Matrices asociadas a una transformación

PROBLEMAS RESUELTOS
ÁLGEBRA LINEAL
Tema 3. Transformaciones Lineales
SUBTEMA: MATRICES ASOCIADAS A UNA TRANSFORMACIÓN
Problema 1: Sean P≤ 2 y P≤3 los espacios vectoriales de lo polinomios de grado menor o
igual a dos y menor o igual a tres, respectivamente, y sea T : P≤ 2 → P≤3 la transformación
definida por:
T ( p ( x)) = x ⋅ p( x)
(a) Determinar la matriz asociada con T .
(b) Obtener la matriz asociada con T y referida a las bases:
A : {1 − x 2 ,1 + 3x + 2 x 2 ,5 + 4 x + 4 x 2 } y B : {1, x, x 2 , x3 }
(c) Con las matrices de los incisos anteriores calcular la imagen del vector v = 1 + 5 x − x 2 .
SOLUCIÓN:
(a)
• Para obtener la matriz asociada con T , M (T ) , se calculan las imágenes de la base
{
}
canónica del dominio P≤ 2 = a + bx + cx 2 a, b, c ∈ R .
• Imágenes de Bcanonica de P≤ 2 = {1, x, x 2 } :
T (1) = x
T ( x) = x 2
T ( x 2 ) = x3
• Las imágenes anteriores escritas como columnas (aplicando isomorfismo) son las
columnas de la matriz buscada:
⎡0
⎢1
M (T ) = ⎢
⎢0
⎢
⎣0
(b)
0
0
1
0
0⎤
0 ⎥⎥
0⎥
⎥
1⎦
Matriz asociada con T
• La imagen del vector v = 1 + 5 x − x 2 se determina con la expresión T (v) = M (T ) ⋅ v ,
es decir, multiplicando:
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⎡0
⎢1
T (v) = M (T ) ⋅ v = ⎢
⎢0
⎢
⎣0
(c)
0⎤
⎡0⎤
⎡1⎤ ⎢ ⎥
⎥
0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎥
5 =
⇒ T (1 + 5 x − x 2 ) = x + 5 x 2 − x3
0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 5 ⎥
⎥ ⎢ −1⎥ ⎢ ⎥
1 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ −1⎦
0
0
1
0
Imagen pedida
(obtenida con M (T ) )
• Para determinar la matriz asociada con T y referida a las bases A y B , se
calculan primero las imágenes de los vectores de la base A :
T (1 − x 2 ) = x − x3 = T (a1 )
T (1 + 3 x + 2 x 2 ) = x + 3 x 2 + 2 x 3 = T (a2 )
T (5 + 4 x + 4 x 2 ) = 5 x + 4 x 2 + 4 x3 = T (a3 )
• Se escriben a las imágenes anteriores como combinación lineal de los vectores de
la base B , es decir:
T (a1 ) = x − x 3 = α1 (1) + α 2 ( x) + α 3 ( x 2 ) + α 4 ( x 3 )
Igualando términos: - α1 = 0 ;
α2 x = x
α2 = 1
α3 x = 0 x
2
;
α4 x = −x
2
α3 = 0
3
;
⎡0⎤
⎢1⎥
⎡T (a1 ) ⎤ = ⎢ ⎥
⎣
⎦B ⎢ 0 ⎥
⎢ ⎥
⎣ −1⎦
3
α 4 = −1
T (a2 ) = x + 3 x 2 + 2 x 3 = β1 + β 2 x + β 3 x 2 + β 4 x 3
Igualando términos: β1 = 0 ;
β2 x = x
β2 = 1
β3 x = 3x
2
;
2
β3 = 3
β4 x = 2x
3
;
3
β4 = 2
⎡0⎤
⎢1 ⎥
⎡T (a2 ) ⎤ = ⎢ ⎥
⎣
⎦ B ⎢ 3⎥
⎢ ⎥
⎣ 2⎦
T (a3 ) = 5 x + 4 x 2 + 4 x 3 = γ 1 + γ 2 x + γ 3 x 2 + γ 4 x 3
Igualando términos: γ 1 = 0 ;
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γ 2 x = 5x
γ2 = 5
γ 3x = 4x
2
;
γ3 = 4
2 de 7
2
γ 4 x = 4x
3
;
γ4 = 4
3
⎡0⎤
⎢5⎥
⎡T (a3 ) ⎤ = ⎢ ⎥
⎣
⎦ B ⎢4⎥
⎢ ⎥
⎣4⎦
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⎡0
⎢1
A
• Finalmente la matriz buscada es: M B (T ) = ⎢
⎢0
⎢
⎣ −1
(d)
0 0⎤
1 5 ⎥⎥
3 4⎥
⎥
2 4⎦
Matriz asociada con
T y referida a las
bases A y B
• La imagen del vector v = 1 + 5 x − x 2 se obtiene con la expresión:
⎡T (v) ⎤ = M BA (T ) ⋅ (v) A
⎣
⎦B
• Escribiendo a v = 1 + 5 x − x 2 como combinación lineal de la base
A = {1 − x 2 ,1 + 3x + 2 x 2 ,5 + 4 x + 4 x 2 } , se tiene:
v = α(1 − x 2 ) + β(1 + 3x + 2 x 2 ) + γ (5 + 4 x + 4 x 2 )
1 + 5 x − x 2 = (α + β + 5γ ) + (3β + 4λ ) x + (−α + 2β + 4γ ) x 2
• Igualando términos:
α + β + 5γ = 1
3β + 4γ = 5
−α + 2β + 4 γ = −1
• Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior matricialmente:
⎛ 1 1 5 1 ⎞ (1) ⎛ 1 1 5 1 ⎞
⎛1 1 5 1 ⎞
⎛1 1 5 1 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
∼ ⎜0 3 4 5 ⎟
⎜ 0 3 4 5 ⎟ ∼ ⎜ 0 3 4 5 ⎟ (−1) ∼ ⎜ 0 3 4 5 ⎟
⎜ −1 2 4 − 1 ⎟
⎜ 0 3 9 0⎟
⎜ 0 0 5 −5 ⎟ (1/ 5) ⎜ 0 0 1 −1⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
• Se llega a:
5 − 4 γ 5 − 4(−1)
α = 1 − β − 5γ
α + β + 5γ = 1
β=
=
3
3
3β + 4γ = 5 ; donde:
y α = 1 − 3 − 5(−1)
β=3
α=3
γ = −1
(v)
A
⎡3⎤
= ⎢⎢ 3 ⎥⎥
⎢⎣ −1⎥⎦
• Realizando la multiplicación:
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⎡0
⎢1
⎡T (v) ⎤ = ⎢
⎣
⎦B ⎢ 0
⎢
⎣ −1
0
1
3
2
0⎤
0
⎡
⎤
⎡3⎤ ⎢
⎥
5 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 3 + 3 − 5 ⎥⎥
=
3 =
4⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 9 − 4 ⎥
⎥ ⎢ −1⎥ ⎢
⎥
4 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ −3 + 6 − 4 ⎦
⎡0⎤
⎢1⎥
⎢ ⎥
⎢5⎥
⎢ ⎥
⎣ −1⎦
Vector de coordenadas
de T (v) en la base B
• Escribiendo a T (v) como combinación lineal de la base B = {1, x, x 2 , x3 } :
T (v) = α + βx + γx 2 + δx 3 = (0)(1) + (1)( x) + (5)( x 2 ) + (−1)( x 3 )
• Se obtiene finalmente, la imagen pedida:
T (1 + 5 x − x 2 ) = x + 5 x 2 − x 3
Imagen del vector v pedida
(obtenida con M BA (T ) )
Problema 2: Sea H : R 2 → R 2 la transformación lineal cuya matriz asociada es
⎡ −1 2 ⎤
M AA ( H ) = ⎢
⎥ , y donde A = {(−1, 0), (0, 2)} . Determinar:
⎣ −2 3 ⎦
(a) La regla de correspondencia de la transformación H .
(b) La imagen del vector u = (−1,3) utilizando la matriz M AA ( H ) .
SOLUCIÓN:
(a)
• A partir de la expresión ⎡⎣ H (v) ⎤⎦ = M AA ( H ) ⋅ (v) A puede determinarse la regla de
A
correspondencia de H , de la siguiente manera:
• Se propone al vector v = ( x, y ) ∈ R 2 .
• Se escribe a v como combinación lineal de la base A:
v = α(−1, 0) + β(0, 2) = (−α, 2β)
( x, y ) = (−α, 2β)
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Tema 3. Transformaciones Lineales
• Igualando términos: α = − x
β = 12 y →
(v)
A
⎡−x⎤
= ⎢1 ⎥
⎣ 2 y⎦
Vector de coordenadas
de v en la base A
• Multiplicando:
−1 2 ⎤ ⎡ − x ⎤
⎡ H v ⎤ = ⎡⎢
=
⎣
⎦ A ⎣ −2 3 ⎦⎥ ⎣⎢ 12 y ⎦⎥
()
⎡ x+ y ⎤ ⎡
= H v ⎤
⎢
3 ⎥
⎦A
⎣2x + 2 y ⎦ ⎣
()
Vector de coordenadas de
H v en la base A
()
• Escribiendo a H ( v ) como combinación lineal de la base A :
()
H v = γ (−1, 0) + δ ( 0, 2 ) = ( x + y )(−1, 0) + (2 x + 32 y )(0, 2) = (− x − y, 4 x + 3 y )
• Se llega finalmente a:
H ( x, y ) = ( − x − y , 4 x + 3 y )
(b)
Regla de
correspondencia de H
• La imagen de u se determina con la misma expresión ⎡⎣ H (u ) ⎤⎦ = M AA ( H ) ⋅ (u ) A .
A
• Se escribe a u como combinación lineal de la base A :
u = α ( −1, 0 ) + β(0, 2)
(−1,3) = (−α, 2β)
• Igualando términos: α = 1
β = 32
→
(u )
A
⎡1⎤
=⎢ ⎥
⎣32⎦
Vector de coordenadas
de u en la base A
• Multiplicando:
−1 2 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎡ − 1 + 3 ⎤ ⎡ 2 ⎤
⎡ H u ⎤ = ⎡⎢
=
=
= ⎡H u ⎤
⎣
⎦ A ⎣ −2 3 ⎥⎦ ⎢⎣ 3 2 ⎥⎦ ⎢⎣ −2 + 9 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 5 2 ⎥⎦ ⎣
⎦A
()
()
Vector de coordenadas de
H ( u ) en la base A
• Escribiendo a H ( u ) como combinación lineal de la base A :
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()
H u = γ ( −1, 0 ) + δ ( 0, 2 ) = (2)(−1, 0) + ( 5 2 )(0, 2) = (−2, 0) + (0,5) = (−2,5)
• Se obtiene finalmente:
()
H u = (−2,5)
Imagen del vector u
Problema 3: Sea la transformación lineal S : R 2 → R 3 , cuya matriz asociada es
M
A
B
B =
⎡1 1 ⎤
= ⎢⎢0 1⎥⎥ ,
⎢⎣1 0 ⎥⎦
referida
a
las
bases
A =
{(1,1) , ( 0, −1)}
del
dominio
y
{(1, 0,1) , ( 0,1,1) , (1,1, 0 )} del codominio. Determinar la regla de correspondencia de
la transformación S.
SOLUCIÓN:
• Para determinar la regla de correspondencia se utiliza la expresión:
M BA (S) ⋅ (v )A = [T(v )]B
• Se propone al vector v =
( x,y ) ∈ R 2 .
• Se escribe a v como combinación lineal de la base A: v = α1 a1 + α 2 a 2 .
• Sustituyendo e igualando términos se obtiene:
( x, y )
= α1 (1,1) + α 2 ( 0,-1) =
∴ α1 = x
(v)
A
=
( α1 , α 2 )
T
( α1 ,α1 − α 2 )
α 2 = x-y
⎡ x ⎤
= ⎢
⎥
⎣x − y⎦
Vector de coordenadas de
v en la base A
• Realizando la multiplicación M BA (S) (v )A = [S (v )]B , se obtiene el vector de
()
coordenadas de S v en la base B:
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⎡β1 ⎤
⎡1 1 ⎤
⎡ x + x-y ⎤
⎡ 2x-y ⎤
x
⎡
⎤
⎢ ⎥ ⎡
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎤
⎢0 1⎥ ⋅ ⎢ x-y ⎥ = ⎢0 + x-y ⎥ = ⎢ x-y ⎥ = ⎢β1 ⎥ = ⎣ S v ⎦ B
⎢⎣β1 ⎥⎦
⎢⎣0 1⎥⎦ ⎣ ⎦
⎢⎣ x + 0 ⎥⎦
⎢⎣ x ⎥⎦
()
()
• Escribiendo a S v como combinación lineal de v :
()
S v
= β1 b1 + β2 b2 + β3 b3
• Sustituyendo valores:
( ) ( 2x-y )(1,0,1) + ( x − y )( 0,1,1) + x (1,1,0 )
S ( v ) = ( 2x-y,x-y + x,2x-y + x-y ) = ( 3x-y,2x-y,3x-2y )
S v =
• Se llega finalmente a:
S ( x, y ) = ( 3x − y,2x − y,3x − 2 y )
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