J-1 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE ¿Cómo optimizar una función Cuando sus variables están Sujetas a una restricción? El método que nos permitirá responder a ésta pregunta se encuentra en un artículo sobre mecánica que Lagrange escribió cuando tenía 19 años! Lagrange fue el primer analista pues escribió con rigor y precisión sus ideas matemáticas. Fue el primero en usar la notación y para las derivadas. ¿CUAL ES LA UTILIDAD? Con este método podemos saber: ¿Cómo distribuir una cantidad fija de dinero? en • desarrollo y en promoción • mano de obra y equipos • recursos físicos de modo de optimizar el beneficio, la producción, el ingreso, etc. Al escalar (lambda) se le conoce como un Multiplicador de Lagrange. TEOREMA DE LAGRANGE Sean f y g funciones con primeras parciales continuas, y tales que f tiene un extremo en un punto (xo,yo) sobre la curva suave de restricción o ligadura g(x,y) = C. Si . El método de los multiplicadores de Lagrange emplea el teorema señalado anteriormente para encontrar los valores extremos de una función f sujeta a una restricción o ligadura. J-2 MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Sean f y g funciones que satisfacen las hipótesis del teorema de Lagrange, Y sea f una función que tiene un mínimo o un máximo sujeto a la restricción o ligadura g(x,y) = C. Para hallar el mínimo o máximo de f, seguir los pasos a continuación. 1.- Resolver simultáneamente las ecuaciones y g(x,y) = C resolviendo el sistema de ecuaciones siguiente. fx(x,y) = gx(x,y) fy(x,y) = gy(x,y) g(x,y) = C 2.- Evaluar f en cada punto solución obtenido en el primer paso. El valor Mayor da el máximo de f sujeto a la restricción o ligadura g(x,y) = C. Ejemplo 1 Hallar el valor máximo de f(x,y) = 4xy donde x 0 y y restricción o ligadura Solución Sea g(x,y) = fx(x,y)i + fy(x,y)j = [gx(x,y)i + gy(x,y)j] = Sistema de ecuaciones: fx(x,y) = gx(x,y) 4y = ……….(I) fy(x,y) = gy(x,y) 4x = ……….(II) g(x,y) = c …(III) 0, sujeto a la J-3 = De la ecuación (I) 18 y , sustituyendo en (II), nos queda: x 16x2 = 9y2 y2 = 8 sustituyéndolo en (III) y= se elige el valor positivo y = 2 = , como se requiere que y 0, si , como se requiere x 0 x= Por tanto, el valor máximo de f es: = 4xy = 4 Ejemplo 1 La función de producción de Cobb – Douglas para un fabricante de software está dada por f(x,y) = 100x3/4.y1/4, donde x representa las unidades de trabajo ( a $ 150 por unidad) y y representa las unidades de capital ( a $ 250 por unidad). El costo total de trabajo y capital está limitado a $ 50.000. Hallar el nivel máximo de producción de este fabricante. Solución El límite para el costo del trabajo y capital está dado por la restricción o ligadura: g(x,y) = 150x + 250y = 50.000 j 150i + 250j Haciendo: j = 150 i + 250 j = Ecuaciones: ….…(I) …….(II) 150x + 250y = 50.000 ……(III) J-4 , sustituyendo en (II), nos queda: De (I) = x = 5y,, Sustituyendo en (III), nos queda: 150(5y) + 250y = 50.000 y = 50 unidades de capital, por ser, x = 5y = 5(50) = 250 1.000y = 50.000 x = 250 unidades de trabajo Por tanto, el nivel máximo de producción es: f(250,50)=100x3/4.y1/4 = 100(250)3/4.(50)1/4 =16.718,51 16.719 unid del producto Ejemplo 3 Hallar el valor mínimo de f(x,y,z) = 2x2 + y2 + 3z2 sujeta a la restricción o ligadura 2x – 3y – 4z = 49. Solución Sea g(x,y,z) = 2x – 3y – 4z = 49 = 4xi + 2yj + 6zk = 2i – 3j – 4k Haciendo: 4xi + 2yj + 6zk = i– j– k Ecuaciones: 4x = 2 …………. (I) 2y = -3 …………. (II) 6z = -4 …………. (III) 2x – 3y – 4z = 49 …(IV) De (I) = 2x, sustituyendo en la Ec. (II) y (III), nos queda: 2y = -3(2x) = -6x y = -3x 6z = -4(2x) = -8x z= Sustituyendo: y = -3x y z = 2x – 3(-3x) – 4( = 49 = 2x + 9x + Si y = - 3x = - 3(3) De igual forma si en la ecuación (IV), nos queda: = y=-9 z= z=-4 x=3 J-5 Por tanto, el valor óptimo de f es: f(3,-9,-4) = 2x2 + y2 + 3z2 = 2(3)2 + (-9)2 + 3(-4)2 = 18 + 81 + 48 = 147, por no tener f(x,y,z) máximo, entonces: 147 es un mínimo. Ejemplo 4 Se dispone de 320 mts. de cerca para encerrar un campo rectangular. ¿Cómo debería colocarse la cerca, de manera que el área encerrada sea lo mas grande posible?. Solución Sea y x, y 0, luego x f(x,y) = xy (área) y g(x,y) = 2x +2y = 320 (perímetro) yi + xj 2 i +2 j Haciendo: = yi + xj = 2 Ecuaciones: y=2 ………..,(I) x=2 ………..(II) 2x + 2y = 320 ..(III) De la ecuación (I) , sustituyendo en la ecuación (II) Que sustituyéndola en (III), nos queda: 2x + 2x = 320 = 4x x=y x= , como x = y = 80 Luego: f(80,80) = x.y = (80)(80) = 6.400 Comprobando con el otro punto (100,60) entonces f(100,60) = x.y = (100)(60) = 6.000, se comprueba que es MAXIMO. J-6 Concluimos que, la mayor área que puede encerrarse con 320 mts de cerca son 6.400 m2 y corresponde a un cuadrado, cuyo lado mide 80 mts. EL METODO DE MULTIPLICADORES RESTRICCIONES O LIGADURAS DE LAGRANGE CON DOS En el problema de optimización que involucran dos funciones de restricción o ligadura g y h, se puede introducir un segundo multiplicador de Lagrange, , y resolver la ecuación: Donde los vectores gradientes no son paralelos Ejemplo 5 Sea T(x,y,z) = 20 + 2x +2y + z2 la temperatura en cada punto en la esfera x2 + y2 + z2 = 11. Hallar las temperaturas extremas en la curva formada por la intersección del plano x + y + z = 3 y la esfera. Solución = 2i + 2j + 2zk Haciendo: g(x,y,z) = x2 + y2 + z2 = 11 =2 Haciendo: h(x,y,z) = x + y + z =3 = Aplicando : 2i = (2 + 2j + 2zk = 2 = J-7 Ecuaciones: 2=2 x+ …….(I) 2=2 ……(II) 2z = 2 ….. (III) x2 + y2 + z2 = 11 ...(IV) x + y + z =3 ……..(V) Restando la ecuación (I) de la ecuación (II), nos queda: 0 = 2 . La ecuación 2z - 2 = 2z(1- ) - (III) quedaría: = 0, lo que da cabida a otro sistema de ecuaciones: 0 = 2 (x-y) …………….(a) )– 0 = 2Z(1 - ………(b) x2 + y2 + z2 = 11 ………..(c) x + y + z =3 ……………..(d) De la ecuación (a) = 0 , entonces de (I): 2 = 2 x + Sustituyendo y = 2(0)x + 2 en la ecuación (b), entonces: 0 = 2z(1 – 0) – 2 z = 1 . Sustituyendo z = 1 en la ecuación (V), x + y + z = x +y + 1 =3 x2 + y2 + z2 = x2 x+y=2 + (2 – x)2 + Con x = - 1 x2 + 4 – 4x + x2 – 10 = 0 1 = 11 y=2–x=2–3 y = 2 – x = 2 – (- 1) entonces: y=2-x x2 – 2x – 3 = 0 Con x = 1 2 . (x – 3)(x + 1) = 0 x=3 y x=-1 y = -1 y=3 Luego (3,-1,1) y (-1,3,1) son puntos críticos Si x + x + z =3 de la ecuación (a) x = y, sustituyendo en la ecuación (d): 2x + z = 3 z = 3 – 2x, sustituyendo en la ecuación (c) x = y y z = 3 – 2x, nos queda: x2 + x2 + (3 – 2x)2 = 11 2x2 + 9 – 12x + 4x2 = 11 6x2 – 12x – 2 = 0 3x2 – 6x – 1 = 0 J-8 Empleando: z = 3 – 2x = 3 - 2 Si = , entonces los nuevos puntos críticos son: y Total puntos críticos: (3,-1,1), (-1,3,1), Para encontrar las soluciones optimas, se deben se deben comparar las temperaturas en los cuatro puntos críticos. T(x,y,z) = 20 + 2x +2y + z2 T(3,-1,1) = 20 + 2(3) + 2(-1) + (1)2 = 20 + 6 – 2 + 1 = 25 T(-1,3,1) = 20 +2(-1) + 2(3) + (1)2 = 20 – 2 + 6 + 1 = 25 T = 20 + 2 T Así T = 25 es la temperatura MINIMA y T = 30.33 es la temperatura MAXIMA en la curva. EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Hallar el valor máximo de f(x,y) = e xy donde , sujeto a la restricción o ligadura x2 + y2 = 8, utilizando multiplicadores de Lagrange. Solución Haciendo: g(x,y) = x2 + y2 = 8 Aplicando: J-9 Ecuaciones: …. (I) …. (II) x2 + y2 = 8 …… (III) De la ecuación (I) , sustituyendo en la ecuación (II), nos queda: , sustituyendo en la ecuación (III), nos queda: x , entonces + x= x = 2 , por ser , como y=2 Por tanto, el valor máximo de f es f(2,2) = exy = e(2)(2) = e4 2.- Hallar el valor mínimo de f(x,y,z) = x2 + y2 + z2 donde x ,y y z , sujeto a la restricción o ligadura x + y + z – 6 = 0, utilizando multiplicadores de Lagrange. Solución Haciendo: g(x,y,z) = x + y + z = 6 Aplicando: Ecuaciones: 2x = 2y = 2x = 2y = 2z x=y=z 2z = x+y+z=6 x+x+x=6 3x = 6 x=2 y=2 z=2 J-10 Por tanto, el valor mínimo de f es f(2,2,2) = x2 + y2 + z2 = (2)2 + (2)2 + (2)2 = 12 3.- Utilizar multiplicadores de Lagrange para hallar los extremos máximos de f(x,y,z) = xy + yz sujetas a las restricciones o ligaduras x + 2y = 6 y x – 3z = 0, suponer que x, y y z . Solución Haciendo: g(x,y,z) = x + 2y = 6 y h(x,y,z) = x – 3z = 0 Aplicando: Ecuaciones: y= …… (I) …..(II) x+z= y= …. . (III) x + 2y = 6 ..…(IV) x – 3z = 0 .… (V) De la ecuación (III): , sustituyendo en la ecuación (I) y = - sustituyendo en la ecuación (II), nos queda: x + z = 2 3x – 8y + 3z = 0, con esta ecuación y con las ecuaciones 3x + 3z = 8y (Iv) y (V), formamos un nuevo sistema de ecuaciones: 3x – 8y + 3z = 0 ….. (a) x + 2y = 6 …………..(b) x – 3z = 0 ………… (c) J-11 De la ecuación (c): x = 3z, Sustituyendo en las ecuaciones (a) y (b) , nos queda: 3x – 8y + 3z = 0 x + 2y = 6 3(3z) – 8y + 3z = 0 3z + 2y = 6 - 8y + 12z = 0 (4) 2y + 3z = 6 - 8y + 12z = 0 8y +12z = 24 24z = 24 z= z = 1 , si x = 3z = 3(1) 3 + 2y = 6 2y = 3 x = 3 , de la ecuación (b): x + 2y = 6 y= Por tanto, el valor máximo de f es: 4.- Se va a construir un conducto para agua que va del punto P al punto S y que debe atravesar por regiones donde los costos de construcción difieren (ver figura). El costo por kilometro en dólares es 3k de P a Q, 2k de Q a R y k de R a S. Para simplificar, sea k = 1. Utilizar multiplicadores de Lagrange para localizar x, y y z tales que el costo total C se minimice. (TRABAJO). P 2 km Q 1 km R x y S z 10 km