2.4.PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LAS PROPORCIONES DE DOS POBLACIONES

2.4.P.H. Diferencia de dos proporciones
2.4 PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA DIFERENCIA ENTRE LAS PROPORCIÓNES DE
DOS POBLACIÓNES
Prueba de una cola
H0: (p1- p2) = VALOR
H1: (p1- p2) > VALOR
ó [ H1: (p1- p2) < VALOR]
Estadística de Prueba
z
Prueba de dos colas
H0: (p1- p2) = VALOR
H1: (p1- p2)  VALOR
( pˆ 1  pˆ 2 )  VALOR
 ( pˆ  pˆ )
1
3
Región de rechazo
z > z
o sea z < - z
Región de rechazo
z > z/2
Cuando VALOR ≠ 0
 ( pˆ  pˆ ) 
1
2
pˆ 1 qˆ1 pˆ 2 qˆ 2

n1
n2
qˆ1  1  pˆ 1
Donde:
y
qˆ 2  1  pˆ 2
Cuando VALOR = 0
 ( pˆ  pˆ ) 
1
2
pˆ qˆ
1
1

n1 n2
Donde el número total de éxitos en la muestra combinada es (x1+x2).
pˆ 1  pˆ 2  pˆ 
x1  x2
n1  n2
Supuesto: Los tamaños de las muestras n1 y n2, son suficientemente grandes.
Esta condición se cumplirá si
n1 pˆ 1  4 y n1qˆ1  4
y
n2 pˆ 2  4 y n2 qˆ 2  4
Ejemplo 2.11: En fechas recientes se han llevado a cabo campañas para impulsar a la
gente a que ahorre energía compartiendo automóviles para ir al trabajo. Algunas
ciudades han creado un incentivo para compartir automóviles designando ciertos
carriles de las autopistas como “exclusivos para automóviles compartidos” (esto es,
que sólo vehículos con dos o más ocupantes pueden utilizar estos carriles).Con objeto
de evaluar la efectividad de este plan, el personal de las casetas de cobro en una
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2.4.P.H. Diferencia de dos proporciones
ciudad vigiló 2,000 automóviles seleccionados al azar antes del establecimiento de los
carriles exclusivos para automóviles compartidos, y 1500 automóviles después de
establecerse
dichos
carriles.
Los
resultados
del
estudio
se muestran en la siguiente tabla, donde x1 y x2 representan los números de
automóviles con dos o más pasajeros (es decir, pasajeros en autos compartidos) en las
muestras de “antes” y “después”, respectivamente. ¿Los datos indican que la
fracción de automóviles con pasajeros que comparten el transporte aumentó
durante
este
periodo?
Utilice
a
=
.05.
Tamaño de muestra
Pasajeros con autos compartidos
Antes de establecer
carriles de autos
compartidos
n1 =2000
X1=655
Después de establecer
carriles de autos
compartidos
n2=1500
X2=576
Solución:
 Si definimos p1 y p2 como las verdaderas proporciones de automóviles con pasajeros
que comparten el mismo transporte antes y después del establecimiento de los carriles.
La prueba quedaría:
H0: (p1- p2) = 0
H1: (p1- p2) <0
La prueba es de un extremo porque solo nos interesa determinar si la proporción de
automóviles que comparten el pasaje ha aumentado, es decir, si p2 > p1). Observa que sí p2
tiene que ser mayor que p1, entonces (p1- p2) <0. Lo anterior indica que decir que estaremos
probando si la proporción de automóviles aumentó después de poner el carril adicional.
 El estadístico de prueba para muestra grande es:
( pˆ 1  pˆ 2 )  0
1
1
pq (  )
n1 n 2
z
Ahora, las proporciones de la muestra serían:
655
576
655  576
 0.3275 ; pˆ 2 
 0.384 ; p 
 0.517
2000
1500
2000  1500
Por lo tanto q  1  0.517  0.483
pˆ 1 
De este modo:

z
(0.3275  0.384)  0
 0.0565

 3.31
0.0170
1
1
(0.517)(0.483)(

)
2000 1500
El valor crítico de z para α=.05 es z= -1.645
“Puesto que cae en la región de rechazo, hay pruebas suficientes con α=.05, de que la
proporción de pasajeros que comparten el transporte aumento después de poner el otro carril”
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2.4.P.H. Diferencia de dos proporciones
Ejemplo 2.12. Algunos científicos han vinculado la disminución catastrófica en el número de
ranas que habitan en el mundo, con la radiación ultravioleta no bloqueada por la maltrecha capa
de ozono del planeta (Tampa Tribune 1o. de marzo de 1994). No obstante, la rana arbórea del
Pacífico no parece estar en declinación porque produce una enzima que aparentemente protege
a los huevos de la radiación ultravioleta. Investigadores de la Oregon State University
compararon las tasas de eclosión de dos grupos de rana arbórea del Pacífico. Un grupo de
huevos se protegió con pantallas que bloquean la luz ultravioleta, mientras que el segundo grupo
se dejó sin protección. En la tabla se presenta el número de huevos que eclosionaron con éxito
en cada grupo. Compare las tasas de eclosión de los dos grupos de huevos de rana arbórea del
Pacífico mediante una prueba de hipótesis. Utilice α = .01
Número total
Número de eclosiones
Huevos protegidos del sol
70
34
Huevos sin sombra
80
31
Solución:
El problema nos pide comparar las tasas de eclosión entre huevos protegidos (le llamaremos la
población 1) y no protegidos (población 2). La hipótesis nula plantearía el hecho de que no
existe diferencia H0: (p1 - p2) = 0
Mientras que en la hipótesis alternativa, nosotros debemos definir lo que queremos probar, en
este caso probaremos si es que hay mayor eclosión en los huevos protegidos, por lo que p1
Debe ser mayor que p2.
De este modo, la hipótesis alternativa quedaría de la siguiente manera:
H1: (p1- p2) >0
Entonces:
pˆ 1 
34
 0.4857 ;
70
pˆ 2 
31
 0.3875
80
;
(0.4857  0.3875)  0
0.0982

 1.21
0.0811
1
1
(0.4333)(0.5667)(  )
80 70
z

p
34  31
 0.4333
70  80
Note como el valor de z es positivo (> 0), lo
que corresponde con la H1. Si el resultado
hubiera sido negativo, significa que
los
huevos eclonan mejor sin sombra, esto si se
rechaza H0.
El valor crítico de z para α=.01 es z= 2.33
“Puesto que el estadístico cae en la zona de aceptación de H 0, se concluye que no hay
diferencia entre proteger los huevos, y no protegerlos, eclonan de igual manera”
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2.4.P.H. Diferencia de dos proporciones
EJERCICIOS:
2.3 Los bloqueadores de calcio pertenecen a una de varias clases de medicamento que
comúnmente se recetan para aliviar la presión arterial elevada. Un estudio realizado en
Dinamarca revelo que los bloqueadores de calcio también podrían ser efectivos para
reducir el riesgo de ataques cardiacos (Tampa Tribune, 23 de marzo de 1990). Un total de
897 pacientes daneses, todos recuperándose de un ataque cardiaco, recibieron una dosis
diaria del medicamento Verapamil, un bloqueador de calcio. Después de 18 meses de
seguimiento, 146 de estos pacientes habían vuelto a sufrir un ataque cardiaco. En un grupo
de control de 878 personas (las cuales tomaron un placebo) 180 sufrieron un ataque
cardiaco. ¿Los datos proporcionan suficientes pruebas para inferir que los bloqueadores
de calcio son efectivos para reducir el riesgo de ataques cardiacos? Pruebe con α = .01.
R. No, z=-2.30
2.4 Cada 10 años la División de Mecánica de la ASEE lleva a cabo una encuesta que abarca
todo Estados Unidos sobre la educación en mecánica a nivel de licenciatura en
universidades. En 1985, 66 de las 100 universidades encuestadas cubrían la estática de
fluidos en su programa de ingeniería a nivel de licenciatura, en comparación con 43% en la
encuesta de 1975 (Engineering Education, abril de 1986). Suponiendo que también se
encuestaron 100 universidades en 1975, realice una prueba para determinar si el
porcentaje de universidades que cubren la estática de fluidos aumento entre 1975 y 1985.
Utilice a = .01.
R. z= 3.27, Rechazar H0
TAREA 2.4
2.7. Se llevó a cabo un estudio para determinar el impacto de una estación de trabajo de
multifunción (MFWS, multifunction workstation) sobre la forma en que trabajan los
gerentes. En el estudio participaron dos grupos de gerentes de una agencia de defensa con
base en St. Louis Missouri: un grupo de prueba formado por 12 gerentes que ya utilizan
software de MFWS y un grupo de control con 25 gerentes que no utilizan MFWS. Una
pregunta de la encuesta se refería a las fuentes de información de los gerentes. En el
grupo de prueba (usuarios de MFWS), cuatro de los 12 gerentes indicaron que su principal
fuente de información era la computadora, en tanto que dos de los 25 gerentes del grupo
de control (no usuarios de MFWS) dependen de la computadora como principal fuente de
información.
a. ¿Hay pruebas de que exista una diferencia entre las proporciones de usuarios de MFWS
y no usuarios de MFWS que dependen de la computadora como principal fuente de
información?. Pruebe utilizando a = .10.
b. ¿Tienen las muestras el tamaño suficiente para que sea válido el procedimiento
inciso a?
del
2.8. Los sistemas domésticos de calefacción solar se pueden dividir en dos grupos,
sistemas de calefacción solar pasivos y sistemas de calefacción solar activos. En un
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2.4.P.H. Diferencia de dos proporciones
sistema pasivo, la casa misma es un colector de energía solar, en tanto que en un sistema
activo se utilizan equipos mecánicos complicados para convertir los rayos del sol en calor.
Considere la diferencia entre las proporciones de sistemas de calefacción solar pasivos y
activos que requieren menos de 200 galones de combustible al año. Se seleccionan
muestras aleatorias independientes de 50 hogares con calefacción solar pasiva y 50 con
activa, y se registra la proporción de hogares que requirieron menos de 200 galones de
combustible el año anterior, con los resultados que se presentan en la tabla. ¿Hay pruebas
de una diferencia entre las proporciones de casas con calefacción solar pasiva y activa que
requirieron menos de 200 galones de combustible el año anterior? Pruebe con un nivel de
significancia de α = 0.02
Número de hogares
Número que requirieron menos de
200 galones de combustible el año anterior
Solar Pasivo
50
Solar Activo
50
37
46
R.z=2.4
2.9. En 1982 se encuestaron 371 compañías manufactureras y comerciales con miras a
determinar el grado en que implementaban sistemas de información logística. En 1987 se
efectuó una encuesta de seguimiento de 459 empresas a fin de medir la tendencia durante
cinco años en la computarización de la información logística (Industrial Engineering, julio
de 1990). Una de las preguntas de la encuesta se refería al porcentaje de empresas que
habían computarizado datos de mercados externos. Entre 1982 y 1987 este porcentaje
aumento de 22 a 33%. Utilice esta información para probar si durante este período de
cinco años hubo un incremento
significativo en el porcentaje de empresas que
computarizaron los datos de mercados externos. Pruebe con α = .05.
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