ACGS_TI_soluciones_ej_03

TECNOLOGÍA INDUSTRIAL
Unidad 3. Sistemas mecánicos
SOLUCIONES EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1.- Un motor gira a 750 rpm. En la salida tiene acoplado a su eje un engranaje de 15
dientes que engrana con un engranaje conducido de 45 dientes.
¿Qué velocidad llevará el engranaje conducido en r.p.m. y en rad/s)
Para hacerlo se aplica la fórmula: i 
En este caso se conoce:
Por tanto W 2 = W 2 
W2
Z
 1
W1
Z2
W 1 = 750 rpm
Z1 = 15 dientes
Z2 = 45 dientes
Z1
15
 W1 
 750  250 rpm. Es decir en un minuto da 250 vueltas.
Z2
45
Para transformar el resultado a rad/s se tiene que tener en cuenta que:
1 revolución = 2  rad
1 minuto = 60 segundos.
Por tanto para transformar revoluciones a radianes hay que multiplicar por 2  y para
transformar los minutos en segundos dividir por 60.
250  2
Es decir : 250 rpm =
 26,18 rad/s
60
2.- La dinamo de una bicicleta puede ser un ejemplo de ruedas de fricción. Se conoce el
diámetro de la rueda que es de 700 mm y de la rueda de la dinamo que es de 3 cm. Para
hacer los cálculos más exactos se mide la distancia desde la banda de rodadura de la
dinamo al exterior de la rueda que es de 30 mm. Si la velocidad de la bicicleta es de 18
km/h, ¿a qué velocidad angular girará la rueda de la dinamo?
En primer lugar se calcula la velocidad angular de las ruedas a partir de la velocidad lineal de la
bicicleta. Para ello se transforman primero de km/h a m/s sabiendo que:
1 km = 1000 m
1 h = 3600 s
1 h
1000 m
km

18


 5 m/s
h 3600 s 1 km

De esta forma se sabe que el exterior de la rueda tiene una velocidad lineal de 5 m/s. la
fórmula que relaciona velocidad lineal y angular es: v = w · R.
En este caso: w = 5 /0,35 = 14,3 rad/s
En este caso la rodadura en la rueda se produce a 32 cm del eje, por tanto D1=64 cm. El eje de
la rueda de la dinamo es D2 = 3 cm. Si se aplica la fórmula:
i
W2
D
 1
W1
D2
La velocidad de la rueda de la dinamo es:
D
64
W 2  1  W1 
 14,3  305,07 rad/s = 2913,2 rpm
D2
3
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3.- En un sistema formado por dos ruedas de fricción la distancia entre sus ejes es de
27cm. Si la relación de transmisión es de i = 8. ¿Cuál es el diámetro de las dos ruedas?
W2
D
 1.
W1
D2
En este caso se conoce el valor de i = 8 y de la suma de los radios de las dos ruedas que es
24 cm. Por tanto se tienen dos ecuaciones:
8 = D1/D2
R1+R2= 27
teniendo en cuenta que el diámetro es el doble del radio la segunda ecuación
D
D
quedaría 1  2  27
2
2
De aquí se deduce que D1+D2= 54 y que D1 = 54 – D2
En este caso la relación de transmisión es i 
Sustituyendo en la primera ecuación: 8 
54  D 2
D2
De ella se deduce que D2= 6 cm.
Y por tanto D1 = 48 cm.
4.- En el tren de engranajes de la figura se tienen los siguientes datos: Z1 = 20; Z2 = 40 ;
Z3 = 10 ; Z4 = 50.
Calcular la velocidad de salida w2 si la w1 es igual a 40 rpm.
Z1
w1
Z3
Para los trenes de engranajes la fórmula de la relación de transmisión es:
i = producto de ruedas conductoras / producto de ruedas conducidas
En este caso la relación de transmisión es: i 
Z1  Z 3
20  10

 0,1
Z2  Z4
40  50
Z2
w2
Z4
5.- En la figura se representan dos engranajes rectos. Se sabe que el módulo del piñón
es 2 mm y que su diámetro primitivo es 6 cm. La corona tiene 40 dientes. Calcular:
a) el número de dientes del piñón
b) la relación de transmisión
c) el diámetro primitivo de la corona
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a) De un engranaje la fórmula que relaciona el módulo (m), diámetro primitivo (d) y número de
dientes (Z) es:
d
m
Z
60
En este caso para el piñón será: 2 
; por tanto Z1 = 30 dientes
Z1
b) Para calcular la relación de transmisión se tiene como dato el número de dientes de la
Z
corona. Por tanto aplicando directamente la fórmula: i  1
Z2
i
30
 0,75
40
d
ya
Z
que la condición para que engranen las dos ruedas dentadas es que tengan el mismo
módulo: Por tanto:
d
2
40
El díametro primitivo será de 80 mm.
c) Para calcular el diámetro primitivo de la corona se vuelve a utilizar la fórmula: m 
6.- Un coche tiene un motor que entrega en el cigüeñal una potencia de 110 CV al girar a
2500 rpm. Las ruedas giran a 1000 rpm. Si se desprecian las pérdidas en la transmisión:
a) calcular el par motor en el cigüeñal
b) calcular la relación de transmisión entre el cigüeñal y las ruedas.
c) qué par motor hay disponible en las ruedas
d) si el diámetro de las ruedas es de 65 cm, ¿qué velocidad llevará el coche?
a)
La fórmula que relaciona la potencia y el momento es:
P = M·w
Siendo P la potencia en vatios, M el momento en N·m y w la velocidad angular en rad/s.
En este caso se transforma la potencia y la velocidad angular:
P = 110 CV = 110 · 735 = 80850 w
w = 2500 rpm = 2500 ·2/60 = 261,8 rad/s
Por tanto el par motor del eje del motor será: M = P/w = 80850/261,8 = 308,8 N·m
b) La relación de transmisión se define como: i 
W2
W1
En este caso no es necesario hacer la conversión ya que ambas velocidades se dividen,
por tanto:
i = 1000/2500 =0,4
c) Como se desprecian las pérdidas en la transmisión del movimiento a las ruedas la
potencia entregada en éstas será de 110 CV.
Por tanto se aplica la misma fórmula que en el apartado anterior transformando la
velocidad angular a rad/s: w2=1000 rpm = 104,72 rad/s
Por tanto el par motor será: M2 = P/w = 80850/104,72 = 772 N·m
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También se podría haber calculado directamente por la relación de trasmisión i 
M1
M2
Por tanto M2 = M1/i = 308,8/0,4 = 772 N·m
d) La velocidad lineal se puede calcular a partir de la velocidad angular y del radio de las
ruedas: v = w·R
La velocidad angular de las ruedas es: w =1000 rpm = 104,72 rad/s
El radio de las ruedas es: R = 0,65/2= 0,325
Por tanto la velocidad lineal será: v = 104,72·0,325 = 34,034 m/s = 122,5 Km/h
7.- El siguiente esquema muestra una transmisión de movimiento por correas y poleas,
con sus respectivos diámetros.
En la polea de diámetro 120 mm se transmite la potencia del motor y la carga se conecta
a la polea de diámetro 140 mm que tiene que girar a 150 rpm con un par resistente de 30
N·m. El rendimiento del sistema es del 95%.
a) Calcular la velocidad angula de la polea de diámetro 80 mm
b) Calcular la velocidad angular de la polea de 120 mm.
c) Calcular la potencia que tiene que transmitir el motor
d) Calcular el par motor.
 80
 140
 120
 220
Para facilitar la explicación se van a denominar:
Polea 1 = Polea de diámetro 120 mm
Polea 2 = Polea de diámetro 220 mm
Polea 3 = Polea de diámetro 80 mm
Polea 4 = Polea de diámetro 140 mm.
a) La fórmula i 
d3
w
 4 relaciona los diámetros y las velocidades angulares, por tanto:
d4
w3
d
150  140
w3  w4  4 
 262,5 rpm
d3
80
b) Para calcular la velocidad angular de la polea 1 se parte de que las velocidades
angulares de las poleas 2 y 3 son iguales (ya que están en el mismo eje). Por tanto
w2 = w3 = 262,5 rpm
d
w
Para calcular w1 se utiliza la misma fórmula que en el apartado anterior: i  1  2
d2
w1
d
262,5  220
w1  w 2  2 
 481,25 rpm
d1
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c) En primer lugar se calcula la potencia en la polea 4 con la fórmula P = M·w
En este caso será: P = 30 · 15,71 = 471,3 w
(se ha transformado la velocidad angular a rad/s)
El motor tendrá que tener esta potencia más las pérdidas en la transmisión. Para calcularla
se tiene el dato del rendimiento:
Rendimiento = potencia motor/ potencia final
En este caso: Pmotor = 471,3/0,95 = 496,1 w
d) Para calcular el par motor se tiene la velocidad angular de la polea 1 y la potencia.
M = P/w = 496,1/481,25 = 1,03 N·m
8.- Un engranaje motor gira a 500 rpm y hace girar otro engranaje a 2000 rpm. Si la
distancia entre los ejes de ambos engranajes es de 80 mm y el módulo del primer
engranaje es 2 mm. Calcular:
a) el número de dientes de los dos engranajes
b) el diámetro primitivo de ambos engranajes
a) La fórmula que relaciona el módulo (m), diámetro primitivo (d) y número de dientes (Z) en
un engranaje es:
d
m
Z
d1
En este caso para el engranaje motor será: 2 
Z1
Para el otro engranaje se tiene que cumplir que el módulo sea el mismo: 2 
d2
Z2
Tenemos 2 ecuaciones pero 4 incógnitas. Hay que obtener dos ecuaciones más:
La primera es que la suma de los diámetros primitivos tiene que ser la distancia en ejes:
d1  d 2
 80
2
La otra ecuación es que la relación de transmisión en un engranaje es:
W
Z
2000
i 2  1 
4
W1
Z2
500
Por tanto se tienen 4 ecuaciones con 4 incógnitas:
d
2 1
Z1
2
d2
Z2
d1  d 2  160
Z1
4
Z2
Al resolver el sistema se tiene que Z1 = 64 dientes; Z2 = 16 dientes; d1 = 128 mm y d2= 32 mm
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