10.-VECTORES.doc

INSTITUCION EDUCATIVA
N° 113 “Daniel Alomía
Robles”
AREA: C.T.A
Grado: 5to “A” “B” y “C”
Profesor: José Rivera Aldave
Fecha:
SESION DESARROLLADA DEL APRENDIZAJE
I.- UNIDAD DE TRABAJO: ANALISIS VECTORIAL
II.-PROGRAMA INFORMACIÓN:
1.- Análisis vectorial
2.- Teoría vectorial
3.- Vectores y su representación
2.- Elementos de un vector
3.- Tipos de vectores
III.- OBJETIVOS.1. Tipificar las magnitudes vectoriales
2. Efectuar operaciones con vectores en forma grafica y analítica y aplicarlo en la solución
de problemas.
IV:_INICIO.- Motivación.-(10 min.).- Determinan mediante ejemplos las magnitudes
vectoriales. Indican las características de un vector. Resuelven ejercicios y problemas
aplicando la forma grafica y analítica en cada una de las operaciones. Mediante una
experiencia sencilla, determinan la resultante de dos fuerzas concurrentes
V.- PROCESO. ADQUISICIÓN Y RETENCIÓN (65 min.)
1.- TEORIA VECTORIAL.- El conocimiento de la teoría vectorial, actualmente se ha
convertido en un requisito indispensable para ingenieros, matemáticos, físicos y otros
científicos porque no solo proporcionan un método conciso de analizar matemáticamente lo
fenómenos físico y geométricos sino que también ayuda a desarrollar la comprensión
intuitiva de dicho fenómenos.
EL VECTOR.- Es un segmento de recta orientado a lo largo de una línea de acción, que sirve
para representar las magnitudes vectoriales (fuerza, peso, velocidad, aceleración etc.). Todo
fenómeno físico se expresa en forma vectorial, de allí su importancia.
En el campo de la física encontramos frecuentemente cantidades que tienen
dirección y magnitud como ejemplos:
 12 Km. en dirección a Ica
 La velocidad de un móvil de 45 m/s
 La fuerza de 400 newton
 La aceleración de un cohete que va a 300 Km/s
2.-REPRESENTACION DE UN VECTOR: Se acostumbra representar cada vector con una
letra, la cual lleva una flechita encima de si: V .
Así mismo es importante indicar lo siguiente notación:
_
V = V se lee Vector V
V = /V/ se lee modulo del vector V
3.-ELEMENTOS DE UN VECTOR.- Podemos, en un vector, distinguir cuatro partes
fundamentales: punto de aplicación, intensidad, dirección y sentido
a)
b)
c)
d)
Punto de aplicación.- Origen del vector.
Módulo o intensidad.-Es el tamaño del vector que lo representa,
Dirección.- Es la recta sobre la que está dibujado
Sentido.- Determina hacia qué lado de la recta apunta el vector .Se indica
mediante una flecha.
Ejemplo.- Dada una dirección, el sentido del vector es el indicado por la flecha en la que
termina.
De esta forma, siempre es posible
dibujar dos vectores con la misma
dirección pero sentido opuesto. Si
además tienen la misma
intensidad decimos que son
Vectores opuestos, al tener igual intensidad y dirección
vectores opuestos, ya que se
pero sentido contrario
anularían uno a otro.
TIPOS DE VECTORES.- Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad de dos
vectores, pueden distinguirse distintos tipos de los mismos:
TIPOS
UNITARIOS
COLINEALES
CONCURRENTES
COPLANARES
IGUALES
OPUESTOS
DESLIZANTES
1.- Vectores Colineales.- Son aquellos vectores que están contenidos en una misma línea de
acción, Ejemplo:
A
B
C
2.- Vectores concurrentes.- Son aquellos vectores cuyas líneas de acción se cortan en un
solo punto. Comparten el mismo extremo inicial -u origen-. Ejemplo
A,B y C son concurrentes
en el punto 0
0
A
C
B
3.- Vectores coplanares.- Son aquellos vectores que están contenidos en un mismo plano.
Ejemplo.
A
B
C
4.- Vectores iguales.- Son aquellos vectores que tienen la misma intensidad, dirección y
sentido pudiendo a ser de direcciones paralelas o iguales. Ejemplo.
A
V1
V2
B
5.- Vectores opuestos.- Se llama vector opuesto (-A) de un vector A cuando aquel tiene el
mismo modulo, la misma dirección, pero sentido contrario. Ejemplo.
A
-A
6.- Vectores deslizantes.- Es el vector que puede moverse a lo largo de una dirección, sin
que varié su efecto, es decir que su modulo y sentido se mantienen intactos.
Ejemplo.- Cuando se jala /A/ o se empuja /B/ un carrito, siendo el efecto en ambos casos el
mismo
V1
V2
A
B
7.- Vectores unitarios: vectores de módulo igual a uno. (versores) â
OPERACIONES CON VECTORES
1.- ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE VECTORES
1).- METODO GRAFICO
a).- Colinelaes
b).- Triangulo
c).- Paralelogramo
d).- Polígono
2.- METODO ANALITICO
A).- por teorema de Pitágoras
B).- por ley de cosenos
1.- METODO GRAFICO
A).-ADICION Y SUSTRACCION DE VECTORES COLINEALES.Ejemplo 1.- Sean los Vectores a, b y c que se muestran en la figura. Hallar
a + b y a+ c
4m
6m
-6m
a).- Según la figura /a/ = 4 m
/b/ = 6 m
entonces /a + b/ = 4 m + 6 m = +10 m
Es decir que el vector resultante ( + 10 m) se orienta hacia la derecha
10 m
b).- De acuerdo a la figura a= 4 m
c= - 6
a + c = 4 m + (-6) = - 2 m
Es decir el vector resultante ( -2) se orienta hacia la izquierda
Ejemplo 2-Sumar los siguientes vectores
2
a
b
Ejemplo 3: Sumar los siguientes vectores:
a
b
Ejemplo 4.- Sumar los siguientes vectores
b
c
a
=
a+b
= 0
d
ba + cd
B).- METODO DEL
TRIANGULO.- Consiste en disponer gráficamente un vector a
continuación de otro, es decir, el extremo inicial del vector "b" coincide con el extremo final del
vector "a". Luego se traza una diagonal que une el inicio del vector "a" con el resto de los
extremos.
Ejemplo 1.- Sumar os siguientes vectores
d
c
c
d
c+d
Ejemplo 2.- Hallar la resultante de los siguientes vectores:
o
qr
po
q
po
qr
p
r
po + qr
C).- MÉTODO DEL PARALELOGRAMO.- .- Sirve para sumar dos vectores o mas con origen
común. Se construye el paralelogramo trazando paralelas de los vectores dados. La
resultante es la diagonal trazada desde el origen de los vectores.
Ejemplo 1.- Hallar al resultante de:
a
R= a + b
b
Ejemplo 2.- Hallar la resultante de:
Q
q
R= q+p
P
p
D.- METODO DEL POLIGONO.- Para hallar la resultante de una suma de vectores mediante
este método se sigue estos pasos:
a).- Dibuja uno de los vectores
b).- Dibujar los siguientes vectores empezando en el extremo del vector anterior
c).- Repite los pasos anteriores tantas veces como vectores para sumar tengas.
d).- El vector resultante es el que resulta de unir el origen de coordinas con el extremo del
ultimo vector
Ejemplo 3.- Hallar la resultante de los siguientes vectores:
q
p
r
q
s
R
p
Ejercicio.- Dados los vectores r y w hallar la resultante de :
S = 3r – 2 w
G = 2r - 3w
r
E = r - 5w
w
2.- ANALÍTICAMENTE.- El modulo del vector resultante se determina aplicando:
A).- TEOREMA DE PITÁGORAS;
R2 = A2 + B2
Para ángulos de 90º
Ejemplo 2.- Hallar la resultante de:
R2= 32 +42
a
R2= 9 + 16
3 90º
)
R= V25 = 5
4
b
B).- LEY DE LOS COSENOS
R2 = A2 + B2 + 2AB cos α
Para ángulos menores de 90º
R2 = A2 + B2 - 2AB cos α
Para ángulos Mayores de 90º
Ejemplo 1.- Hallar la magnitud y dirección de la resultante de los vectores concurrentes,
sabiendo que A= 4 cm.; B= 3 cm. y cosα = 60º
Aplicando la formula tenemos
R2 = A2 + B2 + 2AB cos α
R2 = 42 + 32 + 2AB cos 60º
R2 = 16 + 9 + 24 (0.5)
___
R = √ 37 = 6.08 cm >>>>>> R = 6.08
3cm
B
R
)60º
A
4cm
cm.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS MÁS IMPORTANTES
Grados
30º
37ª
45º
3/5 = 0.6
= 0.5
53ª
60º
4/5 = 0.8
0.7
4/5 = 0.8
0.86
3/5 = 0.6
0.86
0.7
= 0.5
COMPONENTES DE UN VECTOR.- Las componentes cartesianas de un vector son
los vectores que se obtienen al proyectarlo sobre los ejes de un sistema de
coordenadas situado en el origen del vector
Para hallar los componentes de un vector ubicaremos un punto P en un sistema de
coordenadas cartesianas y le hacemos corresponder un par de números que son sus
coordenadas (x,y)
y
Ejemplo.- :
6
PROCEDIMIENTO
A= (1,2) Y b= (4,6)
5
A
B
AB
4
1
4
+3
3
2
6
+4
AB= (3,4)
2
1
1
2
3
4
5X
a).- Primera componente.- Es el numero que hay que sumar a la primera
coordenada de A, para obtener la primera coordenada de B, en nuestro caso es 3
b).- Segunda componentes.- Es el numero que hay que sumar a la segunda
coordenada de A para obtener la segunda coordenada de B, en nuestro caso es 4
Ejemplo 1.- Dibuja un vector AB con origen n el punto A(-1,3) y el extremo es
el punto y el extremo es el punto B (2, -2 ¿Qué componentes tiene AB
A= (-1,3) y B= (2. -2) Y
5
4
3
2
1
1
2
3
4
Componentes AB= (3,-5)
PROCEDIMIENTO:
-1 + 3 = 2
3 + -5 = -2
5X
A AB B
Ejemplo 2.- Sitúa el punto A en (-3,-2) después trata de sumar el punto B = (9,5)
¿Qué componentes tienen AB?
A= (-3,-2) y B= (9,5)
6
5
y
Componente AB=(12,7)
4
3
coordenada B(6,3)
2
1
1
2
3 4
5
6 7
PROCEDIMIENTO
-3 + 9 = 12
-2 + 5 = 7
8 9 10 11 12X
A
B
AB
Ejemplo 3.- Sitúa el punto B en (-7,5) después sitúa A de forma que AB= (-8,11)
¿Que coordenada tiene A?
AB= (-8,11) y B= (-7,5)
y
5
Componente AB= (-8,11)
4
3
coordenada A(1,-6)
2
1
-7
1
2
3
4
5 6 X
PROCEDIMIENTO
1 + - 7 = -8
-6 + 5 = 11
A
B
AB
Dados
los seis
vectores
calcula:
EJERCICIO.- Dados los vectores resolver lo siguiente:
a) Las componentes del vector
b) Las coordenadas del punto D
c) Las coordenadas del punto E
e) Las coordenadas del punto I
d) Las componentes del vector
f ) Las coordenadas del punto M
SUMA CON VECTORES UTILIZANDO COMPONENTES
La suma de vectores es una operación muy fácil de
hacer cuando se trabaja con componentes; basta
sumar las dos componentes, la 1ª con la 1ª y la 2ª
con la 2ª.
Así, en la figura tienes las sumas siguientes:
+
= (1 , 3) + (4 , 2) = (1+ 4 , 3+3) = (5 , 5)
+ = (-1,-3) + (5 , 2) = (-1+ 5,-3+2) = (4 , -1)
En general, si
+
= (u1 , u2) y
= (v1 , v2), entonces
= (u1 , u2) + (v1 , v2) = (u1+ v1 , u2+ v2)
EJERCICIOS:- Haz gráficamente las siguientes sumas de vectores dados por sus
componentes:
1) (4,-2) + (2, 5)
4) (3,-3) + (3,-3)
2) (-3,1) + (4,-7)
5) (5, 4) + (1,-4)
3) (0,-4) + (-6,7)
6) (-5,3) + (5,-3)
CUESTIONARIO.- Haz las siguientes sumas de vectores representándolos en una
hoja cuadriculada:
a)
(-2 , 4) + (5 , 2)
b)
(1 , -3) + (-7 , 4)
c)
(-4 , 0) + (7 , -6)
d)
(-3 , 3) + (-3 , 3)
e)
(4 , 5) + (-4 , 1)
f)
(3 , -5) + (-3 , 5)
REGLA DEL PARALELOGRAMO USANDO COMPONENTES
Si aplicamos la regla del paralelogramo para realizar una suma de dos vectores dados
por sus componentes, también llegamos a la conclusión
de que se han de sumar las respectivas componentes de
cada vector sumando.
Así en la figura tenemos la sumas de los mismos vectores
de la actividad anterior
+
+
= (1 , 3) + (4 , 2) = (1+ 4 , 3+3) = (5 , 5)
= (-1,-3) + (5 , 2) = (-1+ 5,-3+2) = (4 , -1)
realizadas ahora utilizando la regla del paralelogramo.
También se comprueba que si
entonces
+
= (u1 , u2) y
= (v1 , v2),
= (u1 , u2) + (v1 , v2) = (u1+ v1 , u2+ v2
ACTIVIDAD: Ahora tienes la suma
del paralelogramo.
+
de dos vectores obtenida aplicando la regla
Moviendo los puntos verdes para variar los vectores, haz gráficamente las siguientes
sumas de vectores dados por sus componentes:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
(4, -2) + ( 2, 5)
(-3, 1) + ( 4,-7)
(0, -4) + (-6, 7)
(3, -3) + (-3,-3)
(5, 4) + ( 1,-4)
(-5,-3) + ( 5, 3)
TAREA: Haz las siguientes sumas de vectores representándolos en una hoja
cuadriculada y utilizando la regla del paralelogramo:
a)
(5 , 2) + (-2 , 4)
b)
(-7 , 4) + (1 , -3)
c)
(7 , -6) + (-4 , 0)
d)
(-3 , 3) + (-3 , 3)
e)
(-4 , 1) + (4 , 5)
f)
(-3 , 5) + (3 , -5)
CUESTIONARIO
1. ¿Cuáles son las partes que podemos distinguir en un vector?
2. Si dos vectores tiene la misma longitud, ¿podemos asegurar que son iguales?
3. ¿Cuándo se considera que son iguales dos vectores?
4. ¿Cuántos sentidos pueden existir en una dirección dada?
5. ¿Cómo definirías la dirección de un vector?
6. ¿Es posible que dos vectores tengan la misma dirección, punto de aplicación e
intensidad y que sean distintos?
7. Si dos vectores son iguales ¿qué podemos afirmar de ellos?
8. Si las direcciones de dos vectores convergen ¿podrán ser iguales los vectores?
9. Dos vectores son paralelos y tienen la misma intensidad. ¿Han de ser iguales?
10. Dibuja en tu cuaderno tres vectores iguales y tres vectores distintos
45º
30º
60º
37ª
53ª
3/5 = 0.6
4/5 = 0.8
4/5 = 0.8
3/5 = 0.6
Grados
= 0.5
= 0.5
1
¾ =0.75
Ctag α
1
√3
Sec α
√2
2√3
3
Csc α
√2
2
4/3= 1,3
4/3 = 1,3
¾ = 0.75
2
5/4 = 1.25
5/3 = 1,6
2√3
3
5/3 = 1,6
5/4 = 1,25