1.1 Sistema de Coordenadas Tridimensional

1.ALGEBRA DE VECTORES
En este capítulo estudiaremos los vectores y sistemas coordenadas en tres dimensiones(o
en el espacio). Esto será la base para nuestro estudio de las funciones de dos variables
debido a que dichas funciones las habremos de graficar como superficies en el espacio.
Veremos como los vectores nos sirven para describir particularmente líneas y planos en el
espacio
1.1Sistema de Coordenadas Tridimensional
Para localizar un punto en un plano, son necesarios dos números.
Sabemos que cualquier punto en un plano puede ser representado
mediante un par ordenado de números reales (a,b). Donde a es la
coordenada en x y b es la coordenada en y. Por esta razón un plano es
llamado bidimensional. Para localizar un punto en el espacio, se
requieren tres números. Representamos un punto en el espacio
mediante tres números reales (a,b,c). A fin de representar puntos en el
espacio, primero escogemos un punto fijo O (llamado el origen) y tres
líneas rectas que son perpendiculares entre sí, llamadas ejes
coordenados. (Eje x, eje y, eje z).Generalmente el eje x y el eje y lo
colocamos horizontalmente, y el eje z lo colocamos como se muestra
en la Figura 1. La dirección del eje z es determinado por la regla de la
mano derecha ilustrada en la Figura 2. Si tu doblas los dedos de la
mano derecha alrededor del eje z en la posición de 90° rotándolos en
contra del sentido en que giran las manecillas de un reloj, desde el eje
positivo de x, hasta el eje positivo de y, entonces el dedo pulgar
apuntará hacia el eje positivo de z.
Los tres ejes coordenados determinan los tres planos coordenados
ilustrados en la Figura 3(a). El plano xy, es el plano que forman los
ejes x & y, el plano yz lo forman los ejes y & z, y el plano xz que se
forma con los ejes x & z. Esos tres planos coordenados dividen el
espacio en ocho partes llamados octantes.El primer octante se
localiza en la coordenada positiva (x,y,z).
Debido a que muchas personas encuentran dificultad en localizar
puntos en el espacio tridimensional. Encontraremos un poco de ayuda
en la Figura 3(b). Primero localiza todas las esquinas del cuarto y
fíjate en que esquina se encuentra el origen O. La pared a la
izquierda, es el plano xz, la pared a la derecha del origen, es el plano
yz. El piso es el plano xy.
El eje x corre en la intersección del piso con la pared izquierda al
origen. El eje y corre en la intersección del piso y la pared derecha.
Fíjate como corre el eje z en la intersección de las dos paredes. Tu
estas en el primer octante observando, pero pueden existir otros siete
cuartos distintos si nos colocamos en los demás octantes.
Si P es cualquier punto en el espacio, a será la distancia del eje yz
hasta P, b la distancia del plano xz hasta P, y c, la distancia del plano
xy hasta P. Representaremos el punto P por la coordenada triple
(a,b,c). Empezaremos en el origen O, y nos moveremos a unidades a
través de x , b unidades a través de y, y c unidades a través del eje
vertical z como en la Figura 4.
El punto P(a,b,c), es representado por una caja rectangular en la
Figura 5
Si trazamos una línea perpendicular hacia debajo de P hasta el plano
xy, tendremos un punto Q con coordenadas (a,b,0), llamada la
proyección de P sobre el plano xy. Similarmente R(0,b,c) y S(a,0,c)
son las proyecciones de P sobre los planos xy y xz respectivamente.
Ilustrando el caso numéricamente, los puntos (-4,3,-5) y ( 3,-2,-6)se
muestran en la Figura 6.
El producto cartesiano
es el conjunto
de coordenadas triples de números reales y se representa . Hemos
dado una correspondencia uno a uno entre los puntos P en el espacio
y las coordenadas (a,b,c) en . Esto se denomina SISTEMA DE
COORDENADAS TRIDIMENSIONAL RECTANGULAR.
Note que en términos de coordenadas el primer octante puede ser
descrito como el conjunto de puntos con todas sus coordenadas
positivas.
En geometría analítica bidimensional, la gráfica de una ecuación que
tiene x & y es una curva en . En geometría analítica tridimensional,
una ecuación con x,y & z representa una superficie en .
1.
EJEMPLO 1: Que superficies en
ecuaciones:
a) z =3
; b) y=5
se representa por las siguientes
Solución:
a) La ecuación z = 3 representa el conjunto
que es el
conjunto de todos los puntos en cuya coordenada en z es 3, este el
plano horizontal que es paralelo al plano xy tres unidades arriba tal
como se muestra en la Figura 7.
b) la ecuación y =5 representa el conjunto de puntos en
cuya
coordenada en y es 5, este es el plano vertical que es paralelo al plano
xz, 5 unidades al la derecha. Note como se graficaría y = 5 en .
NOTA: Cuando se nos da una ecuación, debemos ser capaces
de entender si esta representa una curva en
o una superficie en
. En el ejemplo 1, y =5 representa un plano en , pero claro,
y=5 también representa una línea en
si estamos tratando con
geometría analítica bidimensional. Ver Figuras 7(b) y(c).
En general, si k es una constante, entonces x= k representa un
plano paralelo al plano yz; si y= k representa un plano paralelo al
plano xz y z = k, es un plano paralelo al plano xy .En la Figura 5,
la superficie de la caja rectangular esta formada por los tres
planos coordenados x=0 (el plano yz ), y=0 (el plano xz ), y z = 0
(el plano xy ), y los planos x=a , y= b, z= c.
EJEMPLO 2: Describa y dibuje la superficie en
la ecuación y = x
representada por
Solución: La ecuación representa el conjunto de todos los puntos en
, cuyas coordenadas x & y son iguales, esto
es {( x, y, z) x  , z  } , esto es un plano vertical que intersecta el
plano xy en la línea y = x , z=0. la porción de este plano que se ubica
en el primer octante dibujado en la figura 8.
P1  P2 entre dos puntos
en tres dimensiones es:
La fórmula de la distancia
P1 ( x1 , y1 , z1 ) y P2 ( x2 , y2 , z 2 )
Para ver porque ésta fórmula es verdadera, construiremos una caja
rectangular, como se muestra en la Figura 9, donde P1, y P2, son
vértices opuestos y los lados de la caja son paralelos a los planos
coordenados. Si A ( x1, y1, z1) y B( x2, y2, z2), son los vértices de la
caja indicada en la figura, entonces:
Ya que los triángulos P1BP2 y P1AB tienen ángulos rectos, aplicando
el teorema de Pitágoras tenemos:
y
combinando éstas ecuaciones, tenemos:
por lo tanto:
EJEMPLO 3: La distancia desde el punto P(2, -1, 7) al punto Q(1, 3, 5) es:
ESFERAS
Ecuación de la Esfera. Una ecuación de una esfera con centro C ( h, k, l) y radio r
es:
en particular, si el centro es el origen de la esfera:
2
2
2
2
x y z r
EJEMPLO 4: Encuentre la ecuación de la esfera con radio r y centro
C (h, k, l).
Solución: Por definición, una esfera es el conjunto de todos los
puntos P (x, y, z) cuya distancia desde C es r.( ver Figura 10). Así, P
se encuentra sobre la esfera si y solo si PC = r. Elevando al cuadrado
ambos lados, tenemos que: PC 2 = r2, ó:
EJEMPLO 5: Demuestre que x 2  y 2  z 2  4x  6y  2z  6  0
es la ecuación de una esfera, y encuentre su centro y su radio.
Solución: Podemos reescribir la ecuación dada en la forma de una
ecuación de una esfera, si completamos los cuadrados:
Comparando esta ecuación con la forma estándar, podemos ver que
es la ecuación de una esfera con centro ( -2, 3, -1) y radio 8  2 2 .
EJEMPLO 6: Qué región en R3 está representada por la siguiente
desigualdad?:
Solución: La desigualdad::
puede reescribirse como:
Esto representa los puntos ( x,y,z) cuya distancia desde el origen es
mayor o igual que 1 y menor o igual que 2, pero también tenemos que
z  0 , así los puntos se encuentran en o debajo del plano xy, de este
modo: x 2  y 2  z 2  1 y x 2  y 2  z 2  4 están debajo, o en el
plano xy(ver Figura 11).
Ejercicios 1.1(Para resolver en clase)
1. Supón que comienzas a moverte desde el origen, 4 unidades a lo largo de l eje x en la
dirección positiva, y después te mueves hacia abajo 3 unidades. Cuales son las coordenadas
de tu posición?
(4, 0 ,-3)
2.Cuál de los siguientes puntos se encuentra más cerca del plano xz, P(6,2,3), Q(-5,-1,4) ó
R(0,3,8)?. Qué punto se encuentra sobre el plano yz?.
Q; R
3. Describe y dibuje la superficie en
que representa la ecuación x +y =2.
4. Demuestra como el triángulo con vértices P(-2,4,0) ; Q(1,2,-1) y R(-1,1,2) es un
triángulo equilátero.
5. Determina si los siguientes puntos se encuentran sobre una línea recta:
(a) A(5,1,3), B(7,9,-1), C(1,-15,11)
(b) K(0,3,-4), L(1,2,-2), M(3,0,1)
(a) Sí; (b) No
6. Encuentra la ecuación de la esfera que pasa por el punto (4, 3 , -1) y que tiene centro
(3,8,1)
(x-3)2 + (y-8)2 +(z-1)2
7. Encuentra una ecuación de la esfera con centro (1,-4,3) y radio 5. ¿ Cuál es la
intersección de la esfera con el plano xz?.
8. Encuentra una ecuación de la esfera con centro (6,5,-2) y radio
intersección con cada uno de los planos coordenados.
7 . Describa su
9. Demuestra que la ecuación representa una esfera y determina su centro y su radio:
x 2  y 2  z 2  4x  2 y
10. Encuentra una ecuación de la esfera si uno de sus diámetros tiene puntos (2,1,4) y
(4,3,10).
TAREA 1.1.COORDENADAS RECTANGULARES TRIDIMENSIONALES
1. Dibuje los puntos (0,5,2), (4,0,-1),(2,4,6) y (1,-1,2) en un solo diagrama
tridimensional.
2. Cuáles son las proyecciones del punto (2,3,5) sobre los planos xy, yz, xz?.Dibuja un
cubo empezando en el origen y con su vértice opuesto en (2,3,5) y sus caras
paralelas al los planos coordenados. Encuentra la longitud de la diagonal del cubo.
3.
a) Que representa la ecuación x= 4 en 2 y que representa en 3?. Dibuja
b) Que representa la ecuación y = 3 en 3?. . Que representa z = 5?
c) Que representa el par de ecuaciones y =3, z=5. En otras palabras, describe
el conjunto de puntos (x,y,z) tales que y = 3 , z=5. Ilustra con un dibujo
4. Encuentra la longitud de los lados de un triángulo con vértices A(1,2,-3), B(3,4,2),y
C(3,-2,1). Es ABC un triangulo rectángulo?
5. Encuentra la distancia de (3,7,-5) a cada uno de los siguientes:
a) El plano xy
b) El plano yz
e) El eje y
f) El eje z
c)El plano xz
d) El eje x