¿Qué son los pares ordenados? El concepto de par ordenado se usa frecuentemente en matemáticas, después de haber sido estructurado exitosamente por la teoría de conjuntos, una teoría matemática adelantada por el matemático alemán Georg Cantor (1845-1918). Un conjunto es una colección de objetos bien definidos. Los elementos de un conjunto pueden ser abstractos, como el conjunto de los números primos menores que 10, u objetos concretos como el conjunto de todas las monedas que tenga en sus bolsillos. Si no tienes monedas en los bolsillos en este momento, tus bolsillos están vacíos de monedas. Ese conjunto abstracto se llama el conjunto vacío y se denota por el símbolo especial ∅. Intuitivamente, pensamos en un par ordenado como un conjunto de objetos el orden en que se toman los elementos es importante. Un conjunto puede tener muchos elementos; así que podemos ordenar y reordenar los conjuntos de muchas maneras. Los conjuntos suelen denotarse por letras mayúsculas para distinguir unos de otros. También son escritos entre llaves para agrupar sus elementos. Supongamos que tenemos el conjunto de un solo elemento; este conjunto tiene el único elemento . No podemos hacer mucho con él, el concepto de par ordenado no aplica aquí. Supongamos que tenemos un conjunto de dos elementos. Este conjunto puede ser escrito de dos maneras: ,y . Ambos conjuntos tienen los mismos elementos y , así que ambos conjuntos tienen cardinalidad 2, que significa2 elementos. Desde el punto de vista de la teoría de conjuntos elemental, los conjuntos y es el mismo conjunto no importa cómo los escribamos, porque ambos conjuntos tiene los mismos elementos. Es decir, ; no tenemos dos conjuntos diferentes. Como ambos conjuntos tienen los mismos elementos, se consideran el mismo conjunto. La razón de que es porque ambos conjuntos no son ordenados. Es decir, no hay regla específica que distinga un conjunto del de otro. Reescribamos ambos conjuntos de esta manera: , and . ¿Cómo interpretamos los conjuntos y ? El primero, , es sencillo; es el conjunto de los dos elementos y . Por otro lado, el conjunto tiene el elemento , común entre y , pero también tiene el conjunto que no es igual a la entidad sencilla . Eso lo escribimos así: ,y . En vez de esta notación engorrosa usamos una simplificada deshaciéndonos del sobre-uso de llaves usando paréntesis: Los pares ordenados son de suprema importancia cuando graficamos funciones en un plano de coordenadas porque el primer elemento es usualmente asignado a la variable independiente, y el segundo elemento es asignado a la variable dependiente. Si tenemos una función , entonces asume los valores obtenidos bajo la función . Si , entonces para el conjunto de los valores enteros obtendremos el conjunto . Para la gráfica, dibujamos los siguientes puntos (pares ordenados): Referencia: Pérez, E. Foundations of Transcomplex Numbers. Datum. 2008. . Hiparco (190–120 BCE) creó una tabla de funciones angulares para usarlas en coordenadas polares para el uso de las posiciones estelares. ©Hipparchus E. Pérez http://4DLab.info (190–120 BCE) created a table of chord functions for