Rectas paralelas y rectas perpendiculares en el plano

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Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce
Rectas paralelas y rectas perpendiculares en el plano cartesiano
Por: Enrique Díaz González- Universidad Interamericana de Puerto Rico – Recinto de Ponce
En el curso de Precálculo, aparece el tema de las ecuaciones de líneas rectas y las
condiciones para que dos rectas en el plano sean paralelas o perpendiculares. Estas condiciones
tienen que ver con las pendientes de las rectas. Sin embargo, en la mayoría de los textos se omiten
las demostraciones matemáticas para justificar esas condiciones. Este artículo pretende dar una
prueba más formal de dichas relaciones.
1) Rectas paralelas.
Recordemos que dos rectas son paralelas cuando están en un mismo plano y no se
intersectan. Por ejemplo, dos rectas verticales distintas son paralelas, porque cada una de
ellas es paralela al eje de las ordenadas. De la misma forma, dos rectas horizontales
distintas son paralelas, porque cada una de ellas es paralela al eje de las abscisas. Vamos a
probar la siguiente proposición:
Dos rectas no verticales son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente.
a) Supongamos que L1 y L2 son dos rectas distintas no verticales con pendientes
m1 y m2 , respectivamente y que m1  m2 . Hay que probar que L1 es paralela con
L2 . Si ambas rectas son horizontales, es decir, si tienen la misma pendiente cero,
entonces son paralelas porque cada una de ellas es paralela al eje de las abscisas, es
decir, al eje x. Si ninguna es vertical, sean y  m1 x  b1 ,
y  m2 x  b2
las ecuaciones de estas rectas, donde b1  b2
. Si estas ecuaciones tienen una
solución común ( x1 , y1 ) entonces sustituyendo en las ecuaciones anteriores y
restando ambas ecuaciones resulta que b1  b2 , ya que m1  m2 . Por lo tanto, las
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rectas coinciden lo cual es absurdo porque las rectas son distintas. En consecuencia,
las rectas no tienen puntos en común y, por lo tanto, son paralelas.
b) Supongamos ahora que L1 y L2 son paralelas y no verticales. Vamos a suponer
que m1  m2 . Entonces resolviendo para las variables x, y en el sistema
y  m1 x  b1 ,
x
b1  b2
m1  m2
y  m2 x  b2 se tiene:
,
y  m1  (
b1  b2
)  b1
m1  m2
Este valor de la variable “y” se obtuvo en la ecuación de L1 , pero estos valores
también satisfacen la ecuación de
L2 . En efecto, sustituyendo en la segunda
ecuación del sistema se tiene:
 m1 
b1  b2
b b
 b1  m2   1 2  b2
m1  m2
m1  m2
Multiplicando esta ecuación por m1  m2 , resulta
 m1b1  m1b2  m1b1  m2 b1  m2 b1  m2 b2  m1b2  m2 b2

m1  m2
m1  m2
Cancelando términos semejantes en el numerador, estas expresiones son iguales.
Por lo tanto, las rectas tienen un punto en común y esto contradice que son paralelas.
En consecuencia, m1  m2 y esto termina la demostración.
2) Rectas perpendiculares. Recordemos que dos rectas en un plano son perpendiculares si
se intersectan formando un ángulo recto. Vamos a probar la siguiente proposición:
Dos rectas no verticales son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes
es  1.
a) Supongamos que las rectas no verticales L1 y L2 tienen pendientes m1 y m2 tales
que m1  m2  1 . La primera conclusión de esta hipótesis es que las rectas no son
horizontales ni son paralelas. Por lo tanto, estas rectas se cortan en un punto
P
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= (p , q). Tomemos un punto R = (a , b) en L1 y un punto S = (c , d) en L2 tal que
sean distintos a P. Entonces se determina un triángulo PRS y además
m1 
bq
a p
,
Por la hipótesis
m2 
d q
.
c p
bq d q

 1 , lo que significa que
a p c p
bd  bq  dq  q 2  ac  ap  pc  p 2
(*)
Queremos probar que el triángulo PRS es rectángulo con el ángulo recto en el vértice
P. Vamos a usar el recíproco del Teorema de Pitágoras examinando las longitudes de
los lados del triángulo PRS. Tenemos entonces:
PR 2  (b  q) 2  (a  p) 2
PS 2  (d  q) 2  (c  p) 2
RS 2  (b  d ) 2  (a  c) 2
Desarrollando los cuadrados y sumando las dos primeras ecuaciones e igualando con
el tercer cuadrado, se tiene:
b 2  2bq  q 2  a 2  2ap  p 2  d 2  2dq  q 2  c 2  2cp  p 2 
b2  2bd  d 2  a 2  2ac  c2
Cancelando términos semejantes y cambiando de miembro algunos términos, se tiene:
bd  bq  dq  q 2  ac  ap  cp  p 2 y esto significa que se cumple la condición (*)
dada anteriormente. Desarrollando estos cálculos a la inversa, resulta que el triángulo
PRS es rectángulo con el ángulo recto en el vértice P y las rectas L1 y L2 son
perpendiculares.
b) Supongamos ahora que las rectas no verticales son perpendiculares. Por lo tanto se
cortan en un punto P = (a , b). Hay que probar que el producto de sus pendientes es
igual a -1.
Tomemos puntos A  (a1 , a2 ) en L1 y B  (b1 , b2 ) en L2 . Entonces el triángulo
APB es rectángulo con el ángulo recto en el vértice P. Aplicando el teorema de
Pitágoras se tiene
AP 2  BP 2  AB 2 y pasando a las coordenadas esto significa que
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(a1  a) 2  (a2  b) 2  (b2  b) 2  (b1  a) 2  (a1  b1 ) 2  (a2  b2 ) 2
Después
de
desarrollar
los
cuadrados
y
2
a2 b 2 a2 b  bb2  b  (a1b1 a1a  ab1  a ) , por lo tanto
simplificar,
resulta:
2
a 2 b2  a 2 b  bb2  b 2
 1 ,
a1b1  a1 a  ab1  a 2
m1  m2 
pero el primer miembro es precisamente el valor de
a 2  b b2  b

.
a1  a b1  a
Po lo tanto, m1  m2  1 que es lo que se quería probar.
Bibliografía.
Moise, Edwin E. Elementary Geometry from an Advanced Standpoint,
Addison-Wesley, Third Edition , 1990.
Enrique Díaz González, [email protected] Catedrático Auxiliar de Matemáticas de la Universidad
Interamericana de Puerto Rico –Recinto de Ponce. M.S. University of Illinois.
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