Colección de problemas de álgebra para la capacitación intensiva

GEOMETRÍA

Halle el perímetro de la figura.

Un cuadrado tiene un área de 144 cm2. Si el cuadrado se parte en seis
rectángulos iguales, ¿cuál es el perímetro de cada uno de estos seis
rectángulos?

Calcular el perímetro de la región sombreada.

Calcular el área del cuadrilátero, si se sabe que el cuadrito sombreado mide 5
cm2.

El cuadrado ABCD y el rectángulo AEFG tienen cada uno un área de 36m2. Si
E es el punto medio de AB, ¿cuál es el perímetro de AEFG?

La figura que se muestra se ha construido con cuadrados iguales. Si el área
de la figura es 52 cm2, ¿cuánto mide su perímetro?

Un cuadrado tiene 100m2 de área. Si se disminuye cada lado del cuadrado en
un 10%, ¿en qué porcentaje disminuye el área?

Un cuadrado se divide en tres rectángulos congruentes. Si el perímetro de uno
de los tres rectángulos es 16 m, ¿cuál es el perímetro del cuadrado?

Se tiene una hoja de papel de forma cuadrada. Si se corta por la mitad
formando dos rectángulos iguales, el perímetro de cada uno de ellos es 18 cm.
¿Cuál es el perímetro de la hoja original?

Sea ABC un triángulo equilátero y P, Q y R los puntos medios de AB, BC y CA
respectivamente. Sean los vértices del triángulo los centros de los arcos PR,
PQ y QR. Si un lado del triángulo mide 6 ¿Cuál es el perímetro de la región
PQR?

Calcula el área de la región del problema anterior.

Sea el triángulo equilátero CDE ( CDE), el cuadrado ABCD comparte con el
triángulo el lado CD y el cuadrado DEFG comparte el DE. Encuentra el valor
del ángulo ADG (ADG)

Sea el triángulo ABC, tal que, AC = BC; prolongamos el lado BC y trazamos
por C una paralela al lado AB. Si el ACB = 50, encuentra el valor del ángulo
que se forma con la paralela y la prolongación del lado BC.

Sean en el triángulo ABC, AY y BX las alturas por A y B respectivamente y T la
intersección de dichas alturas. Si el ángulo ABC mide 50° y el ángulo BAC
mide 60°, ¿cuánto mide el ángulo BTY?

Sea el triángulo escaleno ABC, sea S un punto en el lado AB tal que SC = SB.
SBC = 55 y SCA = 20. Encuentra el valor del BAC.

En un cuadrado ABCD de lado 1, E es punto medio de la diagonal BD y F
punto medio de ED. ¿Cuál es el área del triángulo CFD?

Construye un semicírculo con diámetro AB, selecciona un punto D en el
diámetro. Construye los semicírculos con diámetros AD y DB, de tal manera
que éstos estén insertados en el primer semicírculo. La región delimitada por
los tres semicírculos es llamada: Cuchillo del zapatero. Comprueba que su
área es igual al área del círculo que tiene como diámetro el segmento
perpendicular a AB que parte de D y termina en el otro punto de intersección
con el semicírculo.

Cada lado del cuadrado ABCD mide 1m. Construye el cuadrado de lado sobre
e igual a la diagonal AC y llama K y P a los otros dos vértices del nuevo
cuadrado. ¿Cuál es el área del cuadrado AKPC?

La figura que se muestra es un cuadrado de 1m. de lado. Si el punto M se
encuentra a la mitad del lado AD, ¿cuál es el área de la región sombreada?

Se tiene un cubo de 2cm. de arista del cual hemos sacado un cilindro de 2 cm.
de diámetro y 2 cm. de altura. ¿Cuál es el volumen de la parte sobrante del
cubo?

La figura es un rectángulo de 3m x 4m. Se corta la diagonal AC en 3 pedazos
iguales por los puntos E y F. ¿Cuál es el área del triángulo BEC?

Dibujar la siguiente figura a escala 2:3 y 5:2.

Las siguientes figuras son simétricas con respecto a un eje n, que no aparece
en el dibujo. Encuentra la posición de dicho eje y trázalo.

En forma individual, realiza la traslación de la figura trazada a continuación;
para ello, considera la directriz d.

En forma individual, aplica la simetría central a la siguiente figura:

Dadas dos de sus diagonales, construye el rombo.

Dado el lado, construye el cuadrado.

Construye un polígono regular de 9 lados

Trazar los ejes de simetría de las siguientes figuras:

Trazar los simétricos de las siguientes figuras:

Trazar el incentro y el circuncentro de los siguientes triángulos.

Hallar el área del rectángulo ABCD en la siguiente figura

Un parque rectangular de 14m x 21m tiene un borde de concreto de 3 m. de
ancho. ¿Qué área tiene el borde?

La figura que se muestra tiene 4 unidades de alto y el área que encierra es de
10 unidades cuadradas. Si se construye una figura semejante que tenga 12
unidades de alto, ¿cuántas unidades cuadradas encerraría?

A un terreno cuadrado se le quitó una franja de 3 m de ancho en su costado
oriental y una franja de 4 m de ancho en su costado norte, con lo cual su
superficie quedó reducida a la mitad. ¿De qué tamaño era el terreno?

La figura representa un cuadrado de lado 4, en el que dos de sus lados se han
dividido en cuatro partes iguales por los puntos A, B, C y D, E, F,
respectivamente. Hallar el área de la figura sombreada.
o
ARITMÉTICA, CONTEO, PROBABILIDAD

Un total de 350kg. De queso es empacado en varias cajas, cada una de las
cuales contiene 1 ¾ kg. de queso. Cada caja es sellada y el sello cuesta
$1.75. ¿Cuál es el precio total de los sellos que se deben utilizar para
colocarlos en cada una de las cajas de queso?

Los integrantes del equipo de básquetbol de una comunidad han acordado
adquirir sus uniformes (short y playera) para participar en el torneo regional. Al
acudir a una tienda de artículos deportivos, reciben la información de que al
comprar 10 uniformes o más hay un descuento del 12 por ciento. Cada
uniforme cuesta $45.00. ¿Cuánto cuestan diez uniformes con el descuento del
12 por ciento?

La suma de los primeros 25 números naturales es 325, es decir:
1 + 2 + 3 + … +25 = 325 ¿Cuál es la suma de los siguientes 25 números
naturales: 26 + 27 + … + 50 = ?

El 70% de la población de un país habla un idioma X y el 60% de la misma
población habla un idioma Y. ¿Qué porcentaje de la población habla los dos
idiomas, si cada habitante habla por lo menos uno?

Dos engranes A y B fijos en su centro, con 630 y 180 dientes respectivamente,
funcionan acoplados. ¿Cuál es el menos número de vueltas completas que
debe dar B para que A dé también un número entero de vueltas?

Se sabe que el peso de un hombre en la luna corresponde a una sexta parte
de su peso en la Tierra. Un astronauta y su equipaje pesan en la luna 20kg. Si
el equipaje pesa en la Tierra 40kg, ¿cuál es el peso del astronauta en la
Tierra?

Se tienen dos cajas de canicas; una contiene canicas blancas y la otra de color
verde. Si por cada dos canicas blancas hay tres verdes, y en total son 100
canicas, ¿Cuántas canicas blancas hay?

Mi edad es un múltiplo de 7. El año entrante será un múltiplo de 5. Tengo más
de 20 años y menos de 80. ¿Cuál será mi edad dentro de seis años?

¿Cuántos mosaicos cuadrados de 2/5 m por lado se necesitan para cubrir una
superficie de 1 1/5 m de ancho y 8 2/5 m de largo?

La rueda delantera de una bicicleta tiene una circunferencia de 3 m. y la rueda
trasera tiene una circunferencia de 4m. Al recorrer 5280m, ¿cuántas vueltas
más da la rueda delantera que la trasera?

Hallar dos números que estén entre 1/3 y ½ tales que cuando los cuatro
números son ordenados por tamaño, la diferencia entre dos cualesquiera de
ellos que sean vecino es la misma.

Un pastel se corta quitando cada vez la tercera parte del pastel que hay en el
momento de cortar. ¿Qué fracción del pastel original quedó después de cortar
tres veces?

Un contenedor de 5 litros se llena con jugo de naranja. Se le quitan 2 litros de
jugo y se llena nuevamente con agua. Se mezcla muy bien y nuevamente se
quitan 2 litros de mezcla y se vuelve a llenar con agua. ¿Qué porcentaje de
jugo hay en la mezcla final?

Se suma el mismo número entero tanto al numerador como al denominador de
la fracción 2/5. La nueva fracción tiene un valor de 2/3. ¿Qué número fue
sumado tanto al numerador como al denominador de 2/5?

Calcula lo siguiente
3/8 + ¼ + 1/5 =
5/7 - 1/3 =
¾ X ½ =
4/5 : 1/3 =

Un electricista hizo una extensión a una instalación de luz y dispuso de dos
cables, uno de 10.30 m y otro de 3 ¾ de m, ¿cuál es la longitud total de esa
extensión?

Una camioneta repartidora de material didáctico debe realizar en dos días un
recorrido de 48.5 km. Si el primer día recorrió 27 4/10 km, ¿cuánto debe
recorrer el segundo día?

Se tienen 4.5 m. de listón y se dividirán en trozos de o.25 m. ¿Cuántos trozos
saldrán?

Un boticario tiene dos recipientes que contienen 19 3/8 l. de aceite de
almendras cada uno y debe distribuirlo en envases de 0.4 l. ¿Cuántos envases
puede llenar exactamente y qué cantidad de aceite le sobra?

Un marchista recorre 6 ½ km el lunes, 8 5/7 km. el martes, 10 km. el miércoles
y 3/7 km el jueves. ¿cuánto ha recorrido en los cuatro días?

Tenía $350.00 de los cuales perdí 2/5 partes y presté 2/7, ¿qué cantidad me
queda?

Una escuela tiene una población estudiantil de 175 alumnos, de los cuales 7/25
son mujeres, ¿cuántos hombres hay?

¿Cuál es el número cuyo cuadrado equivale a los ¾ de 12?

La base cuadrada de una pirámide mide 2 704 m2, ¿cuánto mide cada lado de
la base?

Un reloj de pulso no digital se atrasa un minuto cada hora. Si en este momento
muestra la hora correcta, ¿al cabo de cuánto tiempo volverá a mostrar la hora
correcta?

Una imprenta tiene los números de las páginas de un libro desde la 1 hasta la
150. Si la impresora usa una pieza para cada dígito de cada número, ¿cuántas
piezas tiene que usar la impresora?

Un bloque formado por 16 cubos de 1 cm2 tiene 4cm. De largo, 4cm de ancho y
1cm. De alto. Se pintan las seis caras del bloque y luego se separan los 16
cubos. ¿Cuántos de los cubos tienen pintadas un número par de caras?

¿Qué día de la semana será el día número 365 a partir de hoy si se sabe que
hace dos días fue domingo?

Si multiplico un número por 4, al resultado le sumo 8 y divido este nuevo
resultado entre 3, obtengo 28. ¿Cuál es el número inicial?

Se escriben los números del 1 a 999 en forma consecutiva, así:
1234567891011…998999
¿Cuántas cifras se escribieron?
¿Cuántos ceros y cuántos ochos se escribieron?
¿Qué cifra ocupa el puesto 540 en la serie de números escritos?

En la siguiente sucesión de números, cada número tiene un uno más que el
anterior:
1, 11, 111, 1111, …
¿Cuál es la cifra de las decenas de la suma de los primeros 30 números de la
sucesión?

De la suma de los primeros 80 enteros positivos pares se resta la suma de los
primeros 80 enteros positivos impares. ¿Cuál es el resultado final?

¿Cuántos múltiplos de 3 hay entre 10 y 226?

Una imprenta tiene los números de las páginas de un libro desde la 1 hasta la
150. Si la impresora usa una pieza para cada dígito de cada número, ¿cuántas
piezas tiene que usar la impresora?

Se elige al azar un número entre 100 y 999 (incluidos éstos dos) ¿Cuál es la
probabilidad de que todos los dígitos del número sean impares?

Si se escoge al azar un número entre 2 y 100 ¿Cuál es la probabilidad de que
el número sea primo? (Un número primo es aquél que sólo es divisible entre sí
mismo y entre el 1)

Una cafetería sirve un lunch especial, que consiste en sopa o ensalada, un
sándwich, café o té y un postre. La carta incluye 3 sopas, 2 ensaladas, 7
sándwiches y 8 postres, uno de los cuales es helado de chocolate. ¿Cuál es la
probabilidad de que un lunch elegido al azar incluya helado de chocolate?

En una fila de 100 personas, Alejandra ocupa el lugar 37 y Néstor el 67. Si se
elige al azar una persona de la fila, ¿cuál es la probabilidad de que esté entre
Alejandra y Néstor?

En una jarra hay 5 canicas, cada una de un color distinto: rojo, blanco, azul,
verde y amarillo. Si se sacan 4 canicas, ¿cuál es la probabilidad de que entre
ellas esté la amarilla?

Una jarra contiene 20 canicas: 4 rojas, 6 blancas y 10 azules. Si sacas una
canica por vez, al azar, ¿cuál es el mínimo número de canicas que debes sacar
para estar seguro de que tienes al menos dos de cada color?

Hay 27 estudiantes en un salón. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos tres
de ellos cumplan años el mismo mes?

En la selva, la hiena miente los lunes, martes y miércoles; la zorra miente los
jueves, viernes y sábados. En los días que no mienten, dicen la verdad. Un día
se encontraron la hiena y la zorra y sostuvieron este diálogo:
Hiena: ¡Hola zorra! Ayer yo mentí,
Zorra: ¡Hola hiena! Yo también mentí ayer.
¿En qué día sucedió este encuentro?
ALGEBRA

Una granjera lleva al mercado cierto número de huevos, que piensa vender a
10 centavos cada uno; rompe 6, pero vende los otros a 15 centavos cada uno y
regresa a su casa con 1 peso de más de lo que pensaba obtener. ¿Cuántos
huevos tenía al principio?

En la compra de tres cuadernos y seis lápices se pagaron $21.00; después se
compraron cinco cuadernos y tres lápices iguales que los primeros y se
pagaron $28.00. ¿Cuál es el precio de cada cuaderno y de cada lápiz?

Martín lleva en su cartera entre billetes de $50.00 y de $100.00, un total de
$350.00 Si tiene cinco billetes en total, ¿cuántos de $50.00 y cuántos de
$100.00 tendrá?

Carlos acuerda con Memo que realizará 10 tiros a la canasta, por cada uno que
acierte recibirá $10.00 y pagará $15.00 por cada tiro fallido. Si al término de
los lanzamientos Carlos recibe $25.00, ¿cuántos tiros buenos realizó y cuántos
fueron fallidos?

Jacinto tiene 3 canicas más que Martín; pero si Martín tuviera dos veces más
canicas, tendría 5 más que Jacinto, ¿cuántas canicas tiene cada uno?

Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados
sacos. Lamentábase el jamelgo de su enojosa carga, a lo que el mulo le dijo:
“De qué te quejas? Si yo te tomara un saco, mi carga sería el doble que la
tuya. En cambio, si te doy un saco, tu carga igualaría a la mía”. Decidme,
doctos matemáticos, ¿cuántos sacos llevaba el caballo, y cuántos el mulo?

Un voceador vende dos tipos de revistas, una cuesta 25 pesos y otro 40 pesos.
Si un día vende 100 revistas y obtiene 2800 pesos, ¿cuántas revistas vendió
de cada una?

En la compra de tres cuadernos y seis lápices se pagaron $21.00; después se
compraron cinco cuadernos y tres lápices iguales que los primeros y se
pagaron $28.00. ¿Cuál es el precio de cada cuaderno y de cada lápiz?

Martín lleva en su cartera entre billetes de $50.00 y de $100.00, un total de
$350.00 Si tiene cinco billetes en total, ¿cuántos de $50.00 y cuántos de
$100.00 tendrá?

Calcula lo siguiente: (3x2 + 3x – 5) + (7x + x2) + (8 – 4x + 6x2) =

Hallar la diferencia entre los perímetros de las siguientes figuras:
a–1
a–1
a + b

De x3 + 8x2y + 7y3 restar el polinomio que resulte de sumar:
o x3 + 8x2y – 3xy2 con –6x2y + 2xy2 – 4y3

Calcula lo siguiente: a3 + 7a2 + 7a - 7
a+5

Un terreno rectangular tiene un área de 476 m2 y un fondo de 28 m; ¿cuánto
mide de frente?

Juan tiene necesidad de adquirir tres paquetes de hojas y un libro de poesías
para sus trabajos escolares. Pagó en la papelería $58.00 en total. El costo del
libro es de $31.00; cuánto pagó por cada paquete de hojas?

Sandra y Josefina recibieron una gratificación al terminar su trabajo. A Sandra
le entregaron 6 vales y $10.00 y Josefina recibió 4 vales y $50.00. Si los vales
son de la misma denominación y las dos recibieron igual pago, ¿de qué
cantidad son los vales? ¿cuánto recibió cada una?

Entre Javier y Alex tienen $100.00. Si Javier gasta $40.00, el doble de lo que
le queda equivale al triple de lo que tiene Alex. ¿Cuánto tiene cada uno?

Resuelve y comprueba la ecuación siguiente: (x + 2) (x + 2) = (x + 3) (x + 4)

El número de días que trabajó Juan es cuatro veces el número de días que ha
trabajado Carlos. Sin Juan hubiera trabajado 9 días menos y Carlos 15 días
más, los dos habrían trabajado igual número de días. ¿Cuántos días trabajó
cada uno?

Encuentra tres números enteros impares consecutivos cuya suma sea 45

El precio de 3 kilogramos de carne y un litro de aceite es $68.00; el litro de
aceite cuesta $3.50; ¿Cuánto cuesta cada kilogramo de carne?

Margarita compra dos cuadernos y paga con un billete de $10.00; le dan de
cambio $3.40. ¿Cuánto costó cada cuaderno?

La edad de Toño más 45 años es igual al triple de su edad más 5; ¿cuál es la
edad de Toño?

La suma de tres números es 90. Si el segundo es 5 unidades mayor que el
primero, y el tercero ocho unidades mayor que el segundo, ¿cuáles son esos
tres números?

Un kilogramo de huevos y 2 kg de azúcar cuestan en total $8.00. ¿Cuánto
podría costar el kg. de huevos y cuánto el de azúcar?

El triple de un número menos el doble de otro es 58; ¿cuáles podrían ser esos
números?

Una persona que compra tres ramos de rosas y cuatro de claveles al reunirlas
cuenta 280 flores en total. ¿Cuántos claveles y cuántas rosas podría tener
cada ramo? (Señala cuatro respuestas)

Andrea compra en la papelería cinco cuadernos y dos lápices y paga $29.00.
Julio compra un cuaderno y cuatro lápices del mismo precio y paga $13.00. Al
salir comentan sobre sus adquisiciones y se preguntan cuál será el costo de
cada cuaderno y de cada lápiz.

Hallar dos números cuya suma sea 22 y su diferencia 8.

En la compra de dos productos se pagan $8.00. ¿cuál será el precio de cada
uno si la diferencia entre ambos es de $4.00?

El triple de un número más el séxtuplo de otro es igual a 3, y la diferencia del
doble del primero con el segundo es igual a ¼. Encuentra esos números..

A José y a Lupe su tío les heredó un terreno rectangular dividido de la siguiente
forma: para José hay un área de 25x2 y para Lupe una de 15x2. Si el terreno
tiene de ancho 5x, ¿cuál será el largo total del terreno?

Obtén el área de las siguientes figuras geométricas:
un cuadrado de lado 2a
un rectángulo con base 2x + 3 y altura ¼ x
un triángulo con base 3x + 1 y altura 2x – 5

Se tiene un terreno cuadrangular de 225 m2 de área y se desea bardear con
malla. ¿Cuántos metros de malla serán necesarios para bardearlo?

Se desea colocar plantas en un terreno circular que mide de área 28.26 m 2.
Las plantas estarán distribuidas en cuatro de los diámetros del círculo a una
distancia de 50 cm. cada una. ¿Cuántas plantas serán necesarias?

Un ladrón se apoderó de una bicicleta y huyó por carretera a velocidad de 20
km por hora; se advierte el robo 3 minutos después de la salida del ladrón y un
ciclista se lanza en su persecución a una velocidad de 22 km por hora. ¿Al
cabo de cuánto tiempo lo alcanza?

Un ciclista avanza a una velocidad de 25 km por hora en terreno plano; 15 km
por hora en subida y de 30 km por hora en bajada. ¿Cuánto recorrió en plano,
en subida y en descenso, en una carretera de 100 km, sabiendo que empleó 4
horas con 24 minutos en la ida y 4 horas con 36 minutos en el regreso?

Un rectángulo tiene dos lados que miden 4 m y 7m respectivamente. ¿Cuánto
debemos aumentar a uno de los dos lados para que, disminuyendo al mismo
tiempo el otro lado la misma longitud, la superficie sea de 24 metros
cuadrados?

Un campo tiene la forma de un cuadrado; se pregunta cuánto mide un lado de
este cuadrado, sabiendo que si se agregan 2m a uno de los lados y que se
disminuyen 10m al otro, se obtiene un rectángulo cuya superficie es de 88
áreas.

Un informe tiene que ser mecanografiado con urgencia y sólo hay 2 secretarias
para hacerlo. Una de ellas lo haría sola en 2 horas, ésta trabaja 1.5 veces más
rápido que la otra, ¿cómo tendremos que dividir el informe entre ellas para que
esté listo lo más rápido posible?

Verónica tenía algunos libros en su cuarto que decidió regalar a sus amigos. A
Juan le dio la mitad de los libros más la mitad de un libro; a Pablo le dio la
mitad de los libros que le quedaban más la mitad de un libro y a Andrés le
regaló el único libro que le quedaba, ¿cuántos libros regaló Verónica?

Pedro lee en promedio 30 páginas por hora. Mientras que María lee un
promedio de 40 páginas por hora. Si Pedro empieza a leer una novela a las
4:30 pm y María empieza la misma novela a las 5:20 pm, a qué hora van a
estar leyendo la misma página?

Un análisis demostró que 40 litros de una solución tenía desinfectante al 20%.
Si se necesita una solución al 40%, ¿cuántos litros de una solución al 60% se
tendrá que agregar?

En un pueblo, dos terceras partes de los hombres están casados con dos
quintas partes de las mujeres. ¿Qué fracción de la gente del pueblo es
casada?

Dos árboles de 20m y 30m de altura tienen unas cuerdas colgando desde lo
más alto de cada árbol hasta la parte más baja del árbol contrario. Si los
árboles están separados por 40m, ¿a qué altura de la tierra las cuerdas se
cortan?

Una obra vende boletos de preventa en $40 y a $50 el día del espectáculo. Un
total de 480 personas entraron a la obra y se obtuvieron $21 000. ¿Cuántas
personas compraron boleto de preventa y cuántas el día del espectáculo?

Para crear tinta naranja se necesita mezclar 3 partes de tinta roja con 2 partes
de tinta amarilla. Para hacer tinta verde se necesitan mezclar 2 partes de tinta
azul con 1 parte de tinta amarilla. Si la misma cantidad de tinta verde y naranja
es mezclada, cuál es la proporción de tinta amarilla en la nueva mezcla.
TEOREMA DE LOS SENOS
Sea ABC un triángulo y a, b, c los lados opuestos a los vértices A, B y C
respectivamente. Entonces:
(a / sen A) = (b / sen B) = (c / sen C) = 2R
Veamos la demostración del teorema en el caso en que el centro del círculo que
circunscribe a ABC queda dentro del triángulo:
Sea el ∆ABC inscrito en una circunferencia de centro O y radio R, CJ diámetro y BJ
cuerda. <CBJ es recto, por tanto:
sen J = a/CJ = a/2R
<J = <A, por tanto:
(a / sen A) = 2R
Con construcciones similares tenemos que:
(b / sen B) = 2R
(c / sen C) = 2R
Se concluye entonces que:
(a / sen A) = (b / sen B) = (c / sen C) = 2R
1) Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos
es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.
Sea el triángulo rectángulo ABC, con ángulo recto en C, traza la altura sobre el lado
AB. Llama D al pie de esta altura. Los triángulos ADC y CDB son semejantes, lo
mismo ocurre con los triángulos BCA y CDA.
Como los triángulos CDB y ABC son semejantes, obtenemos: CB/AB = DB/CB, de
donde (CB)2 = (AB)(DB). Como los triángulos BCA y CDA son semejantes, tenemos
que CA/AD=AB/CA, de donde (CA) 2 =(AB)( AD). Al sumar, tenemos que:
(CB)2 + (CA) 2 = (AB)(DB) + (AB)(AD)
De esta igualdad, al factorizar y sustituir, se obtiene que:
(CB)2 + (CA) 2 = (AB)2
2) Determina la altura del árbol que se muestra en la figura de dos maneras distintas.
Construct a regular pentagon. This is a difficult and beautiful problem, for which several
solutions are available. The following solution is quite straight- forward and starts with
an analysis of a regular decagon. Then, when that has been constructed, we can easily
get the pentagon by joining alternate vertices of the decagon.
Suppose such a regular decagon has been inscribed in a unit circle (radius = 1) and
that we have drawn radii OA, OB to the ends of one side AB. Then, in this isosceles
ΔAOB we have OA = OB = 1, and ‹AOB = 36º (Why?).
Then each base angle will have measure 72º and AC, the bisector of ‹BAO, will form
two isosceles triangles, ∆AOC and ∆BAC. (Show why). Thus, BA = AC = CO = X and
CB = 1- X. But, since ∆AOB ~ ∆BAC (Why?), we have the proportion 1/X = X/(1 – X),
which leads to the equation X² + X – 1 = 0. This equation has two roots, one of which
has geometric significance: X = ½(√5 – 1), since it is the length of a segment that we
can construct, as follows.
At any point A of a line, erect a perpendicular of legth 1 = OA, and construct the unit
circle (O,1) tangent to that line at A. On the line, make AP = 2 and then draw OP. Then
OP = √5 and PQ = √5 – 1. Finally, the perpendicular bisector of PQ gives us QR = ½
(√5 - 1) = X, and we can now lay off on the circle: X = QR = AB = BC = ... = IJ. Of
course, the regular pentagon is found by joining alternate vertices A, C, E, G, I.