Momento de inercia de una varilla delgada homogénea

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Momento de inercia de una varilla
delgada homogénea
Respecto a un eje perpendicular a la varilla que
pase por su CM. Resolución aproximada
utilizando solamente 6 elementos finitos:
 M  5 2 M  3 2 M  1 2 
M L2
25  9  1
I CN  2  L  
 L 
 L   2
6  12 
6  12  
6 144
 6  12 
70
ML2
I CN 
ML2 
864
12,3428
Respecto a un eje perpendicular a la varilla que pase por un extremo. Resolución aproximada utilizando
solamente 6 elementos finitos.
 M  11  2 M  9  2 M  7  2 M  5  2 M  3  2 M  1  2 
I E    L 
 L 
 L 
 L 
 L 
 L  
6  12 
6  12 
6  12 
6  12 
6  12  
 6  12 
M L2
121 81  49  25  9  1  286 ML2
IE 
6 144
864
2
ML
IE 
3,0210
Como se puede apreciar con este cálculo aproximado de muy poca precisión, el momento de inercia
respecto a un eje E que pase por un extremos es varias veces, aproximadamente 4, superior al momento
de inercia respecto al eje que pasa por el centro de masa de la varilla.
Para obtener un resultado más cercano al exacto hay que incrementar el número de elementos finitos en
que se divide la varilla.
Pero para obtener el resultado exacto hay que
dividir la varilla en n elementos y hacer n  .
Pero de esta manera la masa de cada elemento
M/n  0. Es decir la masa de cada elemento es
infinitesimal y por lo tanto la designaremos con
dm. Entonces la sumatoria que hemos realizado
en los cálculos aproximados ahora se transforma
en una integral. Lo hacemos para el eje que pasa
por un extremo.
L
x3
I E   r dm   r  dV   x  S dx   S
3
VOL
0
2
2
L
2
0
L3  S L  L2  VL2 ML2
 S



3
3
3
3
En este caso particular la solución aproximada con solamente 6 elementos finitos dio bastante cerca de la
solución exacta por medio de la integración, es decir con infinitos elementos infinitesimales. La solución
aproximada con solamente 6 elementos finitos dio un 99,3 % de la solución exacta. Esto significa que si
nos tomamos el trabajo de tomar más elementos finitos estaremos muy cerca de la solución exacta. Pero
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por otro lado hallar la solución exacta en este caso es un procedimiento muy sencillo ya que tenemos
que integrar solamente en una dimensión.
En problemas más generales, determinar un momento de inercia implica la realización de una integral
triple (las tres dimensiones del espacio)
Cuando dicha integral triple no tiene solución analítica se puede recurrir al procedimiento de los
elementos finitos. Con 1000 elementos finitos se pueden logra soluciones muy buenas. Existe software
que permite realizar este tipo de cálculos.
También existen procedimientos numéricos aproximados para realizar integrales que no tienen solución
analítica y también existe software en dónde sólo debemos ingresar la expresión de la integral y nos da el
resultado.
Volviendo al problema de la varilla. La solución exacta del momento de inercia de la varilla delgada
homogénea respecto aun eje perpendicular que pasa por un extremo E es:
ML2
IE 
3
La solución exacta para el momento de inercia respecto aun eje perpendicular al varilla respecto a un eje
que pasa por el CM es:
I CM 
ML2
12
Entonces el momento de inercia IE es mayor, 4 veces mayor, que el momento de inercia ICM. Dicho de
otro modo el momento de inercia IE se puede considerar como el momento de inercia CM más una
ML2 ML2

 I`
“cantidad” I`. Veamos…
3
12
ML2 ML2 ML2
I `


¿Cuánto vale I`?
3
12
4
Ahora bien, la distancia que separa ambos ejes considerados en este caso es L/2 (la mitad de la longitud
2
ML2
 L
de la varilla). La “cantidad” I` puede ser interpretada del siguiente modo: I `
 M   M  d 2
4
2
Donde d es la distancia entre el eje E que pasa por un extremo y el eje CM que pasa por el centro de
masa. Por lo tanto… I E  I CM  M  d 2
Esto se puede interpretar así. El momento de inercia respecto al extremos E es igual a la suma del
momento de inercia respecto al CM más el momento de inercia de una “partícula”, de igual masa que la
varilla, ubicada a una distancia d del extremo E.
Como veremos, esto es un caso particular de una propiedad general de los cuerpos rígidos, que se
denomina teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos.
Problema: ¿Cuál será el momento de inercia de una varilla delgada homogénea respecto a un eje que
pasa por un extremo pero que no es perpendicular a la varilla?
En principio, me parece que el resultado debe ser menor que el hallado anteriormente. ¿Por qué? Porque
cada elemento de masa, ahora está más cerca del eje que en el caso de la varilla perpendicular. Veamos un
esquema…
3
Cada elemento de masa dm está a una
distancia del eje x que ahora es l sen , por lo
tanto toda la varilla está más cerca del eje y el
momento de inercia debe ser menor a ML2/3.
La fórmula que hallemos debe cumplir con la
condición que para  = 90º debe dar ML2/3.
Los límites de integración son ahora x1 = 0 y
x2 = Lsen .
El elemento de volumen hay que expresarlo
en función del diferencial de longitud que
ahora no coincide con el dx.
Otro problema: Una varilla delgada está construida de manera que la mitad de la izquierda está hecha de
madera y la mitad de la derecha de hierro. El momento de inercia de la varilla respecto al extremo
derecho, ¿será mayor, menor o igual al momento de inercia respecto al extremo izquierdo?
El problema anterior pero con datos numéricos: Longitud de la varilla L = 1 metro. Área de la sección
transversal S = 3 cm2. Densidad de la madera M = 0,8 g/cm3. Densidad del hierro Fe = 7,8 g/cm3.
a) Calcular el momento de inercia de la varilla respecto al extremo izquierdo (lado de madera)
b) Calcular el momento de inercia de la varilla respecto al extremo derecho (lado de hierro)
c) Calcular el momento de inercia de la varilla respecto a un eje perpendicular que pase por el centro
geométrico de la varilla (en la unión madera-hierro)
d) Determinar el centro de masa de la varilla indicando a qué distancia se encuentra de cada uno de
los extremos.
e) Calcular el momento de inercia respecto a un eje que pase por el CM.
Algunas respuestas y ayudas…
Para la varilla inclinada. Momento de inercia respecto al eje que
ML2
sen 2 
pasa por un extremo: I E 
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Para la varilla mitad de madera y mitad de hierro. Masa de la mitad
de madera m1 = 0,12 kg. Masa de la mitad de hierro m2 = 1,17 kg.
a) 0,6925 kgm2
b) 0,1675 kgm2
c) 0,1075 kgm2