EJERCICIOS- PROGRAMACIÓN LINEAL 1. (J-01)

EJERCICIOS- PROGRAMACIÓN LINEAL
1. (J-01) En un depósito se almacenan bidones de petróleo y de gasolina. Para poder atender la
demanda se han de tener almacenados un mínimo de 10 bidones de petróleo y 20 de gasolina.
Siempre debe haber más bidones de gasolina que de petróleo, siendo la capacidad del depósito de
200 bidones. Por razones comerciales, deben mantener un inventario de al menos 50 bidones. El
gasto de almacenaje de un bidón de petróleo es de 20 pesetas y el de uno de gasolina de 30
pesetas. Se desea saber cuántos bidones de cada clase han de almacenarse para que el gasto de
almacenaje sea mínimo.
a) Exprésense la función objetivo y las restricciones del problema.
b) Representa gráficamente la región factible y calcula los vértices de la misma.
c) Resuelve el problema.
2. (J-00) Una empresa, especializada en la fabricación de mobiliario para casas de muñecas,
produce cierto tipo de mesas y sillas que vende 2 2000 pts y 3000 pts por unidad, respectivamente.
Desea saber cuántas unidades de cada artículo debe fabricar diariamente u n operario para
maximizar los ingresos, teniendo las siguientes restricciones:
El número total de unidades de los dos tipos no podrá exceder de 4 por día y operario.Cada mesa
requiere 2 horas para su fabricación; cada silla, 3 horas. La jornada laboral máxima es de 10 horas
El material utilizado en cada mesa cuesta 400 pts. El utilizado en cada silla cuesta 200 pts.
Cada operario dispone de 1.200 pts diarias para material.
a) Exprésense la función objetivo y las restricciones del problema.
b) Representa gráficamente la región factible y calcula los vértices de la misma.
c) Razona si con estas restricciones un operario puede fabricar diariamente una mesa y una
silla, y si esto le conviene a la empresa.
d) Resuelve el problema.
3. (J-99) Los alumnos de un instituto pretenden vender dos tipos de lotes, A y B, para sufragarse
los gastos del viaje de estudios. Cada lote de tipo A consta de una caja de mantecados y cinco
participaciones de lotería; cada lote de tipo B consta de dos cajas de mantecados y dos
participaciones de lotería. Por cada lote de tipo A vendido los alumnos obtienen un beneficio de
1.225 pesetas y por cada lote de tipo B de 1.250 pesetas. Por razones de almacenamiento, pueden
dispones a lo sumo de 400 cajas de mantecados. Los alumnos sólo cuentan con 1.200
participaciones de lotería y desean maximizar sus beneficios.
a) Determina la función objetivo y expresa mediante inecuaciones las restricciones .
b) ¿ Cuántas unidades de cada tipo de lote deben vender los alumnos para que el beneficio
obtenido sea máximo? Calcula dicho beneficio.
4. - Halla los puntos del recinto que hacen máxima o mínima z= 3x+y, sujetos a las restricciones:
x+y  100; 2x-y 100; x  0; 0 y  200 . Lo mismo para f(x,y)= 2x-y y las restricciones: 3x-y  12;
x-2y  -6 ; x  0; y  0. Indica los puntos donde la función alcanza dichos máximo y mínimo.
5. Minimiza la función z=3x+4y sujeta a las restricciones:2x+3y 36; 2x+2y 28 ; 8x+2y 32
6. Minimiza la función z= 5x-7y sujeta a las restricciones:2x- y 8, x- 2y-8 ; x+y5; x0; y0
7. Calcula los puntos del recinto 2x + y  20 , 2x - y  20,
máxima la función z= 2x+y. ¿Cuánta soluciones hay?
0  y 20, que hacen mínima o
8. Igual que el anterior con z= x+y , siendo las restricciones:4x+y 10; x+y 20 ; x0; y 0
9. Igual que el anterior con f(x,y)=7-5y , siendo las restricciones:
2x - y  -2;
2x - y  2 ;
x + y  3;
x + y  6.
10.Describir mediante un sistema de desigualdades la región interior del polígono convexo con
vértices en los puntos O= ( 0, 0) , A= (0 , 4) , B= ( 4 , 0) , C= ( 3, 3).
11. Un fabricante de papel utiliza pulpa de papel usado y madera para hacer dos tipos diferentes de
papel. Una tanda de papel del tipo A se hace con 180 kg de pulpa de papel usado y 40 kg de
madera, mientras que una tanda del tipo B se hace con 150 kg de pulpa de papel usado y 10 kg de
madera. El fabricante dispone de 660 kg de pulpa de papel usado y de 100 kg de madera.
Una tanda de papel del tipo A produce un beneficio de 50.000 pts, mientras que una del tipo B
produce 25.000 pts. Calcula la cantidad de tandas de cada tipo de papel que deberá fabricase para
obtener el máximo beneficio posible. Determina dicho beneficio máximo.
12. En una consulta médica, una visita rutinaria de un paciente requiere 10 minutos del personal de
enfermería, 5 minutos de los médicos y 5 minutos de laboratorio. Una visita exhaustiva requiere 5
minutos del personal de enfermería, 25 minutos de los médicos y 10 minutos de laboratorio.En una
semana, el personal de enfermería dispone de 6.250 minutos, los médicos de 11.000 y el
laboratorio de 5.000. La consulta gana 3000 pts. por cada visita rutinaria y 5.000 por cada visita
exhaustiva.
a) Encontrar y dibujar la región factible y decidir razonadamente si la consulta puede realizar 450
visitas rutinarias y 350 exhaustivas cada semana.
b) Determina el numero de visitas de cada clase que hace máximo el beneficio.
13. Un club de jubilados quiere organizar un viaje para 200 socios. Contratan una agencia que
dispone de 4 microbuses de 25 plazas y 5 autobuses de 50 plazas, pero sólo dispone de 6
conductores. El alquiler de los autobuses es de 16000 pts. por día y el de los microbuses, 7000 pts.
En estas condiciones, ¿cómo deben hacer para que el costo del viaje sea el menor posible?.
14. Una empresa de automóviles tiene dos plantas P y Q de montaje de vehículos en las que
producen tres modelos A, B y C. De la planta P salen semanalmente 10 unidades del modelo A , 30
del B y 15 del C. De la planta Q salen semanalmente 20 unidades del modelo A, 20 del B y 70 del
C. La firma necesita al menos 800 unidades de A, 1600 de B y 1800 de C. Si el gasto de
mantenimiento de cada planta es de 6 millones de pesetas semanales, determina el número de
semanas que ha de funcionar cada planta para que el coste de producción sea mínimo.
15.- Para fabricar chasis de un modelo de automóvil se dispone de 10.000 m2 de chapa y 14.000
m2 de pintura. Se fabrican dos tipos de chasis, uno de ellos con una sola capa de pintura y el otro
con dos capas. Cada chasis tiene 20 metros cuadrados de superficie y las ganancias netas son de
300 ptas por m2 para la chapa y 500 ptas por m2 para la pintura. ¿ Qué cantidad de cada tipo de
chasis conviene fabricar para que la ganancia sea máxima?
16. Un fabricante de salchichas utiliza tres ingredientes de los que posee las siguientes cantidades:
500 kg. de carne de ternera, 300 kg. de carne de cerdo y 400 kg. de relleno. La receta para hacer
salchichas de ternera requiere 1 kg. de carne de ternera por paquete. La recete para hacer
salchichas normales necesita medio kg. de carne de cerdo, un cuarto de kilo de carne de ternera y
un cuarto de kilo de relleno. El beneficio que se obtiene con las salchichas normales es de 70 ptas
por cada paquete vendido y con las salchichas de ternera es de 80 ptas. ¿Cuántos paquetes de
cada clase deberá fabricar para obtener el mayor beneficio posible?
17.Se pretende confeccionar bocadillos de jamón y queso, reforzando algunos con el doble de
jamón. Cada bocadillo normal contiene 50 gramos de queso y 50 de jamón. Se dispone de 100
kilos de queso y de 140 de jamón . Cada bocadillo normal reporta 120 ptas. de ganancia y 190 los
reforzados. ¿Qué cantidad de cada tipo conviene confeccionar para obtener la máxima ganancia ?
18. Minimiza la función F(x,y) = x+4y sobre la región delimitada por:
x + 2 y  1,
3 x + 2 y  2, x  0, y  0.
19. Una fábrica de muebles ha de decidir su producción de un modelo de silla S y de uno de mesa
M. Cada silla requiere 10 dm3 de madera y 8 horas de trabajo de los ebanistas. Cada mesa exige
30 dm3 de madera y también 8 horas de trabajo de los ebanistas. En el almacén se dispone de
5.000 dm3 de madera. La plantilla de ebanistas debe trabajar exactamente 2.400 horas mensuales.
La ganancia de la fábrica es de 4.000 ptas. por cada silla y 12.000 ptas por mesa. Suponiendo que
la venta de la producción está asegurada y que los ebanistas se dedican exclusivamente a fabricar
las sillas S y las mesas M, ¿ qué número de sillas y de mesas han de fabricar para que las
ganancias sean máximas.?
20. Una compañía posee dos minas: la mina A produce diariamente 1 tonelada de hierro de alta
calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad; la mina B produce cada día 2 toneladas
de cada una de las tres calidades. La compañía necesita , al menos , 80 toneladas de mineral de
alta calidad, 160 de mineral de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario
de la operación es de 200.000 ptas. en cada mina, ¿cuántos días debe trabajar cada mina para que
el coste sea mínimo.
21. Un almacén de confección que dispone de 70 camisetas, 120 camisas y 110 pantalones, hace
liquidación de existencia. Quiere ponerlas a la venta en dos tipos de lotes: el lote A, formado por 2
camisas, 1 pantalón y 1 camiseta, se venderá a 600 ptas cada uno; el lote B, formado por 1 camisa,
2 pantalones y 1 camiseta, se venderá a 700 ptas cada uno. Calcula cuántos lotes conviene que se
hagan de cada clase para obtener el máximo de ganancias y cuánto dinero ingresarán por su
venta.
22. Una fábrica produce gasolina gasoil en las siguientes condiciones: puede producir como
máximo una tonelada de cada producto el mínimo operativo es de 100 kg. por producto. Los
precios de venta son de 40 pts/kg la gasolina y de 32 pts/kg el gasoil. Si produce en total 1700 kg,
¿ cuál será la producción que maximiza los ingresos?
23. Un taller artesano produce sillas y silloncitos. Para su construcción tienen que pasar por las
secciones de carpintería y tapicería, que funcionan durante un máximo de 9 y 8 horas diarias
respectivamente. Los silloncitos necesitan 1 hora de trabajo en crpintería y 2 en tapicería. En
cambio, las sillas requieren 3 horas de carpintería y 1 de tapicería. Sabiendo que el beneficio que
se obtiene de las sillas es el doble del obtenido con los silloncitos, calcula la producción diaria de
cada tipo para maximizar el beneficio.
24.Un cinéfilo dispone de 2.000 ptas. a la semana para ir al cine. Las salas donde puede ver
solamente una película cuestan 400 ptas., mientras que las que ofrecen dos películas cuestan 300
ptas. Si desea ir al menos una vez a la semana a las salas más caras , ¿cómo debe distribuir su
asistencia a ambos tipos de locales para poder ver el mayor número de péliculas a la semana? En
tal caso, ¿le sobra dinero?
25. Una cooperativa debe construir al menos 45.000 m2. de viviendas. debe construir viviendas de
dos tipos : Las de tipo A son de 150m2 y su coste es de 10 millones de pesetas. Las de tipo B
tienen una superficie de 250m2 y su coste es de 20 millones. En total no pueden construirse más de
250 viviendas y de las del tipo B se hará, a lo más, el doble que las de tipo A. ¿Cuántas deben
edificarse de cada tipo para que el coste sea mínimo?
26. Considérese la región R del plano determinada por las condiciones:
x  0; y  0; -x + 5y  5; -5x + 3y  15. Se pide:
a) Representa gráficamente la región R y determina los puntos de la región R en los que se
alcanzan los valores máximo y mínimo de la función f(x , y)= x + y
b) Calcula dichos valores máximos y mínimos.
27. Dibuja la región definida por las siguientes desigualdades y determina en ella el punto en el
que la función F(x,y)=x+2y toma el valor máximo. x+y  19, 4x-3y  -15, 5x+2y  33
28. Dada la función g(x,y) = 2x+y y las restricciones 0  x - 3y + 7; 1  x + y ; 1  x - y;
0  x + y - 5. Hallar los pares (x,y) para los que g(x,y) toma sus valores máximo y mínimo.
29.- Se considera la función f(x,y) = 12x + 8y. Determina el punto donde la función toma su valor
mínimo con las siguientes restricciones. 20x + 25y  100, 35x + 10y  70
30.- Un orfebre dispone de 1 kg de oro. Recibe un encargo por el que debe confecionar medallas
de dos tamaños y el número de medallas pequeñas tiene que ser al menos el doble del de las
grandes. Además, esas medallas deben contener 100 y 50 gramos de oro respectivamente. El
orfebre sabe que la confección de cada medalla grande le reporta una ganancia de cuatro tercios
de la que obtiene con cada pequeña. ¿Cómo se tiene que organizar para obtener el mayor
beneficio?.
31. Un pastelero puede utilizar para elaborar sus productos dos ingredientes fundamentales. Crema
o nata. El kg de crema cuesta 2.000 pts. Y el de nata 1.200 pts.
Con cada kg de crema puede elaborar 2 cajas de pasteles de clase A y 4 cajas de pasteles de
clase B. Con cada kg de nata puede elaborar 3 cajas de pasteles de clase A y 2 cajas de pasteles
de clase B.
Si el pastelero necesita elaborar al menos 4 cajas de pasteles de clase A y 6 de clase B, calcula los
kg de crema y de nata que debe adquirir para que el gasto sea mínimo, y determina dicho gasto
mínimo.
32. Una compañía aérea dispone de aviones de 100 y 200 plazas. Los aviones de 100 plazas
tienen 15 puestos de primera clase y 85 de turistas. Los aviones de 200 plazas tienen 25 plazas de
primera y el resto de turista. Determina la forma de repartir a 36.000 pasajeros, de los que 5.000
son de primera clase, en el menor número de aviones posible.
33. Una empresa tiene dos centros de producción en los que se fabrica tres tipos de productos: A,
B y C. Sus compromisos comerciales consisten en entregar semanalmente 18 unidades del tipo A,
16 del tipo B y 6 del tipo C. El primer centro de producción le cuesta diariamente 106 pesetas y
produce cada día 9 unidades de A, 4 de B y 1 de C. El segundo centro le cuesta diariamente 8·10 5
pesetas y produce cada día 3 unidades de A, 4 de B y 3 de C. ¿Cuántos días por semana debe
trabajar cada centro para que, cumpliendo los compromisos comerciales, los costes de producción
sean mínimos.
34. Un comerciante desea comprar dos tipos de frigoríficos : F1 y F2 . Los de tipo F1 cuestan 30.000
ptas. cada uno y los del tipo F2, 50.000 cada uno. Sólo tiene espacio para almacenar 20 frigoríficos
y dispone 700.000 ptas. para hacer la compra. ¿ Cuántos frigoríficos ha de comprar de cada tipo,
teniendo en cuenta que debe comprar necesariamente de los dos tipos, para obtener beneficios
máximos con su venta posterior, y sabiendo que en cada frigorífico gana el 30% del precio de
comprar? ¿Existe más de una solución?
35. Una elaboradora industrial de mermelada puede envasar dos tipos de contenedores de
mermelada, que denotaremos A y B. Ambos tipos contienen dos ingredientes: azúcar y fruta, y la
elaboradora dispone de 400 kg. de azúcar y 900 kg. de fruta.
Un contenedor de mermelada de tipo A requiere 5kg. de azúcar y 10kg. de fruta, mientras que uno
del tipo B requiere 1kg. de azúcar y 15 de fruta.
Si por cada contenedor del tipo A, la elaboradora gana 2.000 ptas. y 1.000 ptas., por cada uno de
tipo B, hallar cuántos debe envasar de cada tipo para conseguir una ganancia máxima. (Puede
suceder que el último envase no quede lleno).
36. Los precios de venta de dos productos A y B son 3.000 ptas. Y 2.000 ptas. Por kilo,
respectivamente. La producción por día en kilos de A es mayor o igual que la tercera parte de la
producción de B y menor o igual que el triple de la de B. La suma de los kilos producidos entre
ambos productos cada día no puede superar los 12 kilos. Determina el número de kilos que se han
de fabricar cada día de cada producto A y B, para maximizar el beneficio. Calcula dicho beneficio.
37. Determina el valor de a y b para que la función objetivo F(x,y)= x + y adquiera su valor máximo
en el punto (3,2) de la región definida por las inecuaciones:
x  0
y  0
x + 3y  a
2x + y  b
38. Dibuja la función definida por las siguientes desigualdades y determina en ella el punto en el
que la funciòn F(x, y)= 6x + y toma el valor máximo.
-2x + 9y  0,
5x + y  47,
x + 2y  22 ,
x  0
39. Una empresa produce dos artículos A y B y tiene dos fábricas. En la primera, producir una
unidad del artículo A cuesta 6 días-operario y una del B cuesta 2 días-operario , estando limitada la
producción total a 300 días-operario. En la segunda fábrica producir una unidad del A cuesta 2
días-operario y una del B también 2 días-operario, estando limitada la producción a 140 díasoperario. Sabiendo que el beneficio por unidad del artículo A es de 600ptas. y del B de 300ptas. por
unidad, calcula la producción de A y B para obtener un beneficio máximo.
40. Una conservera dispone diariamente de 350 kg. de mejillones que debe envasar en latas de
dos tamaños: normal y familiar. Las latas de tamaño normal llevan 140gm. de mejillones y suponen
un beneficio de 30 ptas. por lata. Las de tamaño familiar llevan 440gm. de mejillones y su beneficio
es de 100 pts. por lata. Por razones de producción, al menos el 70% de las latas deben ser de
tamaño faniliar. ¿Cuál debe ser la producción para que el beneficio sea máximo?
41. Dibuja la región definida por: 5x+7y35, 6x-y  42, 3x+2y  36, -2x+3y  15 y determina en ella
el punto en el que z =2x+y toma el valor máximo.
42.- Dibuja el recinto del plano formado por los puntos (x,y) que verifican el sistema de
inecuaciones lineales: 8x + y  32, 5x + 2y  20, 2x + 3y  30 y determina los puntos de dicho
recinto que hacen máxima F(x,y) = x + y
43.- Sea z=f(x,y) = 4x+5y. Determina el punto donde la función toma el valor máximo con las
restricciones: 4x + 3y  90, 2x + y  20, 5x + 12y  120, x  0, y  0.