donde zH0L es el vector unitario en la dirección del gradiente ,
“gH p L
es decir, zH0L = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ .
∞ “ g H p H0L L ¥
H0L
2
El problema, entonces, se reduce a escoger un valor de a de manera que g H pH1L L sea
188
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
significativamente menor que g H pH0L L. Si se quiere determinar una elección apropiada del
valor de a, considerense la función de una sola variable
h H a L = g H pH0L - a zH0L L.
(34)
El valor de a que minimiza h es el valor que se requiere en la ecuación (33).
Para obtener directamente un valor mínimo de h se requiere derivar h, y luego
resolver un problema de cálculo de raíces para determinar los puntos críticos de h. Este
procedimiento es generalmente demasiado costoso en términos de cálculos necesarios. Por
ello se seleccionan tres puntos a1 a2 a3 que, se espera, estén cerca de donde h HaL
alcanza su valor mínimo. A continuación, se construye el polinomio de segundo grado P HxL
que interpola h en a1 , a2 y a3 . Tomamos un valor a` en @ a1 , a3 D tal que P HàL sea el
mínimo de P HxL en @a1 , a3 D y usando P HàL como aproximación del valor mínimo de h HaL.
Entonces a` es el valor que se utiliza para determinar la nueva iteración en la
búsqueda del valor mínimo de g:
pH1L = pH0L - a` zH0L .
(35)
Como ya se dispone de g H pH0L L, para reducir el esfuerzo computacional en lo posible
el primer punto que se escoge es a1 = 0. A continuación, se toma un punto a3 tal que
h Ha3 L h Ha1 L. (Dado que a1 no es el mínimo de h, dicho número a3 si existe). Finalmente
a3
se decide que a2 sea igual a ÅÅÅÅ
ÅÅ .
2
El punto a` donde se alcanza el valor mínimo de P HxL en @ a1 , a3 D es el único punto
crítico de P o el punto extremo derecho del intervalo a3 porque, por suposición,
P Ha3 L = h Ha3 L h Ha1 L = P Ha1 L. Dado que P HxL es un polinomio de segundo grado dicho
punto crítico se puede determinar fácilmente.
189
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
7.2 Pseudocódigo
è Algoritmo 6. Método de la Máxima Pendiente para sistemas no lineales
El pseudocódigo del algoritmo que resuelve un sistema de ecuaciones no lineales de
n ecuaciones con n incóognitas mediante el método de la Máxima Pendiende es:
Algoritmo Máxima Pendiente
Input I8f Hx1 , ..., xn L<1 n , H x1H0L x2H0L ... xnH0L L , n, errorM
T
(* Se inicializan las variables *)
H0L L
p H x1H0L x2H0L ... xm
n
F 8f Hx1 , ..., xn L<1
T
For k = 1, ..., n do
g ⁄ni = 1 F 2
ij g1 H p1Hk-1L , p2Hk-1L , ..., pnHk-1L L + yz
jj
zz
jj
z
jj g2 H p1Hk-1L , p2Hk-1L , ..., pnHk-1L L + zzz
zz
g0 jjj
zz
jj . . . . . . . . . . . . . . . .+
zz
jj
zz
jj
Hk-1L
Hk-1L
Hk-1L z
H
,
...,
p
L
g
p
,
p
n
n
k
{
1
2
∑g1
∑g1
∑g1
ij ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ HxL
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ HxL yzz
∑x2
∑xn
jj ∑xÅÅÅÅ1Å HxL ÅÅÅÅ
zz
jj ∑g
zz
∑g2
∑g2
jjj ÅÅÅÅÅÅÅÅ2Å HxL ÅÅÅÅ
zz
Å
ÅÅÅ
Å
HxL
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
Å
HxL
zzHx ª Hx , ..., x LL
∑x2
gradiente jjjj ∑x1
... .... ∑xn
zz
1
n
jj ...
...
... zzzz
jj
jj ∑g
zz
∑gn
∑gn
j ÅÅÅÅÅÅÅÅnÅÅ HxL ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ HxL
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ HxL z{
∑x2
∑xn
k ∑x1
ij gradiente1 H p1Hk-1L , ..., pnHk-1L L yz
jj
zz
jj
zz
jj gradiente Ip1Hk-1L , ..., pnHk-1L M
zz
2
zz
z y jjjj
zz
jj . . . . . . . . . . . . . . . .
zz
jj
zz
jj
z
Hk-1L
Hk-1L z
gradiente
Ip
,
...,
p
M
n
n 1
k
{
z0 "########
z 2#
⁄ni=1########
If Hz0 = 0L do
Break
End
z
z ÅÅÅÅ
ÅÅÅ
z0
a1 0
a3 1
g1 g0
p3 p - a3 . z
190
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Hk-1L
Hk-1L
Hk-1L L +
jij g1 H p31 , p32 , ..., p3n
zyz
jj
zz
jj g H Hk-1L
Hk-1L
Hk-1L
, ..., p3n L + zzzz
jj 2 p31 , p32
zz
g3 jjj
zz
jj . . . . . . . . . . . . . . . .+
zz
jj
z
jj
Hk-1L z
Hk-1L
Hk-1L
gn H p31 , p32
, ..., p3n L z{
k
While (g3 ¥ g1) do
a3
a3 ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
2
p3 p - a3 . z
ij g1 H p31Hk-1L , p32Hk-1L , ..., p3nHk-1L L + zy
jj
zz
jj
zz
Hk-1L
jjj g2 H p31Hk-1L , p32Hk-1L , ..., p3n L + zzz
zz
g3 jjj
zz
jj . . . . . . . . . . . . . . . .+
zz
jj
z
jj
Hk-1L z
Hk-1L
Hk-1L
, ..., p3n L z{
gn H p31 , p32
k
If Ha3 error ê 2L do
Break
End
End
a3
a2 ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
2
p2 p - a2 . z
ij g1 H p21Hk-1L , p22Hk-1L , ..., p2nHk-1L L + yz
jj
zz
jj
z
jj g2 H p21Hk-1L , p22Hk-1L , ..., p2nHk-1L L + zzz
j
zz
j
g2 jj
zz
jj . . . . . . . . . . . . . . . .+
zz
jj
zz
jj
z
Hk-1L z
Hk-1L
Hk-1L
g
H
,
...,
p2
L
p2
,
p2
n
n
1
2
k
{
g2 - g1
h1 ÅÅÅÅÅÅÅÅaÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
2
g3 - g2
h2 ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
a3 - a2
h2 - h1
h3 ÅÅÅÅÅÅÅÅaÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
3
a2 - h1
a0 0.5 ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
h3
p0 p - a0 . z
ij g1 H p01Hk-1L , p02Hk-1L , ..., p0nHk-1L L + yz
jj
zz
jj
z
jj g2 H p01Hk-1L , p02Hk-1L , ..., p0nHk-1L L + zzz
zz
g0 jjjj
zz
jj . . . . . . . . . . . . . . . .+
zz
jj
zz
jj
Hk-1L z
Hk-1L
Hk-1L
gn H p01 , p02
, ..., p0n L z{
k
If (g0 § g3) do
a a0
Else
a a3
End
(* Cálculo del siguiente punto y g *)
p1 p - a. z
L + yz
ij g1 H p1Hk-1L
, p1Hk-1L
, ..., p1Hk-1L
1
2
n
jj
zz
jj
zz
Hk-1L
Hk-1L
zz
,
...,
p1
L
+
,
p1
jjj g2 H p1Hk-1L
n
1
2
zz
g jj
zz
jj . . . . . . . . . . . . . . . .+
zz
jj
zz
jj
z
gn H p1Hk-1L
, ..., p1Hk-1L
L{
, p1Hk-1L
n
k
1
2
(* Cálculo de la norma de la distancia entre los dos puntos*)
error »» p - p1 »»¶
191
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
If Herror § error_iniL do
Break
End
p y p1
End
Return Hx HkL ª HpLT L
Output
7.3 Problemas
à Problema 27. Sea el sistema no lineal de ecuaciones siguiente:
f1 Hx1 , x2 , x3 L = 3 x1 - cosHx2 x3 L - 1 ê 2 = 0,
f2 Hx1 , x2,x3 L = x21 - 81 Hx2 + 0.1L2 + sen x3 + 1.06 = 0,
f3 Hx1 , x2 , x3 L = e-x1 x2 + 20 x3 + H10 p - 3L ê 3 = 0.
Mediante el método de la Máxima Pendiente calcúlese la aproximación de la
solución, comenzando en el punto inicial
H0L H0L T
T
P0 = IxH0L
1 , x2 , x3 M = H0.0, 0.0, 0.0L
e iterando hasta que ∞Pi+1 - Pi ¥¶ § 10-5 .
Solución
Clear@ecuaciones, p, m, dD;
ecuaciones = 83 x1 − Cos@x2 ∗ x3 D − 1 ê 2,
x21 − 81 Hx2 + 0.1L2 + Sin@x3 D + 1.06,
Exp@−x1 ∗ x2 D + 20 x3 + H10 Pi − 3L ê 3
<;
p = 80.0, 0.0, 0.0<;
m = 12;
d = 10.−5 ;
maximapendiente@ecuaciones, p, m, dD;
Método de la Máxima Pendiente para sistemas de ecuaciones no lineales.
1
jij -cosHx2 x3 L + 3 x1 - ÅÅÅÅ2Å
zyz ij 0 yz
jj
zz j z
j
2
2
fi Hx1 , x2 , x3 L = jjj x1 - 81 Hx2 + 0.1L + sinHx3 L + 1.06 zzzz = jjjj 0 zzzz
jj
zz jj zz
j
z k0 {
-x1 x2
+ ÅÅÅÅ13Å H-3 + 10 pL
k 20 x3 + ‰
{
ij x1H0L yz i 0. y
jj
zz jj zz
j
z
P0 = jjjj x2H0L zzzz = jjjj 0. zzzz
jj
z j z
j H0L zz jk 0. z{
x
k 3 {
192
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Iteración i = 1.
Siendo gx = g HP0 - ax *zL
ij -0.0214514 yz
j
z
z = jjjj -0.0193062 zzzz
jj
zz
k 0.999583
{
a1 = 0
g1 = 111.97477
1
a2 = ÅÅÅÅÅÅ
g2 = 2.5355746
2
a3 = 1
g3 = 93.564865
h1 =-218.87839
h2 = 182.05858
h3 = 400.93697
a0 = 0.52295860
Cálculo de P1 .
P1 = P0 - a0 * z
0
-0.021451362 y
jij zyz
jij
zz
j
z
j
j
z
j
P1 = jj 0 zz - 0.52295860 * jj -0.019306226 zzzz
jj zz
jj
zz
k0 {
k 0.99958347
{
ij 0.011218174 yz
j
z
P1 = jjjj 0.010096357 zzzz
jj
zz
k -0.52274077 {
Iteración i = 2.
Siendo gx = g HP1 - ax *zL
ij -0.506566
yz
j
zz
zz
z = jjjj 0.862197
zz
jj
z
k -0.00272543 {
a1 = 0
g1 = 2.3276167
1
a2 = ÅÅÅÅÅÅ
g2 = 1.9473462
8
1
a3 = ÅÅÅÅÅÅ
g3 = 1.2740584
4
h1 =-3.0421633
h2 = -5.3863024
h3 = -9.3765564
a0 = -0.099721780
Cálculo de P2 .
P2 = P1 - a0 * z
ij 0.011218174 yz
ij -0.50656615 yz
jj
zz
j
zz
zz
P2 = jjj 0.010096357 zzz - -0.099721780 * jjjj 0.86219679
zz
jj
zz
jj
z
k -0.52274077 {
k -0.0027254284 {
ij 0.13785971 yz
j
z
P2 = jjjj -0.20545284 zzzz
jj
zz
k -0.52205942 {
193
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
....
....
Nota: Se han eliminado varias iteraciones. En la tabla final se pueden ver los resultados
Iteración i = 11.
Siendo gx = g HP10 - ax *zL
ij -0.767783 yz
j
z
z = jjjj -0.105224 zzzz
jj
zz
k 0.632011 {
a1 = 0
g1 = 0.21743968
1
g2 = 0.19963276
a2 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
128
1
a3 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
g3 = 0.20237438
64
h1 =-2.2792858
h2 = 0.35092709
h3 = 168.33362
a0 = 0.010676394
Cálculo de P11 .
P11 = P10 - a0 * z
ij 0.34574628
yz
ij -0.76778282 yz
j
z
j
z
P11 = jjjj -0.0090339826 zzzz - 0.010676394 * jjjj -0.10522430 zzzz
jj
zz
jj
zz
k -0.52094100 {
k 0.63201059 {
P11
ij 0.35394344
yz
jj
z
j
= jj -0.0079105665 zzzz
jj
zz
k -0.52768860 {
Iteración i = 12.
Siendo gx = g HP11 - ax *zL
ij -0.638911 yz
j
z
z = jjjj 0.0514848 zzzz
jj
zz
k -0.767556 {
a1 = 0
a2
a3
h1
h2
h3
a0
g1 = 0.19825170
1
= ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
g2 = 0.18086861
128
1
= ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
g3 = 0.19322688
64
=-2.2250355
= 1.5818578
= 243.64117
= 0.0084724641
194
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Cálculo de P12 .
P12
P12
P12 = P11 - a0 * z
ij 0.35394344
yz
ij -0.63891083 yz
jj
zz
j
z
j
z
= jj -0.0079105665 zz - 0.0084724641 * jjjj 0.051484847 zzzz
jj
zz
jj
zz
k -0.52768860 {
k -0.76755603 {
ij 0.35935658
yz
j
z
= jjjj -0.0083467701 zzzz
jj
zz
k -0.52118551 {
Tabla de datos.
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Pi
ij 0. yz
jj zz
jj 0. zz
jj zz
j z
k 0. {
0.011218174 y
jij
z
jj 0.010096357 zzz
jj
zz
jj
zz
-0.52274077
k
{
0.13785971
ij
yz
jj
z
jj -0.20545284 zzz
jjj
zzz
k -0.52205942 {
ij 0.26695943 yz
jj
z
jj 0.0055110205 zzz
jj
zz
j
z
k -0.55849445 {
gHPi L
¥Pi - Pi-1 ∞¶
2.3276167
0.522741
1.2740584
0.215549
1.0681309
0.210964
ij 0.27273377
yz
jj
z
jj -0.0081175097 zzz 0.46830873
jj
zz
j
z
k -0.52200607 {
0.0364884
0.38108714
0.0359555
0.31883720
0.0121882
ij 0.30868928
yz
jj
z
jj -0.020402628 zzz
jj
zz
j
z
k -0.53311162 {
yz
ij 0.31430818
jj
z
jj -0.014704639 zzz
zz
jj
z
j
-0.52092340
{
k
0.32426667
zy
jij
jj -0.0085254888 zzz 0.28702361 0.00995849
zz
jj
zz
jj
-0.52843083
{
k
0.33080876
zy
jij
jj -0.0096784838 zzz 0.26157926 0.00776848
zz
jj
zz
jj
k -0.52066235 {
ij 0.33980857
yz
jj
z
jj -0.0085919751 zzz 0.23848640 0.00899981
jj
zz
j
z
k -0.52808019 {
195
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
0.34574628
jij
zyz
j
j
10 jj -0.0090339826 zzzz 0.21743968 0.00713919
jj
zz
k -0.52094100 {
0.35394344
jij
zyz
j
j
11 jj -0.0079105665 zzzz 0.19825170 0.00819715
jj
zz
k -0.52768860 {
ij 0.35935658
yz
j
z
12 jjjj -0.0083467701 zzzz 0.18076240 0.00650309
jj
zz
k -0.52118551 {
La solución aproximada del sistema es:
P12
ij 0.35935658
yz
j
z
= jjjj -0.0083467701 zzzz
jj
zz
k -0.52118551 {
à Problema 28. Dado el siguiente problema no lineal
f1 Hx1 , x2 L = 3 x1 2 - x2 2 = 0,
f1 Hx1 , x2 L = 3 x1 x2 2 - x1 3 - 1 = 0.
Calcular la solución aproximada del sistema empleando el método de la Máxima
Pendiente comenzando en el punto:
H0L T
T
P0 = IxH0L
1 , x2 M = H1, 1L ,
e iterando hasta que ∞Pi+1 - Pi ¥¶ § 0.05.
Solución
Clear@ecuaciones, m, p, dD;
ecuaciones = 83 x1 2 − x2 2 , 3 x1 x2 2 − x1 3 − 1<;
d = 0.05;
p = 81.0, 1.0<;
m = 12;
maximapendiente@ecuaciones, p, m, dD;
Método de la Máxima Pendiente para sistemas de ecuaciones no lineales.
i 3 x12 - x22
yz i 0 y
zz = jj zz
fi Hx1 , x2 L = jjjj
z
3
2
k -x1 + 3 x2 x1 - 1 { k 0 {
ij x1H0L yz i 1. y
P0 = jjj H0L zzz = jj zz
k x2 { k 1. {
Iteración i = 1.
Siendo gx = g HP0 - ax *zL
0.986394
i
zyz
z = jj
k 0.164399 {
a1 = 0
g1 = 5.0000000
196
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
1
a2 = ÅÅÅÅÅÅ
g2 = 0.027823883
2
a3 = 1
g3 = 1.4305648
h1 =-9.9443522
h2 = 2.8054818
h3 = 12.749834
a0 = 0.63997967
P1 = P0 - a0 * z
i 1.0000000 yz
i 0.98639392 yz
z - 0.63997967 * jj
z
P1 = jj
1.0000000
k
{
k 0.16439899 {
i 0.36872794 yz
z
P1 = jj
k 0.89478799 {
Cálculo de P1 .
Iteración i = 2.
Siendo gx = g HP1 - ax *zL
-0.953737
i
zyz
z = jj
k 0.300642 {
g1 = 0.18131486
a1 = 0
1
a2 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
g2 = 0.055627387
16
1
a3 = ÅÅÅÅÅÅ
g3 = 0.0020652593
8
h1 =-2.0109996
h2 = -0.85699404
h3 = 9.2320449
a0 = 0.14016410
P2 = P1 - a0 * z
i -0.95373696 yz
i 0.36872794 yz
z - 0.14016410 * jj
z
P2 = jj
0.89478799
k
{
k 0.30064233 {
i 0.50240762 yz
z
P2 = jj
k 0.85264873 {
Cálculo de P2 .
Iteración i = 3.
Siendo gx = g HP2 - ax *zL
0.336393
i
zyz
z = jj
k -0.941722 {
a1 = 0
a2
a3
h1
h2
h3
a0
g1 = 0.0018778891
1
= ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
g2 = 0.00034772833
128
1
= ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
g3 = 0.00011818906
64
=-0.19586058
= -0.029381027
= 10.654691
= 0.013097534
197
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
P3 = P2 - a0 * z
i 0.50240762 yz
i 0.33639266 zy
z - 0.013097534 * jj
z
P3 = jj
0.85264873
k
{
k -0.94172182 {
i 0.49800170 yz
z
P3 = jj
k 0.86498296 {
Cálculo de P3 .
Tabla de datos.
i
0
1
2
3
Pi
gHPi L
¥Pi - Pi-1 ∞¶
1.
jij zyz
k 1. {
ij 0.36872794 yz
j
z
0.18131486
0.631272
k 0.89478799 {
0.50240762 y
jji
zz
0.0018778891
0.13368
k 0.85264873 {
ij 0.49800170 yz
j
z 0.000049941580 0.0123342
k 0.86498296 {
La solución aproximada del sistema es:
i 0.49800170 yz
z
P2 = jj
k 0.86498296 {
à Problema 29. Sea el sistema de ecuaciones no lineales siguiente.
f1 Hx1 , x2 L = 4 x21 - 20 x1 + 1 ê 4 x22 + 8 = 0,
f2 Hx1 , x2 L = 1 ê 2 x1 x22 + 2 x1 - 5 x2 + 8 = 0.
Aplíquese el método de la Máxima Pendiente iniciando el método en el punto
H0L T
T
-3
inicial P0 = IxH0L
1 , x2 M = H0, 0L e iterando hasta que ∞Pi+1 - Pi ¥¶ § 10 .
Solución
Clear@ecuaciones, p, m, dD;
ecuaciones = 84 x21 − 20 x1 + 1 ê 4 x22 + 8, 1 ê 2 x1 x22 + 2 x1 − 5 x2 + 8<;
p = 80., 0.<;
m = 12;
d = 10.−3 ;
maximapendiente@ecuaciones, p, m, dD;
198
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Método de la Máxima Pendiente para sistemas de ecuaciones no lineales.
x2
yz i 0 y
ij 4 x12 - 20 x1 + ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ + 8
j
zz jj zz
4
fi Hx1 , x2 L = jjj
z=
j ÅÅÅÅ1Å x x 2 - 5 x + 2 x + 8 zz k 0 {
2
1
k 2 1 2
{
2
ij x1H0L yz i 0. y
P0 = jjj H0L zzz = jj zz
k x2 { k 0. {
Iteración i = 1.
Siendo gx = g HP0 - ax *zL
i -0.963518 yz
z
z = jj
k -0.267644 {
a1 = 0
g1 = 128.00000
1
g2 = 78.052191
a2 = ÅÅÅÅÅÅ
4
1
a3 = ÅÅÅÅÅÅ
g3 = 69.362062
2
h1 =-199.79124
h2 = -34.760519
h3 = 330.06143
a0 = 0.42765765
P1 = P0 - a0 * z
0
i -0.96351791 zy
i y
z
P1 = jj zz - 0.42765765 * jj
k0 {
k -0.26764386 {
Cálculo de P1 .
i 0.41205580 zy
z
P1 = jj
k 0.11445995 {
Iteración i = 2.
Siendo gx = g HP1 - ax *zL
i 0.219477 yz
z
z = jj
k -0.975618 {
a1 = 0
g1 = 68.331716
1
a2 = ÅÅÅÅÅÅ
g2 = 37.708968
2
a3 = 1
g3 = 30.400880
h1 =-61.245494
h2 = -14.616176
h3 = 46.629319
a0 = 0.90672732
P2 = P1 - a0 * z
0.41205580
i
yz
i 0.21947696 zy
z - 0.90672732 * jj
z
P2 = jj
k 0.11445995 {
k -0.97561768 {
i 0.21305005 yz
z
P2 = jj
k 0.99907915 {
Cálculo de P2 .
199
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
....
....
Nota: Se han eliminado varias iteraciones. En la tabla final se pueden ver los resultados
Iteración i = 11.
Siendo gx = g HP10 - ax *zL
i -0.991476 yz
z
z = jj
k -0.130288 {
a1 = 0
a2
a3
h1
h2
h3
a0
g1 = 0.094572826
1
= ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
g2 = 0.056358058
128
1
= ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
g3 = 0.050221940
64
=-4.8914903
= -0.78542310
= 262.78830
= 0.013213153
P11 = P10 - a0 * z
0.48036371
yz
i -0.99147625 zy
i
z - 0.013213153 * jj
z
= jj
k 1.9381709 {
k -0.13028754 {
i 0.49346423 zy
z
= jj
k 1.9398924 {
Cálculo de P11 .
P11
P11
Iteración i = 12.
Siendo gx = g HP11 - ax *zL
i 0.128357 yz
z
z = jj
k -0.991728 {
a1 = 0
g1 = 0.048714444
1
a2 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
g2 = 0.029799005
64
1
a3 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
g3 = 0.025321504
32
h1 =-1.2105881
h2 = -0.28656006
h3 = 29.568897
a0 = 0.028283133
200
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
P12 = P11 - a0 * z
i 0.49346423 yz
i 0.12835716 zy
z - 0.028283133 * jj
z
= jj
1.9398924
k
{
k -0.99172801 {
i 0.48983389 yz
z
= jj
k 1.9679416 {
Cálculo de P12 .
P12
P12
Tabla de datos.
Pi
gHPi L
¥Pi - Pi-1 ∞¶
0.
jij zyz
0
k 0. {
i 0.41205580 yz
z
1 jj
68.331716
0.412056
k 0.11445995 {
i 0.21305005 zy
z
2 jj
29.900339
0.884619
k 0.99907915 {
i 0.43001490 yz
z
15.081622
0.216965
3 jj
k 1.0468405 {
i 0.34915086 yz
z
4 jj
6.6372618
0.468646
k 1.5154867 {
i 0.45719044 yz
z
5 jj
3.2594559
0.10804
k 1.5337223 {
i 0.42403332 yz
z
1.5149149
0.228172
6 jj
k 1.7618942 {
i 0.47660783 zy
z 0.75130795 0.0525745
7 jj
k 1.7694624 {
i 0.46166580 yz
z 0.36833775
8 jj
0.110292
k 1.8797549 {
i 0.48759235 yz
z 0.18677298 0.0259266
9 jj
k 1.8832549 {
i 0.48036371 yz
z 0.094572826 0.054916
10 jj
k 1.9381709 {
i 0.49346423 yz
z 0.048714444 0.0131005
11 jj
k 1.9398924 {
i 0.48983389 zy
z 0.025059163 0.0280492
12 jj
k 1.9679416 {
i
La solución aproximada del sistema es:
i 0.48983389 zy
z
P12 = jj
k 1.9679416 {
à Problema 30. Sea el sistema de ecuaciones no lineales siguiente.
f1 Hx1 , x2 , x3 L = x1 3 + x1 2 x2 - x1 x3 + 6 = 0,
f2 Hx1 , x2 , x3 L = ‰x1 + ‰x2 - x3 = 0.
201
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
f3 Hx1 , x2 , x3 L = x2 2 - 2 x1 x3 - 4 = 0
Aplíquese el método de la Máxima Pendiente iniciando el método en el punto
H0L H0L T
T
-3
inicial P0 = IxH0L
1 , x2 , x3 M = H0, 0, 0L e iterando hasta que ∞Pi+1 - Pi ¥¶ § 10 .
Solución
Clear@ecuaciones, p, m, dD;
ecuaciones =
8x1 3 + x1 2 x2 − x1 x3 + 6, Exp@x1 D + Exp@x2 D − x3 , x2 2 − 2 x1 x3 − 4 <;
p = 80., 0., 0.<;
m = 11;
d = 10.−3 ;
maximapendiente@ecuaciones, p, m, dD;
Método de la Máxima Pendiente para sistemas de ecuaciones no lineales.
ij x13 + x2 x12 - x3 x1 + 6 yz i 0 y
jj
zz jjj zzz
zz = jj 0 zz
fi Hx1 , x2 , x3 L = jjjj -x3 + ‰x1 + ‰x2
zz jj zz
zz j z
jj
2
k x2 - 2 x1 x3 - 4
{ k0 {
ij x1H0L yz i 0. y
jj
zz jj zz
j
z
P0 = jjjj x2H0L zzzz = jjjj 0. zzzz
jj
z j z
j H0L zz jk 0. z{
k x3 {
Iteración i = 1.
Siendo gx = g HP0 - ax *zL
ij 0.57735 yz
j
z
z = jjjj 0.57735 zzzz
jj
zz
k -0.57735 {
a1 = 0
g1 = 56.000000
1
a2 = ÅÅÅÅÅÅ
g2 = 51.950093
2
a3 = 1
g3 = 44.681337
h1 =-8.0998132
h2 = -14.537512
h3 = -6.4376990
a0 = -0.37909225
202
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Cálculo de P1 .
P1 = P0 - a0 * z
ij 0 yz
ij 0.57735027 yz
jj zz
j
z
j
z
P1 = jj 0 zz - -0.37909225 * jjjj 0.57735027 zzzz
jj zz
jj
zz
k0 {
k -0.57735027 {
ij -0.57735027 yz
j
z
P1 = jjjj -0.57735027 zzzz
jj
zz
k 0.57735027 {
Iteración i = 2.
Siendo gx = g HP1 - ax *zL
0.870989
jij
zyz
j
zz
j
z = jj 0.488866
zz
jj
zz
k -0.0488764 {
a1 = 0
g1 = 44.681337
1
g2 = 26.822977
a2 = ÅÅÅÅÅÅ
2
a3 = 1
g3 = 3.7672550
h1 =-35.716720
h2 = -46.111444
h3 = -10.394724
a0 = -1.4680216
Cálculo de P2 .
P2 = P1 - a0 * z
ij -0.57735027 yz
ij 0.87098854
yz
jj
zz
j
zz
j
z
zz
P2 = jj -0.57735027 zz - -1.4680216 * jjjj 0.48886610
zz
jj
zz
jj
z
k 0.57735027 {
k -0.048876375 {
ij -1.4483388 yz
j
z
P2 = jjjj -1.0662164 zzzz
jj
zz
k 0.62622664 {
....
....
Nota: Se han eliminado varias iteraciones. En la tabla final se pueden ver los resultados.
Iteración i = 10.
0.197815 y
jji
zz
j
j
z = jj 0.792089 zzzz
jj
zz
k 0.577464 {
a1 = 0
Siendo gx = g HP9 - ax *zL
g1 = 0.076466169
203
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
1
a2 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
g2 = 0.076202907
512
1
a3 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
g3 = 0.076139470
256
h1 =-0.13479007
h2 = -0.032479521
h3 = 26.191500
a0 = 0.0035497268
Cálculo de P10 .
P10
P10 = P9 - a0 * z
ij -1.6018808 yz
ij 0.19781530 yz
jj
zz
j
z
= jjj -1.2159095 zzz - 0.0035497268 * jjjj 0.79208850 zzzz
jj
zz
jj
zz
k 0.76653403 {
k 0.57746421 {
ij -1.6025830 yz
j
z
P10 = jjjj -1.2187212 zzzz
jj
zz
k 0.76448419 {
Iteración i = 11.
Siendo gx = g HP10 - ax *zL
ij -0.979351 yz
j
z
z = jjjj 0.134292 zzzz
jj
zz
k 0.151118 {
a1 = 0
a2
a3
h1
h2
h3
a0
g1 = 0.076136123
1
= ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
g2 = 0.075875516
1024
1
= ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
g3 = 0.075812047
512
=-0.26686133
= -0.064992483
= 103.35685
= 0.0017792520
Cálculo de P11 .
P11
P11
P11 = P10 - a0 * z
ij -1.6025830 yz
ij -0.97935138 yz
jj
zz
jj
zz
j
z
-1.2187212
= jj
zz - 0.0017792520 * jjj 0.13429208 zzz
jj
zz
jj
zz
k 0.76448419 {
k 0.15111754 {
-1.6008405 y
jij
zz
j
j
= jj -1.2189601 zzzz
jj
zz
k 0.76421531 {
Tabla de datos.
204
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Pi
0.
jij zyz
jj 0. zz
jj zz
jj zz
k 0. {
ij -0.57735027 yz
jj
z
jj -0.57735027 zzz
jj
zz
j
z
k 0.57735027 {
ij -1.4483388 yz
jj
z
jj -1.0662164 zzz
jj
zz
j
z
k 0.62622664 {
ij -1.6104162 yz
jj
z
jj -1.1248900 zzz
jj
zz
j
z
k 0.63275609 {
ij -1.6136071 yz
jj
z
jj -1.2043419 zzz
jj
zz
j
z
0.76672218
k
{
-1.6056229 y
jij
z
jj -1.2031066 zzz
jj
zz
jj
zz
0.76777778
k
{
-1.6047705
zy
jij
jj -1.2134686 zzz
zz
jj
zz
jj
k 0.77025559 {
ij -1.6028310 yz
z
jj
jj -1.2134452 zzz
zz
jj
z
j
k 0.76968974 {
ij -1.6036305 yz
z
jj
jj -1.2157250 zzz
zz
jj
z
j
k 0.76688219 {
ij -1.6018808 yz
z
jj
jj -1.2159095 zzz
zz
jj
z
j
k 0.76653403 {
ij -1.6025830 yz
z
jj
jj -1.2187212 zzz
zz
jj
z
j
0.76448419
{
k
ij -1.6008405 yz
jj
z
jj -1.2189601 zzz
jjj
zzz
k 0.76421531 {
gHPi L
¥Pi - Pi-1 ∞¶
44.681337
0.57735
3.7672550
0.870989
0.50260503
0.162077
0.087293876
0.133966
0.078795780 0.00798413
0.077600212
0.010362
0.077169875 0.00193956
0.076799239 0.00280755
0.076466169
0.0017497
0.076136123
0.0028117
0.075808948 0.00174251
La solución aproximada del sistema es:
P11
ij -1.6008405 yz
j
z
= jjjj -1.2189601 zzzz
jj
zz
k 0.76421531 {
205
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
à Problema 31. Sea el sistema de ecuaciones no lineales siguiente.
f1 Hx1 , x2 L = lnHx21 + x22 L - senHx1 x2 L - Hln 2 + ln pL,
f2 Hx1 , x2 L = eHx1 -x2 L + cosHx1 x2 L = 0.
Aplíquese el método de la Máxima Pendiente iniciando el método en el punto
H0L T
T
inicial P0 = IxH0L
1 , x2 M = H2, 2L . e iterando hasta que ∞Pi+1 - Pi ¥¶ § 0.05.
Solución
Clear@ecuaciones, p, d, mD;
ecuaciones =
8 Log@x21 + x22 D − Sin@x1 ∗ x2 D − HLog @2D + Log @PiDL,
Exp@x1 − x2 D + Cos@x1 ∗ x2 D<;
p = 82.0, 2.0<;
m = 10;
d = 0.05;
maximapendiente@ecuaciones, p, m, dD;
Método de la Máxima Pendiente para sistemas de ecuaciones no lineales.
i logHx12 + x22 L - sinHx1 x2 L - logHpL - logH2L yz ij 0 yz
z=j z
fi Hx1 , x2 L = jj
k cosHx1 x2 L + ‰x1 -x2
{ k0 {
ij x1H0L yz i 2. y
P0 = jjj H0L zzz = jj zz
k x2 { k 2. {
Iteración i = 1.
Siendo gx = g HP0 - ax *zL
i 0.803444 yz
z
z = jj
k 0.595381 {
a1 = 0
g1 = 1.1166993
1
a2 = ÅÅÅÅÅÅ
g2 = 0.061876723
4
1
a3 = ÅÅÅÅÅÅ
g3 = 0.30301513
2
h1 =-4.2192905
h2 = 0.96455364
h3 = 10.367688
a0 = 0.32848270
P1 = P0 - a0 * z
2.0000000
i
yz
i 0.80344369 yz
z - 0.32848270 * jj
z
P1 = jj
k 2.0000000 {
k 0.59538075 {
i 1.7360826 zy
z
P1 = jj
k 1.8044277 {
Cálculo de P1 .
206
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Iteración i = 2.
Siendo gx = g HP1 - ax *zL
i -0.919329 yz
z
z = jj
k 0.393489 {
g1 = 0.0044813455
a1 = 0
1
a2 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
g2 = 0.0022525436
64
1
a3 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
g3 = 0.0014992209
32
h1 =-0.14264333
h2 = -0.048212650
h3 = 3.0217816
a0 = 0.031415020
P2 = P1 - a0 * z
1.7360826
i
yz
i -0.91932918 yz
z - 0.031415020 * jj
z
P2 = jj
k 1.8044277 {
k 0.39348934 {
i 1.7648117 yz
z
P2 = jj
k 1.7921312 {
Cálculo de P2 .
Tabla de datos.
i
0
1
2
Pi
gHPi L
¥Pi - Pi-1 ∞¶
ij 2. yz
j z
k 2. {
1.7360826 y
jji
zz 0.0044813455 0.263917
k 1.8044277 {
ij 1.7648117 yz
j
z 0.0014992209 0.028729
k 1.7921312 {
La solución aproximada del sistema es:
i 1.7648117 yz
z
P1 = jj
k 1.7921312 {
à Problema 32. Sea el sistema de ecuaciones no lineales siguiente.
f1 Hx1 , x2 L = senH4 p x1 x2 L - 2 x2 - x1 = 0,
f2 Hx1 , x2 L = HH4 p - 1L ê H4 pLL He2 x1 - eL + 4 e x22 - 2 e x1 = 0.
Aplíquese el método de la Máxima Pendiente iniciando el método en el punto
H0L T
T
inicial P0 = IxH0L
1 , x2 M = H0, 0L . e iterando hasta que ∞Pi+1 - Pi ¥¶ § 0.005.
Solución
207
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Clear@ecuaciones, p, m, dD;
ecuaciones = 8
Sin@4 ∗ Pi ∗ x1 ∗ x2 D − 2 x2 − x1 ,
HH4 Pi − 1L ê H4 PiLL HExp@2 x1 D − EL + 4 E Hx2 L2 − 2 E ∗ x1 <;
p = 80.0, 0.0<;
m = 2;
d = 0.005;
maximapendiente@ecuaciones, p, m, dD;
Método de la Máxima Pendiente para sistemas de ecuaciones no lineales.
yz i 0 y
ij sinH4 p x1 x2 L - x1 - 2 x2
z = jj zz
fi Hx1 , x2 L = jjj
z
H-‰+‰2 x1 L H-1+4 pL z
2
4
‰
x
2
‰
x
+
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
Å
1
2
k
{ k0 {
4p
ij x1H0L yz i 0. y
P0 = jjj H0L zzz = jj zz
k x2 { k 0. {
Iteración i = 1.
i 1. y
z = jj zz
k 0. {
Siendo gx = g HP0 - ax *zL
a1 = 0
g1 = 2.5012856
1
a2 = ÅÅÅÅÅÅ
g2 = 0.40421324
4
1
a3 = ÅÅÅÅÅÅ
g3 = 0.55793456
2
h1 =-8.3882892
h2 = 0.61488529
h3 = 18.006349
a0 = 0.35792588
P1 = P0 - a0 * z
i0 y
i 1.0000000 yz
z
P1 = jj zz - 0.35792588 * jj
0
k {
k0
{
-0.35792588
i
yz
z
P1 = jj
k0
{
Cálculo de P1 .
Iteración i = 2.
Siendo gx = g HP1 - ax *zL
0.0531923
i
zyz
z = jj
k -0.998584 {
a1 = 0
g1 = 0.13938957
1
a2 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
g2 = 0.032290159
32
1
a3 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
g3 = 0.0042365080
16
h1 =-3.4271812
208
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
h2 = -0.89771682
h3 = 40.471430
a0 = 0.057965747
P2 = P1 - a0 * z
-0.35792588
i
yz
i 0.053192294 zy
z - 0.057965747 * jj
z
P2 = jj
k0
{
k -0.99858429 {
i -0.36100921 yz
z
P2 = jj
k 0.057883685 {
Cálculo de P2 .
Tabla de datos.
i
0
1
2
Pi
gHPi L
¥Pi - Pi-1 ∞¶
ij 0. yz
j z
k 0. {
-0.35792588 y
jji
zz
0.13938957
0.357926
k0
{
ij -0.36100921 yz
j
z 0.0033164212 0.0578837
k 0.057883685 {
La solución aproximada del sistema es:
i -0.36100921 yz
z
P2 = jj
k 0.057883685 {
209
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
8. Método de Continuación u
Homotopía
8.1 Introducción
Los métodos de Continuación, u Homotopía, para sistemas no lineales consisten en
sumergir el problema que debe resolverse dentro de una familia adecuada de problemas.
Específicamente, para resolver un problema de la forma
F HxL = 0
(36)
cuya solución x* es desconocida, considérese una familia de problemas que se describen
mediante un parámetro l que toma valores en @0, 1D. A l = 0 le corresponde un problema
cuya solución x(0) es conocida, mientras que el problema cuya solución x(1) ª x* se
desconoce y corresponde a l = 1.
Por ejemplo, suponiendo que x(0) es una aproximación inicial de la solución x* de
F HxL = 0.
Definición 7. Se define G : @ 0, 1D µ n ö n mediante
G Hl, xL = l F HxL + H1 - lL @FHxL - F H xH0LLD = FHxL + Hl - 1L FHxH0LL.
Se determinarán, para varios valores de l, una solución de
G H l, xL = 0.
(37)
Cuando l = 0, la ecuación que resulta es
0 = G H 0, xL = FHxL - F H x H0LL,
210
(38)
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
de la cual x(0) es una solución. Cuano l = 1, la ecuación que resulta es
0 = G H 1, xL = FHxL,
(39)
de la cual x(1) = x* es una solución.
La función G, a través de su parámetro l, proporciona una familia de funciones que
podrían guiar desde el valor conocido x(0) hasta la solución x(1) = x* . Se dice que la
función G es una homotopía entre la función G H 0, xL = F HxL - F Hx H0LL y la función
G H1, xL = F HxL.
El problema de continuación consiste en lo siguiente.
Determinar una forma de proceder para ir desde la solución conocida x(0) de
GH0, xL = 0 hasta la solución desconocida xH1L = x* de GH1, xL = 0 que resuelve el
problema FHxL = 0.
Suponiendo, en primer lugar, que xHlL es la única solución de la ecuación
G H l, x L = 0,
(40)
para cada l œ @0, 1D. El conjunto 8 x HlL » 0 § l § 1< puede verse como una curva en n
parametrizada por l, que va desde xH0L hasta xH1L = x* . Con el método de Continuación se
determinan una secuencia de puntos 8xH lk L< m
k=0 a lo largo de esta curva que corresponden a
l0 = 0 l1 ..., lm = 1.
Si las funciones l ö x HlL y G son diferenciables, entonces derivando la ecuación
G H l, xL = 0 con respecto a l se obtiene
∑ G H l, x HlLL
∑ G H l, x HlLL
0 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x £ HlL ,
∑l
∑x
211
(41)
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
que, despejando x £ HlL, queda
∑ G Hl, x HlLL -1 ∑ G Hl, x HlLL
x HlL = - A ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ E ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ,
∑x
∑l
£
(42)
que es un sistema de ecuaciones diferenciales con condición inicial x H0L.
Puesto que
G Hl, x HlLL = F Hx H lL L + Hl - 1L FHx H0LL,
(43)
se pueden determinar tanto la matriz jacobiana
∑ f1
ij ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ H x HlLL
jj ∑x1
jj ∑ f
jj ÅÅÅÅÅÅÅÅ2Å Hx HlLL
∑G
j
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H l , x H lLL = jjj ∑x1
jj
∑x
...
jj
jj
j ∑ fn
ÅÅÅÅÅ Hx HlLL
∑x1
k ÅÅÅÅ
∑ f1
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ Hx HlLL yz
∑xn
zz
zz
∑ f2
∑ f2
zz
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
Å
Hx
HlLL
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
Å
Hx
HlLL
zz
∑x2
zz = J Hx HlLL
... .... ∑xn
zz
...
...
zz
zz
z
∑ fn
∑ fn
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
Å
Hx
HlLL
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
Å
Hx
HlLL
∑x2
∑xn
{
∑ f1
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ Hx HlLL
∑x2
(44)
como
∑ G Hl , x HlL L
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = FHx H0LL.
∑l
(45)
Por tanto, el sistema de ecuaciones diferenciales resulta ser
x £ H lL = - @ J H x HlLLD-1 F Hx H0L L,
para 0 § l § 1,
(46)
con la condición inicial x H0L.
El siguiente teorema proporciona condiciones bajo las que el método de
Continuación puede llevarse a cabo.
ô Teorema 5. Convergencia del Método de Continuación
Suponiendo que FHxL es diferenciable con continuidad para x œ n . Suponiendo
que la matriz jacobiana J HxL es invertible para todo x œ n y que existe una constante M
212
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
tal que ∞ J H x L-1 ¥ § M , para todo x œ n . Entonces para cualquier x H0L en n , existe
una única función x HlL tal que
G H l, x HlL L = 0,
para todo l en @0, 1D. Además, x HlL es diferenciable con continuidad y
x £ HlL = - J Hx Hl L L-1 F Hx H0LL para l œ @0, 1D.
En general, el sistema de ecuaciones diferenciales que se necesitan resolver con el
problema de continuación es de la forma
d x1
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = f1 H l, x1 , x2 , ...., xn L,
dl
d x2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = f2 H l, x1 , x2 , ...., xn L,
dl
..
..
..
d xn
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = fn H l, x1 , x2 , ...., xn L,
dl
(47)
donde
ij f1 H l, x1 , x2 , ...., xn L
jj
jj f2 H l, x1 , x2 , ...., xn L
jj
jj
...
jj
j
k fn H l, x1 , x2 , ...., xn L
yz
ij f1 Hx H0L L
zz
jj
zz
j
zz = -J H x1 , x2 , ...., xn L-1 jjj f2 Hx H0L L
zz
jj
...
zz
jj
z
j
{
k fn Hx H0L L
yz
zz
zz
zz .
zz
zz
z
{
(48)
Para utilizar el método de Runge - Kutta de orden 4 en la resolución de este sistema
H1 - 0L
se toma un número entero n > 0 y se define h = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ . Se divide el intervalo @0, 1D en n
n
subintervalos cuyos extremos son los nodos
l j = j h,
para cada j = 0, 1, ..., n.
213
(49)
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Se va a denotar por wi j , para cada j = 0, 1, ..., n e i = 1, 2, ...,n, la aproximación de
xi (l j ). De acuerdo con las condiciones iniciales, se toma
w1,0 = x1 H0L,
w2,0 = x2 H0L,
wn,0 = xn H0L.
(50)
Suponiendo que se ha calculado ya w1, j , w2, j , .., wn, j . Se obtienen las nuevas
aproximaciones w1, j+1 , w2, j+1 , .., wn, j+1 mediante las expresiones
k1,i = h fi Hl j , w1, j , w2, j , .., wn, j L,
i = 1, 2, ..., n;
h
1
1
k2,i = h fi Jl j + ÅÅÅÅÅ , w1, j + ÅÅÅÅÅ k1,1 , w2, j + ÅÅÅÅÅ k1,2 , .., wn, j +
2
2
2
i = 1, 2, ..., n;
h
1
1
k3,i = h fi Jl j + ÅÅÅÅÅ , w1, j + ÅÅÅÅÅ k2,1 , w2, j + ÅÅÅÅÅ k2,2 , .., wn, j +
2
2
2
i = 1, 2, ..., n;
k4,i = h fi Hl j + h, w1, j + k3,1 , w2, j + k3,2 , .., wn, j + k3,n L,
i = 1, 2, ..., n;
1
ÅÅÅÅÅ k1,n N,
2
1
ÅÅÅÅÅ k2,n N,
2
(51)
y, finalmente
1
wi, j+1 = wi, j + ÅÅÅÅÅ Hk1,i + 2 k2,i + 2 k3,i + k4,i L ,
6
i = 1, 2, ..., n.
(52)
Utilizando la notación vectorial
ij k1,1 yz
ij k2,1 yz
ij k3,1 yz
ij k4,1 yz
jj
z
jj
z
jj
z
jj
z
jj k1,2 zzz
jj k2,2 zzz
jj k3,2 zzz
jj k4,2 zzz
j
z
j
z
j
z
j
zz
zz, k2 = jj
z
j
z
j
k1 = jjj
jj ... zzz, k3 = jjj ... zzz, k4 = jjj ... zzz y
jj ... zzz
jjj
zzz
jjj
zzz
jjj
zzz
jj
zz
k
k
k
k
k 1,n {
k 2,n {
k 3,n {
k 4,n {
ij w1, j yz
jj
z
jj w1, j zzz
j
j
zzz.
w j = jj
jj ... zzz
jj
zz
w
n,
j
k
{
para simplificar la presentación.
La igualdad (48) da xH0L = x Hl0 L = w0 y, para cada j = 0, 1, ..., n.
214
(53)
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
ij f1 H l j , w1, j , w2, j , .., wn, j L
jj
jj f2 H l j , w1, j , w2, j , .., wn, j L
k1 = h jjjj
...
jj
jj
k fn H l j , w1, j , w2, j , .., wn, j L
yz
zz
zz
zz
zz
zz
zz
{
= h @ - J Hw1, j , .., wn, j LD-1 FHxH0LL = h @- J Hw j LD-1 FHxH0LL;
-1
1
k2 = h A- J Jw j + ÅÅÅÅÅ k1 NE FHxH0LL;
2
-1
1
k3 = h A- J Jw j + ÅÅÅÅÅ k2 NE FHxH0LL;
2
k4 = h @- J Hw j + k3 LD-1 FHxH0LL.
y
x Hl j+1 L =
1
1
x Hl j L + ÅÅÅÅÅ Hk1 + 2 k2 + 2 k3 + k4 L = w j + ÅÅÅÅÅ Hk1 + 2 k2 + 2 k3 + k4 L.
6
6
(55)
Finalmente, xHln L = xH1L es la aproximación de x* .
8.2 Pseudocódigo
è Algoritmo 7. Método de Continuación u Homotopía para sistemas no lineales.
El pseudocódigo del algoritmo que resuelve un sistema de ecuaciones no lineales de
n ecuaciones con n incógnitas mediante el método de Continuación u Homotopía es:
Algoritmo Continuación u Homotopía
Input I8f Hx1 , ..., xn L<1 n , H x1H0L x2H0L ... xnH0L L , nM
T
(* Se inicializan las variables *)
M 4
h 1ên
H0L LT
p H x1H0L x2H0L ... xm
F 8f Hx1 , ..., xn L<1 n
215
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
∑f1
∑f1
∑f1
ÅÅÅÅÅ HxL ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ HxL
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ HxL zyz
jij ÅÅÅÅ
∑x2
∑xn
jj ∑x1
zz
jj ∑f2
zz
∑f2
∑f2
jj ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ HxL ÅÅÅÅ
zz
Å
ÅÅÅ
Å
HxL
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
Å
HxL
jj ∑x1
zz
∑x2
∑xn
zz
J HxL jj
... ....
jj ...
...
... zzzz
jj
jj
zz
jj ∑fn
zz
∑fn
∑fn
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
Å
HxL
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
Å
HxL
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
Å
HxL
∑x2
∑xn
k ∑x1
{
Hx ª Hx1 , ..., xn LL
ij f1 H p1H0L , p2H0L , ..., pnH0L L yz
jj
zz
jj
z
jj f2 H p1H0L , p2H0L , ..., pnH0L L zzz
zz
f_valor jjj
zz
jj . . . . . . . . . . . . . . . .
zz
jj
zz
jj
H0L
H0L
H0L z
f
H
,
...,
p
L
p
,
p
n
n {
k
1
2
For k = 1, ..., n do
H* Se evalúa la función F y la matriz jacobiana en el punto *L
ij j11 H p1Hk-1L , ..., pnHk-1L L ... j1 n H p1Hk-1L , ..., pnHk-1L
jj
jj
jj j21 H p1Hk-1L , ..., pnHk-1L L ... j2 n H p1Hk-1L , ..., pnHk-1L
j_valor jjjj
jj
...
...
...
jj
jj
Hk-1L
Hk-1L
Hk-1L L ... j
, ..., pnHk-1L
n n H p1
k jn 1 H p1 , ..., pn
k1 h * Hj_valorL-1 * f_valor
p_aux p
p_int p_aux + ÅÅÅÅ12Å k1
L yz
zz
z
L zzzz
zz
zz
zz
zz
z
L{
j_valor
L ... j1 n H p_int Hk-1L
ij j11 H p_int Hk-1L
, ..., p_int Hk-1L
, ..., p_int Hk-1L
1
1
n
n
jj
jj
Hk-1L
Hk-1L
jj j21 H p_int Hk-1L
L
...
j
H
, ..., p_int n
, ..., p_int Hk-1L
2 n p_int 1
1
n
jj
jjj
...
...
...
jj
jj
j
Hk-1L
Hk-1L
L ... jn n H p_int Hk-1L
, ..., p_int Hk-1L
k jn 1 H p_int 1 , ..., p_int n
1
n
k2 h * Hj_valorL-1 * f_valor
p_int p_aux + ÅÅÅÅ12Å k2
j_valor
L ... j1 n H p_int Hk-1L
ij j11 H p_int Hk-1L
, ..., p_int Hk-1L
, ..., p_int Hk-1L
1
1
n
n
jj
jj
Hk-1L
Hk-1L
Hk-1L
jj j21 H p_int Hk-1L
L
...
j
H
,
...,
p_int
p_int
,
...,
p_int
2n
1
1
n
n
jj
jj
jj
...
...
...
jj
jj
Hk-1L
Hk-1L
L ... jn n H p_int Hk-1L
, ..., p_int Hk-1L
k jn 1 H p_int 1 , ..., p_int n
1
n
k3 h * Hj_valorL-1 * f_valor
p_int p_aux + k3
L yz
zz
z
L zzzz
zz
zz
zz
zz
z
L{
j_valor
L ... j1 n H p_int Hk-1L
ij j11 H p_int Hk-1L
, ..., p_int Hk-1L
, ..., p_int Hk-1L
1
1
n
n
jj
jj
Hk-1L
Hk-1L
jj j21 H p_int Hk-1L
L ... j2 n H p_int 1 , ..., p_int Hk-1L
, ..., p_int n
1
n
jj
jj
jj
...
...
...
jj
jj
Hk-1L
Hk-1L
L ... jn n H p_int Hk-1L
, ..., p_int Hk-1L
k jn 1 H p_int 1 , ..., p_int n
1
n
216
L yz
zz
z
L zzzz
zz
zz
zz
zz
z
L{
L yz
zz
z
L zzzz
zz
zz
zz
zz
z
L{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
k4 h * Hj_valorL-1 * f_valor
(* Cálculo del siguiente punto *)
p1 p_aux + ÅÅÅÅ16Å Hk1 + 2 k2 + 2 k3 + k4L
(* Cálculo de la norma de la distancia entre los dos puntos*)
error »» p1 - p »»¶
p p1
End
Return Hx HkL ª HpLT L
Output
8.3 Problemas
à Problema 33. Sea el sistema no lineal de ecuciaones siguiente:
f1 Hx1 , x2 , x3 L = 3 x1 - cosHx2 x3 L - 1 ê 2 = 0,
f2 Hx1 , x2,x3 L = x21 - 81 Hx2 + 0.1L2 + sen x3 + 1.06 = 0,
f3 Hx1 , x2 , x3 L = e-x1 x2 + 20 x3 + H10 p - 3L ê 3 = 0.
Mediante el método de Continuación u Homotopía calcúlese la aproximación de
la solución, comenzando en el punto inicial
H0L H0L T
T
P0 = IxH0L
1 , x2 , x3 M = H0, 0, 0L y realizando n = 4 iteraciones.
Solución
Clear@ecuaciones, p, mD;
ecuaciones = 83 x1 − Cos@x2 ∗ x3 D − 1 ê 2,
x21 − 81 Hx2 + 0.1L2 + Sin@x3 D + 1.06,
Exp@−x1 ∗ x2 D + 20 x3 + H10 Pi − 3L ê 3
<;
p = 880.0<, 80.0<, 80.0<<;
m = 4;
continuacionhomotopia@ecuaciones, p, mD;
Método de Continuacion Homotopia para sistemas de
ecuaciones no lineales.
1
jij -cosHx2 x3 L + 3 x1 - ÅÅÅÅ2Å
zyz ij 0 yz
jj
zz j z
j
2
2
fi Hx1 , x2 , x3 L = jjj x1 - 81 Hx2 + 0.1L + sinHx3 L + 1.06 zzzz = jjjj 0 zzzz
jj
zz jj zz
z k0 {
j 20 x + ‰-x1 x2 + ÅÅÅÅ1Å H-3 + 10 pL
3
k
{
3
ij x1H0L yz i 0. y
jj
zz jj zz
j
z
P0 = jjjj x2H0L zzzz = jjjj 0. zzzz
jj
z j z
j H0L zz jk 0. z{
x
k 3 {
217
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
La matriz jacobiana es:
ij 3
j
J Hx1 , x2 , x3 L = jjjj 2 x1
jj -x x
k -‰ 1 2 x2
sinHx2 x3 L x3
sinHx2 x3 L x2
-162 Hx2 + 0.1L cosHx3 L
-‰-x1 x2 x1
20
Iteración i = 1
ij 0.12500000
yz
jj
z
j
k1 = jj -0.0042222033 zzzz
jj
zz
k -0.13089969 {
0.12499998
jij
zyz
j
j
k2 = jj -0.0033117620 zzzz
jj
zz
k -0.13092324 {
ij 0.12499998
yz
j
z
k3 = jjjj -0.0032962448 zzzz
jj
zz
k -0.13092035 {
ij 0.12499989
yz
jj
z
j
k4 = jj -0.0023020676 zzzz
jj
zz
k -0.13093470 {
0.12499997
jij
zyz
1
j
j
P1 = P0 + ÅÅÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4 L = jj -0.0032900474 zzzz
jj
zz
6
k -0.13092026 {
Iteración i = 2
0.12499989
jij
zyz
j
j
k1 = jj -0.0023019179 zzzz
jj
zz
k -0.13093466 {
ij 0.12499976
yz
j
z
k2 = jjjj -0.0012303950 zzzz
jj
zz
k -0.13093902 {
ij 0.12499981
yz
j
z
k3 = jjjj -0.0012233159 zzzz
jj
zz
k -0.13093560 {
0.12499976
jij
zyz
j
j
k4 = jj -0.000094776483 zzzz
jj
zz
k -0.13092912
{
ij 0.24999977
yz
j
z
1
P2 = P1 + ÅÅÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4 L = jjjj -0.0045074001 zzzz
jj
zz
6
k -0.26185576 {
218
yz
zz
zz
zz
z
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Iteración i = 3
ij 0.12499976
yz
jj
z
j
k1 = jj -0.000094768570 zzzz
jj
zz
k -0.13092908
{
ij 0.12499988 yz
j
z
k2 = jjjj 0.0010777262 zzzz
jj
zz
k -0.13091134 {
ij 0.12499993 yz
j
z
k3 = jjjj 0.0010713431 zzzz
jj
zz
k -0.13090777 {
ij 0.12500020 yz
j
z
k4 = jjjj 0.0022589181 zzzz
jj
zz
k -0.13087879 {
ij 0.37499970
yz
j
z
1
P3 = P2 + ÅÅÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4 L = jjjj -0.0034303521 zzzz
j
zz
6
j
k -0.39276344 {
Iteración i = 4
0.12500020 y
jij
zz
j
j
k1 = jj 0.0022587863 zzzz
jj
zz
k -0.13087875 {
ij 0.12500045 yz
j
z
k2 = jjjj 0.0034455048 zzzz
jj
zz
k -0.13083864 {
ij 0.12500035 yz
j
z
k3 = jjjj 0.0034248117 zzzz
jj
zz
k -0.13083540 {
0.12500000 y
jij
zz
j
j
k4 = jj 0.0045827692 zzzz
jj
zz
k -0.13078516 {
ij 0.50000000
yz
jj
z
1
-8 z
j
j
P4 = P3 + ÅÅÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4 L = jj 1.2668609 µ 10 zzzz
6
j
z
k -0.52359878
{
Tabla de datos.
i
0
Pi
ij 0 yz
jj zz
jjj 0 zzz
jj zz
k0 {
¥Pi - Pi-1 ∞¶
219
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
1
2
3
4
0.12499997
jij
zy
jj -0.0032900474 zzz
jj
zz
jj
zz
-0.13092026
k
{
0.24999977
jij
zy
jj -0.0045074001 zzz
jj
zz
jj
zz
k -0.26185576 {
ij 0.37499970
yz
jj
z
jj -0.0034303521 zzz
jj
zz
j
z
k -0.39276344 {
ij 0.50000000
yz
jj
z
jj 1.2668609 µ 10-8 zzz
jj
zz
j
z
-0.52359878
k
{
0.13092
0.130936
0.130908
0.130835
La solución aproximada del sistema es:
0.50000000
jij
zyz
jj
z
P4 = jjj 1.2668609 µ 10-8 zzzz
j
z
k -0.52359878
{
à Problema 34. Sea el sistema no lineal de ecuciaones siguiente:
f1 Hx1 , x2 , x3 L = x1 2 + x2 - 37 = 0,
f2 Hx1 , x2 , x3 L = x1 - x2 2 - 5 = 0,
f3 Hx1 , x2 , x3 L = x3 + x1 + x2 - 3 = 0
Mediante el método de Continuación u Homotopía calcúlese la aproximación de
la solución, comenzando en el punto inicial
H0L H0L T
T
P0 = IxH0L
1 , x2 , x3 M = H0, 0, 0L y realizando n = 2 iteraciones.
Solución
Clear@ecuaciones, ecuacionestrans, p, d, mD;
ecuaciones = 8 x1 2 + x2 − 37, x1 − x2 2 − 5, x3 + x1 + x2 − 3<;
p = 880.0<, 80.0<, 80.0<<;
m = 2;
continuacionhomotopia@ecuaciones, p, mD;
220
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Método de Continuacion Homotopia para sistemas de
ecuaciones no lineales.
ij x12 + x2 - 37
yz i 0 y
jj
zz jjj zzz
j
zz = jj 0 zz
2
fi Hx1 , x2 , x3 L = jjj -x2 + x1 - 5
zz jj zz
jj
zz j z
k x1 + x2 + x3 - 3 { k 0 {
ij x1H0L yz i 0. y
jj
zz jj zz
j
z
P0 = jjjj x2H0L zzzz = jjjj 0. zzzz
jj
z j z
j H0L zz jk 0. z{
k x3 {
La matriz jacobiana es:
ij 2 x1
j
J Hx1 , x2 , x3 L = jjjj 1
jj
k1
1
-2 x2
1
0
0
1
yz
zz
zz
zz
z
{
Iteración i = 1
ij 2.5000000 yz
j
z
k1 = jjjj 18.500000 zzzz
jj
zz
k -19.500000 {
ij 7.2962963 yz
j
z
k2 = jjjj 0.25925926 zzzz
jj
zz
k -6.0555556 {
2.5232448 y
jij
zz
j
j
k3 = jj 0.089658444 zzzz
jj
zz
k -1.1129032 {
ij 3.0538605 yz
j
z
k4 = jjjj 3.0887248 zzzz
jj
zz
k -4.6425853 {
ij 4.1988238 yz
j
z
1
P1 = P0 + ÅÅÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4 L = jjjj 3.7144267 zzzz
jj
zz
6
k -6.4132505 {
Iteración i = 2
ij 2.2076836
yz
j
z
k1 = jjjj -0.039348791 zzzz
jj
zz
k -0.66833481 {
ij 1.7539258
yz
jj
z
j
k2 = jj -0.10096403 zzzz
jj
zz
k -0.15296178 {
221
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
ij 1.8313659
yz
j
z
k3 = jjjj -0.091245116 zzzz
jj
zz
k -0.24012077 {
ij 1.5448774
yz
jj
zz
j
zz
-0.13180717
k4 = jj
zz
jj
z
0.086929793
k
{
6.0193478 y
jij
zz
1
j
j
P2 = P1 + ÅÅÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4 L = jj 3.6218310 zzzz
jj
zz
6
k -6.6411788 {
Tabla de datos.
i
0
1
2
Pi
¥Pi - Pi-1 ∞¶
ij 0 yz
jj zz
jj 0 zz
jj zz
j z
k0 {
ij 4.1988238 yz
jj
z
jj 3.7144267 zzz
6.41325
jj
zz
j
z
-6.4132505
k
{
6.0193478 y
jij
z
jj 3.6218310 zzz
jj
zz
jj
zz
-6.6411788
k
{
1.82052
La solución aproximada del sistema es:
6.0193478 y
jij
zz
j
j
P2 = jj 3.6218310 zzzz
jj
zz
k -6.6411788 {
à Problema 35. Sea el sistema no lineal de ecuciaones siguiente:
f1 Hx1 , x2 L = x1 2 - x2 2 + 2 x2 = 0,
f2 Hx1 , x2 L = 2 x1 - x2 2 - 6 = 0,
Mediante el método de Continuación u Homotopía calcúlese la aproximación de
la solución, comenzando en el punto inicial:
a)
b)
c)
H0L
T
P0 = IxH0L
1 , x2 M = H0, 0L
T
H0L
T
P0 = IxH0L
1 , x2 M = H1, 1L
T
H0L
T
P0 = IxH0L
1 , x2 M = H3, -2L
T
y realizando n = 8 iteraciones.
222
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Solución
a)
Clear@ecuaciones, ecuacionestrans, p, d, mD;
ecuaciones = 8 x1 2 − x2 2 + 2 x2 , 2 x1 − x2 2 − 6<;
p = 880.0<, 80.0<<;
m = 8;
continuacionhomotopia@ecuaciones, p, mD;
Método de Continuacion Homotopia para sistemas de
ecuaciones no lineales.
i x12 - x22 + 2 x2 zy i 0 y
zz = jj zz
fi Hx1 , x2 L = jjjj
z
2
k -x2 + 2 x1 - 6 { k 0 {
ij x1H0L yz i 0. y
P0 = jjj H0L zzz = jj zz
k x2 { k 0. {
La matriz jacobiana es:
i 2 x1
J Hx1 , x2 L = jj
k2
2 - 2 x2
-2 x2
yz
z
{
Iteración i = 1
i 0.37500000 yz
z
k1 = jj
k0
{
i 0.37500000
zyz
k2 = jj
k -0.070312500 {
i 0.37740328
yz
z
k3 = jj
-0.068359839
k
{
i 0.38427976 zy
z
k4 = jj
k -0.13574868 {
1
i 0.37734772
zyz
P1 = P0 + ÅÅÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4 L = jj
6
k -0.068848893 {
Iteración i = 2
i 0.38434201 zy
z
k1 = jj
k -0.13568857 {
i 0.40257111 yz
z
k2 = jj
k -0.20170068 {
223
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
i 0.40936530 yz
z
k3 = jj
k -0.20250708 {
i 0.45067492 zy
z
k4 = jj
k -0.27887691 {
1
i 0.78716267 yz
z
P2 = P1 + ÅÅÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4 L = jj
6
k -0.27267906 {
....
....
Nota: Se han eliminado varias iteraciones. En la tabla final se pueden ver los resultados
Iteración i = 7
i -0.20337776 zy
z
k1 = jj
k 0.20330965 {
i -0.21524648 yz
z
k2 = jj
k 0.21517049 {
i -0.21598197 yz
z
k3 = jj
k 0.21590537 {
i -0.23035551 yz
z
k4 = jj
k 0.23026892 {
1
i 3.6274929 yz
z
P7 = P6 + ÅÅÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4 L = jj
6
k -2.6288570 {
Iteración i = 8
i -0.23036255 yz
z
k1 = jj
k 0.23027595 {
i -0.24789911 yz
z
k2 = jj
k 0.24779981 {
i -0.24934395 zy
z
k3 = jj
k 0.24924337 {
i -0.27201858 yz
z
k4 = jj
k 0.27190068 {
1
i 3.3780150 yz
z
P8 = P7 + ÅÅÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4 L = jj
6
k -2.3794798 {
Tabla de datos.
i
0
Pi
ij 0 yz
j z
k0 {
¥Pi - Pi-1 ∞¶
224
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
1
2
3
4
5
6
7
8
0.37734772
jij
zyz
k -0.068848893 {
ij 0.78716267 yz
j
z
k -0.27267906 {
ij 1.3648261
yz
j
z
k -0.69203276 {
ij 2.9002566 yz
j
z
k -2.0132693 {
ij 2.3338425 yz
j
z
k -1.4729057 {
3.8435246 y
jij
zz
k -2.8448121 {
3.6274929 y
jji
zz
k -2.6288570 {
ij 3.3780150 yz
j
z
k -2.3794798 {
0.377348
0.409815
0.577663
1.53543
0.566414
1.50968
0.216032
0.249478
La solución aproximada del sistema es:
i 3.3780150 yz
z
P8 = jj
k -2.3794798 {
Solución
b)
Clear@ecuaciones, ecuacionestrans, p, d, mD;
ecuaciones = 8 x1 2 − x2 2 + 2 x2 , 2 x1 − x2 2 − 6<;
p = 881.0<, 81.0<<;
m = 8;
continuacionhomotopia@ecuaciones, p, mD;
Método de Continuacion Homotopia para sistemas de
ecuaciones no lineales.
i x12 - x22 + 2 x2 zy i 0 y
zz = jj zz
fi Hx1 , x2 L = jjjj
z
2
-x
+
2
x
6
1
k 2
{ k0 {
ij x1H0L yz i 1. y
P0 = jjj H0L zzz = jj zz
k x2 { k 1. {
La matriz jacobiana es:
i 2 x1
J Hx1 , x2 L = jj
k2
2 - 2 x2
-2 x2
yz
z
{
225
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Iteración i = 1
i -0.12500000 yz
z
k1 = jj
k -0.43750000 {
i -0.030800821 yz
z
k2 = jj
k -0.43942505 {
i -0.029226983 yz
z
k3 = jj
k -0.43795011 {
i 0.067715537 zy
z
k4 = jj
k -0.43552088 {
1
i 0.97044332 yz
z
P1 = P0 + ÅÅÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4 L = jj
6
k 0.56203813 {
Iteración i = 2
i 0.067733504 zy
z
k1 = jj
k -0.43549802 {
i 0.16163366 yz
z
k2 = jj
k -0.43819665 {
i 0.15965720 yz
z
k3 = jj
k -0.44568405 {
i 0.25769419 zy
z
k4 = jj
k -0.47102615 {
1
i 1.1317782 zy
z
P2 = P1 + ÅÅÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4 L = jj
6
k 0.11632387 {
....
....
Nota: Se han eliminado varias iteraciones. En la tabla final se pueden ver los resultados
Iteración i = 7
i -0.41362262 zy
z
k1 = jj
k 0.36106659 {
i -0.51650642 yz
z
k2 = jj
k 0.45288133 {
i -0.55087494 yz
z
k3 = jj
k 0.48378958 {
i -0.88564861 yz
z
k4 = jj
k 0.78450886 {
1
i 2.3583257 zy
z
P7 = P6 + ÅÅÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4 L = jj
6
k -1.5078962 {
226
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Iteración i = 8
i -0.92748662 yz
z
k1 = jj
k 0.82232890 {
i 41.959215 yz
z
k2 = jj
k -37.973475 {
i -0.020312488 yz
z
k3 = jj
k 0.016239007 {
i -0.96911505 yz
z
k4 = jj
k 0.85918874 {
1
i 16.021860 yz
z
P8 = P7 + ÅÅÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4 L = jj
6
k -13.880055 {
Tabla de datos.
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Pi
¥Pi - Pi-1 ∞¶
1.0000000
ij
yz
j
z
k 1.0000000 {
ij 0.97044332 yz
j
z
0.437962
k 0.56203813 {
1.1317782 y
jij
zz
0.445714
k 0.11632387 {
ij 1.5441207
yz
z
j
0.577255
-0.46093098
k
{
ij 2.5882426 yz
j
z
1.13206
k -1.5929921 {
ij 3.2842844 yz
j
z
0.725762
k -2.3187540 {
ij 2.9306647 yz
z
j
0.35362
k -2.0110491 {
2.3583257 y
jji
zz
0.572339
k -1.5078962 {
ij 16.021860 yz
j
z
13.6635
k -13.880055 {
La solución aproximada del sistema es:
i 16.021860 yz
z
P8 = jj
k -13.880055 {
Solución
c)
227
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Clear@ecuaciones, p, d, mD;
ecuaciones = 8 x1 2 − x2 2 + 2 x2 , 2 x1 − x2 2 − 6<;
p = 883.0<, 8−2.0<<;
m = 8;
continuacionhomotopia@ecuaciones, p, mD;
Método de Continuacion Homotopia para sistemas de
ecuaciones no lineales.
i x12 - x22 + 2 x2 zy i 0 y
zz = jj zz
fi Hx1 , x2 L = jjjj
z
2
-x
+
2
x
6
1
k 2
{ k0 {
ij x1H0L yz i 3. y
zz
P0 = jjj H0L zzz = jj
-2.
k
{
k x2 {
La matriz jacobiana es:
i 2 x1
J Hx1 , x2 L = jj
k2
2 - 2 x2
-2 x2
yz
z
{
Iteración i = 1
i -0.29166667 yz
z
k1 = jj
k 0.27083333 {
i -0.33886779 zy
z
k2 = jj
k 0.31581736 {
i -0.34807302 yz
z
k3 = jj
k 0.32467067 {
i -0.43764125 yz
z
k4 = jj
k 0.41045139 {
1
i 2.6494684 yz
z
P1 = P0 + ÅÅÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4 L = jj
6
k -1.6729565 {
Iteración i = 2
i -0.43921783 zy
z
k1 = jj
k 0.41197593 {
i -0.64545752 yz
z
k2 = jj
k 0.61041357 {
i -0.83155172 yz
z
k3 = jj
k 0.79075263 {
i 1.8880415 zy
z
k4 = jj
k -1.8567607 {
1
i 2.3986026 yz
z
P2 = P1 + ÅÅÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4 L = jj
6
k -1.4466986 {
228
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
....
......
Nota:Se han eliminado varias iteraciones.En la tabla final se pueden ver los resultados
Iteración i = 7
i 0.045269325 yz
z
k1 = jj
k -0.036327495 {
i 0.045423087 yz
z
k2 = jj
k -0.036417585 {
i 0.045423629 yz
z
k3 = jj
k -0.036417780 {
i 0.045579030 yz
z
k4 = jj
k -0.036508458 {
1
i -5.0552307 yz
z
P7 = P6 + ÅÅÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4 L = jj
6
k 5.5992770 {
Iteración i = 8
i 0.045579030 yz
z
k1 = jj
k -0.036508458 {
i 0.045736090 yz
z
k2 = jj
k -0.036599727 {
i 0.045736652 zy
z
k3 = jj
k -0.036599926 {
i 0.045895413 yz
z
k4 = jj
k -0.036691792 {
1
i -5.0094940 yz
z
P8 = P7 + ÅÅÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4 L = jj
6
k 5.5626771 {
Tabla de datos.
i
0
1
2
3
Pi
¥Pi - Pi-1 ∞¶
3.0000000
ij
yz
j
z
k -2.0000000 {
ij 2.6494684 yz
j
z
0.350532
k -1.6729565 {
2.3986026 y
jji
zz
0.250866
k -1.4466986 {
ij 1.2050556
yz
j
z
1.19355
-0.32396323
k
{
229
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
4
5
6
7
8
1.9623856 y
jij
zz
k -1.0674512 {
ij -5.1457715 yz
j
z
k 5.6719328 {
ij -5.1006543 yz
j
z
k 5.6356948 {
-5.0552307 y
jji
zz
k 5.5992770 {
ij -5.0094940 yz
j
z
k 5.5626771 {
0.75733
7.10816
0.0451172
0.0454236
0.0457367
La solución aproximada del sistema es:
i -5.0094940 yz
z
P8 = jj
k 5.5626771 {
à Problema 36. Sea el sistema no lineal de ecuaciones siguiente:
f1 Hx1 , x2 , x3 L = 3 x1 - cosHx2 x3 L - 1 ê 2 = 0,
f2 Hx1 , x2 , x3 L = 4 x21 - 625 x2+
2 2 x2 - 1 = 0,
f3 Hx1 , x2 , x3 L = eH-x1 x2 L + 20 x3 + H10 p - 3L ê 3 = 0.
Aplíquese el método de Continuación u Homotopía con la aproximación inicial
H0L H0L T
T
P0 = IxH0L
1 , x2 , x3 M = H1, 1, 1L y aplicando el método con n = 4 iteraciones.
Solución
Clear@ecuaciones, p, dD;
ecuaciones = 8 3 x1 − Cos@x2 ∗ x3 D − 1 ê 2,
4 x21 − 625 x22 + 2 x2 − 1, Exp@−x1 ∗ x2 D + 20 x3 + H10 Pi − 3L ê 3 <;
p = 881.0<, 81.0<, 81.0<<;
m = 4;
continuacionhomotopia@ecuaciones, p, mD;
Método de Continuacion Homotopia para sistemas de
ecuaciones no lineales.
ij -cosHx2 x3 L + 3 x1 - ÅÅÅÅ12Å
yz i 0 y
jj
zz jj zz
jj
zz jj zz
zz = jj 0 zz
fi Hx1 , x2 , x3 L = jjj 4 x12 - 625 x22 + 2 x2 - 1
zz jj zz
jj
zz
j
1
-x1 x2
0
20
x
+
‰
+
ÅÅÅÅ
Å
H-3
+
10
pL
3
k
{ k {
3
ij x1H0L yz i 1. y
jj
zz jj zz
j
z
P0 = jjjj x2H0L zzzz = jjjj 1. zzzz
jj
z j z
j H0L zz jk 1. z{
k x3 {
230
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
La matriz jacobiana es:
ij 3
j
J Hx1 , x2 , x3 L = jjjj 8 x1
jj -x x
k -‰ 1 2 x2
sinHx2 x3 L x3 sinHx2 x3 L x2
2 - 1250 x2 0
-‰-x1 x2 x1
20
Iteración i = 1
ij -0.023047325 yz
j
z
k1 = jjjj -0.12434646 zzzz
jj
zz
k -0.37570934 {
-0.057232431 y
jij
zz
j
j
k2 = jj -0.13283327 zzzz
jj
zz
k -0.37665824 {
ij -0.057923995 yz
j
z
k3 = jjjj -0.13343597 zzzz
jj
zz
k -0.37670686 {
ij -0.091811028 yz
j
z
k4 = jjjj -0.14399854 zzzz
jj
zz
k -0.37775486 {
0.94247147 y
jij
zz
1
j
j
P1 = P0 + ÅÅÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4 L = jj 0.86651942 zzzz
jj
zz
6
k 0.62330093 {
Iteración i = 2
-0.091815412 y
jij
zz
j
j
k1 = jj -0.14400626 zzzz
jj
zz
k -0.37775484 {
ij -0.12165758 yz
j
z
k2 = jjjj -0.15726512 zzzz
jj
zz
k -0.37882670 {
ij -0.12226079 yz
j
z
k3 = jjjj -0.15858062 zzzz
jj
zz
k -0.37889289 {
-0.14539514 y
jij
zz
j
j
k4 = jj -0.17663369 zzzz
jj
zz
k -0.37993097 {
ij 0.82163025 yz
j
z
1
P2 = P1 + ÅÅÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4 L = jjjj 0.70779751 zzzz
jj
zz
6
k 0.24444677 {
231
yz
zz
zz
zz
z
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Iteración i = 3
ij -0.14539799 yz
j
z
k1 = jjjj -0.17667092 zzzz
jj
zz
k -0.37993216 {
ij -0.16053067 yz
j
z
k2 = jjjj -0.20193739 zzzz
jj
zz
k -0.38087962 {
ij -0.16066141 yz
j
z
k3 = jjjj -0.20614071 zzzz
jj
zz
k -0.38097967 {
ij -0.16690218 yz
j
z
k4 = jjjj -0.24938372 zzzz
jj
zz
k -0.38191896 {
ij 0.66251619 yz
j
z
1
P3 = P2 + ÅÅÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4 L = jjjj 0.50076238 zzzz
j
zz
6
j
k -0.13648152 {
Iteración i = 4
-0.16688575 y
jij
zz
j
j
k1 = jj -0.24983376 zzzz
jj
zz
k -0.38193621 {
ij -0.16474080 yz
j
z
k2 = jjjj -0.33296470 zzzz
jj
zz
k -0.38324352 {
ij -0.16351017 yz
j
z
k3 = jjjj -0.37455541 zzzz
jj
zz
k -0.38419885 {
-0.15301950 y
jij
zz
j
j
k4 = jj -0.99905078 zzzz
jj
zz
k -0.39731006 {
ij 0.49978166 yz
j
z
1
P4 = P3 + ÅÅÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4 L = jjjj 0.056774915 zzzz
jj
zz
6
k -0.52217002 {
Tabla de datos.
i
0
Pi
1.0000000 y
jij
z
jj 1.0000000 zzz
jj
zz
jj
zz
1.0000000
k
{
¥Pi - Pi-1 ∞¶
232
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
1
2
3
4
0.94247147 y
jij
z
jj 0.86651942 zzz
jj
zz
jj
zz
0.62330093
k
{
0.82163025
jij
zy
jj 0.70779751 zzz
jj
zz
jj
zz
k 0.24444677 {
ij 0.66251619 yz
jj
z
jj 0.50076238 zzz
jj
zz
j
z
k -0.13648152 {
ij 0.49978166 yz
jj
z
jj 0.056774915 zzz
jj
zz
j
z
k -0.52217002 {
0.376699
0.378854
0.380928
0.443987
La solución aproximada del sistema es:
ij 0.49978166 yz
j
z
P4 = jjjj 0.056774915 zzzz
jj
zz
k -0.52217002 {
à Problema 37. Sea el sistema no lineal de ecuaciones siguiente:
f1 Hx1 , x2 L = 4 x1 2 - 20 x1 + 1 ê 4 x2 2 + 8 = 0,
f2 Hx1 , x2 L = 1 ê 2 x1 x22 + 2 x1 - 5 x2 + 8 = 0.
Aplíquese el método de Continuación u Homotopía con la aproximación inicial
H0L T
T
P0 = IxH0L
1 , x2 M = H1, 0L y aplicando el método con n = 6 iteraciones.
Solución
Clear@ecuaciones, p, dD;
ecuaciones = 8 4 x1 2 − 20 x1 + 1 ê 4 x2 2 + 8, 1 ê 2 x1 x22 + 2 x1 − 5 x2 + 8<;
p = 881.0<, 80.0<<;
m = 6;
continuacionhomotopia@ecuaciones, p, mD;
Método de Continuacion Homotopia para sistemas de
ecuaciones no lineales.
x2
ij 4 x12 - 20 x1 + ÅÅÅÅ
yz
ÅÅÅÅ + 8
zz ijj 0 yzz
jj
4
fi Hx1 , x2 L = jj
z=
j ÅÅÅÅ1Å x x 2 - 5 x + 2 x + 8 zz k 0 {
2
1
k 2 1 2
{
2
ij x1H0L yz i 1. y
P0 = jjj H0L zzz = jj zz
k x2 { k 0. {
233
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
La matriz jacobiana es:
x
ij 8 x1 - 20 ÅÅÅÅ22ÅÅ
j
j
J Hx1 , x2 L = jj x 2
2
x1 x2 - 5
k ÅÅÅÅ2ÅÅÅÅ + 2
yz
zz
zz
{
Iteración i = 1
i -0.11111111 yz
z
k1 = jj
k 0.28888889 {
i -0.10540694 yz
z
k2 = jj
k 0.29911158 {
i -0.10553749 yz
z
k3 = jj
k 0.29936470 {
i -0.10020766 yz
z
k4 = jj
k 0.30889480 {
1
i 0.89446539 yz
z
P1 = P0 + ÅÅÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4 L = jj
6
k 0.29912271 {
Iteración i = 2
i -0.10021091 zy
z
k1 = jj
k 0.30888086 {
i -0.095227914 yz
z
k2 = jj
k 0.31761021
{
i -0.095314666 yz
z
k3 = jj
k 0.31786191
{
-0.090604488
i
zzy
k4 = jj
k 0.32576730
{
1
i 0.79914863 zy
z
P2 = P1 + ÅÅÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4 L = jj
6
k 0.61672144 {
Iteración i = 3
i -0.090607837 yz
z
k1 = jj
k 0.32575365
{
i -0.086162938 yz
z
k2 = jj
k 0.33274159
{
i -0.086224208 yz
z
k3 = jj
k 0.33298636
{
i -0.082000914 zy
z
k4 = jj
k 0.33904890
{
1
i 0.71291813 yz
z
P3 = P2 + ÅÅÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4 L = jj
6
k 0.94943118 {
234
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Iteración i = 4
i -0.082004333 yz
z
k1 = jj
k 0.33903601
{
-0.078006147
i
yz
z
k2 = jj
k 0.34410677
{
i -0.078052511 yz
z
k3 = jj
k 0.34434574
{
i -0.074252618 zy
z
k4 = jj
k 0.34844406
{
1
i 0.63485575 yz
z
P4 = P3 + ÅÅÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4 L = jj
6
k 1.2934954 {
Iteración i = 5
i -0.074256025 zy
z
k1 = jj
k 0.34843225
{
i -0.070663231 yz
z
k2 = jj
k 0.35152371
{
i -0.070700697 yz
z
k3 = jj
k 0.35176085
{
-0.067296876
i
zzy
k4 = jj
k 0.35389356
{
1
i 0.56414229 zy
z
P5 = P4 + ÅÅÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4 L = jj
6
k 1.6449778 {
Iteración i = 6
i -0.067300177 yz
z
k1 = jj
k 0.35388294
{
i -0.064095682 yz
z
k2 = jj
k 0.35505169
{
i -0.064127458 zy
z
k3 = jj
k 0.35529045
{
i -0.061107990 zy
z
k4 = jj
k 0.35556504
{
1
i 0.49999988 yz
z
P6 = P5 + ÅÅÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4 L = jj
6
k 1.9999999 {
Tabla de datos.
i
0
1
Pi
¥Pi - Pi-1 ∞¶
1.0000000 y
jji
zz
k0
{
ij 0.89446539 yz
j
z
0.299123
k 0.29912271 {
235
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
2
3
4
5
6
0.79914863 y
jij
zz
k 0.61672144 {
ij 0.71291813 yz
j
z
k 0.94943118 {
ij 0.63485575 yz
j
z
k 1.2934954 {
0.56414229 y
jji
zz
k 1.6449778 {
ij 0.49999988 yz
j
z
k 1.9999999 {
0.317599
0.33271
0.344064
0.351482
0.355022
La solución aproximada del sistema es:
i 0.49999988 yz
z
P6 = jj
k 1.9999999 {
à Problema 38. Sea el sistema de ecuaciones no lineales siguiente.
f1 Hx1 , x2 L = senH4 p x1 x2 L - 2 x2 - x1 = 0,
f2 Hx1 , x2 L = HH4 p - 1L ê H4 pLL He2 x1 - eL + 4 e x22 - 2 e x1 = 0.
Aplíquese el método de la Continuación u Homotopía iniciando el método en el
H0L T
T
punto inicial P0 = IxH0L
1 , x2 M = H0, 0L realizando 4 iteraciones.
Solución
Clear@ecuaciones, p, m, dD;
ecuaciones = 8
Sin@4 ∗ Pi ∗ x1 ∗ x2 D − 2 x2 − x1 ,
HH4 Pi − 1L ê H4 PiLL HExp@2 x1 D − EL + 4 E Hx2 L2 − 2 E ∗ x1 <;
p = 880.0<, 80.0<<;
m = 4;
continuacionhomotopia@ecuaciones, p, mD;
Método de Continuacion Homotopia para sistemas de
ecuaciones no lineales.
ij sinH4 p x1 x2 L - x1 - 2 x2
yz i 0 y
z = jj zz
fi Hx1 , x2 L = jjj
z
H-‰+‰2 x1 L H-1+4 pL z
2
4
‰
x
2
‰
x
+
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
Å
1
2
k
{ k0 {
4p
ij x1H0L yz i 0. y
P0 = jjj H0L zzz = jj zz
k x2 { k 0. {
La matriz jacobiana es:
ij 4 p cosH4 p x1 x2 L x2 - 1 4 p cosH4 p x1 x2 L x1 - 2
J Hx1 , x2 L = jjj
‰2 x1 H-1+4 pL
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
8 ‰ x2
k -2 ‰ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
2p
236
yz
zz
z
{
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Iteración i = 1
i -0.10996031 yz
z
k1 = jj
k 0.054980154 {
i -0.10053454 yz
z
k2 = jj
k 0.024458033 {
i -0.10250307 yz
z
k3 = jj
k 0.032964556 {
i -0.097271662 zy
z
k4 = jj
k 0.017345574 {
1
i -0.10221787 yz
z
P1 = P0 + ÅÅÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4 L = jj
6
k 0.031195151 {
Iteración i = 2
i -0.097343701 zy
z
k1 = jj
k 0.018034131 {
i -0.094437044 yz
z
k2 = jj
k 0.012042947 {
i -0.094527591 yz
z
k3 = jj
k 0.013019181 {
i -0.092140623 zy
z
k4 = jj
k 0.0092541796 {
1
i -0.19678680 zy
z
P2 = P1 + ÅÅÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4 L = jj
6
k 0.044097246 {
Iteración i = 3
i -0.092137501 yz
z
k1 = jj
k 0.0092825391 {
i -0.090121763 yz
z
k2 = jj
k 0.0070812789 {
i -0.090147096 zy
z
k3 = jj
k 0.0073385003 {
i -0.088391533 zy
z
k4 = jj
k 0.0058151466 {
1
i -0.28696459 yz
z
P3 = P2 + ÅÅÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4 L = jj
6
k 0.051420120 {
Iteración i = 4
i -0.088390071 zy
z
k1 = jj
k 0.0058176348 {
i -0.086848148 zy
z
k2 = jj
k 0.0047996081 {
237
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
i -0.086864795 yz
z
k3 = jj
k 0.0048898916 {
i -0.085500431 zy
z
k4 = jj
k 0.0041479274 {
1
i -0.37385066 yz
z
P4 = P3 + ÅÅÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4 L = jj
6
k 0.056310880 {
Tabla de datos.
i
0
1
2
3
4
Pi
¥Pi - Pi-1 ∞¶
ij 0 yz
j z
k0 {
-0.10221787
ij
yz
j
z
0.102218
k 0.031195151 {
ij -0.19678680 yz
j
z 0.0945689
k 0.044097246 {
ij -0.28696459 yz
j
z 0.0901778
k 0.051420120 {
ij -0.37385066 yz
j
z 0.0868861
k 0.056310880 {
La solución aproximada del sistema es:
i -0.37385066 yz
z
P4 = jj
k 0.056310880 {
238
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
9. Interfaz de Usuario
9.1 Ventana inicial
La ventana inicial del programa realiza la creación del marco inicial donde se van a
alojar los botones, el gráfico, logo y los menús de ventana con los respectivos textos
relativos al nombre de aplicación y botón.
Función Principal
Función Menú
Creación del Marco
Botón
<<SuperWidgetFrame()>>
“Métodos”
Botón
Gráfico Inicial
g1 = Gráfico [ ]
Texto PFC
“Acerca de”
Botón
Logo ICAI
“Salir”
Creación de la ventana inicial de la aplicación.
Figura 3
Para el correcto funcionamiento de la aplicación es necesario incluir el paquete
SuperWidgetPackage que da soporte a las ventanas y marcos utilizados.
239
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
La pantalla inicial se presenta a continuación:
Pantalla inicial de la aplicación.
Figura 4
En el menú que se presenta se pueden pulsar tres botones; "Métodos", "Acerca de" y
"Salir" que están incluidos en la función Menú. Si se pulsa en cada uno de ellos se
desplegarán las opciones que cada uno tiene. Las opciones se muestran en el diagrama
siguiente:
Función Menú
Botón
Botón
“Métodos”
Pulsación
Botón
“Acerca de”
Botón
“Salir”
Pulsación
“Método del Punto Fijo”
Pulsación
menuMétodoPuntoFijo []
Botón
“Método de Seidel”
menuMétodoSeidel []
Creación Marco
Creación Marco
SuperWidgetFrame
[Panel, Texto]
SuperWidgetFrame
[Texto Salir]
Pulsación
Botón
“Método de Newton”
menuMétodoNewton []
Botón
Botón
“SI”
“Cancelar”
Botón
“Método de Cuasi Newton”
menuMétodoCausiNewton[]
Respuesta = 1
Cierra <Marco Pr>
Botón
“Método de Máxima Pendiente”
menuMétodoMaximaPendiente []
CloseFrame[marcopr]
Botón
“Método de Continuación u
Homotopia”
menuMétodoContinuacion[]
Creación del menú desplegable.
Figura 5
240
Pulsación
Return
<Marco Pr>
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
En cuanto al botón "Acerca de" crea un marco en el que se crea un panel con el texto
relativo al proyecto, aparecen la Universidad, Especialidad, tipo de trabajo, autor y director
del mismo.
El botón Salir da a elegir mostrando dos botones. Con el botón "Sí" se cierra el
marco principal y se para la ejecución del programa. Con el boton "Cancelar" regresamos al
marco principal.
Las ventanas resultantes se muestran a continuación:
Figura 6
Ventanas Acerca de.
Ventana Salir de la aplicación.
Figura 7
Por último, el botón "Métodos" al ser pulsado despliega varias opciones de
ejecución, de las que podemos seleccionar una cada vez.
241
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Los métodos que pueden usarse en esta aplicación se muestran en detalle a
continuación:
Opciones de los Métodos de resolución.
Figura 8
Los métodos son:
- Método del Punto Fijo.
- Método de Seidel.
- Método de Newton.
- Método de Cuasi - Newton
- Método de la Máxima Pendiente
- Método de Continuación u Homotopía.
242
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
9.2 Ventana Método del Punto Fijo
Al pulsar el botón "Método del Punto Fijo" se llama a la función
menuMétodoPuntoFijo() que inicializa las variables globales con la función inicializar() y a
continuación crea el marco respectivo del método.
Dentro del marco se tienen varios elementos que lo constituyen. Primero el texto que
indica el formato de los datos que debe introducir el usuario. En segundo lugar, una serie de
cajas de captura de datos, según el tipo. En este caso, "Ecuaciones" tipo texto, en esta caja
se deben introducir las ecuaciones que forman el sistema a resolver, "Ecuaciones
transformadas" de tipo texto, y en ella se deben introducir las ecuaciones tranformadas para
que puedan ser utilizadas por el método, "Punto Inicial" de tipo texto, es el punto inicial a
partir del cual se va a comenzar a iterar, "Error" de tipo real, en esta caja se debe introducir
el error mínimo que se quiere alcanzar para obtner la solución aproximada. En tercer lugar,
se crean dos botones, uno es el botón "Cancelar" que si es pulsado devuelve a la ventana
inicial del programa y el otro que es el botón "Realizar". Al ser pulsado por el usuario el
programa recoge los datos introducidos en las cajas de parámetros (el usuario previamente
los ha debido introducir) y se envían a la función del método del Punto Fijo, para que los
datos introducidos por el usario puedan ser utlizados por esta función es necesario realizar
una tranformación de los datos de entrada al tipo de datos que son admitidos por la función.
Todo esto se realiza a la vez que se llama a la función PuntoFijo(). Por último, aparece el
texto que indica que se va a mostrar la solución del sistema de ecuaciones no lineales y una
caja de texto en la que una vez que se ha calculado la solución se muestran los resultados.
Con la función PuntoFijo() se calcula la solución aproximada del sistema de
243
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
ecuaciones no lineales introducido por el usuario. Del mismo modo esta función devuelve al
marco los elementos resultantes de dicha llamada, r que contiene el valor de la
aproximación a la solución.
Botón
Texto Formato Integral
“Método del Punto Fijo”
Image_Expression
menuMetodoPuntoFijo[ ]
Inicializar[variables globles]
Box
Resp = 1
f1
String
Creación Marco
<<superWidgetFrame[ ]>>
Box
f2
Return <r>
String
Botón
Botón
“Realizar”
“Cancelar”
Pulsación
Resp = 1
Box
p
String
Pulsación
Return <Marco Pr>
Box
h
Real
r = metodoPuntoFijo[ param]
Diagrama con el método Punto Fijo.
Figura 9
Las ventanas se muestra a continuación. Se puede ver que el evento que se produce
al pulsar el botón "Realizar" lanza la llamada a la función imprimiendo los resultados.
244
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Ventanas para calcular la solución del sistema con el Método del Punto Fijo.
Figura 10
9.3 Ventana Método de Seidel
Al pulsar el botón "Método de Seidel" se llama a la función menuMétodoSeidel()
que inicializa las variables globales con la función inicializar() y a continuación crea el
marco respectivo del método.
Dentro del marco se tienen varios elementos que lo constituyen. Primero el texto que
indica el formato de los datos que debe introducir el usuario. En segundo lugar, una serie de
cajas de captura de datos, según el tipo. En este caso, "Ecuaciones" tipo texto, en esta caja
se deben introducir las ecuaciones que forman el sistema a resolver, "Ecuaciones
transformadas" de tipo texto, y en ella se deben introducir las ecuaciones tranformadas para
que puedan ser utilizadas por el método, "Punto Inicial" de tipo texto, es el punto inicial a
partir del cual se va a comenzar a iterar, "Error" de tipo real, en esta caja se debe introducir
el error mínimo que se quiere alcanzar para obtner la solución aproximada. En tercer lugar,
se crean dos botones, uno es el botón "Cancelar" que si es pulsado devuelve a la ventana
inicial del programa y el otro que es el botón "Realizar". Al ser pulsado por el usuario el
245
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
programa recoge los datos introducidos en las cajas de parámetros (el usuario previamente
los ha debido introducir) y se envían a la función del método de Seidel, para que los datos
introducidos por el usario puedan ser utlizados por esta función es necesario realizar una
tranformación de los datos de entrada al tipo de datos que son admitidos por la función.
Todo esto se realiza a la vez que se llama a la función Seidel(). Por último, aparece el texto
que indica que se va a mostrar la solución del sistema de ecuaciones no lineales y una caja
de texto en la que una vez que se ha calculado la solución se muestran los resultados.
Con la función Seidel() se calcula la solución aproximada del sistema de ecuaciones
no lineales introducido por el usuario. Del mismo modo esta función devuelve al marco los
elementos resultantes de dicha llamada, r que contiene el valor de la aproximación a la
solución.
Botón
Texto Formato Integral
“Método de Seidel”
Image_Expression
menuMetodo Seidel[ ]
Inicializar[variables globles]
Box
Resp = 1
f1
String
Creación Marco
<<superWidgetFrame[ ]>>
Box
f2
Return <r>
String
Botón
Botón
“Realizar”
“Cancelar”
Pulsación
Resp = 1
Box
p
String
Pulsación
Return <Marco Pr>
Box
h
Real
r = metodoSeidel[ param]
Diagrama con el método de Seidel.
Figura 11
Las ventanas se muestra a continuación. Se puede ver que el evento que se produce
al pulsar el botón "Realizar" lanza la llamada a la función imprimiendo los resultados.
246
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Ventanas para calcular la solución del sistema con el Método de Seidel.
Figura 12
9.4 Ventana Método de Newton
Al pulsar el botón "Método de Newton" se llama a la función menuMétodoNewton()
que inicializa las variables globales con la función inicializar() y a continuación crea el
marco respectivo del método.
Dentro del marco se tienen varios elementos que lo constituyen. Primero, el texto
que indica el formato de los datos que debe introducir el usuario. En segundo lugar, una
serie de cajas de captura de datos, según el tipo. En este caso, "Ecuaciones" tipo texto, en
247
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
esta caja se deben introducir las ecuaciones que forman el sistema a resolver, "Punto
Inicial" de tipo texto, es el punto inicial a partir del cual se va a comenzar a iterar, "Número
Maximo Interaciones" de tipo texto y en la que se debe introducir el número máximo de
iteraciones que se quieren realizar, "Error" de tipo real, en esta caja se debe introducir el
error mínimo que se quiere alcanzar para obtner la solución aproximada. En tercer lugar, se
crean dos botones, uno es el botón "Cancelar" que si es pulsado devuelve a la ventana
inicial del programa y el otro que es el botón "Realizar". Al ser pulsado por el usuario el
programa recoge los datos introducidos en las cajas de parámetros (el usuario previamente
los ha debido introducir) y se envían a la función del método de Newton, para que los datos
introducidos por el usario puedan ser utlizados por esta función es necesario realizar una
tranformación de los datos de entrada al tipo de datos que son admitidos por la función.
Todo esto se realiza a la vez que se llama a la función Newton(). Por último, aparece el texto
que indica que se va a mostrar la solución del sistema de ecuaciones no lineales y una caja
de texto en la que una vez que se ha calculado la solución se muestran los resultados.
Con la función Newton() se calcula la solución aproximada del sistema de
ecuaciones no lineales introducido por el usuario. Del mismo modo esta función devuelve al
marco los elementos resultantes de dicha llamada, r que contiene el valor de la
aproximación a la solución.
248
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Botón
Texto Formato Integral
“Método de Newton”
Image_Expression
menuMetodoNewton[ ]
Inicializar[variables globles]
Box
Resp = 1
f1
String
Creación Marco
<<superWidgetFrame[ ]>>
Box
p
Return <r>
String
Botón
Botón
“Realizar”
“Cancelar”
Pulsación
Resp = 1
Box
b
String
Pulsación
Return <Marco Pr>
Box
h
Real
r = metodoNewton[ param]
Diagrama con el método de Newton.
Figura 13
Las ventanas se muestra a continuación. Se puede ver que el evento que se produce
al pulsar el botón "Realizar" lanza la llamada a la función imprimiendo los resultados.
249
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Ventanas para calcular la solución del sistema con el Método de Newton.
Figura 14
9.5 Ventana Método de Cuasi - Newton
Al pulsar el botón "Método de Cuasi - Newton" se llama a la función
menuMétodoCuasiNewton() que inicializa las variables globales con la función inicializar()
y a continuación crea el marco respectivo del método.
Dentro del marco se tienen varios elementos que lo constituyen. Primero, el texto
que indica el formato de los datos que debe introducir el usuario. En segundo lugar, una
serie de cajas de captura de datos, según el tipo. En este caso, "Ecuaciones" tipo texto, en
esta caja se deben introducir las ecuaciones que forman el sistema a resolver, "Punto
Inicial" de tipo texto, es el punto inicial a partir del cual se va a comenzar a iterar, "Número
Máximo de Iteraciones" de tipo texto, y en ella se debe introducir el número máximo de
iteraciones que se desea que realice el método, "Error" de tipo real, en esta caja se debe
introducir el error mínimo que se quiere alcanzar para obtner la solución aproximada.
En tercer lugar, se crean dos botones, uno es el botón "Cancelar" que si es pulsado devuelve
250
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
a la ventana inicial del programa y el otro que es el botón "Realizar". Al ser pulsado por el
usuario el programa recoge los datos introducidos en las cajas de parámetros (el usuario
previamente los ha debido introducir) y se envían a la función del método de Cuasi Newton, para que los datos introducidos por el usario puedan ser utlizados por esta función
es necesario realizar una tranformación de los datos de entrada al tipo de datos que son
admitidos por la función. Todo esto se realiza a la vez que se llama a la función Cuasi Newton(). Por último, aparece el texto que indica que se va a mostrar la solución del sistema
de ecuaciones no lineales y una caja de texto en la que una vez que se ha calculado la
solución se muestran los resultados.
Con la función CausiNewton() se calcula la solución aproximada del sistema de
ecuaciones no lineales introducido por el usuario. Del mismo modo esta función devuelve al
marco los elementos resultantes de dicha llamada, r que contiene el valor de la
aproximación a la solución.
Botón
Texto Formato Integral
“Método de Cuasi -Newton”
Image_Expression
menuMetodoCuasiNewton[ ]
Inicializar[variables globles]
Box
Resp = 1
f1
String
Creación Marco
<<superWidgetFrame[ ]>>
Box
p
Return <r>
String
Botón
Botón
“Realizar”
“Cancelar”
Pulsación
Resp = 1
Box
b
String
Pulsación
Return <Marco Pr>
Box
Real
r = metodoCuasiNewton[ param]
Diagrama con el método de Cuasi - Newton.
Figura 15
251
h
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Las ventanas se muestra a continuación. Se puede ver que el evento que se produce
al pulsar el botón "Realizar" lanza la llamada a la función imprimiendo los resultados.
Ventanas para calcular la solución del sistema con el Método de Cuasi - Newton.
Figura 16
9.6 Ventana Método de la Máxima Pendiente
Al pulsar el botón "Método de la Máxima Pendiente" se llama a la función
menuMétodoMaximaPendiente() que inicializa las variables globales con la función
inicializar() y a continuación crea el marco respectivo del método.
252
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Dentro del marco se tienen varios elementos que lo constituyen. Primero, el texto
que indica el formato de los datos que debe introducir el usuario. En segundo lugar, una
serie de cajas de captura de datos, según el tipo. En este caso, "Ecuaciones" tipo texto, en
esta caja se deben introducir las ecuaciones que forman el sistema a resolver, "Punto
Inicial" de tipo texto, es el punto inicial a partir del cual se va a comenzar a iterar, "Número
Máximo de Iteraciones" de tipo texto, y en ella se debe introducir el número máximo de
iteraciones que se desea que realice el método, "Error" de tipo real, en esta caja se debe
introducir el error mínimo que se quiere alcanzar para obtner la solución aproximada.
En tercer lugar, se crean dos botones, uno es el botón "Cancelar" que si es pulsado devuelve
a la ventana inicial del programa y el otro que es el botón "Realizar". Al ser pulsado por el
usuario el programa recoge los datos introducidos en las cajas de parámetros (el usuario
previamente los ha debido introducir) y se envían a la función del método de la Máxima
Pendiente, para que los datos introducidos por el usario puedan ser utlizados por esta
función es necesario realizar una tranformación de los datos de entrada al tipo de datos que
son admitidos por la función. Todo esto se realiza a la vez que se llama a la función
MaximaPendiente(). Por último, aparece el texto que indica que se va a mostrar la solución
del sistema de ecuaciones no lineales y una caja de texto en la que una vez que se ha
calculado la solución se muestran los resultados.
Con la función MaximaPendiente() se calcula la solución aproximada del sistema de
ecuaciones no lineales introducido por el usuario. Del mismo modo esta función devuelve al
marco los elementos resultantes de dicha llamada, r que contiene el valor de la
aproximación a la solución.
253
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Botón
“Método de la Máxima Pendiente ”
Texto Formato Integral
Image_Expression
menuMetodoMaximaPendiente[ ]
Inicializar[variables globles]
Box
Resp = 1
f1
String
Creación Marco
<<superWidgetFrame[ ]>>
Box
p
Return <r>
String
Botón
Botón
“Realizar”
“Cancelar”
Pulsación
Resp = 1
Box
b
String
Pulsación
Return <Marco Pr>
Box
h
Real
r = metodoMaximaPendiente[ param]
Diagrama con el método de la Máxima Pendiente.
Figura 17
Las ventanas se muestra a continuación. Se puede ver que el evento que se produce
al pulsar el botón "Realizar" lanza la llamada a la función imprimiendo los resultados.
254
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Ventanas para calcular la solución del sistema con el Método de la Máxima Pendiente.
Figura 18
9.7 Ventana Método de Continuación u Homotopía
Al pulsar el botón "Método de Continuación u Homotopía" se llama a la función
menuMétodoConotinuacion() que inicializa las variables globales con la función
inicializar() y a continuación crea el marco respectivo del método.
Dentro del marco se tienen varios elementos que lo constituyen. Primero, el texto
que indica el formato de los datos que debe introducir el usuario. En segundo lugar, una
serie de cajas de captura de datos, según el tipo. En este caso, "Ecuaciones" tipo texto, en
esta caja se deben introducir las ecuaciones que forman el sistema a resolver, "Punto
Inicial" de tipo texto, es el punto inicial a partir del cual se va a comenzar a iterar, "Número
Máximo de Iteraciones" de tipo texto, y en ella se debe introducir el número máximo de
iteraciones que se desea que realice el método. En tercer lugar, se crean dos botones, uno es
el botón "Cancelar" que si es pulsado devuelve a la ventana inicial del programa y el otro
que es el botón "Realizar". Al ser pulsado por el usuario el programa recoge los datos
255
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
introducidos en las cajas de parámetros (el usuario previamente los ha debido introducir) y
se envían a la función del método de Continuación u Homotopía, para que los datos
introducidos por el usario puedan ser utlizados por esta función es necesario realizar una
tranformación de los datos de entrada al tipo de datos que son admitidos por la función.
Todo esto se realiza a la vez que se llama a la función Continuacion(). Por último, aparece el
texto que indica que se va a mostrar la solución del sistema de ecuaciones no lineales y una
caja de texto en la que una vez que se ha calculado la solución se muestran los resultados.
Con la función Continuacion() se calcula la solución aproximada del sistema de
ecuaciones no lineales introducido por el usuario. Del mismo modo esta función devuelve al
marco los elementos resultantes de dicha llamada, r que contiene el valor de la
aproximación a la solución.
Botón
Texto Formato Integral
“Método de Continuación”
Image_Expression
menuMetodoContinuacion[ ]
Inicializar[variables globles]
Box
f1
String
Creación Marco
<<superWidgetFrame[ ]>>
Box
p
Return <r>
String
Botón
Botón
“Realizar”
“Cancelar”
Pulsación
Resp = 1
Box
b
String
Pulsación
Return <Marco Pr>
r = metodoContinuacion[ param]
Diagrama con el método Continuación u Homotopía.
Figura 19
Las ventanas se muestra a continuación. Se puede ver que el evento que se produce
al pulsar el botón "Realizar" lanza la llamada a la función imprimiendo los resultados.
256
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Ventanas para calcular la solución del sistema con el Método Continuación u Homotopía.
Figura 20
257
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
10. Metodología
En este apartado se va a desarrollar un Plan de Gestión del Proyecto, documento de
control para gestionar un proyecto informático, donde se definen todos los procesos
necesarios para desarrollar los productos objeto del proyecto. Es independiente del tipo de
proyecto, tamaño, importancia, complejidad y tecnología. Su contenido abarca aspectos de
formato y de contenido. El contenido del Plan de Gestión del Proyecto son: EDT, fichas
detalladas y planificación.
1.
EDT: estructura de división del trabajo. es la descomposición del proyecto en un
conjunto de tareas manejables. Da una visión detallada del alcance del proyecto, permite
hacer estimaciones de tiempo y coste más cercanas a la realidad, permite monitorizar el
progreso del proyecto con mayor facilidad y permite hacer asignaciones más claras de
trabajo a los miembros del equipo. Tiene una estructura jerárquica, con un nodo raíz que
representa el proyecto. De él cuelgan actividades; estas actividades son tareas desarrolladas
durante un periodo de tiempo predefinido dentro del plan de trabajo del proyecto. Las
actividades pueden descomponerse en sub - actividades creando una estructura jerárquica.
Las actividades de último nivel suelen denominarse Tareas. A medida que se desciende en
el árbol, aumenta el detalle de la tarea.
Hay dos tipos de tareas:
Tareas resumen: son simplemente un resumen que da una visión de más alto nivel.
Estas tareas resumen pueden descomponerse en más tareas, según el nivel de detalle.
258
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Paquetes de trabajo: especificación del trabajo que debe ser realizado en una tarea,
debe tener un identificador y un nombre, se suelen especificar precondiciones para su
ejecución y productos generado. Es lo que realmente se ejecuta, no se descomponen más.
A continuación, se muestra el EDT del proyecto.
EDT del proyecto.
Figura 21
259
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Para la realización de este proyecto no se ha considerado oportuno seguir una
metodología de trabajo tradicional con las fases identificación de necesidades, análisis de
requisitos, estudio de la arquitectura, diseño interno, diseño externo, etc. Sino que se ha
optado por desarrollar una metodología que se ajuste mejor a la naturaleza del proyecto.
2.
Fichas detalladas. En este apartado se detallan las actividades que se van a realizar
en cada tarea, las entradas necesario para realizar la tarea, las salidas que produce la tarea y
el responsable de la tarea junto con su duración.
Detalle del paquete de trabajo "Lanzamiento".
Figura 22
260
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Detalle del paquete de trabajo "Gestión del Proyecto".
Figura 23
Detalle del paquete de trabajo "Documentación de cada Método
Numérico".
Figura 24
261
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Detalle del paquete de trabajo "Estudio de los métodos y desarrollo de
pseudocódigo".
Figura 25
Detalle del paquete de trabajo "Programación".
Figura 26
262
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Detalle del paquete de trabajo "Recopilación de problemas".
Figura 27
Detalle del paquete de trabajo " Ejecución de problemas".
Figura 28
263
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Detalle del paquete de trabajo " Entorno Gráfico"
Figura 29
Detalle del paquete de trabajo "Comparativa y documentación".
Figura 30
264
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Detalle del paquete de trabajo " Cierre".
Figura 31
3.
Planificación: Para relaizar la planificación del proyecto se ha utilizadao una
técnica PERT que permite calcular información importante sobre cada tarea para el
seguimiento y control. Para cada paquete de trabajo se establece el inicio y fin más
temprano de esa tarea, y el inicio y fin más tardío de la tarea. Antes se debe calcular la
duración de los paquetes de trabajo. Permite conocer el camino crítico, es decir, las tareas en
las que si se sufre retraso se retrasaría la fecha de finalización del proyecto.
Se realiza una estimación de las horas / hombre que va a dedicar cada participante en
el desarrollo del proyecto a cada paquete de trabajo, especificando además las semanas
totales que va a durar cada tarea.
265
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Tabla estimación horas de trabajo según paquete de trabajo.
Figura 32
266
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Una vez que se ha calculado una estimación de las horas que se van a dedicar a cada
tarea es necesario calcular el orden en que se van a ejecutar las tareas, para ello se crea una
tabla en la que por cada tarea se establecen sus predecesoras, es decir, las tareas que deben
estar terminadas para poder ejecutar las siguientes.
Orden de ejecución de los paquetes de trabajo.
Figura 33
Una vez calculadas las horas estimadas que se van a dedicar a cada paquete de
trabajo y el orden en que se deben ejecutar las tareas podemos realizar el diagrama PERT y
calcular el camino crítico.
267
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Diagrama de planificación PERT.
Figura 34
268
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
En el siguiente diagrama de Gantt de actividades se muestran los hitos y tareas más
significativos para el desarrollo y ejecución de este Proyecto Fin de Carrera. El 26 de
Octubre de 2005 comienza el Proyecto y finaliza el 31 de Julio de 2006.
Diagrama de Gantt
Figura 35
269
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
11. Valoración económica
11.1. Introducción
En este apartado se detalla la valoración económica o análisis de costes de cada una
de las tareas/actividades que comprende la realización y puesta en funcionamiento del
presente Proyecto.
El Proyecto se ha descompuesto en actividades y tareas, indicadas en la valoración
económica como ítems.
11.2. Técnicas de estimación de costes
Los costes de las diferentes partidas o ítems que componen el Proyecto se detallan a
continuación.
1.
Especificaciones y Desarrollo Software
En cada una de las fases en que se ha dividido la ejecución del Proyecto,
Especificación, Desarrollo, Integración y Pruebas, y Formación, se reseñan los costes
directos expresados en mese/hombre necesarios para acometer cada una de las fases,
indicándose la categoría: Jefe de Proyecto, Analista, Programador, etc.
2.
Instalación, Pruebas e Integración del Software
En este apartado se recogen los costes directos de las actividades de integración y las
pruebas del software en el entorno de desarrollo y en el de explotación, incluidos los gastos
adicionales, tales como los desplazamientos y las dietas.
270
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
3.
Equipamiento y Licencias Software
Costes de todo el equipamiento e infraestructura (PC,s, impresoras, RAL,
comunicaciones), si fuera necesario. Así mismo, se especifican las licencias necesarias para
el entorno de explotación.
4.
Apoyo logístico (Formación)
En este concepto se ampara la formación a impartir a los posibles operadores y
administradores del sistema a implantar. Se incluye en la formación la entrega de toda la
documentación necesaria para el curso de formación.
5.
Incrementos e IVA
Se parte de la suma de las partidas (1), (2), (3), y (4) formando el Coste Directo del
Proyecto. A este Coste Directo se le aplican los Gastos Generales H13 %L y el Beneficio
Industrial H6 %L. La suma de los conceptos de Coste Directo, Gastos Generales y Beneficio
Industrial constituyen el Total Importe sin IVA.
A este importe se le sumarán los impuestos correspondientes como IVA H16 %L, para
la Península y Baleares, IGIC H5 %L para las islas Canarias o IPSI H0 %L para Ceuta y
Melilla.
Total Proyecto
La suma del Total Importe sin IVA más la partida de
Incrementos e IVA
determinan el importe total del desarrollo, implantación y puesta en servicio del Proyecto.
271
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
11.3. Costes del Proyecto
El importe total del Proyecto asciende a 21.245, 98 Euros (VEINTIÚN MIL
DOSCIENTOS CUARENTA Y CINCO EUROS CON NOVENTA Y OCHO
CÉNTIMOS), impuestos incluidos.
El
detalle
de cada
una de
las partidas
se expresa en
Resolución numérica de sistemas de ecuaciones no lineales
Ítem
1
Concepto
P.1.1.2
P.1
Empresa
Unidad
(Meses/
Hombre)
Desarrollo Inf.
Desarrollo Inf.
0,04
0,25
7.847,53
5.762,31
274,66
1.440,58
Desarrollo Inf.
Desarrollo Inf.
0,04
0,25
7.847,53
5.762,31
274,66
1.440,58
Desarrollo Inf.
Desarrollo Inf.
0,11
0,75
7.847,53
5.762,31
863,23
4.321,73
Coste
Unitario €
Coste Total
€
Total por
partidas €
Especificaciones y Desarrollo Software
a) Especificaciones
Especificación de Requisitos y Análisis Funcional
Jefe de Proyecto
Analista/Programador
Plan de pruebas
Jefe de Proyecto
Analista/Programador
P.1.1.1
la siguiente tabla.
b) Desarrollo software
Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones
no lineales.
Método del Punto Fijo.
Método de Seidel.
Método de Newton.
Método de Cuasi -Newton.
Método de la Máxima Pendiente.
Método de Continuación u Homotopia.
Jefe de Proyecto
Analista/Programador
P.1.1.3
Subtotal 1
2
P.1.2.1
Instalación, Pruebas e Integración del Software
Pruebas de integración en fábrica
(Entorno de Desarrollo)
Jefe de Proyecto
Analista/Programador
Desarrollo Inf.
Desarrollo Inf.
0,01
0,10
7.847,53
5.762,31
109,87
576,23
P.1.2.2
Instalación y pruebas de aceptación en las
instalaciones del cliente
(Entorno de Explotación)
Jefe de Proyecto
Analista/Programador
Desarrollo Inf.
Desarrollo Inf.
0,01
0,10
7.847,53
5.762,31
109,87
576,23
Subtotal 2
3
P.1.3.1
P.1.3.2
AddLink Sw.
Científico
DigiBuy
1
1
1.419,64
75,99
1.419,64
75,99
Subtotal 3
Desarrollo Inf.
1
3.907,91
3.907,91
Subtotal 4
TOTAL COSTE DIRECTO
5
P.1.5.1
P.1.5.2
1.495,63
Apoyo Logístico (Formación)
Formación Aplicación Software y documentación
(Curso de 6 horas a 8 personas)
P.1.4.1
1.372,19
Equipamiento y Licencias
Licencia de Mathematica V. 5.2 para Windows
Licencia de Mathematica for Active X
4
8.615,44
Incrementos e IVA
Gastos Generales
Beneficio Industrial
Desarrollo Inf.
Desarrollo Inf.
13%
6%
15.391,18
15.391,18
16%
18.315,50
18.315,50
2.930,48
TOTAL PROYECTO (EUROS)
272
15.391,18
2.000,85
923,47
TOTAL IMPORTE SIN IVA
IVA (Península y Baleares)
3.907,91
21.245,98
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
12. Conclusiones
A lo largo de este proyecto, se han estudiado diferentes métodos numéricos para
aproximar una solución a un sistema de ecuaciones no lineales mediante seis métodos de
resolución diferentes.
Se han diseñado y codificado los algoritmos empleados para resolver sistemas de
ecuaciones no lineales en el lenguaje simbólico y numérico del paquete Mathematica®. En
cada método numérico estudiado se ha indicado su desarrollo, mostrando los cálculos
necesarios para ello, se han visualizado los resultados en forma de tabla y, cuando se ha
creído necesario, se han mostrado a la par distintos algoritmos empleados con un mismo
sistema de ecuaciones para comparar las ventajas del uso de un algoritmo u otro en la
resolución de un mismo problema en lo que se refiere a eficiencia y exactitud.
Por consiguiente, tras hacer un amplio recorrido por las bases matemáticas
empleadas y por las características de las mismas, y tras haber analizado y programado los
algoritmos empleados para resolver el problema tratado, se pueden establecer las
conclusiones teóricas y prácticas siguientes:
1.
La resolución de sistemas de ecuaciones no lineales consiste en, dado un punto
inicial aproximar ese punto iterativamente al punto solución del sistema de ecuaciones no
lineales.
2.
El método de Newton para sistemas requiere una buena aproximación inicial
Hx1 H0L , x2 H0L , ..., xn H0L L y genera una sucesión
273
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
xHkL = xHk-1L - J HxHk-1L L
-1
F HxHk-1L L,
que converge rápidamente, generalmente de forma cuadrática, en una solución p si xH0L está
suficientemente cerca de p. Sin embargo, no siempre es fácil determinar valores iniciales a
partir de los que se obtenga una solución y, además, el método de Newton requiere evaluar o
aproximar n2 derivadas parciales para calcular la matriz jacobiana, n operaciones escalares
para evaluar F y resolver un sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas en cada paso, lo
que conlleva del orden de O Hn3 L operaciones, por lo que es un método computacionalmente
muy costoso. En este método los errores de redondeo se van corriguiendo en las sucesivas
iteraciones, es un método autocorrector.
3.
El método del Punto Fijo y de Seidel, convergen de forma cuadrática a la solución
para cualquier punto inicial. En cambio es necesario realizar una transformación del sistema
de ecuaciones, despejando en cada ecuación una de las variables para resolver
algebraicamente cada una de las ecuaciones para cada una de las variables. Sin embargo,
esta técnica rara vez tiene éxito ya que es dificil encontrar la transformación adecuada entre
todas las posibles transformaciones existentes. El método de Seidel acelera, generalmente la
convergencia de la iteración del método del Punto Fijo utilizando las aproximaciones más
recientes a la solución en cada iteración para calcular la nueva aproximación.
4.
El método Cuasi-Newton reduce la cantidad de cálculos en cada iteración que es
necesario realizar en el método de Newton, sin disminuir significativamente la velocidad de
convergencia que tiene este método. Se pasa de la convergencia cuadrática del método de
Newton a una convergencia superlineal. En este método se reemplaza la matriz jacobiana J
por una matriz Ak-1 cuya inversa se determina directamente en cada paso. Esto reduce el
274
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
orden del número de operaciones aritméticas de O Hn3 L a O Hn2 L. Además, las únicas
evaluaciones funcionales escalares que se requieren son al evaluar fi , lo que permite ahorrar
n2 evaluaciones de funciones escalares en cada iteración, siendo solo necesario n
evaluaciones de funciones escalares. En el método Cuasi-Newton también es necesario
disponer de una buena aproximación incial para asegurar la convergencia del método. Otra
desventaja de este método es que, a diferencia del método de Newton, no es autocorrector; y
las soluciones aproximadas que resultan en cada iteración son menos exactas que en el
método de Newton.
5.
El método de la Máxima Pendiente se presenta como una forma de obtener buenas
aproximaciones iniciales para los métodos de Newton y de Cuasi-Newton. Aunque el
método de la Máxima Pendiente no proporciona una sucesión que converge rápidamente,
solo converge de manera lineal, es un método de naturaleza global, es decir, no requiere una
buena aproximación inicial para que se produzca la convergencia. Necesita un gran número
de pasos cuando se parte de puntos lejanos a la solución y tiende a oscilar alrededor de ésta.
Cada paso supone un movimiento en la dirección del gradiente con sentido negativo, lo que
implica moverse en la dirección en que el error decrece con mayor rapidez. Con el método
de la Máxima Pendiente se aproxima un mínimo local de una función g de varias variables
que, para aplicarlo, se toma
g Hx1 , x2 , ..., xn L = ⁄ni = 1 @ fi Hx1 , x2 , ..., xn LD2 .
El valor mínimo de g es cero, que se alcanza cuando todas las funciones fi son
simultáneamente cero.
6.
Los métodos de Continuación y Homotopía también se pueden usar para resolver
275
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
sistemas de ecuaciones no lineales, y son objeto de investigación en la actualidad. En estos
métodos, el problema dado es FHxL = 0.
Está integrado en una familia de problemas de un parámetro que emplean un
parámetro l que toma valores en @0, 1D. El problema original corresponde a l = 1, mientras
que para l = 0 le corresponde un problema cuya solución es conocida. Por ejemplo, el
conjunto de problemas
G Hl, xL = l F HxL + H1 - lL H F HxL - F Hx0 LL = 0, para 0 § l § 1,
donde x0 œ n viene dado, forma una homotopía. Para l = 0 la solución es
xHl = 0L = x0 , mientras que la solución del problema original corresponde a xHl = 1L. En
un método de continuación se intenta determinar xHl = 1L resolviendo una secuencia de
problemas correspondiente a l0 = 0 l1 l2 ... ln = 1. La aproximación incial de la
solución de
li FHxL + H1 - li L H F H xL - F Hx0 LL = 0
sería la solución xH l = li-1 L del problema
li-1 FHxL + H1 - li-1 L H F H xL - F Hx0 LL = 0.
Con este método es necesario realizar 4 N inversiones matriciales en cada iteración,
en cambio, en el método de Newton solo es necesario invertir una matriz en cada iteración,
por lo que el trabajo que conlleva el método de Continuación equivale, aproximadamente, a
4 N iteraciones del método de Newton. El método de Continuación puede usarse per se, sin
que haga falta disponer de una elección particularmente buena de xH0L. Sin embargo, este
276
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
método también puede emplearse para obtener aproximaciones iniciales para los métodos de
Newton y Cuasi-Newton.
7.
El método de Newton se recomienda para sistemas de ecuaciones no lineales que
tengan valores relativamente bajos de n y funciones escalares que se puedan evaluar
facilmente, además será necesario disponer de un punto inicial suficientemente bueno para
asegurar la convergencia. El método Cuasi-Newton es adecuado cuando se dispone de un
punto inicial suficientemente bueno para asegurar la convergencia, en cambio, no es
necesario que el sistema de ecuaciones tenga pocas variables o sus funciones escalares sean
de facil evaluación.
Los métodos de la Máxima Pendiente y de Continuación u Homotopía se
recomiendan cuando no se dispone de una buena aproximación del punto inicial, en cambio
hay que tener presente que son más lentos y más costosos computacionalmete.
Los métodos del Punto Fijo y de Seidel solo se recomiendan cuando el sistema de
ecuaciones no lineales a resolver el muy simple ya que va a ser necesario realizar una
transformación en las ecuaciones y su velocidad de convergencia no compensa esta
transformación.
8.
Los sistemas de ecuaciones no lineales pueden ser utilizados de diversas formas y
en un amplio espectro de aplicaciones prácticas en el ámbito de la Ciencia y la Ingeniería.
9.
Como línea futura de análisis e investigación y como mejora posible a introducir al
actual proyecto cabría reseñar el desarrollo de otros algoritmos numéricos iterativos de
resolución de sistemas de ecuaciones no lineales como los siguientes:
277
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
a)
El método de la Máxima Pendiente admite muchas variaciones, algunas de
las cuales incluyen técnicas más complejas para determinar el valor de a, que producirá un
mínimo con una función de una sola variable h. En otras técnicas se emplea el polinomio de
Taylor multidimensional para reemplazar la función de varias variables original g y reducir
al mínimo el polinomio en vez de g. Aunque algunas de ellas tienen ventajas sobre el
procedimiento que se ha utilizado en este proyecto; en general, todos los métodos de la
Máxima Pendiente son linealmente convergentes y convergen independientemente de la
aproximación inicial. Pero en algunos casos pueden converger en algo que no es el mínimo
absoluto de la función g.
b)
Método de Continuación u Homotopía. En este proyecto se ha utilzado el
método de Continuación en su variante del método de Runge-Kutta de orden 4, para reducir
el número de inversiones que hay que realizar en este método, que es una de sus desventajas,
se podría usar un método de Runge-Kutta de orden 2, como el método de Euler Modificado,
o incluso el método de Euler. Otra posibilidad es emplear valores más bajos de N.
278
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Anexo I. Manual de Instalación y de
Usuario
Manual de Instalación
Para poder instalar el software Mathematica es necesario disponer de entre 400 y
550 MB libres de disco duro, 128 MB de memoria RAM (recomendado 256 MB) y unidad
de CD - ROM.
La versión de Mathematica que se va a instalar es la version 5.2 for Students ya que
es una versión de libre distribución. Para instalarla simplemente hay que ejecutar el fichero
setup_5.2.0_win.exe que se encuentra en el CD. Para la correcta visión y ejecución del
proyecto es necesario instalar unas plantillas.
Las plantillas de Mathematica se copian en el directorio donde se haya instalado el
programa, unidad C o D y en el directorio siguiente:
\Archivos de programa\Wolfram Research\Mathematica\XX\SystemFiles\FrontEnd\StyleSheets
siendo XX = 5.1, ó 5.2 (según la versión instalada de Mathematica).
Las plantilla básicas a emplear en el PFC son cuatro:
a)
Proyecto_Fin_de_Carrera.nb: plantilla a emplear con el fichero PFC.
b)
Proyecto_Fin_de_Carrera(Resumen).nb: plantilla que se usará con el fichero PFC
(Nombre y Apellidos) (Resumen, Abstact, Índice).nb.
c)
Proyecto_Fin_de_Carrera (Sin código).nb. Se empleará con el fichero PFC cuando
279
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
tenga los problemas incluidos.
d)
Código_Métodos_Numéricos_12.nb (Ficheros de Problemas y de los Algoritmos).
También es necesario instalar un paquete especial para poder visualizar y utilizar la
interfaz de usuario.
El paquete de Mathematica The Super Widget Package (SWP) se ha
diseñado para crear interfaces de usuario (GUI) con Mathematica. Se necesita el paquete
denominado GUIKit, incluido en Mathematica 5.1 o versiones superiores. No obstante, el
paquete Super Widget Package requiere Mathematica 5.2.
La instalación de Super Widget Package (Versión 2.82 libre) se realiza del modo
siguiente:
1.
Se copia el fichero superwidgetpackage.zip en el directorio
DD\Archivos de programa\Wolfram Research\Mathematica\5.2
siendo DD = la unidad donde se haya instalado Mathematica.
2.
Se debe preservar la estructura de ficheros contenida en el fichero ZIP. Se
descomprime el fichero pero preservando la estructura de ficheros.
3.
Se inicia Mathematica, y en menú Help se selecciona Rebuild Help index. Para
integrar la documentación de SWP con el resto de Mathematica.
4.
La ayuda de este paquete, SWP, se encuentra en Help Browser y en la solapa
Add-ons & Links.
280
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Manual de Usuario
Para utilizar la aplicación es necesario tener instalado el software Mathematica 5.2,
el paquete The Super Widget y las plantillas suministradas en el CD.
Primero se debe arbir y ejecutar todo el fichero "Código (Resolución de Sistemas de
Ecuaciones no Lineales.nb). Para ejecutar todo el fichero se debe seleccionar en la barra de
herramientas de Mathematica "Kernel", "Evaluation" y "Evaluate Notebook". Así serán
reconocidos todos los algoritmos desarrollados. Al ejecutarse todo el archivo se arranca
automáticamente la interfaz gráfico.
Para resolver problemas con esta interfaz se siguen los siguientes pasos:
1.
Seleccionar el botón del método de resolución elegido en el botón "Métodos".
2.
Introducir los datos necesarios para la resolución del problema como se indica en la
ventana del método.
3.
Pulsar el botón "Realizar".
Una vez que se han obtenido los resultados si que quiere volver a resolver un
problema con el mismo método volver a introducir los datos en la misma ventana y pulsar
el botón "Realizar". Si se quiere resolver un problema con otro método o salir de la
aplicación se debe cerrar la ventana del método y se vuelve a la ventana principal de la
aplicación desde la que se puede cerrar la aplicación o ejecutar problemas con culaquier
método siguiendo los pasos anteriores.
281
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
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Métodos numéricos utilizados en la resolución de
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http://www.es.wikipedia.org/wiki/No_linealidad
No linealidad.
[3]
http://kmplexblog.com/2005/05%las-organizaciones-como-sistemas-no.html
Las organizaciones como sistemas no lineales.
[4]
http://sai.azc.uam.mx/apoyodidactico/
Métodos Numéricos.
[5]
http://homepage.cem.itesm.mx/lgomez/curso_basico.htm
Curso básico del paquete computacional Mathematica.
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http://ma1.eii.us.es/miembros/cobos/AN/Utilidades/Chapter1.pdf
Ecuaciones no lineales.
284
