¿Qué son los pares ordenados?

¿Qué son los pares ordenados?
El concepto de par ordenado se usa frecuentemente en matemáticas, después de haber sido estructurado
exitosamente por la teoría de conjuntos, una teoría matemática adelantada por el matemático alemán
Georg Cantor (1845-1918). Un conjunto es una colección de objetos bien definidos. Los elementos de un
conjunto pueden ser abstractos, como el conjunto de los números primos menores que 10, u objetos
concretos como el conjunto de todas las monedas que tenga en sus bolsillos. Si no tienes monedas en los
bolsillos en este momento, tus bolsillos están vacíos de monedas. Ese conjunto abstracto se llama el
conjunto vacío y se denota por el símbolo especial ∅.
Intuitivamente, pensamos en un par ordenado como un conjunto de objetos el orden en que se toman los
elementos es importante. Un conjunto puede tener muchos elementos; así que podemos ordenar y reordenar los conjuntos de muchas maneras.
Los conjuntos suelen denotarse por letras mayúsculas para distinguir unos de otros. También son escritos
entre llaves para agrupar sus elementos. Supongamos que tenemos el conjunto
de un solo
elemento; este conjunto tiene el único elemento . No podemos hacer mucho con él, el concepto de par
ordenado no aplica aquí.
Supongamos que tenemos un conjunto
de dos elementos. Este conjunto puede ser escrito de dos maneras:
,y
. Ambos conjuntos tienen los mismos elementos y , así que ambos conjuntos tienen
cardinalidad 2, que significa2 elementos. Desde el punto de vista de la teoría de conjuntos elemental, los conjuntos
y es el mismo conjunto no importa cómo los escribamos, porque ambos conjuntos tiene los mismos elementos. Es
decir,
; no tenemos dos conjuntos diferentes. Como ambos conjuntos tienen los mismos elementos, se
consideran el mismo conjunto.
La razón de que
es porque ambos conjuntos no
son ordenados. Es decir, no hay regla específica que
distinga un conjunto del de otro. Reescribamos ambos
conjuntos de esta manera:
, and
.
¿Cómo interpretamos los conjuntos y ? El primero, ,
es sencillo; es el conjunto de los dos elementos y .
Por otro lado, el conjunto tiene el elemento , común
entre y , pero también tiene el conjunto
que no
es igual a la entidad sencilla . Eso lo escribimos así:
,y
.
En vez de esta notación engorrosa usamos una simplificada
deshaciéndonos del sobre-uso de llaves usando paréntesis:
Los pares ordenados son de suprema importancia cuando graficamos
funciones en un plano de coordenadas porque el primer elemento es
usualmente asignado a la variable independiente, y el segundo
elemento es asignado a la variable dependiente. Si tenemos una
función
, entonces asume los valores obtenidos bajo la
función . Si
, entonces para el conjunto de los valores
enteros
obtendremos el conjunto
. Para
la gráfica, dibujamos los siguientes puntos (pares ordenados):
Referencia: Pérez, E. Foundations of Transcomplex Numbers. Datum. 2008.
.
Hiparco (190–120 BCE)
creó una tabla de
funciones angulares
para usarlas en
coordenadas polares
para el uso de las
posiciones estelares.
©Hipparchus
E. Pérez http://4DLab.info
(190–120
BCE) created a table of
chord functions for