4115.pdf

N ~ ~ I o sPOLIM34IOS
,
Y CUESTIONES DE h E B R A LINEAL
Jobt-#~&uef Pacheco Cabt&a.o
Las t r e s preguntas b á s i c a s d e toda indagación d i d a c t i c a son: L ~ U ( ? &cSmo?/
,
-
y &cuUndo?. A veces podemos e n c o n t r a r l a s formuladas con o t r a s p a l a b r a s , pero
e l l o no a f e c t a r 6 a l o s r e s u l t a d o s que deseamos obtener.
&Qué?. En l o que s e r e f i e r e a n h e r o s pretendemos: a) Reconocer l a necesi--
dad de l a e x i s t e n c i a d e d i v e r s o s t i p o s d e entidades numéricas; b) a d q u i r i r a o l t ~
r a en l o s c(l1culos con e l l a s . Para e l apartado d e polinomios e l problema s e
red^
c e a: Operar con h a b i l i d a d , reconocer l a Intima r e l a c i ó n d e e s t o s o b j e t o s con
-
l o s d i v e r s o s campos numáricos y h a b i t u a r s e a l a s notaciones usuales. E l Algebra/
Lineal debe p r e s e n t a r s e como un cuerpo d e d o c t r i n a coherente, pues v i e n e a reprE
s e n t a r l a primera oportunidad d e h a c e r l o a n t e l o s alumnos. La s e l e c c i ó n d e l matc
r i a l para e s t e caso e s c l l s i c a .
&Cómo?. Números: I n s i s t i r en l o s a s p e c t o s operativos y fundamentar l a s s u c z
s i v a s extensiones en i n t u i c i o n e s g e a n é t r i c a s y l o p r o v i s t a s por l o a mecanismos
-
d e l cllculo.
Polinomios: Poner l n f a s i s en l a s r e l a c i o n e s con l o s c o e f i c i e n t e s y l e resol u c i b n d e ecuaciones. Algebra Lineal: Con e l méximo r i g o r e x p o s i t i v o , s i n presc i n d i r de l a i n t u i c i d n g e a n é t r i c a .
&CuUndo?. Lar e x t e n s i o n e s de l a i d e a de nGmero deben de e x p l i c a r s e de modo/
c l c l i c o . AsI pues, una veo i n t r o d u c i d o s l o s números r a c i o n a l e s debe v o l v e r s e sob r e e l l o s a l e s t u d i a r l o s polinanios. l a s funciones continuas, e t c . En cada ex-tensidn c f c l i c a s e añadir& a l g o d e r i g o r conceptual. Por t a n t o , l o a nGmeroa s e
-
-
extenderán a l o l a r g o d e l o y 2- , excepcidn hecha d e l o s complejos, que deben
Los polinomios s e r á n m a t e r i a de 1' , con un pequeño repaso/
r e s e r v a r s e para 3'
.
obligado en
3- a l u t i l i z a r l a descomposici6n en f r a c c i o n e s simples. E l ~ l g e b r a /
b l o s c u r r s s d e B.U.P.
deben d e conocer l o s alumnos e l manejo de l o s núme-
r o s e n t e r o s y racionales. Desgraciadamente l a p r a c t i c a e s muy o t r a , y por e l l o
-
han d e d e s t i n a r s e a l p n a s s e ~ i o n e sde c l a s e a l comenzar e l 1' para repasar e inclumo i n t r o d u c i r e s t a s nociones.
El o r i g e n d e l f r a c a s o s e h a l l a b8~icamente en e l exceso de formalizaci6n
que padece la enseñanza primaria, donde s e abandona e l c8lcul0, perjudicandose
-
-
asS la h a b i l i d a d de operar.
Por t a n t o , e n l a primera e t a p a se l l e v a r á n a cabo l a s s i g u i e n t e a activida-desr
a ) Repaso, calculando, de l a s operacionea a r t i m é t i c a s en
b) Adlisis s a a e r o de l a ordenacidn en
Q
. Reconocer
Q
.
l a densidad d e l orden.
C) Expresidn decimal de l o s nGmeros r a c i o n a l e s . Periodicidad. T r a n s f o m a - c i 6 n d e unas expresiones en o t r a s y orden l e x i c o g r á f i c o .
d ) iúoci6n de ndmero aproximado y de e r r o r .
1- 2 .
M 1STEN
" N ~ R o sQUE
" NO SON ELEMENTOS DE Q
L.8 i d e a s de C ) y d) d e l apartado 1.1 nos s e r v i r a n para ampliar e l cempo ng
d r i c o da l o s r a c i o n a l e s .
i ) E1 teorema sobre l a periodicidad de l a exprenidn decimal indica que lnn/
u p r e i i o n e s no p e r i 6 d i c a s repreaentan o t r o t i p o de o b j e t o s .
i i ) Un repaso d e l Algaritmo d e Euclides nos permite obtener l o que sigue:
Algoritmo d e Euclides y
D e s a r r o l l o de
f
en f r a c c i s n continua
v i s i h d e números no racionales. Parece además, razonable. que cortandc
ción por cada "piso" obtendremos aproximaciones d e l número dado. E l l o r
y puede v e r s e en c u a l q u i e r t e x t o c l á s i c o .
i i i ) Un ejemplo gecmétrico con consecuencias a l g e b r a i c a s : La secci
- - - -AB
si AC
CB
AC
, diraaoa
g
--
8
que
C
divide a
de modo Bureo. Se
AB
e s un "n(lmcrol' no r a c i o n a l , y l o calcularemos. Supongamos
1
Entonces CB
, luego g 1 + 1
g
8
ABS puea
-
AB = g
y
-
que, segGn l o a n t e r i o r . no e s r a c i o n a l . SU valor es:
a ) Calculando por "pisos":
b) De
g
-
1
+ -1
8
tendremos
1, 2
i r:,5, V I ...
,- - -
g2 - g - 1= 0
luego
( S
1 ' 6 1 8 . . . p ara
1 +J5 = 1' 618
g = -2
Eata iegundn v e r ~ i b nnos dare una idea importante: 1.n~ frnccioiiw
periódicos o r i g i n a n ecuaciones d e Z0 grado. Luego l a s soluciones de ecu
d e 2* gtado con c o e f i c i e n t e s r a c i o n a l e s pueden no s e r r a c i o n a l e s .
1.3. &CULO
Lo
&S
PF&TICO
CON NÚIWOSRACICWLES E IRRACIONALES
necesario d e las i d e a s que s e exponen a continuacibn e s l o
t e : "Decidir que e l manejo d e l o s nGmeros r a c i o n a l e s e i r r a c i o n a l e s pue
s e b i e n coa expresiones cerradas, simbblicas, v.g.
2
, i/5 , n ,...
8
o
expresiones decimales, y e s t u d i a r c d n d o s e r á más conveniente u s a r unas
Veremos tambisn l a p r e c i s i d n de u t i l i z a r nGmeros aproximados y l a s cons
nes gréf i c a s p e r t i n e n t e s .
Las nociones de aproximacidn por exceso y por d e f e c t o son inmediat.
de suma u t i l i d a d por l a s e s p e c i a l e s propiedades de l a s s u c e s i v a s reducidas.
N t+cular
no racionalea
con nümeros aproximados s e hard n o t a r siempre que l o s nGmeros
representan siempre por s u s aproximaciones r a c i o n a l e s .
-
La u t i l i z a c i b n d e expresiones c e r r a d a s e n l o s c é l c u l o s p r e s e n t a v e n t a j a s
c r e n c i a i e r de t i p o a l g e b r a i c o (p.ej., s i m p l i f i c a c i o n e s en l o s cElculos) que de--
maparecen a 1 sustituirlas por l a 8 aproximaciones r a c i o n a l e s . La p r o l i f e r a c i ó n d e
Las c a l c u l a d o r a s de u n o ha c o n t r i b u r d o negativamente a l d e s a r r o l l o de l a habi-Lidad de clllculo a b s t r a c t o . Esto nos s i r v e p a r a j u s t i f i c a r e l c l 6 s i c o c a p f t u l o
-
robre e l manejo d e a p r a s i o n e s i r r a c i o a i i l e s .
Los a r p e c t o s geométricos que pueden s e r relacionados con l o dicho a n t e r i o r e n t e son l o s s i g u i e n t e s :
1.- Conitruccibn g e m e t r i c a de l o s r e s u l t a d o s de l a s operaciones algebrai-aen
q
y R .
2.- Construccidn de nGmeros i r r a c i o n a l e s .
'
Para
1 nos b a a t a r d e l teorema d e Thales y e l manejo de r e g l a y compds.
S-:
t r a a l r c i b de segmentos.
Producto y c o c i e n t e
Teorema d e Thales
cociente
Para el apartado 2, precisamos algunas construcciones, Únicamente lc
cionales
ñ
'
v
pueden construirse por el teorema de Pitdgoras obteniendo
lla figura en espiral. En trazo continuo van las
La construcción del nGmero bureo
pues
g
-7
1
(1+
f7) :
g
t
& que son racionales:
se reduce, como sabemos a la dc
También e s i n s t r u c t i v o e f e c t u a r alguna construcción aproximada d e l número
(ea aabido que l a t e no puede a e r construido con r e g l a y cwpás):
XY-r-UV
AB
-
r
-
BC = r
CD r
Z D - m aprox.
D
.
C
y t r a t a r de obtener, por ejemplo mediante e l método de Gregory (polfgonos i n s c r
t o # y c i r c u n s c r i t o s ) algunos v a l o r e s aproxfmados, e t c .
Ver p. e j . Wheeler "R i s f o r Real" (open Univ. Press, 1974).
11 i a p e c t o formal de "que e s un polinoaio" debe d a r s e por supuesto y oper
s i e a p r e con l a expreai6n
a(
+ a,x + ...+ anxn
.
Ente e s un buen p i n t o para i n t r o d u c i r l a notación abreviada d e l sumatorio.
Se repaaarll todo l o n e c e s a r i o s o b r e c o e f i c i e n t e s , grado, r e g l a s d e l a a r i t m é t i c
e t c . No este d e m a s i n s i s t i r sobre e l p r i n c i p i o de igualdad de polinomios y ac
r a r que l a n a t u r a l e z a de l o a c o e f i c i e n t e s e s l o que da caraccer a l o s polinomio
r e s t o , d e l f a c t o r y r e g l a de R u f f i n i . Habremos de o f r e c e r una demostración
t a Gltima con e l máximo r i g o r . Aplicación a l c á l c u l o de i r r a c i o n a l e s : Con 1
t e r i o r s e habrs introducido y a e l concepto de r a f z , a s í que é s t e es e l mome
de hacer e l e s t u d i o c m p a r a t i v o e n t r e l a d i v i s i b i l i d a d en Z
y en e l a n i l l
l o s p o l i n m i o s . En e s t e punto s e volver5 sobre e l estudio de l o s coeficient
d e l p o l i n a a i o y su i n f l u e n c i a en l a naturaleza de l a s raíces.
2.1.
INVESTIGACI~N
DE LAS
(= l .5).
RA~CESDE LOS POLINOMIOS
E s t e c a p í t u l o debe t r a t a r s e d e l a s i g u i e n t e forma:
- DefiniciSn d e r a í z .
- Polinoaioa con c o e f i c i e n t e s e n t e r o s . Raíces e n t e r a s y r a c i o n a l e s de
polinoaios.
- Las r d c e s d e un polinoaio piden no pertenecer a l mismo t i p o num€ri
que l o s c o e f i c i e n t e s .
Naturalmente, e l t e r c e r punto e s e l m6s i n t e r e s a n t e . Lo comentaremos a
miis extensamente.
A p l i c a d o l a r e g l a de R u f f i n i sabemos que l a s r a í c e s e n t e r a s de un pol
mio c m c o e f i c i e n t e s e n t e r o s dividen a l termino independiente. Supongamos
1
tales polinmios
Y sea
f
una f r a c c i d n i r r e d u c i b l e . Sustituyendo x
e
P
+
a,
+ ...+f
an
-
O
por
tendremos:
s i ea r a f z
Por canto:
de donde: e l e n t e r o
Dado que
b
e s d i v i s o r de ambos miembros.
es irreducible y
S i s e reordena l a ecuacidn en
fraccion irreducible
bia,,"
.
b)anan
a
, deducimos
, obtendremos
e s r a í z d e l polinoaio
a,
que
que
+a
x+
blan
alal
.
.
A s í que:
...+ anxn
si
"L
al a
r o s r e a l e s con l o s polinomios:
"Si e l polinomio con c o e f i c i e n t e s e n t e r o s
a.
+ a x+
. . . + a n-i xn-'
+ xn
no -
t i e n e r a f c e s e n t e r a s , s u s r a f c e s no son r a c i o n a l e s " .
-
Asf l a s cosas, obtenemos un gran conjunto de expresiones i r r a c i o n a l e s : r/Z
e s r a f z de
xZ - 2
. Las r a f c e s de e s t e polinomio no pueden
no r a c i o n a l e s , asf que, probando
i1
y I2
e s una expresidn no r a c i o n a l . La generalización para o t r o s
Podemos probar l a i r r a c i o n a l i d a d d e
s e r mas que e n t e r a s o
vemos que no son r a í c e s , luego
n
/2
e s inmediata.
fl d e s a r r o l l á n d o l a en f r a c c i d n c o n t i -
nua:
De e s t a manera queda puesto de r e l i e v e e l hecho de que l o s c o e f i c i e n t e s de/
un p o l i n w i o no determinan la n a t u r a l e z a de l a s r a í c e s . Dado que Z c Q
mos c o n c l u i r e s t e apartado e s t a b l e c i e n d o que Q
, podre-
no e s un cuerpo algebraicamente
cerrado. (A l a hora de e x p l i c a r e s t o s e d i r á de o t r o modo, c l a r o e s t 6 ) . Este
es
e l mwento d e i n s i s t i r en l a c l a s i f i c a c i 6 n de l o s polinomios i r r e d u c i b l e s .
Asf como l o s nGmeros r e a l e s surgen d e e n t r e l o s r a c i o n a l e s a p a r t i r de prob l e m a ~de aproximaci¿h,
e s t o e s , problemas a n a l f t i c o s , y no vemos l o s aspectos -
a l g e b r a i c o s de s u introduccidn h a s t a hacer e l e s t u d i o d e l o s polinomios; l o s nGmeros complejos pueden hacerse aparecer por e s t a v í a s i n más. Desde luego surgen
. d e modo n a t u r a l en l a s ecuaciones de 2 " grado. y é s t a s e r á l a modalidad más simp l e para e x p l i c a r l o s . Lo importante en e s t o : (Esbozo d e l teorema fundamental d e l
Ulgebra). Para polinomios con c o e f i c i e n t e s en Q
chos grados (ver e l teorema d e 2.1).
, los
hay i r r e d u c i b l e s de mu-
mios i r r e d u c i b l e s son d e primer grado, o de segundo grado r e d u c i b l e s a l t i p o
x2 - a
( a < O).
-
S i l o s c o e f i c i e n t e s son r e a l e s , l o s polino-
Pues b i e n , s i tomamos c o e f i c i e n t e s en
C
,
-
l o s polinomios de e s t e
Gltimo t i p o s e resuelven en producto d e o t r o s de primer grado. Luego
C
es alge
braicamente cerrado.
Los a s p e c t o s g e w é t r i c o s de l o s complejos pueden r e s e r v a r s e para un curso
de geometría y trigonometrfa planas.
-
en l a Enseñanza Uedia de
l o s primeros axicmas h a s t
e l Slgebra l i n e a l que debemos e x p l i c a r habr6 de contener l a t e o r f a de l o s
c i o s v e c t o r i a l e s ( r e a l e s ) de dimensión f i n i t a , con e l r i g o r necesario, has
poner e l teorema de ~ o u c h é - ~ r o b e n i u s .Esto e s c l á s i c o y no voy a i n s i t i r
el
e l l o . En l a t e o r f a d e l á l g e b r a l i n e a l siempre hay un e s c o l l o d i f f c i l , y e s
c a r l a t e o r í a d e l o s determinantes. Dado que exponer e l glgebra t e n s o r i a l
f u e r a d e l u g a r , encuentro recmendable d e f i n i r e l determinante por su desa
siguiendo una l í n e a , para luego, aduciendo cuando sean p e r t i n e n t e s l o s con
necesarios, deducir d e a h l l a s propiedades. En e n t e nentido c l l i h r o (Ir
Kit
(Algebra general) e s excelente.
Los r e s u l t a d o s que han d e t r a t a r s e por métodos de álgebra l i n e a l son
conocidos :
-
Discusidn y resolucidn d e ristemas de ecuaciones.
Establecimiento de ecuaciones de f i g u r a s r e c t i l f n e a s y planas en e l
cio.
-
Reconocimiento de operaciones l i n e a l e s , aún cuando no sea en espacj
dimensidn f i n i t a ( v . g . derivadas, i n t e g r a l e s ) .
- Introduccidn d e l manejo de metodos
- Otros que puedan s u r g i r .
3.1.
ASPECTOS PR~TICOS
matriciales.
DE LA RESOLUCI~NDE
SISTEMS
E s t e punto ha llegado a s e r considerado como primordial debido a l au)
l a s c a l c u l a d o r a s de mano. Vamos a a n a l i z a r s ó l o un par de métodos: E l métc
construcción d e l a m a t r i z ioversa o r e g l a de Cramer, y e l método de Causs
E l método de Cramer t i e n e l a v e n t a j a de su c a r a c t e r t e ó r i c o que perm
t r o d u c i r e l concepto d e m a t r i z inversa, j u s t i f i c a n d o sobradamente todos 1,
sos. Por conocido no i n s i s t i m o s 4 s e n e l l o . El metodo d e Causs t i e n e l a
.
d e s e r rápido d e c á l c u l o s cuando l o s c o e f i c i e n t e s son e n t e r o s o racionale:
d e puede u t i l i z a r s e como metodo a l t e r n a t i v o en e l c á l c u l o de c a r a c t e r í s t
matrices. S i l o s c o e f i c i e n t e s son números a r b i t r a r i o s , t a n t o uno como o t r .
do r e s u l t a n complicados y acrmiulan e r r o r e s . E l p r i n c i p a l aspecto p r á c t i c o
todo de Gauss e s s u f a c i l i d a d para programarlo en ordenadores. Ponemos un
plo:
a l l # O : D i v i d i r l a primera ecuación por
1. S i
ciente de
x
igualado a
1
aI
I
. Así
quedar6 e l c o e f g
.
2. H u l t i p l i c a r l a primera ecuacidn por
-a
3. M u l t i p l i c a r l a primera ecuación por
-a
12
13
y sumar a l a segunda.
y sumar a l a t e r c e r a .
En e s t e punto l a s i t u a c i ó n e s :
a i 2 + 0 : D i v i d i r l a segunda ecuacidn por
4 . Si
c i e n t e de
y
igualado a
1
oJ2
. Así
.
5. M u l t i p l i c a r l a segunda ecuación por
-a:,
y sumar a l a t e r c e r a .
Obtendremos a s f e l s i g u i e n t e sistema
Cuya r e s o l u c i d n e s inmediata "hacia atrbn".
Escribiendo
bl = a b
quedar6 e l r o e f j
, b2 = a b 2 , b,
a b 3 podemos hacer :
Q
a'',
+O
-NO-
(error)
Que es un "programa facilito" para
L ~ S
posibilidades de
generalizació