“El conteo y la numerosidad en la enseñanza para la... número natural en el niño de seis años”

“El conteo y la numerosidad en la enseñanza para la construcción del
número natural en el niño de seis años”
Investigación en el aula de matemáticas
Nadia Gil Ruiz
Centro de Investigación y estudios avanzados del Instituto Politécnico Nacional
(Cinvestav)
Departamento de Matemática Educativa
RESUMEN
Con la intención de generar nuevos enfoques que hagan la investigación más eficaz en el aula de
matemáticas, el propósito principal de esta comunicación es dar a conocer los resultados a nivel
exploratorio de la investigación titulada “El conteo y la numerosidad en la enseñanza para la construcción
del número natural en el niño de seis años”, reportar el cuestionario y entrevista exploratoria del estudio
como base para diseñar el programa de intervención pedagógica. No obstante, se describe de manera
general la investigación.
Se relata un caso particular que permite reconocer la importancia del diseño y planteamiento de las tareas
para reconocer las habilidades y nociones que posee el sujeto para la construcción del número natural y
así proponer desde los enfoques del modelo lógico piagetano (habilidades lógicas) y el modelo de
integración de habilidades numéricas (el conteo y percepción de la numerosidad), un plan de intervención
pedagógica para facilitar la construcción del número natural en el niño de seis años.
Esta comunicación se inscribe en la perspectiva del aprendizaje y la enseñanza de la noción de número
natural en la educación primaria de los Estados Unidos Mexicanos.
Este estudio integra desde la perspectiva del aprendizaje y la enseñanza - atendiendo al
actual modelo curricular de las matemáticas en la educación primaria de los Estados
Unidos Mexicanos-, las habilidades lógicas señaladas por Piaget y habilidades
numéricas como el conteo y percepción de numerosidad, proponiendo desde ambos
enfoques sugerencias didácticas para coadyuvar a la construcción de la noción de
número natural en el niño de seis años.
Se adopta una concepción sistémica e interactiva, en la cual el niño construye el
conocimiento a través de su interacción con otros sujetos. Lo anterior, considerando el
señalamiento de Sinclair respecto a que en los años previos a la instrucción formal en
aritmética, el niño vive experiencias que permiten aplicarlas a la aritmética en lápiz y
papel más tarde; sin embargo, esta asimilación requiere la intervención de los adultos
para guiar las experiencias. Y tocante al contexto social, a Steffe quien apunta a que la
construcción del número en el niño es un proceso que involucra distintos factores, ya
que es producto de operaciones mentales individuales pero influenciadas por el contexto
social. De tal manera que en el presente trabajo permea un enfoque constructivo de
corte social.1
Se ha elegido la numerosidad y el conteo como procesos cognitivos que permiten la
construcción del número natural en el niño, sin dejar de lado las operaciones lógicas que
coadyuvan a la construcción de la noción de número natural en el infante de primer
grado, para plantear el siguiente problema.
PROBLEMA
El papel del conteo y numerosidad en la enseñanza para la construcción del número
natural
Con la finalidad de tener una visión clara de cómo abordar el objeto de estudio se ha
formulado la pregunta de investigación.
PREGUNTA DE INVESTIGACIÓN
¿Cómo favorece en el aprendizaje del niño de primer grado integrar en la enseñanza de
la noción de número natural, las habilidades lógicas y habilidades numéricas en un plan
de intervención pedagógica?
Respondiendo a su vez a otras cuestiones particulares:
¿Cuál es el peso otorgado al conteo y la numerosidad en la enseñanza para facilitar la
construcción del número natural en el niño de primer grado de educación básica
primaria?
Preguntas que sientan sus bases en el estudio del desarrollo de la noción de número en
el niño. Al respecto, han aparecido dos grandes líneas de investigación, que se han
proyectado en los trabajos sobre aprendizaje y enseñanza de este concepto; por una
parte, el modelo lógico piagetano y, por otra, el modelo de integración de habilidades.
Piaget concibe el número como el resultado de la síntesis de operaciones de
clasificación y seriación. Según este autor “Las operaciones constitutivas del número no
requieren más que las agrupaciones aditivas del englobamiento de las clases y de la
seriación de las relaciones asimétricas (orden), pero fundidas en un solo todo
operatorio” (Piaget, 1943, p 153).
Desde este primer enfoque algunos autores han mostrado que el entrenamiento en
determinadas habilidades lógicas (clasificación, seriación) incrementa el rendimiento en
las tareas de conservación de número (INHELDER, SINCLAIR Y BOVET, 1974); pero
1
Glaseferd (1995, p 3) señala dos posturas: cosntructivismo radical y constructivismo social.
no se ha demostrado también que este entrenamiento incida también en la mejora de
habilidades de conteo.
Por otra parte, Steffe, Von Glaserfekd, Richards y Cobb (1983) afirman que hasta el
momento no se ha demostrado que el entrenamiento en clasificación y seriación se
transfiera a tareas numéricas como contar hacia delante o hacia atrás, actividad
cognitiva importante para la construcción del número natural, como lo plantea el
modelo de integración de habilidades.
En la perspectiva del modelo de integración de habilidades se muestra que el
entrenamiento en habilidades numéricas afecta positivamente el rendimiento aritmético
(Ginsburg, 1977) habilidades numéricas, como el conteo, suponen procesos cognitivos
complejos que podrían desempeñar un proceso crucial y constructivo, tanto en el
desarrollo del número como en el de las operaciones lógicas del niño ( Fuson,1988).
En consecuencia la alternativa de enseñar al niño sólo operaciones lógicas, como las
de clasificación, orden y conservación no parecen justificar la adquisición del número
natural.
Habrá que cuestionar el papel de las habilidades numéricas, como el conteo. Ya que la
práctica en el conteo y otras habilidades numéricas podría proporcionar “la estructura o
el instrumento representacional para construir las operaciones lógicas” ( Fuson, 1988, p
73).
En este estudio el modelo de integración de habilidades es la base teórica
fundamental, sin embargo, se consideran aquellas experiencias propias del sujeto
respecto a la construcción del número, destaca entre ellas la numerosidad.
MÉTODO
Se eligió el estudio de casos como herramienta metodológica. Para tal efecto se
aplicó un cuestionario y una entrevista de exploración, con distintas tareas que tienen
como ejes transversales el conteo y la numerosidad. Tales instrumentos permitieron
diseñar el plan de intervención pedagógica.
El escenario se sitúa en un grupo de quince alumnos de seis años de edad que cursan
primer grado de educación primaria y que se están iniciando en el proceso de
adquisición de la lecto escritura.
Instrumentos metodológicos
El propósito del cuestionario se trazó a partir del conteo y las operaciones lógicas. En
relación al conteo, persigue identificar qué tipo de estrategias emplea el alumno para
contar y cómo determina la numerosidad de un conjunto. Respecto a las habilidades
lógicas, se propone identificar en el niño las nociones de equivalencia, identidad e
igualdad a partir de las operaciones de clasificación, noción de orden, seriación y
correspondencia.
El propósito de la entrevista es conocer las nociones que posee el sujeto respecto al
número natural.
El cuestionario y la entrevista de exploración aunada a la observación permitieron
seleccionar los casos a estudiar.
Posteriormente se diseñaron una serie de actividades didácticas – plan de intervención
pedagógica- a partir de los ejes de las tareas del cuestionario y la entrevista, mismas
que implican operaciones lógicas y habilidades numéricas.
Los procedimientos de validación para este estudio fueron el nivel exploratorio de la
investigación, la triangulación temporal y la triangulación de métodos. Previo a la
experiencia de campo, el nivel exploratorio, permitió también reconocer la pertinencia
del planteamiento de las tareas para la entrevista y el cuestionario.
La triangulación temporal se realizó a partir de la comparación de los resultados de la
entrevista inicial con la entrevista final. Los resultados que proyectaron el cuestionario,
la entrevista y las observaciones permitirán realizar la triangulación de métodos.
El diseño de las tareas para el cuestionario y la entrevista considera como ejes de
análisis, las estrategias de solución de los alumnos para las habilidades numéricas: el
conteo y la numerosidad; y para las operaciones lógicas: seriación, clasificación y
orden.
La entrevista final, fue posterior a la aplicación de las actividades, en esta se da
prioridad a la noción de número, buscando evaluar si favorece implicar en la enseñanza
actividades de conteo y percepción de la numerosidad para la construcción de dicho
concepto.
La triangulación temporal se realizó a partir de la comparación de los resultados de la
entrevista inicial con la entrevista final. Los resultados que proyectaron el cuestionario,
la entrevista y las observaciones permitieron realizar la triangulación de métodos.
Lo anterior corresponde al diseño de la investigación, el siguiente apartado refiere a los
avances logrados, se describen brevemente los resultados del nivel exploratorio de la
investigación, a partir de un caso particular, Brian (nombre ficticio) también se anotan
los hallazgos en el desarrollo del plan de investigación.
AVANCES DE LA INVESTIGACIÓN
La construcción del marco teórico giró en torno al análisis de las primeras nociones
numéricas adquiridas por el niño; se revisan las posiciones piagetanas en torno al
concepto de número (Piaget y Szeminska, 1941; Kamii, 1984), junto a aproximaciones
alternativas, que destacan la adquisición del número como proceso que requiere
habilidades numéricas como el conteo (Von Glaserfekd, Richards y Cobb, 1983; Fuson,
1988; Steffe 2000). Por otra parte, se abordan también las posibles relaciones existentes
entre diferentes habilidades numéricas.
Al destacar la adquisición de la habilidad de contar, se analizan los principios
fundamentales del conteo, en este sentido, se examinan los procesos de construcción de
la correspondencia uno a uno, como la información de la secuencia de los numerales y
la adquisición de la cardinalidad.
El marco teórico permitió el diseño de los instrumentos metodológicos. El propósito del
cuestionario se trazó a partir del conteo y las operaciones lógicas. En relación al
conteo, buscó identificar qué tipo de estrategias emplea el alumno para contar y cómo
determina la numerosidad de un conjunto. Respecto a las habilidades lógicas, se
propone identificar en el niño las nociones de equivalencia, identidad e igualdad a partir
de las operaciones de clasificación, noción de orden, seriación y correspondencia.
Fig. 1
1. Dibuja en cada portafolio el número de fichas que se pide.
8
11
Tarea 1 del cuestionario
A través de esta tarea se pretende identificar que tipo de estrategia utiliza el alumno para contar elementos de un conjunto.
El propósito de la entrevista fue conocer las nociones que posee el sujeto respecto al
número natural. El cuestionario y la entrevista de exploración aunada a la observación
permitieron seleccionar los casos a estudiar.
En el nivel exploratorio de los instrumentos metodológicos se reconoció la importancia
de la ubicación de los objetos para la percepción de la numerosidad y la eficacia en el
conteo. De manera tal que se realizaron modificaciones al planteamiento original de las
tareas del cuestionario y la entrevista; se determinó optar por hileras como forma para
ubicar los objetos para las primeras cuatro tareas del cuestionario pues el contenido
matemático que se aborda en estas es el conteo. También se destaca la importancia de la
selección de los objetos para las tareas, fue necesario modificar los objetos debido a que
tenían múltiples criterios de clasificación y la familiaridad de los niños con ellos.
Los resultados obtenidos del cuestionario y la entrevista permitieron diseñar las
actividades del programa de intervención pedagógica. Cada actividad contempla dos
ejes de análisis, operaciones lógicas y habilidades numéricas, el criterio a seguir es el
siguiente respecto a habilidades lógicas: percepción geométrica, ubicación espacial,
clasificación, seriación, orden conjuntos de mayor a menor, noción de espacio, orden,
igualación y equivalencia. En orden a las habilidades numéricas: el conteo verbal,
correspondencia uno a uno, compensación y reversibilidad.
En el nivel exploratorio del programa de intervención pedagógica se encontró la
importancia de incrementar la serie numérica en las actividades de acuerdo a las
necesidades de los niños. Se contempló en el diseño serie numérica hasta diez, sin
embargo, al realizar el programa los alumnos fueron capaces de extenderla a más de
veinte objetos.
Al culminar el programa de intervención pedagógica se aplicó nuevamente el
cuestionario y la entrevista a los alumnos, sólo se modificó la extensión de la serie
numérica respecto a la utilizada en los instrumentos metodológicos iniciales.
LOS RESULTADOS
El cuestionario y la entrevista inicial se aplicaron a los alumnos de primer grado a
principios del ciclo escolar. El caso de Brian es interesante por los referentes previos a
su inicio en la escuela primaria, es muy hábil para realizar mentalmente operaciones de
suma, es capaz de dar y recibir cambio al realizar una compra, reconoce el valor de las
monedas, esto se puede afirmar, al ser capaz de cambiarlas entre distintos valores. Sin
embargo, respecto a la lecto escritura es poco hábil, no logra realizar trazos semejantes a
las letras, sólo realiza “bolas y líneas” por tanto escribir números significa un problema
para él.
En la solución del cuestionario mostró resistencia para contestarlo ya que se le pidió
anotar números,. No obstante, dada la modalidad de aplicación - el aplicador leyó las
instrucciones para cada tarea- a Brian le fue fácil dar solución a las tareas 2, 3 y 4
puesto que el conteo lo realiza de manera verbal, sin embargo, se le ayudó a escribir el
numeral. No fue así en la tarea uno en la que se le pide dibuje fichas.. Es eficaz en el
conteo que es uno a uno y sólo cuando la serie se extendió a ocho requirió señalarlos
con los dedos. El manejo simbólico en numerales manifiesta relación con la escritura de
los mismos. El conteo que manifiesta Brian es de uno a uno, muestra habilidad para
contar en correspondencia con la serie numérica verbal y los elementos de un conjunto.
La correspondencia y semejanza entre conjuntos no es fácil de percibirla para él. Sin
embargo, una vez que identifica el uso de algunos objetos es más fácil hacerlo, son
ajenos para él muchos objetos puesto que vive en un contexto económico muy bajo y
esto no le permite tener acceso a muchas actividades. No cabe la posibilidad de pensar
que las tareas implican objetos ajenos al niño porque el resto del grupo si reconoció los
objetos por su uso.
Fig. 2
Resolución de Brian para la tarea 1
Se aprecia la dificultad para escribir, la solución no es pertinente, sin embargo, de manera verbal y señalando la ficha fue posible
que identificara las seis y trece fichas
En la solución a las tareas de la entrevista Brian se desenvolvió perfectamente, pocas
veces fue necesario repetir la consigna de la tarea. En la tarea uno fue fácil para él
construir una hilera de regletas similar al modelo que se le presentó su estrategia de
solución fue el emparejamiento inicialmente, al terminar realizó conteo uno a uno y
reconoció la numerosidad del conjunto.
La tarea tres es de especial interés si bien se persigue que reconozca la disposición
espacial para determinar la numerosidad de cada conjunto, resulta complicado para
Brian identificar las posiciones de los objetos. Vinculado a su dificultad para reproducir
las letras y los numerales de manera escrita. Nuevamente no tiene problema para
reconocer la numerosidad.
La tarea cuatro que persigue reconocer el conteo y la serie numérica hasta nueve fue de
particular solución para el niño, identificó el número de elementos, en el conteo de
abajo hacia arriba es eficaz pero al invertir el conteo le resulta imposible, no logra
identificar el inmediato anterior de un número. El conteo intermedio no puede realizarlo
al menos que la construcción vertical se coloque horizontalmente y denote dos
conjuntos del 1 a 4 y del 5 a 9 pero este segundo reconociendo como 1 a 5 nuevamente.
Nuevamente se observa el problema de disposición espacial, percepción visual y de
orden.
La segunda parte de la entrevista se realizó en conjunto con los otros alumnos del grupo
dada la modalidad de juego motriz. De tal manera que no se ahonda más en los
resultados de Brian. No obstante cabe aclarar que el utilizar un solo criterio de
clasificación (color) permitió mayor eficacia en la solución, en cuanto a respuesta
adecuada y tiempo dedicado a la actividad.
CONCLUSIONES
La adquisición de la lecto escritura está ligada al manejo simbólico y gráfico de los
numerales en el caso de Brian.
El conteo resultó más efectivo bajo las siguientes condiciones, cuando la serie numérica
es menor y la disposición espacial está en forma horizontal. Cuando el conteo se realiza
de menor a mayor o de izquierda a derecha. Respecto a los elementos del conjunto,
cuando son distintos.
De la afirmación anterior se desprende que la ubicación espacial, la percepción visual y
la extensión de la serie numérica son aspectos imprescindibles para el desarrollo de la
noción de número natural.
Es necesario plantear diversas estrategias de conteo para que este pueda generar
mayores estrategias de comprobación, para Brian resultó una habilidad pertinente para
identificar la numerosidad de un conjunto.
El sucesor y antecesor de un número debe ser abordado en distintas actividades porque
favorecerá la reversibilidad en la serie numérica y el conteo.
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