PROPOSICIONES 11°

RACAPEAS --- MATEMÁTICA – ANÁLISIS -- 2010
PROPOSICIÓN
Una proposición es un enunciado con sentido completo del cual se puede afirmar si es
verdadero o falso.
Ojooo: IMPORTANTÍSIMO
Son proposiciones los siguientes enunciados:
Al analizar esta guía, tenga muy en cuenta
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
los recuadros (recuerde)
Dos es un número par.
Quibdó es la capital del Chocó.
Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 1800.
Diana es una estudiante del grado once.
RECUERDE:
4 + 6 = 10.
k .
k %  100
2 es irracional.
30  3  0,3
El 30% de 200 es 50
30%  100
10
100  20% de 200 es 140
50  1  0,5
50%  100
2
10
1  0,1
10%  100  10
Los siguientes enunciados no son proposiciones:
 ¿Qué hora es?
9  0,09
9%  100
 Hoy.
 Buenos días.
Las anteriores expresiones no son proposiciones, porque no podemos decir que son
verdaderas o falsas. Además, no son proposiciones: Las interrogaciones, las admiraciones,
las exclamaciones y los enunciados imperativos (Tráigame, déme, demuéstrele, etc.)
A toda proposición se le puede asignar uno de los valores: Verdadero o falso, pero nunca
ambos a la vez. O sea, no puede ser verdadera y falsa al mismo tiempo.
Quibdó es la capital del Chocó. Verdad (V ) .
3 2  10. Falso ( F )
Las proposiciones suelen representarse con las letras minúsculas: p, q, r, s, t, u. Pero
también, se pueden utilizar para tal fin las demás letras del abecedario
Representemos las proposiciones: 1, 2, 5 y 6.
Veamos:
p: Dos es un número par.
Números irracionales: Son las raíces no exactas:
q: Quibdó es la capital del Chocó.
Como: 3 , 3 5 , 5  2 , 7  3 , etc…
s: 2 es irracional.
4 , 3 8 , 5  16 , 4 81  2 , no son números
EJERCICIO
irracionales. ¿porqué?
 Represente (denote) las proposiciones: 3 y 4.
 Enuncie tres proposiciones y represéntelas.
1
RACAPEAS --- MATEMÁTICA – ANÁLISIS -- 2010
CLASES DE PROPOSICIONES
1. PROPOSICIONES SIMPLES O ATÓMICAS
Son aquellas que carecen (no tienen) términos de enlace o conectivos lógicos.
Ejemplo: Todas las proposiciones anteriores.
2. PROPOSICIONES COMPUESTAS
Son aquellas que se forman a partir de dos proposiciones simples asociadas (unidas)
con conectivos lógicos.
 Dos es un número par y Quibdó es la capital del Chocó.
 El triángulo tiene tres lados, entonces, el cuadrado tiene cuatro lados.
CONECTIVOS LÓGICOS
Los conectivos lógicos o términos de enlace, son símbolos que se usan en la Lógica
Matemática para unir dos o más proposiciones simples.
Los conectivos lógicos son:
Símbolo

V



o
Lectura
Y
O
Si ... entonces
Si y sólo si
No
Nombre
Conjunción
Disyunción
Condicional o implicación
Bicondicional o doble implicación
Negación
NEGACIÓN DE UNA PROPOSICIÓN
Una proposición se puede negar anteponiendo la expresión “No es cierto que” o
intercalándole la expresión “No”.
EJEMPLO 1
q : Quibdó es la capital del Chocó.............. Afirmación
 q : Quibdó no es la capital del Chocó..........Negación
Simbólicamente:
q : Afirmación
 q : Negación
q V
qF
EJEMPLO 2
m : 4  12  13  136 ..... Afirmación
m V
 m : 4  12  13  136 ..... Negación
mF
NIEGUE TODAS LAS PROPOSICIONES ANTERIORES
2
RACAPEAS --- MATEMÁTICA – ANÁLISIS -- 2010
VALORES DE CERTEZA O VERADAD
CONJUNCIÓN ( Y ). SÍMBOLO (  )
1
La proposición: Dos es un número par y Quibdó es la capital del Chocó, la
podemos descomponer en dos proposiciones simples:
p: Dos es un número par Y q: Quibdó es la capital del Chocó.
Simbólicamente se escribe: p  q.
Miremos cuantos criterios o valores de verdad se obtienen de la proposición
compuesta
Conclusión
pq
p : Dos es un número par
V
p : Dos es un número par
V
p : Dos no es un número par
F
p : Dos no es un número par
F
Y
V
Y
F
Y
F
Y
F
q : Quibdó es la capital del Chocó
V
q : Quibdó no es la capital del Chocó
F
q : Quibdó es la capital del Chocó
V
q : Quibdó no es la capital del Chocó
F
Todo lo anterior se resume en la siguiente tabla de verdad.
p

q
V
V
F
F
V
F
F
F
V
F
V
F
¿Indique en qué casos la conjunción de
dos proposiciones es falsa?
Fíjese en la conclusión.
Conclusión
Como se puede observar, para dos proposiciones se obtienen cuatro valores de verdad; para
la primera proposición, dos verdaderos y dos falsos; y para la segunda, se alternan
empezando por el criterio verdadero.
2
DISYUNCIÓN ( O ). SÍMBOLO ( v )
Si p y q son dos proposiciones, la proposición p o q que se escribe ( p V q ), se
llama disyunción de p y q
3
RACAPEAS --- MATEMÁTICA – ANÁLISIS -- 2010
EJEMPLO:
Juan come pescado o come arepa…………………………Come para nutrirse
La tabla de verdad para la disyunción queda así:
p
V
q
V
V
F
F
V
V
V
F
V
F
V
F
¿Indique cuándo la disyunción de dos
proposiciones es falsa?
Fíjese en la conclusión.
Conclusión
LA CONDICIONAL O IMPLICACIÓN (  )
3
La implicación o condicional es una proposición formada por dos proposiciones,
unidas por la expresión “si...entonces” que se simboliza: p  q. Léase: Si p
entonces q o p solamente q
p: Antecedente o hipótesis.
q: Consecuente o tesis
EJEMPLO:
Si me alimento entonces vivo. Este enunciado está formado por dos proposiciones:
p: Me alimento y q: Vivo, y por el término de enlace entonces.
Análisis:
 Me alimento, entonces vivo….Verdad.
 Me alimento, entonces no vivo….Falso
 No me alimento, entonces vivo….Verdad
 No me alimento, entonces no vivo….Verdad
La tabla de verdad para la implicación queda así:
p

q
V
V
F
F
V
F
V
V
V
F
V
F
La condicional o implicación es falsa,
únicamente cuando el antecedente es
verdadero y el consecuente es falso.
En los demás casos es...
Conclusión
4
LA BICONDICIONAL O DOBLE IMPLICACIÓN (  )
Una bicondicional o doble implicación es una proposición formada por dos
proposiciones, unidas por la expresión “Si y solamente si” que se simboliza:
p  q, léase: p si y solamente q o p si y sólo si q
EJEMPLO
Aprenderás si y sólo si estudias duro. Este enunciado está formado por dos proposiciones:
p: Aprenderás, entonces debes estudiar duro y q: Si estudias duro, entonces aprenderás.
Como este enunciado se puede interpretar en ambos sentidos, y su valor de verdad es el
mismo, y además, utilizan el condicional (implicación), la fusión de las dos proposiciones
nos conduce a la bicondicional o doble implicación
4
RACAPEAS --- MATEMÁTICA – ANÁLISIS -- 2010
p

q
V
V
F
F
V
F
F
V
V
F
V
F
¿Indique en qué casos la bicondicional
o doble implicación es verdadera?
Conclusión
5. LA NEGACIÓN (  )
Si p es una proposición, la proposición compuesta No p que se escribe:
negación de p.
p
p
V
F
F
V
 p es la
La negación de una proposición
verdadera es falsa y viceversa
Conclusión
FÓRMULA LÓGICA
Una fórmula es una expresión que contiene un número finito de proposiciones y un número
finito de conectivos lógicos. Ejemplo: p  q  ( p V q ). El valor de verdad de una
fórmula depende de los valores de verdad de las proposiciones.
CLASES DE FÓRMULAS
1.
FÓRMULA TAUTOLÓGICA(TAUTOLOGÍA)
Una fórmula es tautológica si y sólo si su valor de verdad es verdadero,
independientemente de que los valores de las proposiciones sean verdaderos o
falsos.
EJEMPLO
Desarrollemos la siguiente fórmula: p   q  ( q  p ) .
Solución:
p 
V V
V V

q
 
q

p
V
F
V
V
V
F
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
F
F
V
V
V
F
F
V
4
5
2
3
Conclusión
1

Como son dos proposiciones, se
obtienen 4 valores de verdad para
cada proposición.
De 1 y 2 salió 3.
De 3 y 4 salió 5, la conclusión.
NOTA:
Las conclusiones se enumeran según
orden de desarrollo de la fórmula
Como la conclusión es verdadera, la
fórmula es tautológica.
5
RACAPEAS --- MATEMÁTICA – ANÁLISIS -- 2010
2
FÓRMULA CONTRADICTORÍA O FALACIA
Una fórmula es contradictoria o falacia si y sólo si su valor de verdad es falso,
independientemente de los valores de las proposiciones...
EJEMPLO
Desarrollemos la siguiente fórmula: p    p   q .
p
V
V
F
F


F
F
F
F
4
 p   q
F V F F V
F V F V F
V F F F V
V F V V F
2
Conclusión
3
3
1

Debajo de cada proposición se ubican
los criterios de verdad y al pie de cada
conectivo, la conclusión
De 1 y 2 salió 3.
De 3 y 4 la conclusión
La conclusión es falsa, la fórmula es contradictoria
FÓRMULA INDETERMINADA O SINTETICA
Una fórmula es indeterminada o sintética si y sólo si no es tautológica ni
contradictoria.
EJEMPLO
Analicemos la fórmula:   p   q    p  q .
solución:

 p   q
F V F F V
F V V V F
V F V F V
V F V V F
  
V
F
V
V
p  q
V V V
V F F
F V V
F V F

Esta fórmula es
indeterminada
Conclusión
6
RACAPEAS --- MATEMÁTICA – ANÁLISIS -- 2010
 Desarrollemos la siguiente fórmula: p     p  r    q  r  
solución:
p
V
V
V
V
F
F
F
F
5

F
V
F
V
V
F
V
V
 
F
V
F
V
F
V
F
F
4
p  r
V V V
V F F
V V V
V F F
F V V
F V F
F V V
F V F
1
Conclusión
  
V
F
V
F
V
F
V
V
3
q
V
V
F
F
V
V
F
F

V
F
V
V
V
F
V
V
2
r
V
F
V
F
V
F
V
F

De 1 y 2 salió 3.
De 3 salió 4.
De 4 y 5, la conclusión.
Para tres proposiciones se obtienen ocho (8) valores de verdad para cada proposición
distribuidos así: Para la primera proposición ( p ), 4V y 4F; para la segunda ( q ), 2V, 2F,
2V y 2F; para la tercera ( r ), 1V, 1F hasta completar 8.
La expresión 2 n permite hallar los valores de verdad de las proposiciones que integran una
fórmula. n, es el número de proposiciones.
Para 1 proposición, osea, n = 1, 2n = 21 = 2, esto indica que hay dos (2) valores de
verdad: Uno verdadero y otro falso.
Para 2 proposición, osea, n = 2, 2n = 22 = 4, esto indica que hay cuatro (4) valores de
verdad, ver los ejemplos de las fórmulas 1, 2 y 3.
Para 3 proposición, osea, n = 3, 2n = 23 = 8, esto indica que hay ocho (8) valores de
verdad, ver ejemplo anterior, y asi sucesivamente.


Si en una fórmula hay cuatro (4) proposiciones, ¿Cuántos valores de verdad se obtienen
para cada una y cómo quedan distribuidos?
Responda el interrogante anterior para: 5, 6, 7 y 8 proposiciones.
7
RACAPEAS --- MATEMÁTICA – ANÁLISIS -- 2010
4.
FÓRMULAS EQUIVALENTES
Dos o más fórmulas son equivalentes si y sólo si tienen el mismo valor de verdad
Analicemos los valores de verdad de las siguientes fórmulas:
  p  q y  p   q
 p  q )
 p   q
F
V
V
V
F V
F
F V
V
V
F
F
F V
V
V
V
F
F V
V
F
V
F V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
Conclusión 2
Conclusión 1
Como se puede observar, las conclusiones 1 y 2 tienen el mismo (igual) valor de verdad.
Cuando esto ocurre se dice que las fórmulas son equivalentes. Entonces:
 p  q    p   q
EJERCICIOS
1.
Escribe la disyunción, conjunción, implicación y la bicondicional de las siguientes
proposiciones:
RECUERDE:
 p : Dos es el único número par primo
k .
a
k %  100
q : El área de un triangulo se calcula con la exp resión bh
2
30  3  0,3
30%  100
10
m : El 30% de 500 es 150
b
50
50%  100  12  0,5
n : Las 2 / 3 de 24 es 16
10  1  0,1
10%  100
10
EJEMPLO: La disyunción para p y q , esto es: p  q .
9
9%  100  0,09
2.
Identifica el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a  4  2  20%  2 / 5.
c  ( x  2) 2  x 2  2 x  4 
b  (2) 3  9    3,1416
x24
para x  3
d  3 8  3  200  50% de 200  100
e  500  10% de 500  560  x 2  2 x  4  11
EJEMPLO: Para
42
V
el ejercicio a:

20%  2 / 5
para x  2
F
F
.
4  2 verdad.
1
20%  20 
falso
100 5
Como se puede observar, la raíz cuadra de 4 si es 2 (verdad), pero, el 20% no es
En la disyunción: verdad y falso produce una conclusión falsa
2
5
(falso).
8
RACAPEAS --- MATEMÁTICA – ANÁLISIS -- 2010
3.
Desarrolle las siguientes fórmulas, identificando a que clase pertenece:
a).  p  q )   q  p 
RECUERDE: PRODUCTOS NOTABLES
b). p    p   q 
a  b 2  a 2  2ab  b 2
c)  p  q      p   q 
a  b 2  a 2  2ab  b 2
d)    p  q      p   q 
a  b 3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3
e)   p  q   r     p  q    r 
f)   p   q  r    p  q    p  r  
a  b 3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3
g)  p  q   r    r  s   p 
a  b a  b   a 2  b 2
4.
Demuestre la equivalencia o no de las siguientes parejas de fórmulas:
a
 ( p  q) 
p 
q
b  p  (q  r )  ( p  q)  ( p  r )
c  p  (q  r )  ( p  q)  ( p  r )
d
 ( p   q)  p  q
RECUERDE:
Hallemos el 40% de 700.
e
 ( p  q)  p   q
f 
( p  q)   p  q
Solución:
40
28000
100  700  100  280
LA INFERENCIA
La inferencia lógica es un proceso mental que utilizamos para demostrar (estimar) el valor
de verdad de las proposiciones. Esto muestra, que la inferencia se fundamenta en la
demostración de premisas o hipótesis, hasta llegar a la conclusión o tesis. Se distinguen
dos tipos de premisas: Las generales denominadas axiomas, y las específicas de las
matemáticas llamadas postulados.
 AXIOMAS: Son proposiciones tan sencillas y evidentes que se admiten (aceptan) sin
demostración
EJEMPLO 1: El padre tiene más edad que el hijo
EJEMPLO 2: El todo es mayor que cualquiera de sus partes
 POSTULADOS: Son proposiciones no tan evidente como los axiomas, pero que también se
admiten sin demostración
EJEMPLO 1: Hay infinitos puntos
EJEMPLO 2: Por un punto exterior a una recta pasa una sola paralela a dicha recta
 La utilización de premisas para iniciar una argumentación (análisis) se denomina
INDUCCIÓN
EJEMPLO: A
partir de la observación de los niños, se induce que todos lloran
 El uso de las dos premisas (axiomas y postulados) para organizar un proceso de
razonamiento que nos lleve a una conclusión, recibe el nombre de DEDUCCIÓN.
“En la demostración matemática, primero se induce y luego, se deduce”
9
RACAPEAS --- MATEMÁTICA – ANÁLISIS -- 2010
REGLAS DE INFERENCIA LÓGICA
Las reglas de inferencia lógica, son principios lógicos utilizados para demostrar el valor de
verdad de las proposiciones. Las más comunes son:
1. MODUS PONENDO PONENS

Método

Afirmando

Afirma
Dada una proposición condicional, y dado el antecedente o el consecuente, se
concluye el consecuente o antecedente.
EJEMPLO
Si Felipe se porta bien, entonces jugará en el play. Felipe se porta bien
Conclusión: Felipe jugará en el play
Simbólicamente:
p: Felipe se porta bien.
pq
p
Conclusión
 q
q: Felipe jugará en el play
pq
q
 p
Si se afirma el antecedente, en la conclusión,
también se afirma el consecuente y viceversa
2. MODUS TOLLENDO TOLLENS

Método

Negando

Niega
Dada una proposición condicional, y dada otra proposición que niega el antecedente o
el consecuente, se concluye la negación del consecuente o la negación del
antecedente.
EJEMPLO
Si Felipe se porta bien, entonces jugará en el play. Felipe no se porta bien
Conclusión: Felipe no jugará en el play
Simbólicamente:
p: Felipe se porta bien.
pq
p
Conclusión
 q
q: Felipe no jugará en el play
pq
q
 p
Si se niega el antecedente, en la conclusión,
también se niega el consecuente y viceversa
10
RACAPEAS --- MATEMÁTICA – ANÁLISIS -- 2010
3. SILOGISMO HIPOTÉTICO (TRANSITIVIDAD)
Dada una proposición condicional, y dada otra proposición condicional, cuyo
antecedente es consecuente de la primera proposición, se concluye el antecedente de
la primera y el consecuente de la segunda.
EJEMPLO
Si Felipe se porta bien, entonces jugará en el play. Si Felipe juega en el play razonará
mejor Conclusión: Si Felipe se porta bien, entonces razonará mejor
Simbólicamente:
p: Felipe se porta bien.
pq
qr
 pr
q: Felipe jugará en el play. r: Felipe razonará mejor
Conclusión
pq
y qr  pr
4. DOBLE NEGACIÓN ( = DN)
Negar dos veces una misma proposición, equivale a afirmar (validar o reafirmar) la
misma proposición
Veamos:
p: Doris es una mujer muy hermosa Afirmación…. (1)
Negando por primera vez la proposición
p: Doris no es una mujer muy hermosa…. (2)
DN = Doble Negación
Negar nuevamente la proposición (2), equivale a ratificar la primera proposición
p: Doris es una mujer muy hermosa Afirmación…. (1)
Simbólicamente:  ( p)  p
5. MODUS PONENDO TOLLENNS

Método

Afirmando

Niega
En este caso, se hace uso de dos premisas y la primera es la negación de la conjunción
P1 :  ( p  q)
P1 :  ( p  q)
P2 :
p
 q
Conclusión
P2 : q
 p
Se afirma una de las premisas, y se niega la otra
11
RACAPEAS --- MATEMÁTICA – ANÁLISIS -- 2010
MODUS TOLLENDO PONENNS

Método

Negando

Afirma
Se requieren dos premisas y la primera es la disyunción
P1 :
( m  n)
P1 :
( m  n)
P2 :  m
P2 :  n
Conclusión
 n
 m
Se niega una de las premisas, y se afirma la otra
EJERCICIOS
1.
Dadas las proposiciones:
P: Carlos es inteligente.
q: Felipe es amable.
r: Luís es recursivo
Escribe simbólicamente los siguientes enunciados:
a) Carlos es inteligente y Luís es recursivo
b) Felipe es amable o Carlos es inteligente
c) Si Carlos es inteligente, Luís es recursivo
d) No es cierto que Felipe es amable
e) No es cierto que Carlos no es inteligente
f) Felipe es amable si y sólo si Carlos no es inteligente
g) Luís no es recursivo, entonces Carlos es inteligente
h) Luís no es recursivo cuando Felipe es amable
2.
Escribe la conclusión de cada uno de los enunciados y la simbolización del mismo:
a)
Si vivo en la capital del Chocó, entonces soy chocoano. Vivo en la capital
del Chocó.
b)
Si los estudiantes creen en el docente, entonces obtendrán buenos resultados.
Los estudiantes no obtienen buenos resultados
c)
Si estoy en el colegio, estoy en el barrio donde está ubicado el colegio. El
barrio donde está ubicado el colegio está en el municipio de Quibdó.
d)
El número 8 es par, entonces es divisible por 2. El número 8 no es divisible
por 2.
e)
Si los docentes explican mejor, obtendremos buenos promedios en el icfes.
No obtendremos buenos promedios en el icfes.
3.
Escribe la conclusión de los siguientes símbolos:
ks
s
.

mn
m
.

P1 :
 ( u )
.

m  q  r
.

(r  k )
P2 :  k

P1 :
.
(r  k )
P2 :  k

12
RACAPEAS --- MATEMÁTICA – ANÁLISIS -- 2010
CUANTIFICADORES
Consideremos las expresiones:
1
Puente de Yuto.
2
Hombres racionales.
Las expresiones 1 y 2 no son proposiciones, por que no podemos afirmar si son verdaderas
o falsas. Pero si a la expresión 1, le anteponemos la frase HAY UN y a la 2, TODOS, quedan:
3
4
Hay un puente de Yuto.
Todos los hombres son racionales.
Las expresiones 3 y 4, que resultaron de 1 y 2 son proposiciones.
Las expresiones: HAY y TODOS se llaman cuantificadores.
Los cuantificadores son símbolos que se utilizan para convertir una expresión en
proposición.
CLASES DE CUANTIFICADORES
1
CUANTIFICADOR UNIVERSAL
Se simboliza (x). Léase: PARA TODO X, expresa que la proposición se cumple en
todos los casos, es decir, que es verdadera para todos los sujetos a que se refiere.
La expresión: Todos los hombres son racionales, incluye a todos los hombres que
existen. La anterior expresión simbólicamente se denota así:
Todos los hombres son racionales.




x
Q
(x)Q(x)  Notación simbólica.
x, es el sujeto.  , Cuantificador universal
Las expresiones más utilizadas para expresar el cuantificador universal son:
PARA TODO
x  (x.
PARA CADA
x  (x).
CUALQUIER
x  (x)
(x)
CADA x 
(x)
NINGÚN x  (x).
TODO
x
13
RACAPEAS --- MATEMÁTICA – ANÁLISIS -- 2010
2
CUANTIFICADOR EXISTENCIAL
Se representa mediante el símbolo (x), que se lee: EXISTE UN x, expresa que la proposición
se cumple sólo en algunos casos, es decir, que la proposición sólo es verdadera para
algunos de los sujetos a que se refiere.
La expresión: Hay un puente de Yuto, indica que de todos los puentes uno sólo se llama de
Yuto.
Simbólicamente tenemos.
Hay un puente de
Yuto.




x
P
(x)P(x)  Notación simbólica.
Las expresiones más utilizadas para exprezar el cuantificador existencial son:
PARA ALGÚN x 
EXISTE ALGÚN x 
(x).
(x).
HAY x 
ALGÚN x 
(x)
(x).
NEGACIÓN DEL CUANTIFICADOR UNIVERSA — EXISTENCIAL
El cuantificador UNIVERSAL se niega con el EXISTENCIAL y viceversa.
Ejemplo 1.
Todas las
Mujeres


(x)Q(x).
son
Bonitas


x
Q
Decir: que no todas las mujeres son bonitas, equivale a expresar que:
Existen
Mujeres
Feas.




x
Q
(x) Q(x)
(x) Q(x).
Si Q = Bonitas
 Q = Feas
Léase: Existe x, no Q de x.
Como se puede observar, el
cuantificador UNIVERSAL se niega con el EXISTENCIAL.
Luego: (x)Q(x). Se niega con (x) Q(x).
14
RACAPEAS --- MATEMÁTICA – ANÁLISIS -- 2010
Ejemplo 2.
Existen Hombres


Inteligentes.


x
P
(x)P(x)
Decir: que no existen hombres inteligentes, equivale a expresar que:
Todos los
Hombres son
.Brutos
P = Inteligentes



P = Brutos

x
P
(x) P(x).
Léase: Para todo x, no P de x.
Por lo tanto, el cuantificador EXISTENCIAL se niega con el UNIVERSAL. Luego: (x)P(x)
se niega con (x) P(x).
EJEMPLO
Para todo número real x se cumple que: ( x + 1 ) 2 = x 2 + 2x + 1.
Solución:
(x) ( x + 1 ) 2 = x 2 + 2x + 1. afirmación.
(x) ( x + 1 ) 2  x 2 + 2x + 1 negación.
3
CUANTIFICADOR NULO
Se representa con la letra N. Léase: No existe ningún, y expresa que la proposición
no se cumple en ningún caso, es decir, no es verdadera para ninguno de los sujetos
a que se refiere.
Veamos:
q: Los alumnos del colegio son disciplinados.
N(x)q
No existe ningún x, siendo que xq que haga la proposición
verdadera.
r: x 3  4 = 0
xZ.
Z = Conjunto de los números enteros.
3
N(x)xr se cumple que x  4 = 0 sea verdadera.
EJERCICIO
Niegue verbal y simbólicamente las siguientes proposiciones, estableciendo su criterio de
verdad:
1
Existen estudiantes de la N.S.Q. que no se preocupan por el promedio de su colegio
2
Cada estudiante de la NSQ quiere obtener el mejor puntaje en el icfes
3
Todos los perros son cachorros.
4
Existe un número natural tal que: x + 1 =  2
5
Ningún libro es bueno
6
Para todo número real se cumple que: ( x  1 ) 2 = x 2  2x + 1.
7
Cualquier mujer es hermosa
8
Cada alumno del grado once es inteligente.
9. Hay Quibdoseños buenos.
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