d - Canek

1
Método de Euler Mejorado.
E: y 0 D x C 2y
1,
con
y.2/ D 1; calcule y.2:5/, para h D 0:1.
D: H Como el tamaño de paso es h D 0:1, debemos encontrar valores aproximados de la solución
y.x/ en los puntos
x D 2:1; 2:2; 2:3; 2:4; 2:5 :
Usando .x0 ; y0 / D .2; 1/ y f .x; y/ D x C 2y
1, resulta:
x1 D x0 C h D 2:1 :
k1 D h f .x0 ; y0 / D 0:1 f .2; 1/ D 0:3 :
k2 D h f .x0 C h; y0 C k1 / D 0:1 f .2:1; 1:3/ D 0:37 :
1
y1 D y0 C .k1 C k2 / D 1 C 0:5.0:3 C 0:37/ D 1:335 :
2
Determinamos ahora y2 considerando .x1 ; y1 / D .2:1; 1:335/:
x2 D x1 C h D 2:1 C 0:1 D 2:2 :
k1 D h f .x1 ; y1 / D 0:1 f .2:1; 1:335/ D 0:377 :
k2 D h f .x1 C h; y1 C k1 / D 0:1 f .2:2; 1:712/ D 0:4624 :
1
y2 D y1 C .k1 C k2 / D 1:335 C 0:5.0:377 C 0:4624/ D 1:7547 :
2
El valor de y3 lo calculamos considerando .x2 ; y2 / D .2:2; 1:7547/, obtenemos ahora:
x3 D x2 C h D 2:2 C 0:1 D 2:3 :
k1 D h f .x2 ; y2 / D 0:1 f .2:2; 1:7547/ D 0:4709 :
k2 D h f .x2 C h; y2 C k1 / D 0:1 f .2:3; 2:2256/ D 0:5751 :
1
y3 D y2 C .k1 C k2 / D 1:7547 C 0:5.0:4709 C 0:5751/ D 2:2777 :
2
Calculamos ahora el valor de y4 :
x4 D x3 C h D 2:3 C 0:1 D 2:4 :
k1 D h f .x3 ; y3 / D 0:1 f .2:3; 2:2777/ D 0:5855 :
k2 D h f .x3 C h; y3 C k1 / D 0:1 f .2:4; 2:8632/ D 0:7126 :
1
y4 D y3 C .k1 C k2 / D 2:2777 C 0:5.0:5855 C 0:7126/ D 2:9268 :
2
Finalmente, calculamos el valor de y5 repitiendo el proceso:
x5 D x4 C h D 2:4 C 0:1 D 2:5 :
k1 D h f .x4 ; y4 / D 0:1 f .2:4; 2:9268/ D 0:7254 :
k2 D h f .x4 C h; y4 C k1 / D 0:1 f .2:5; 3:6522/ D 0:8804 :
1
y5 D y4 C .k1 C k2 / D 2:9268 C 0:5.0:7254 C 0:8804/ D 3:7297 :
2
6. canek.azc.uam.mx: 4/ 2/ 2011
2
Es decir, la aproximación de la solución en x D 2:5 está dada por:
yaprox .2:5/ D 3:7296 :
Ahora encontremos la solución exacta, esto nos permitirá determinar el error porcentual. Reescribimos la ED lineal:
y 0 2y D x 1:
El factor integrante es D e
2x
. La solución general de esta ED es
1
y D .1
4
2x/ C C e 2x :
Usando la condición inicial y.2/ D 1 obtenemos:
1D
7
3
C C e4 ) C D e
4
4
4
1
) y D .1
4
7
2x/ C e 2x 4 :
4
Evaluando esta expresión en x D 2:5 obtenemos el valor exacto:
yexacto D 3:7570 :
En consecuencia, el error porcentual está dado por:
3:7570 3:7297 yexacto yaprox % D 100 % D 0:7266%:
EP D 100 yexacto
3:7570
En la tabla siguiente se muestran los valores exactos, los valores aproximados con el método
de Euler mejorado y el error porcentual cometido en cada uno de los valores calculados hasta
ahora, hemos agregado otros cinco puntos:
i
xi
yi
yexacto
EP %
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
2:1
2:2
2:3
2:4
2:5
2:6
2:7
2:8
2:9
3
1
1:335
1:7547
2:2777
2:9268
3:7297
4:7201
5:9395
7:4382
9:2776
11:5326
1
1:3375
1:7607
2:2887
2:9447
3:757
4:7602
5:9966
7:5178
9:3869
11:6808
0
0:1869
0:3408
0:4800
0:6113
0:7266
0:8424
0:9522
1:0588
1:1644
1:2687