Hablemos de cisternas Escuela Profr. (a):

Hablemos de cisternas
Plan de clase (1/3)
Escuela: _________________________________________________ Fecha: _________
Profr. (a): ____________________________________________________________
Curso: Matemáticas 2 Secundaria
Eje temático: MI
Contenido: 8.3.6. Representación algebraica y análisis de una relación de
proporcionalidad y = kx, asociando los significados de las variables con las cantidades que
intervienen en dicha relación.
Intenciones didácticas: Que los alumnos determinen y comparen la relación de
proporcionalidad directa y  kx con respecto a una relación de la forma y  ax  b , a
través de tablas y su expresión algebraica.
Consigna: Organizados en equipos, lean la información y hagan lo que se pide.
1. Consideren una cisterna A y una cisterna B, que tienen la misma capacidad. La
cisterna A tiene 500 litros de agua, mientras que la cisterna B esta vacía. Se abren al
mismo tiempo las llaves para llenar ambas cisternas y caen, en cada una, 10.5 litros de
agua por minuto.
a) Anoten las cantidades que hacen falta en las tablas.
Cisterna A
Tiempo (min)
Cantidad de agua (litros)
Cisterna B
Tiempo (min)
0
1
0
2
3
2
3
4
4
5
5
6
7
6
Cantidad de agua
(litros)
1
7
b) Representen con la letra x el número de minutos y con la letra y la cantidad de agua
contenida en cada cisterna y expresen algebraicamente la relación entre las dos
columnas de cantidades de cada tabla.
Cisterna A: ______________________________
Cisterna B: ______________________________
c) ¿Cuántos litros de agua tendrá la cisterna A a los 20 minutos de abrir la llave de
llenado? _______________________
¿Cuántos litros tendrá la cisterna B en el mismo tiempo? ____________________
d) Si ambas cisternas tienen una capacidad de 2 000 litros de agua, ¿en cuanto tiempo
se llenarán?
Cisterna A: _______________________ Cisterna B: _________________________
Consideraciones previas:
Es probable que algunos alumnos pasen por alto que, en el minuto cero, antes de que se
abran las llaves, la cisterna A ya tiene 500 litros, este posible error será señalado
fácilmente por otros alumnos durante la puesta en común.
Es importante que al analizar las expresiones algebraicas, todos los alumnos tengan claro
el significado de cada literal, de las operaciones que se indican y de las posibles maneras
de representarlas. Por ejemplo, para la cisterna B pueden surgir expresiones como
y=10.5x; 10.5x = y, o bien, 10.5 (x) = y; que son maneras diferentes de representar lo
mismo.
Para el caso de la cisterna A, es posible que los alumnos obtengan expresiones
equivalentes como por ejemplo:
y= 10.5x + 500
o bien
x = (y-500)/10.5
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso
para usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
Relación de longitudes
Plan de clase (2/3)
Escuela: ________________________________________________ Fecha: __________
Profr. (a): ____________________________________________________________
Curso: Matemáticas 2 Secundaria
Eje temático: MI
Contenido: 8.3.6. Representación algebraica y análisis de una relación de
proporcionalidad y= kx, asociando los significados de las variables con las cantidades que
intervienen en dicha relación.
Intenciones didácticas: Que los alumnos expresen algebraicamente una relación de
proporcionalidad directa y = kx, utilizando un coeficiente fraccionario o número decimal.
Consigna: En equipos, resuelvan los problemas. Pueden utilizar calculadora.
1. Completen la tabla y expresen algebraicamente cómo cambia y (longitud de la
circunferencia) en función del valor de x (longitud del diámetro).
x
(longitud del diámetro)
y
(longitud de la
circunferencia)
3 cm
9.42
Expresión algebraica
4.5 cm
10 cm
15.2 cm
24 cm
a) Consideren la expresión y = kx, ¿cuál es el valor de k en la expresión que
encontraron? ________
b) La fórmula C =  x D es la misma que y = kx, sólo que con otras literales. ¿Qué
valores pueden tomar C, , D, de acuerdo con la información de la tabla?
C = ____________
 = ___________
D = ___________
2. Para pintar un edificio de departamentos, se necesita comprar pintura de diferentes
colores, si con el tipo de pintura seleccionada se cubren 24 m2 por cada 4 litros:
a) Anoten las cantidades que faltan en la tabla.
m2
litros
30
48
72
120
180
240
b) ¿Qué expresión algebraica permite conocer la cantidad de litros cuando se conoce
el número de metros cuadrados por cubrir? ________________
Consideraciones previas: Para el primer problema, es de esperarse que los alumnos
expresen la relación entre las cantidades de la tabla con y = 3.14 x y que logren identificar
a 3.14 como el valor constante k. Al comparar las expresiones y = kx y la fórmula C =  x
D es importante determinar que los valores de y y C dependen de los valores que tomen x
y D respectivamente, y que  es un valor constante.
En el segundo problema es posible que contesten con la expresión y = 6x, lo cual es un
error, pero hay que procurar que ellos lo detecten. Se puede preguntar: ¿la cantidad de
litros (y), es igual a la cantidad de metros cuadrados (x) multiplicada por seis? Hay que
probar la expresión con algunos valores para que se den cuenta de que no funciona.
También puede solicitarles que encuentren la expresión que relaciona los metros
cuadrados en función de los litros de pintura, es decir, y = 6x. La expresión que contesta el
1
problema es y =
x.
6
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso
para usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
Frenar a tiempo
Plan de clase (3/3)
Escuela: _______________________________________________ Fecha: ___________
Profr. (a): ____________________________________________________________
Curso: Matemáticas 2 Secundaria
Eje temático: MI
Contenido: 8.3.6. Representación algebraica y análisis de una relación de
proporcionalidad y= kx, asociando los significados de las variables con las cantidades que
intervienen en dicha relación.
Intenciones didácticas: Que los alumnos determinen si dos conjuntos de cantidades
representan una relación de proporcionalidad y=kx y escriban la regla general que expresa
dicha relación.
Consigna: En equipos, resuelvan el siguiente problema.
1. Se sabe que la distancia que necesita un automóvil para frenar completamente es
directamente proporcional a la velocidad que lleva. Al probar uno de sus nuevos
modelos de autos, una compañía determinó que para una velocidad de 60 km/h el auto
necesita una distancia de frenado de 12 metros.
a) Elaboren una tabla que exprese la relación entre los dos conjuntos de cantidades,
velocidad y distancia de frenado. La distancia de frenado debe ir desde 12 metros
hasta un metro.
b) Expresen con palabras la regla general que permite obtener las distancias de frenado a
partir de las velocidades. _________________________________________________
_____________________________________________________________________
c) Expresen algebraicamente la regla general que encontraron. _____________________
d) Utilicen la regla general para encontrar las cantidades que faltan en la siguiente tabla.
Velocidad km/h
Distancia de
frenado
80
100
120
150
e) ¿Cuál es la velocidad que corresponde a una distancia de frenado de 20 metros?
______________________________________________________________________
Consideraciones previas:
En caso de que los alumnos tengan dificultad para determinar la regla general que
representa la relación entre las dos columnas de la tabla, se sugiere plantear preguntas
como las siguientes:
¿Qué operación se le tiene que hacer a un número de la columna que representa las
velocidades para obtener el número que corresponde a la comuna de distancias de
frenado? o ¿qué operación se le tiene que hacer a un número de la columna que
representa las distancias de frenado para obtener el número que corresponde a la
columna de velocidades?
Dependiendo de las literales que vayan a usar, pueden llegar a expresiones equivalentes
como:
x
y
o x  5y
5
Si esto sucede, vale la pena analizarlas con todo el grupo, sustituyendo los datos de la
tabla en cualquiera de las dos expresiones generales, para comprobar que se obtiene el
mismo resultado, dado que son expresiones equivalentes.
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
___________________________________________________________________
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3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso
para usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
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