Una aproximación a la función exponencial (Material de Apoyo para el Aprendizaje)

Una aproximación a la función exponencial
Victor Yañez M.
“Fármacos Hipnóticos”
Algunas veces los médicos prescriben «fármacos hipnóticos» (p. ej. pastillas
para dormir) a pacientes que no pueden dormir a causa de dolor físico o
tensión emocional. (Otros son usados como sedantes o anestésicos durante
las operaciones.) Hay muchos tipos diferentes de fármacos que pueden ser
prescritos. Un requisito importante es que su efecto desaparezca antes de la
mañana siguiente; de lo contrario el paciente se encontrará soñoliento durante
todo el día siguiente. Esto podría ser peligroso si, por ejemplo, tiene que
conducir para trabajar. Por supuesto, para alguien confinado a guardar cama
en un hospital esto no sería tan importante.
Imagina que un doctor ha prescrito a un paciente, un fármaco
llamado Triazolam (Halcion). Después de tomar algunas
pastillas, el fármaco alcanza un nivel de 4 𝑚𝑔 𝐿 en el plasma
sanguíneo.
¿Con qué rapidez desaparecerá el fármaco, si el paciente no
vuelve a tomarlo? Utiliza la siguiente tabla:
Nombre del fármaco (marca)
Formula aproximada
Triazolam (Halcion)
𝐲 = 𝐀 ∙ 𝟎, 𝟖𝟒
𝐱
Nitrazepam (Mogadon)
𝐲 = 𝐀 ∙ 𝟎, 𝟗𝟕
𝐱
Pentobombitone (Sonitan)
𝐲 = 𝐀 ∙ 𝟏, 𝟏𝟓
𝐱
Methohexitone (Brietal)
𝐲 = 𝐀 ∙ 𝟎, 𝟓
𝐱
Claves:
𝐀 = Tamaño de la dosis inicial.
𝐲 = Cantidad de fármaco en la sangre.
𝐱 = Tiempo en horas desde que el fármaco llega a la sangre.
Completemos:
Tiempo
(horas)
𝑥
1
2
3
4
5
6
Cantidad de
fármaco en la
sangre
𝑦
3.36
2.8224
2.370816
1.99148544
1.6728477696
1.4051921265
¿Cuál de las siguientes gráficas
describe
mejor
los
datos
obtenidos en la tabla? Explica
cómo puedes decirlo sin marcar
los puntos.
A)
B)
C)
Grafique lo averiguado en la tabla, lo más preciso posible
(puede utilizar Geogebra). Y responda:
• ¿Cuál es la gráfica qué describía mejor lo mostrado en la
tabla?
• ¿Cuánto varia la cantidad de fármaco en el cuerpo de la
tercera a la cuarta hora? ¿Y de la cuarta a la quinta hora?
• ¿Es igual la variación por hora a medida que transcurren
las horas? ¿Por qué?
• ¿Puede la tabla estar describiendo una función afín o
lineal? ¿Por qué?
• ¿Puede la cantidad de remedio en la sangre llegar a cero
en algún momento?
Un paréntesis necesario
Consideremos todos los rectángulos de lados 𝑥 e 𝑦 (digamos
base y altura respectivamente) cuyo perímetro es 24 cm.
• ¿Cuál es el mayor valor que puede tomar la base del
rectángulo? ¿Y el menor?
• Construya una tabla con los pares de valores enteros que
cumplen con las condiciones del rectángulo. Posteriormente
represente dichos valores en ejes cartesianos. ¿Cómo están
situados los puntos representados? ¿A qué figura geométrica
se puede asociar la gráfica?
• ¿Qué relación hay entre los lados del rectángulo? ¿Cuál es su
representación algebraica?
Ahora, de manera similar a la anterior analicemos la
siguiente situación:
Consideremos todos los rectángulos de lados 𝑥 e 𝑦
(digamos base y altura respectivamente) cuya área es
36 𝑐𝑚2 .
• ¿Cuál es el mayor valor entero que puede tomar la
base del rectángulo? ¿Y el menor?
• Construya una tabla con los pares de valores enteros
que cumplen con las condiciones del rectángulo.
Posteriormente represente dichos valores en ejes
cartesianos. ¿Cómo están situados los puntos
representados? ¿A forma geométrica se puede asociar
la gráfica?
• ¿Qué relación hay entre los lados del rectángulo? ¿Cuál
es su representación algebraica?
Retomando lo anterior:
• ¿Cuál es la gráfica qué describía mejor lo mostrado en la
tabla?
• ¿Cuánto varia la cantidad de fármaco en el cuerpo de la
tercera a la cuarta hora? ¿Y de la cuarta a la quinta hora?
• ¿Es igual la variación por hora a medida que transcurren
las horas? ¿Por qué?
• ¿Puede la tabla estar describiendo una función afín o
lineal? ¿Por qué?
• ¿Puede la cantidad de remedio en la sangre llegar a cero
en algún momento?
Junto a tu compañero ubicado a la derecha, si aún no estas
trabajando en pareja, realiza la siguiente actividad:
En el mismo par de ejes, haz cuatro gráficas para comparar cómo
desaparece una dosis inicial de 𝟒 𝒎𝒈 𝑳 de cada uno de estos
fármacos. (Haz las gráficas “al ojo”, no las dibujes exactamente,
puedes usar Geogebra).
Y respondan las siguientes preguntas en parejas:
a) Sólo 3 de los fármacos son reales. ¡El otro era una broma!
¿Cuál? ¿Por qué?
b) ¿Qué ocurriría si tomases ese fármaco?
Conclusiones
¿Qué acabamos de realizar?
¿Qué función creen que acabos de trabajar?
¿Qué características tiene dicha función?
Por lo tanto, se define la Función
exponencial:
Sea 𝑎 > 0 , llamaremos función exponencial de
base "𝑎" a la función 𝑓: ℝ ⟶ ℝ , definida por
𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 . Así, se tiene que:
• Si 𝑎 > 1, la función exponencial será creciente
(si 𝑥 > 𝑦, entonces 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑦) ).
• Si 0 < 𝑎 < 1 , la función exponencial será
decreciente (si x<y, entonces 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑦) ).
• Si 𝑎 = 1, la función exponencial será igual a la
función constante igual 1 (𝑓(𝑥) = 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ).
En la siguiente gráfica se puede apreciar cada
una de las situaciones descritas:
¡¡¡FIN!!!