Libro 2002 nm3

Área Matemática - Texto San Mateo. 3º Medio
Índice de temas
UNIDAD 1: “MIS PRIMERAS ......FUNCIONES”
SUB-UNIDAD 1.1: FUNCIONES
Función. Concepto y propiedades.
Tipos de funciones. Gráfica. Propiedades
Funciones especiales.
Composición de funciones.
SUB-UNIDAD 1.2: FUNCIÓN LINEAL
Función Lineal. Elementos que la integran.
Dominio y recorrido.
Representación gráfica.
Función inversa.
UNIDAD 2: “ES O NO IGUAL....LAS INECUACIONES TE LO DIRÁN”
Inecuación lineal. Intervalos. Concepto
Inecuaciones lineales.
Gráfica de las inecuaciones
Sistemas de inecuaciones lineales.
Análisis de la pertinencia de las soluciones.
Relación entre las ecuaciones, funciones e inecuaciones lineales.
UNIDAD 3: “LA GRAN FUNCIÓN CUADRÁTICA Y SU BANDA”
SUB-UNIDAD 3.1: LAS RAÍCES, PERO NO LAS DE UN ÁRBOL
Raíces cuadradas y cúbicas.
Raíz de un producto y de un cuociente.
Estimación y comparación de fracciones que tengan raíces en el denominador.
Racionalizar.
Función Raíz cuadrada. Gráfica, Intersecciones, Dominio y recorrido,
Ecuaciones irracionales resueltas como de primer grado.
SUB-UNIDAD 3.2: FUNCIÓN CUADRÁTICA Y SUS SECUACES
Función cuadrática. Conceptos y origen.
Gráficos.
Dominio y recorrido.
Estudio de la parábola. Vértice, Intercepciones con los ejes, Concavidad.
SUB-UNIDAD 3.3: LA FAMOSA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Ecuaciones cuadráticas. Concepto y ejemplos.
Tipos de Ecuaciones
Resolución a través de factorización.
Resolución a través de fórmula,
Ecuaciones Irracionales reducibles a ecuación de 2º grado
Ecuaciones Bicuadráticas
UNIDAD 4: “INTENTANDO SABER CUÁNTO MIDE......EL EDIFICIO”
SUB-UNIDAD 4.1: LUGARES GEOMÉTRICOS
Lugares Geométricos. Conceptos
Construcción utilizando regla y compás
Construcción de triángulos, basados en sus elementos principales y secundarios
SUB-UNIDAD 4.2: TRIGONOMETRÍA
Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo.
Análisis y pertinencia de las soluciones.
Resolución de problemas relativos a cálculo de alturas o distancias
Teoremas de Euclides y de Pitágoras con relación al triángulo rectángulo.
UNIDAD 5: “LA ADIVINANZA Y LA INCERTIDUMBRE”
Variable aleatoria. Experimentación en casos concretos
Relación entre probabilidad y frecuencia relativa.
Problemas sencillos sobre suma o producto de probabilidades.
Actividades para programas computacionales.
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Página
Área Matemática - Texto San Mateo. 3º Medio
PROGRAMACION ANUAL
Querido Alumno de Tercero medio :
En este curso queremos ayudarte a aprender y a
disfrutar de la Matemática, que a menudo requiere que exploremos a
medida que resolvamos un problema.
Te pediremos que experimentes con ideas en cada
situación , te animaremos a que pruebes estas ideas a medida que trates
de comprender y resolver los problemas, esto va a requerir que te involucres
activamente y no que sólo recibas instrucciones e información.
Como ciudadanos educados necesitamos saber cómo
pensar y razonar usando matemática, para reaccionar ante los problemas de la
sociedad y el ambiente al igual que en nuestra vida cotidiana.
Uno de los aspectos importantes tiene que
ver con el trabajo en grupo, es imprescindible aprender a
cooperar con tus demás compañeros para completar una tarea.
En casi todos los empleos de nuestra sociedad se requiere del
trabajo en equipo, la habilidad para cooperar con los demás es a
menudo vital para el éxito en los empleos y comunidades.
Quizás quieras hacer algunas sugerencias
para evaluar el desempeño de tu grupo debido a que tu éxito
dependerá , en gran parte, del progreso del mismo.
Notarás que el papel de tu profesor será el de
un guía ,un mediador y orientador de tu aprendizaje, más que el
de un mero expositor de contenidos.
Las
unidades
didácticas
que
corresponden al programa de este año escolar son las
siguientes:
Funciones: definición, características, gráficas, clasificación,
funciones especiales. En esta unidad requerirás del uso de tu
calculadora (científica).
Función Lineal: su expresión algebraica, característica, gráfica,
su relación con la ecuación de la recta y rectas especiales, sus
diferentes aplicaciones. En esta unidad requerirás del uso de tu
calculadora (científica).
Inecuaciones:
definición de intervalos, características, gráficas.
Clasificación de inecuaciones, estudio de las soluciones. En esta
unidad se requiere que entiendas gráficos.
Función cuadrática ; Empezaremos viendo las raíces cuadradas y
cúbicas, como son, como trabajar con ellas.
Luego estudiaremos la función cuadrática y sus
derivados. Terminaremos trabajando con la
ecuación de segundo grado.
Lugares Geométricos y Construcciones: construcción de
lugares geométricos fundamentales y arco capaz y construcción
de triángulos con regla y compás.
Trigonometría : razones trigonométricas en el triángulo
rectángulo, resolución de problemas. En esta unidad requerirás
del uso de tu calculadora (científica).
Estadística y probabilidad: suma y producto de
probabilidades, probabilidad condicionada , variable
aleatoria, frecuencia absoluta y relativa, gráficas. En esta
unidad requerirás del uso de tu calculadora (científica).
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Área Matemática - Texto San Mateo. 3º Medio
1
Unidad
Mis Primeras ... Funciones
PROGRAMACIoN DIDaCTICA
SECTOR DE FORMACIÓN
ÁREA TEMÁTICA
CURSO
PROFESOR
UNIDAD DIDÁCTICA N°1
TIEMPO
:
:
:
:
:
:
MATEMÁTICA
MATEMÁTICA
3º MEDIO
JUAN CARLOS PALMA
“MIS PRIMERAS..... FUNCIONES”
30 a 34 horas

Fecha de Inicio:

Fecha de Término:

Tiempo estimado:

Tiempo real utilizado:
APRENDIZAJES
ESPERADOS
CONTENIDOS
ACTIVIDADES
SUGERIDAS
Los alumnos:
1. Interpretan el concepto de función y generalizan las propiedades de las
funciones.
2. Interpretan la información a partir de la representación gráfica de una función.
3. Representan gráficamente distintos tipos de funciones a partir de su expresión
analítica.
4. Asocian la representación gráfica de una función en el plano cartesiano con la
expresión analítica que la representa.
5. Clasifican funciones en inyectivas, epiyectivas y biyectivas.
6. Se familiarizan con la gráfica de las funciones especiales.
7. Diferencian la expresión analítica y las características de funciones especiales.
8. Representan gráficamente datos extraídos de situaciones reales cuya gráfica sea
una línea recta.
9. Interpretar la información a partir de la representación gráfica de una línea
recta que ilustre una situación de la vida diaria.
10. Asocian la representación gráfica de una línea recta en el plano cartesiano con
la expresión algebraica que la representa.
11. Asocian la expresión algebraica de una línea recta a la función lineal que la
representa.
12. Interpretan, en el contexto correspondiente, el valor de la pendiente en una
función lineal dada.
13. Familiarizarse con la gráfica de las funciones lineales especiales.
Se ve difícil,
pero no
imposible!!
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1. Identificar
y
establecer
una
función y su definición.
2. Evaluación de funciones.
3. Gráficas de funciones.
4. Dominio y recorrido de una
función.
5. Gráficos y características de
funciones especiales:
 Exponencial
 Idéntica
 Constante
 Cuadrática
 Logarítmica
 Parte entera, etc
 Funciones
definidas
por
intervalo,
gráfica
y
características.
 Composición de funciones.
6. Clasificación de funciones en
inyectiva, epiyectiva y biyectivas.
7. Función inversa de una función
dada, su relación con funciones
biyectivas y su gráfica.
8. Problemas extraídos de
situaciones reales.
9. Tablas de valores.
10. Gráfica de la línea recta.
11. Notación funcional.
12. Definición y características de una
función lineal.
13. Pendiente
de
una
recta,
coeficiente
de
dirección
y
coeficiente de posición.
14. Problemas extraídos de
situaciones reales.
1. Identifican funciones a partir de
su definición.
2. Recuerdan fórmulas de física y
gráficos.
3. Encuentran la aplicación del
concepto de función a las
fórmulas matemáticas que ya
conocen, como área y longitud de
una circunferencia, área de un
triángulo rectángulo, etc.
4. Identifican el dominio y recorrido
de una función dada en los
diferentes conjuntos numéricos y
/
o
en
sus
gráficas
correspondientes.
5. Visualizan
el
concepto
de
función en la climatología, en el
crecimiento de la población, etc.
6. Identifican
las
funciones
especiales y las grafican.
7. Identifican
la
gráfica
correspondiente a una función
lineal.
8. Expresan la ecuación de la recta
en términos de una función lineal.
9. Identifican pendiente de una
recta, coeficiente de dirección y
coeficiente de posición.
10. Matemática III. Editorial Arrayán
Matemática Algoritmo 1 BUP.
Álgebra. Editorial Arrayán
Matemática 4. Tapia
CUADRO EXPLICATIVO DE LA METODOLOGÍA DEL TEXTO:
Contexto: Interiorizar a
través de situaciones cotidianas
un determinado concepto
Conceptualización:
Formalizar un determinado
concepto, utilizando el
vocabulario matemático.
Ejercicios Propuestos: Es la
Ejercicios Resueltos: Es una
manera que tienes para
experimentar y actuar con
respecto a la matemática
forma de observar y
experimentar como se aplica la
matemática
Control Formativo: Es
la instancia para evaluar
los conocimientos
adquiridos durante esa
etapa
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CONTENIDOS DE ESTA UNIDAD
SUB-UNIDAD 1.1: FUNCIONES
 Función. Concepto y propiedades.
 Tipos de funciones. Gráfica. Propiedades
 Funciones especiales.
 Composición de funciones.
 Control Formativo
SUB-UNIDAD 1.2: FUNCIÓN LINEAL
 Función Lineal. Elementos que la integran.
 Dominio y recorrido.
 Representación gráfica.
 Función inversa.
 Control Formativo
Sub-Unidad 1.1:“FUNCIONES”
Contexto:
Si te hicieran la siguiente pregunta ¿qué FUNCION cumple el colegio? o ¿qué
función cumplen tus papás en la familia? Cuál sería tu respuesta.
Las mismas respuestas que diste a la pregunta anterior agrégale la palabra
transformación. ¿Qué te queda?
La figura siguiente crece y crece. ¿Cuántos segmentos habrá en las próximas
figuras 4, 5 y 6?
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Completa la siguiente tabla donde s(n) es el número de segmentos en el paso
número (n)
-
n
1
S(n)
4
-
2
3
4
5
6
Busca una fórmula, si es posible, para generalizar el comportamiento de los
números.
¿Cuántos cuadrados habrá en el sexto paso?
Completa la siguiente tabla donde c(n) es el número de cuadrados en el paso
número (n)
Representa esta situación con un gráfico.
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Área Matemática - Texto San Mateo. 3º Medio
Definición:
FUNCIONES :
f : A  B, esta relación es función si y sólo sí cada elemento de
A tiene imagen única en B. En símbolos
Dada una relación

f : A  B funcion

Dom f  A
 
f(x)  y  f(x)  z  y  z
Ejemplo:
En los siguiente gráficos sagitales, determina si las relaciones son o no
funciones:
A
1)
B
a
b
c
A
1
2
3
2)
B
a
b
c
1
2
3
Esto indica que para los gráficos sagitales, la relación es función si de todos los
elementos del primer conjunto sale una sola flecha.
Y
Y
X
X
Esto indica que en un gráfico cartesiano una relación es función si al trazar
cualquier paralela al eje “y” ésta corta en un solo punto al gráfico de la relación.
EJERCICIOS RESUELTOS
Sean los siguientes dibujos, determinemos cuales son o no función:
A
B
C
f
a
b
c
d
e
g
1
2
3
4
5
x
y
w
z
D




Análisis:
Al hacer la misma observación
que el ejemplo anterior, se
notará que x tiene dos
relaciones,  y  por lo tanto
no cumpliría con la definición.
Así g no es función.
Análisis:
Si observamos el diagrama,
nos daremos cuenta que cada
elemento de A tiene una y
sólo una imagen en B, por lo
tanto, f es una función.
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Área Matemática - Texto San Mateo. 3º Medio
EJERCICIOS PROPUESTOS
Establecer si los siguientes diagramas definen funciones de A = { 1, 2, 3} en
B = { 4, 5, 6}.
1.
A
B
1
2
3
2.
4
5
6
A
1
2
3
B
3. A
B
4
5
6
1
2
3
4
5
6
EVALUACIÓN DE FUNCIONES
Es necesario tener claro la importancia de evaluar funciones, ya que permite
determinar la imagen o preimágen de un elemento cualquiera.
Ejemplo:
Si
f(x) = 4x + 5, entonces

f(3) = 4 3 + 5 = 12 + 5 = 17 ;
f(a) = 4a + 5 ;
esto indica que 17 es la imagen
de 3 y que 3 es la preimágen de
17 bajo la función “f”.
Aquí la imagen de “a” bajo “f” es “4a + 5”.
f(x + 6) =
La siguiente función está dada por una fórmula que tú ya conoces:
A =  r2
Esta expresión permite hallar el área de cualquier círculo, conocido su radio r.
Decimos, por tanto, que el área del círculo está en función de su radio.
Si calculamos algunos valores de esta función, se tiene la siguiente tabla:
r
0,5
1
1,3
2
2,5
.....
A
0,78
3,14
5,3
12,56
19,63
........
Representa esta tabla de valores en un gráfico.
Las fórmulas que has utilizado en geometría, física y otras ciencias son
generalmente funciones que relacionan diferentes magnitudes
EJERCICIOS PROPUESTOS
f
a
b
c
d
e
Sea
1
2
3
4
5
f : IR
IR
Para el diagrama dado, encuentra:
f(a) =
f(d) =
f(e) =
definida por
f(x) = 2x + 7, hallar:
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Área Matemática - Texto San Mateo. 3º Medio
3
 =
4
1. f(4) =
2. f 
3. f(4x + 3) =
4. f(-1,5) =
NOTA: Todos los ejercicios debes desarrollarlos en tu cuaderno
FUNCIONES REALES
DEFINICIÓN: Son todas aquellas funciones, donde sus conjuntos iniciales y finales
son los números reales.
Por ejemplo:
Sea f: IR  IR, definida como f(x) = 2x – 1.
IR
IR
.
.
.
-2
-1
0
1
2
3
.
.
.
.
.
-3
-2
-1
0
1
2
3
.
.
.
De este tipo de funciones podemos definir algunas propiedades:
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
Es el conjunto cuyos elementos hacen que la función esté bien definida, en
otras palabras, es el conjunto de las preimágenes (son todos los elementos que tiene
imagen)
EJERCICIOS RESUELTOS
1)
f(x) = x + 2.
Aquí
Dom f = IR, Justifica.
2)
g(x) = 3x - 1.
Aquí
Dom g = IR, Justifica.
3)
f(x) =
4)
h(x) = +
5x  2
. Aquí
x 3
5x  2
Dom f = IR - { 3 }, Justifica.
Aquí
Dom h =
 2
 5 ,  


 , Justifica.

EJERCICIOS PROPUESTOS
Determina y Justifica el dominio de las siguientes funciones reales:
1) f(x) = 5x – 4
2) g(x) =
1
x 3
3) h(x) = 7x + 8
RECORRIDO DE UNA FUNCION
Es el conjunto formado por todas las imágenes de la función.
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Área Matemática - Texto San Mateo. 3º Medio
EJERCICIOS RESUELTOS
A
f

A
1
2
3
1
2
3
Aquí Rec f = { 2, 3 }
Para funciones reales, como ser f(x) = 3x - 7, se debe despejar “y”,
(y = f(x)),
para luego analizar para qué valores de “x”, “y” está bien definida, es decir, se hace
lo siguiente:
y  3x  7  x 
y7
3
Así:
Rec f = IR
EJERCICIOS PROPUESTOS
Determina y Justifica el recorrido de las siguientes funciones reales:
1) f(x) = 4x – 2
2) g(x) =
x 1
4
3) f(x) =
LAS FUNCIONES Y LA CLIMATOLOGÍA
La temperatura de la Tierra varía
suavemente con el paso del tiempo. En el diagrama
adjunto, correspondiente al hemisferio norte, se
muestran las curvas que expresan la temperatura de
las superficies de suelo y mar en algo más de un
siglo. Observa que nos encontramos en un período
de subida de temperaturas. En conjunto, las
variaciones nunca han superado un grado.
Investiga: ¿Qué es un audiograma?, y ¿cuál es su relación
con las funciones?.
¿Qué será eso del
audiograma?, ¿me
sirve?, ¿se come?......
lo voy a averiguar.
FUNCIONES ESPECIALES
Estudiemos el comportamiento de las siguientes funciones:
Página 11
7
4x
Área Matemática - Texto San Mateo. 3º Medio
Función Exponencial:
Se define como
f : IR  IR tal que f(x) = ax, a  IR+
También se expresa como expa(x) = ax.
Ejemplo :
f(x) = 2x
2x
y
x
0
1
2
9
10
2x
1
2
4
512
1024
x
Función Idéntica:
La función IA: A  A tal que IA (x) = x
Se llama función idéntica de A. Y tiene las siguientes características:
Dom(IA ) = A
;
Rec (IA) = A
En el caso más característico
A = IR
Ejercicio: Realiza la gráfica de la función.
Función Constante:
La función constante f : A  B tal que
constante, se llama función constante
Ejemplo:
f : IR  IR
f(x) = c para todo x  A, c  B, con “c”
tal que f(x) = 2 Dom f = IR
, Rec f = { 2 }
Ejercicio: Realiza la gráfica de la función.
Función Lineal:
La función f : IR  IR
denomina función lineal .
Ejemplo :
definida por f(x) = ax + b con a , b IR, a  0
se
f(x) = x + 1
Ejercicio: Realiza la gráfica de la función.
Función Cuadrática:
La función f :IR  IR definida por f(x) = ax2 + bx + c con a, b y c  IR, a  0 se
denomina función cuadrática.
Ejemplo
:
f(x) = 3x2 + 1
Ejercicio: Realiza la gráfica de la función.
Función Valor Absoluto:
Es la función definida por : f(x) =
Dom f = R
,
Rec f = R
x
+
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Área Matemática - Texto San Mateo. 3º Medio
Ejercicio: Realiza la gráfica de la función.
Función Parte Entera:
Es la función definida por : f : IR  IR tal que
entero inmediatamente menor o igual a “x”
Dom f = R
,
f(x) = [ x ]
donde
[ x ] = al
Rec f = Z
Ejercicio: Realiza la gráfica de la función.
Función Logarítmica:
Si a > 0 , a  0 , se define f : IR+  IR
loga (x) = y  x = ay
Ejemplo :
tal que:
log2 (x) = y
Ejercicio: Realiza la gráfica de la función.
Nota: El estudio de algunas de estas funciones las veremos en los capítulos de más
adelante.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Realiza el estudio (DOMINIO, RECORRIDO, GRÁFICA) de las siguientes
funciones especiales:
1. f(x) = | x – 3 |
2. g(x) = x
4. g(x) = log 2x
5. f(x) = 4x - 3
3. f(x) = [x + 1]
6. h(x) = 7x -
3
4
FUNCIONES DEFINIDAS POR INTERVALOS
Existen funciones definidas por tramos o intervalos que
permiten mezclar las funciones básicas y que son de gran utilidad en la
matemática que estudiarás en los cursos superiores.
Ejemplo :
 x 1
f(x) = 
, si x  0
2
  2 x , si x  0
Ejercicio: Realicemos la gráfica de ésta función.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Página 13
Área Matemática - Texto San Mateo. 3º Medio
a) Sea g : IR
IR,
definida por:
 x  2
 x 2  3x
g(x) = 
, si
x2
, si
x2
Encontrar:
1. g(5) =
2.
g(0) =
3.
 1
 =
2
g
Realiza la gráfica de esta función.
3 ,
si x  3

b) Sea f: IR  IR, definida por: f(x)  2x  3 , si  3  x  2
 2
x  3, si x  2
Encuentra:
1. f(-10) =
2. f(-3) =
3. f(0) =
4. f(100047) =
Realiza, también, la gráfica de esta función.
COMPOSICION DE FUNCIONES:
Sean las funciones
f : A B
y
g : B C ,
función compuesta (g o f) : A  C como sigue :
se define :
(g o f)(x) = g(f(x))
Ejemplo
Sean
f
g
a
1
e
b
2
f
c
3
g
4
(g o f)(a) = g (f(a)) = g(1) = e
(g o f)(b) = g (f(b)) = g(1) = e
(g o f)(c) = g (f(c)) = g(3) = f
Observación: La compuesta de funciones quiere decir una función aplicada a otra
función. Este proceso se puede repetir con varias, no solamente con dos.
Página 14
Área Matemática - Texto San Mateo. 3º Medio
EJERCICIOS RESUELTOS
Sean
f : IR  IR
y
f(x) = x + 3
g : IR  IR
y
tal que
g(x) = x2
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(x + 3) = x2 + 6x + 9
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(x2) = x2 + 3
de lo anterior se deduce claramente que :
gof  fog
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Dadas las funciones: f(x) = 3x - 2 y g(x) = x + 4
a)
( g o f )( 4 )
=
b)
( f o g )( 4 )
=
g ( f ( 4 ) ) = g ( 10 ) =
14
2. Se tienen las siguientes funciones: g(x) =
Encuentra:
entonces:
1
x  4 y h(x) = x 2  3
2
(g o h)(-10) =
(h o g)(7) =
(g o h)(x) =
(h o g)(x) =
TALLER DE EJERCICIOS
Determina el dominio y el recorrido de las siguientes funciones reales:
5. f(x) = x2  1
1. f(x) = 4x
2. f(x) =
3x
4
25  x 2
6. f(x) = +
7. f(x) =
x
3. f(x) =
x 1
8.
x-3
f(x) = 3x
4. f(x) = m
9. Dado W = { -1 , 0 , 2 , 5 , 11 } . Sea la función
f(x) = x2 - x - 2 . Hallar el recorrido de f.
Sea
f : IR
 IR
una relación definida por
f:W
f(x) =

IR, definida por
1
x2
3
 , f(0)
2
10. Determinar : f(2) , f 
11. ¿ Es f una función de IR en IR ?, ¿ Qué ocurre con f(2) ? . Si no les,¿ cómo
puede hacer para que lo sea ?
12. Bosquejar un gráfico de f.
Los diagramas siguientes definen funciones de
conjunto :
Página 15
A { 1 , 2 , 3 , 4 } en el mismo
Área Matemática - Texto San Mateo. 3º Medio
f

A
1
2
3
4
A
1
2
3
4
13. Encontrar los recorridos de
14. Encontrar
Sean
f(x) =
fog
g

A
1
2
3
4
, gof
A
1
2
3
4
f y g.
,
fof
,
gog
x2  3x  1 , g(x) = 2x - 3 , h(x) = x + 1 .
Encontrar :
15. (f o g)(x) =
16. (f o g)(3) =
17. (f o g o h)(2) =
18. f(-2) + g(2) - h(1) =
Sea la función real
f(x) = 1 +
x , donde [x] es la parte entera de x:
19. Graficar f .
20. Hallar
Dom f y
21. Determinar :
Rec f
f(1)
y f(-3,8)
22. Determinar “x” tal que
f(x) = 2 .
CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES
FUNCIONES INYECTIVAS
( uno a uno)
Una función
f:A
Si f(a) = f(b)
B
se dice inyectiva o uno a uno ssi :
a=b
a, b  A
es decir, a imágenes iguales le corresponden preimágenes iguales.
EJERCICIOS RESUELTOS
a)
f

A
a
b
c
b)
B
1
2
3
4
f es inyectiva
c)
h : IR
d) r : IR
Justifica.

Análisis:
La función f es
inyectiva, ya que
para cada
preimágen le
corresponde una
y única imagen.
IR definida por

IR definida por
C
x
y
z
g

D
1
2
3
¿Ocurre lo mismo con g?
¿por qué?
h(x) = x
2
es inyectiva?. Justifica.
r(x) = ax + b es uno a uno?.
Página 16
Puedes
realizar un
gráfico o un
diagrama.
Área Matemática - Texto San Mateo. 3º Medio
FUNCIONES EPIYECTIVAS
(Sobreyectivas)
Una función
f:A
B
es epiyectiva ssi :
 b  B ,  a  A tal que f(a) = b , es decir si Rec f = B o f(A) = B
EJERICICIOS RESUELTOS
1.
A
f

a
b
c
2.
B
g

A
x
y
z
a
b
c
Como Rec f = B
f es sobreyectiva.
B
x
y
z
¿Es g sobreyectiva?
EJERICICIOS PROPUESTOS
3. La función
f : IR

IR
definida por
4. La función
g : IR

IR
definida por
f(x) = x
2
es sobreyectiva?.
g(x) = x
3
es sobreyectiva?.
FUNCIONES BIYECTIVAS
Son aquellas funciones que son inyectivas y sobreyectivas simultáneamente.
Por ejemplo:
3
La función real f(x) = x es biyectiva, ya que es una función inyectiva y también una
función epiyectiva.
EJERICICIOS RESUELTOS
1. Demostrar que la función f: IR
biyectiva.
 IR, definida por f(x) = 3x – 5 es una función
Demostración:
1º Debemos chequear que la función es inyectiva. Lo cual se cumple ya que para toda
preimágen (IR) hay una y solo una imagen en IR.
2º Debemos ver si la función cumple con ser inyectiva, lo cual también se cumple ya
que el recorrido de la función es IR.
3º Como la función es inyectiva y epiyectiva, diremos que la función es biyectiva.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Verifica si las siguientes funciones son o no biyectivas, justifica en cada caso:
1. f: IR  IR definida por f(x) = 5x-7
2. g: IN  IN definida por g(x) = 2x-1
3. h: Z  Z definida por h(x) = x2
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Área Matemática - Texto San Mateo. 3º Medio
FUNCION INVERSA
Sea la función
f
1
f:A
:B


B.
A
Su inversa se designa por
y se define por :
f 1   (y , x) / x  A  y  B , f(x)  y
Ejemplo:
Sean A = { a , b , c , d , e , h }
,
B={1,2,3,4}
, se define
f(a) = 2 , f(b) = 1 , f(c) = 2 , f(d) = 2 , f(e) = 4 , f(h) = 4
f =
f
1

{ (a , 2) , (b , 1) , (c , 2) , (d , 2) , (e , 4) , (h , 4) }
f
como :
, entonces :
y
= { (2 , a) , (1 , b) , (2 , c) , (2 , d) , (4 , e) , (4 , h) }
f es función pero,¿ su inversa lo es ?, justifica.
¡Observación!
Para que f
1
sea función debe suceder que f sea biyectiva.
Ejemplo:
Sea la función real f(x) = 3x - 2 .
Para encontrar f
Esto es :
3x - 2 = y
1
se hace
f(x) = y
para luego despejar “x” :
x =
y2
3
y2
,
3
x2
f 1(x) 
.
3
f 1(y) 
Así la función inversa es :
la que se escribe
¿f
1
es función? , justifica.
TALLER DE EJERCICIOS
Determina el valor de verdad de las siguientes funciones reales :
1. f(x) = 5
es función epiyectiva
2. f(x) =
1
x
2
3. f(x) =
2x
4. f(x) =
x
3
es función biyectiva
es función biyectiva
es función epiyectiva
Determina si cada una de las siguientes funciones es o no inyectiva :
5. La que asigna a cada persona en la Tierra el número que corresponde a su
edad.
6. La que asigna a cada libro escrito por un sólo autor, el autor del libro.
7. La que asigna a cada país que tiene primer ministro, su primer ministro.
Página 18
Área Matemática - Texto San Mateo. 3º Medio
8. Demuestra que si
f : A
entonces g o f : A  C


B es biyectiva y g : B
es también biyectiva.
9. Da un ejemplo en que f sea biyectiva y
realidad g o f no es biyectiva.
g
C
es biyectiva,
no lo sea, y verifica que en
Construye las siguientes funciones en IRxIR y en la gráfica determina si son
inyectivas , sobreyectivas y biyectivas :
10. f(x) = 4x + 1
2
11. f(x) = 2x  1
12. f(x) = x
x
13. f(x) =
14. Sea
3
f : IR

IR
una función definida por f(x) =
biyectiva, encuentra una fórmula para f
15. Sea
f : IR

determina si
f
IR
1
.
  2x
f(x) = 
definida por
5x  3
. Si f es
2
 x
2
si x   1
si x   1
Grafica y
es uno a uno y/o sobreyectiva.
Dadas las funciones reales definidas por los siguientes gráficos, determina cuáles
poseen función inversa.
16.
17.
y
y
x
18.
x
y
19.
x
Dada la relación
f : IR
 IR
y
-4
definida por
f(x) =
4
x 1
x2
20. Determina dominio y recorrido para que f sea una función biyectiva.
21. Encuentra una fórmula para
Sea
A=

x IN / 3  x  9
y
f
1
.
f:A
 IN
22. Escribe f por extensión.
Página 19
, definida por
f(x) = x2 – 1
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23. Determina f-1 (15)
24. ¿ Es f-1 biyectiva ?
 9 - 2x

Dada la función real definida por f(x) = 
3

4
x

, si x  3
, si x > 3
25. Grafica f
26. Demuestra que f es biyectiva
27. Encuentra una fórmula para f-1
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Alumno: _________________________________ Curso: ________
UNIDAD 1: Funciones
1. Dadas las siguientes expresiones verifica cual(es) es(son) función:
a) f(x) = 3x
b) y = 2x – 1
Página 20
c) f(x) = 2x2 – 4
Área Matemática - Texto San Mateo. 3º Medio
d) y = | 7x |
e) g(x) =
3
x
5
f) h(x) = 4
2. Encuentra, si eres capaz, el dominio y recorrido de las expresiones que
son funciones del ejercicio anterior.
3. ¿Podrás encontrar una expresión que no sea una función?.
4. Escribe en tu cuaderno lo que debe ocurrir para que una expresión sea
o no sea función. Con tus propias palabras.
5. Dadas las siguientes gráficas, determina cuál(es) es(son) función(es)
de IR en IR:
a)
y
x
b)
y
x
6. f es una función de IR+ en IR+ definida por: f (x)=
3
. Completa la
7x - 5
siguiente “tabla de valores” de f:
X
1
f(x)
1
2
1
15
2
5
7. Dadas las siguientes funciones reales determina el dominio y el
recorrido:
a) f(x) =
c) y =
1
x
b) f(x) =
d) y = 2x
1
x
8. f es una función de IR en IR definida por:
Página 21
2x
x -1
Área Matemática - Texto San Mateo. 3º Medio
 x + 2 si x  2

f (x)=  1
si - 2 < x < 1.
 x - 3 si x  1

Completa la siguiente “tabla de valores” de f :
f(-3)
-3 

 2 
2f 
f(1) – f(2)
f(-3) : f(-2)
9. La siguiente máquina
ilustra la función f
-f(0) – f(0,4)
g transforma y en: y2+ 1
x
2x
f
y
y2+1
g
2x
?
10.Si f: IR  IR ,


f(x)= 


g: IR  IR
x2
x +1
definidas por:
si x > 1
si x  1
;
g(x)= 6x - 1
Determine:
a) (g o f)(2) =
b) (f o g)(0) =
c) (g o f)(-1) =
11.Dado el siguiente diagrama:
h
f
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8








Calcula:
a) (f o h)() =
b) (f o f o f)(e) =
d) (f o h)() =
c) (f o f o h)(f) =
d) ¿Qué ocurre cuando calculas (h o f)(c)?¿Por qué?
12. Completa la siguiente tabla:
f(x)
g(x)
f(g(-2))
g(f(-3/4)
Página 22
f(g(x))
g(f(x))
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2x + 3
5x - 4
x2 + 1
x2 - 2
(x + 1)/2
(x - 1)/4
14. Dadas las siguientes funciones, decide si son inyectivas, epiyectivas o
biyectivas fundamentando la respuesta.
a) f : IR
IR tal que f(x) = x
b) f : IR
IR tal que f(x) = -3x
c) f : IR
IR tal que f(x) = x2 +1
d) f : IR
IR tal que f(x) = x2 - 3x + 2
e) f : IR
IR tal que f(x) =
f) f : IR
IR tal que f(x) =
De las funciones anteriores, determina la función inversa de las que resultaron
biyectivas.
15. Sea f : IR - {-4}
IR - {1} definida por f(x) =
(X  2)
. Demuestre que
(X  4)
f es biyectiva y determina su función inversa.
16. Sea la función f : IR
IR tal que f(x) = 4x + 1. Demuestra que f es
biyectiva y determina su función inversa.
¡El teacher se fue al
chancho.......!
Sub-Unidad 1.2: “FUNCIÓN LINEAL”
PROBLEMAS:
A medida que los hombres rana descienden, la presión del
agua aumenta. Los hombres rana pueden determinar a
qué profundidad se encuentran si conocen la presión a la
que están sometidos. La presión se expresa en
atmósferas.
Página 23
Área Matemática - Texto San Mateo. 3º Medio
La siguiente tabla muestra la relación entre atmósfera de presión y profundidad
marina:
Presión (en atmósfera)
1
2
3
4
5
Profundidad marina (en m.)
0
9,90
19,80
29,70
39,60
-
Representa los datos de la tabla en un sistema de ejes cartesianos.
-
Si Pedro se encuentra con una presión de 7 atmósfera ¿a qué profundidad se
encuentra?.
-
Si su profundidad es de 69,3 m. ¿a qué presión del agua está sometido?
-
¿Es posible calcular la profundidad para una presión de 3,5 de atmósferas? ,
explica.
-
Establece conclusiones y anótalas en tu cuaderno.
FUNCIÓN LINEAL
Una función se dice lineal, si gráficamente se representa mediante una línea
recta.
Toda función lineal tiene forma :
Aquí
f(x) = m x + n, Y = f(x), donde m, n  IR ,
x : variable independiente.
Y : variable dependiente.
m : coeficiente de dirección o pendiente de la recta.
n : coeficiente de posición u ordenada en el orígen.
Como recordarás la ecuación de la recta tiene la forma y = mx + n,
determina, a partir de la gráfica de las siguientes rectas, cuál es el significado de los
parámetros m y n, (puedes graficar en un mismo sistema de ejes cartesianos):
Yo me acuerdo, o no
.....?
ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN LINEAL
Página 24
Área Matemática - Texto San Mateo. 3º Medio
Considera el siguiente caso:
Patricia tiene $37.000 y puede ahorrar $9.000 a la semana.
Si no gasta su dinero:

Encuentra una expresión analítica que exprese la
relación entre tiempo (variable independiente) y el
dinero (variable dependiente).

Al cabo de 8 semanas, ¿cuánto dinero tendrá
Patricia?

Si quiere comprar un video que cuesta $127.000, ¿en cuántas semanas juntará
el dinero?
Análisis:
Debemos tener una tabla que nos permita ver el dinero que ella va ahorrando:
Tiempo
(semana)
0
1
2
3
...
Dinero
37.000
46.000
55.000
64.000
...
a) Vemos que el incremento por semana es constante, es decir, $9.000 siempre.
Por lo tanto su expresión se puede representar como una ecuación lineal.
Tomamos dos relaciones (0, 37.000) y (1, 46.000)
Utilizamos la fórmula
y  y1 
y2y1
(x  x1) , para hacer aparecer la ecuación.
x2 x1
Recuerda que x e y quedan fijos y sólo debes reemplazar en x1, x2, y1, y2.
Reemplazando queda: y  37.000 
46.000  37.000
(x  0)
1 0
Despejando y, tenemos: y  9.000 x  37.000 (Expresión analítica)
Transformándola a función queda: f(x) = 9.000 x + 37.000
b) Si definimos el significado de las variables x e y, “x” significa el tiempo e “y” el
dinero ahorrado, entonces, si queremos saber cuánto a ahorrado al cabo de 8 semanas
debemos calcular f(8):
f(8) = 9.000  8 + 37.000 = 109.000
Luego, podemos decir que Patricia a ahorrado $109.000.
c) Cómo nos dan el dinero y nos piden encontrar el tiempo, debemos utilizar el
siguiente procedimiento:
127.000 = 9000 x + 37.000, donde lo único que no conocemos es el tiempo, pero al
despejar “x” se tiene:
x = 10, así la cantidad de semanas que debe ahorrar es de 10.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Considera las siguientes rectas:
Página 25
Área Matemática - Texto San Mateo. 3º Medio
f( x) = 2x + 1 ,
h( x ) = x + 1 ,
g( x ) =
1
x +1
2
¿por qué crees que se
llama pendiente
¿qué crees tú que representa el valor
de m en la ecuación de la recta?
Anota tus conclusiones en tu cuaderno.
Ahora, grafica las rectas:
f(x) = 2x
s(x) =
g(x) = 2x – 4
h(x) = 2x +
-1
x
2
5
2
t(x) =
-1
x + 3
2
¿En qué se parecen y en qué
se diferencian estas rectas?
Escribe el punto de corte de
cada una de estas rectas con los
ejes coordenados.
Analicemos la función lineal, según los valores de m y n sean o no ceros.
Si
n = 0 , resulta :
LA RECTA:
y=mx
Grafica las siguientes funciones:
y = –x
y=2x
y=
1
x
2
y=x
Anota tus conclusiones en tu cuaderno.
EJERCICIO DE APLICACION:
Página 26
¿Qué observas?
Área Matemática - Texto San Mateo. 3º Medio
Un corredor con velocidad constante de 4m/seg. Parte al mismo tiempo que un
corredor que arranca sin velocidad inicial y con aceleración constante 0,4 m/seg 2.
- ¿En qué momento (tiempo) se encuentran?
- Representa en una gráfica x = t – 5 ; x = -t + 15
- ¿En qué instante se encuentran los dos cuerpos? (Sugerencia: trabaja en S.I.,
sistema internacional )
Hay casos en que la gráfica es una recta pero no se trata de una función.
Por ejemplo , la recta x = 5 , que gráficamente es :
y
x=3
3
¿Por qué no es
una función?
¿Cuál es su
pendiente?
x
PARA ENTRETENERSE
- La temperatura Tc medida en grados centígrados es una función lineal de la
temperatura Tf medida en grados Fahrenheit y puede ser representada por la relación
Tc = m Tf + n , donde m y n son constantes reales . Determina:
Las constantes si se sabe que el punto de
congelación para el agua es 0°C y 32°F y que el
punto de ebullición es 100°C y 212°F.
La temperatura en grados centígrados si la
temperatura
es de 104°F.
- Una vasija contiene inicialmente 10 cm 3 de un ácido y se empieza a vaciar más ácido
dentro de ella. Cinco segundos después ella contiene 30 cm 3 de ácido. Si Q
representa la cantidad de ácido en la vasija y T el tiempo, y se sabe que Q varía
respecto de T según la ecuación Q = aT + b.
Escribe la ecuación que relaciona a Q y T.
¿ Qué representa la pendiente en este
?
¿ Qué representa el coeficiente de posición en
este ejemplo ?
Supone que la capacidad de la vasija es un litro. ¿ En
cuánto tiempo se llenará ?
Desde 1980 ha habido un incremento aparentemente
lineal en el porcentaje de la población de alcohólicos en
Página 27
ejemplo
Área Matemática - Texto San Mateo. 3º Medio
una ciudad de Chile. En 1980 el porcentaje fue de 9,5% .En 1990 se elevó a 14,5% .
Si P es el porcentaje y T representa el tiempo en años desde 1980.
Determina la función lineal P(T).
Interpreta el significado de la pendiente.
Si el modelo de crecimiento sigue mostrando la misma tendencia, pronostica el
porcentaje de alcohólicos que se espera tener para 1995
y para el año 2.000
EJERCICIOS PROPUESTOS
Pedro es electricista. El cobra $2.000 por visita a domicilio y $
3.000 por cada hora de trabajo en el lugar.
1. ¿Qué observación harías a la manera de cobrar de Pedro?
2. ¿Cuál es la notación funcional para la relación entre las horas trabajadas en
domicilio y el dinero recibido por Pedro?
3. Averigua el sistema de cobro de los taxis en tu ciudad y luego anótalos en notación
funcional ¿Cuánto tienes que pagar por recorrer en 12kms?.
4.
Describe una situación de la vida cotidiana cuya notación funcional sea:
f(x)= 2x +10.
5. Construye una tabla que relacione lados de un polígono con diagonales por vértice.
lados diagonales
3
0
4
...
5
6
un Polígono de 5 lados = 2 diagonales por vértice
Encuentre la notación funcional para d = f ( l )
Un antropólogo puede utilizar funciones lineales para estimar la estatura de
un hombre o una mujer, dada la longitud de ciertos huesos. El húmero es el
hueso del brazo entre el hombro y el codo. La altura, en centímetros, de un
hombre con un húmero de longitud x está dada por M(x) = 2,89x + 70.84.
La estatura, en cm. de una mujer con un húmero de longitud x está dada por
F(x) = 2,75x + 71,48. En algunas ruinas se encontraron húmeros con una
longitud de 45cm.
6. Suponiendo que el hueso pertenecía a un hombre, ¿cuál era su estatura?
7. Suponiendo que el hueso pertenecía a una mujer, ¿cuál era su estatura?
8. ¿Para qué estatura serían iguales la longitud del húmero de una mujer y la longitud
del húmero de un hombre?
Representa las siguientes rectas en un sistema de ejes coordenados
y
determina los valores que toma para el eje de las x( dominio) , y para el eje
de las y (recorrido):
9. y = 3x
10.y =
1
x–7
4
Página 28
Área Matemática - Texto San Mateo. 3º Medio
11.x = 0
12.y – 1 = - ( x – 2 )
13.y – 1 = 2( x – 2 )
Grafica las siguientes funciones :
 x+3
14.f(x) = 
4
si
 2x

15. g(x) =  3
x> 0
- 2x

x 0
si
si
x<3
si x = 3
si x > 3
16. Dado el gráfico:
m
2
k
5
Determina:
a) variable dependiente
b) tabla de valores
c) k si f(k) = 8
d) variable independiente
e) patrón y notación funcional
17. Dada la función afín y = mx + n, se sabe que pasa por los puntos A(1 , 2 )
B( -1 , -2 ) . Halla los valores de m y n.
y
18. Encontrar la función lineal cuya gráfica pasa por los puntos
A(1,3) y B( -2 , 0 ).
Dadas las rectas indicadas, determina la pendiente y la ordenada en el origen
de cada una.
19. y = 5x -3
20. y =
1
x
4
21. Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, justifica tus
respuestas:
________ El punto P(0,0) pertenece a la recta de ecuación 3x + 4y = 0
________ R: 2x – 1 = 0 es paralela al eje x.
________ El punto M(-1,3) pertenece a la recta de ecuación 2x + 3y – 7 = 0
________ Las rectas C: x – y + 2 = 0 y D: 2x –2y + 4 = 0 son paralelas.
________ Las rectas A: 2x – 3y – 1 = 0 y B: 2x + y + 2 = 0 no son perpendiculares.
22. Sabiendo que p = ( a, a +2 ) pertenece a la recta de ecuación
0, Calcular las coordenadas de dicho punto.
2x + 3y -1 =
23.¿Cuál es la posición de la recta R de ecuación 6x + 4y = 0 en relación con recta S
de ecuación 9x + 6y – 1 = 0.
Determina los valores de R para que las rectas R1 y R2 de ecuaciones:
(1 – R)x – 10y + 3 = 0 y (m + 2)x + 4y – 11m –18=0 sean:
Página 29
Área Matemática - Texto San Mateo. 3º Medio
24.
perpendiculares
25.
paralelas
26.
coincidentes
27.
Determina el valor de p, de forma tal que:
px –y –1 = 0 y ( p—1)x + py + 10 = 0 sean perpendiculares.
28.
Dado el siguiente gráfico, determinar las ecuaciones de las rectas M, N y T
sabiendo que T es perpendicular a M y paralela a N.
y
N
T
M
p = ( 0, 3 )
0
x
q = ( 6,0 )
Dados los puntos A ( -3, 4 ), B ( 0,2 ) y C ( -3,2 ) vértices del  ABC;
29.
Determina las ecuaciones de las rectas correspondientes a los lados del  ABC.
30.
Verificar que el  ABC es un triángulo rectángulo.
31.
Determina la ecuación de la recta paralela del lado AB por el vértice C.
32.
Calcula el valor de la altura correspondiente al lado AB.
33.
Calcula el área del  ABC.
NO SE POR QUE, PERO
CREO QUE ESTA MATERIA
YA LA HABÍA VISTO
HAY QUE HACER EL
CONTROL
FORMATIVO 2
Alumno: _______________________________________ Curso: ________
UNIDAD 1.2: Función Lineal
Página 30
Área Matemática - Texto San Mateo. 3º Medio
En las siguientes funciones lineales
intersecciones con los ejes coordenados:
determina
la
pendiente
y
las
1. 3x + y = -1
2. x + y = 0
3. 2x – 3y – 12 = 0
Dada la gráfica de la función lineal L:
y
Determina :
4. La ecuación de la recta L.
x
5. La ecuación de una recta L1 paralela a la recta L que pase por el punto P(-3,-4).
L
6. La intersección con los ejes coordenados de la recta L 1.
7. La ecuación de una recta L2 perpendicular a la recta L y que pase por el orígen.
Determina la solución gráfica del siguiente sistema:
y
8.
3x + 2y = 3
4x + y = -1
x
La natalidad de una región ha ido disminuyendo linealmente en los últimos años. En
1985 fue de 35 nacimientos por cada 1000 habitantes. En 1990 fue de 33 por cada
1000 habitantes. Supongamos que N denota la natalidad por cada 1000 personas y T
representa el tiempo medido en años desde 1985.
9. Determina la función lineal de natalidad.
10. Interpreta el significado de la pendiente.
Página 31
Área Matemática - Texto San Mateo. 3º Medio
11. Si el modelo lineal se mantiene igual ¿cuál será la natalidad esperada para el año
2015 ?
Resuelve los siguientes problemas:
12. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1,3) y es paralela a la
recta que determinan los puntos B(-2,-1) y C(4,-2)?
13. Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,-2) y que es
perpendicular a la recta que pasa por los puntos A(-3, -2) y B(5,1).
14. Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,1) y es paralela a la
recta x + y + 4 = 0.
15. Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,-2) y es paralela a
la recta 3x - 2y + 1 = 0.
16. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el origen y por el punto (2, 4)?
17. ¿Qué valor debe tener K en la recta 4x - 2Ky +8 = 0 para que pase por el
punto (-1,1)?
18. Determina la ecuación de la recta perpendicular a 4x + 3y = 2 y que contiene
al punto (0,2).
19. Determina la ecuación de la recta paralela a 2x - 5y -6 = 0 y que contiene al
punto (1,-1).
20. Determina la ecuación de la recta de pendiente -3 y que pasa por el punto de
intersección de las rectas x + y = 3 y 2x - y = 0
21. Determina el valor de z, de modo que las rectas dadas por las ecuaciones
zx + 5y + 6 = 0
y
4x + (z + 1)y - 5 = 0 sean paralelas.
ESTO ES
TERRIBLE DE
FÁCIL.
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Área Matemática - Texto San Mateo. 3º Medio
Sub-Unidad 1.3:“Son o no igual, ...
las Inecuaciones te lo diran”
CONTEXTO:
En el estudio de la matemática además del signo
< ,  , > , 
igual (=) aparecerán los signos
que se utilizan para relacionar los números o expresiones
algebraicas cuando no son iguales.
> : mayor que
< : menor que
 : mayor o igual que
 : menor o igual que
Nosotros estamos acostumbrados a utilizar estos
signos pero no nos hemos dado el tiempo de estudiarlos. Lo
usamos en frases tan típicas como, yo soy mayor que tú,
menos de $2.000 no, te puedo prestar como máximo
$5.000, etc.
ORDEN EN IR
El
conjunto
de
los
números
reales
IR
es
un
conjunto
ordenado, por lo tanto podemos comparar sus elementos mediante una relación de
orden y podemos decir
que :
Para a, b  IR se tiene:
a < b  a – b  IRa > b  a – b  IR+
a  b  a – b  IR 0
a  b  a – b  IR 0
LEY DE TRICOTOMÍA
Dados a, b
 IR se cumple que:
a>b
 a<b  a=b
Ejemplo, tenemos los números 5 y 9, ahora ¿el 5 es mayor que 9? o ¿es menor? o ¿es
igual?. Basta con que cumpla una de esas.
EL AGRUPAMIENTO DE NÚMEROS
Nosotros estamos acostumbrados a hablar de agrupamientos de números, pero
matemáticamente como se escribirían: por ejemplo “A mí me dán entre $200 y $500
para venir al colegio”, “Cuando sea grande quiero ganar por lo menos $1.000.000”,
“Los jóvenes de 15 años deben pesar entre 50 y 65 kg.”, “La década de los noventa es
entre los años 1990 y 1999”. ¿Puedes anotarlo con símbolos matemáticos o números?.
Para poderlo hacer es necesario conocer los llamados intervalos.
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Área Matemática - Texto San Mateo. 3º Medio
INTERVALOS
 a , b  =  x  IR /
INTERVALO CERRADO:
a x  b 
GRÁFICAMENTE
-
a
b
+
b
+
 a , b  =  x  IR / a < x < b 
INTERVALO ABIERTO:
GRÁFICAMENTE
-
a
INTERVALO ABIERTO A LA DERECHA:
 a , b  =  x  IR / a 
x <b 
GRÁFICAMENTE
-
a
b
+
 a , b  =  x  IR / a < x  b 
INTERVALO ABIERTO A LA IZQUIERDA:
GRÁFICAMENTE
-
a
b
+
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
Dados a , b  IR se cumple que :
i.
a>b a  c>b  c
ii.
a>b
iii.
a>b
 ac >bc
 ac <bc
,
,
 c>0
 c<0
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Cómo graficar intervalos?
Se tiene el siguiente intervalo: [-7, 0[
-7
Ubico los puntos –7 y 0, luego achuro todo
ese trayecto, marco con círculos los
extremos, los achuro si contiene a ese
punto y lo dejo en blanco si no lo contiene.
0
2. Si tengo el gráfico, cómo lo escribo como intervalo?
0
Los puntos que son límites son los que van
dentro del intervalo, o sea, 0 y 9. Luego
tienes que fijarte si los círculos son
achurados o no, así el intervalo es ]0, 9[
9
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Grafica los siguientes intervalos:
a) [-1, 15]
b) ] -14, 15 [
c) ] 0, 14]
d) [15, 25 [
2. Escribe como notación algebraica los siguientes intervalos:
a)
b)
-1
15
12
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+
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INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA
Una inecuación es una desigualdad que contiene una incógnita .
Ejemplo: x + 5 < 8 se cumple “para todo x menor que 3 “.
Resolver una inecuación es encontrar el intervalo de números reales para el
cual la inecuación se transforma en una desigualdad verdadera y para resolverlas se
debe aplicar las propiedades de las desigualdades.
EJERCICIOS RESUELTOS
Ejemplo:
Resolver la inecuación:
2x – 5 < x + 2
x–5<2
x<7
La solución se puede entregar como:
intervalo real
/ -x
/+5
 - , 7 
 x  IR /
en forma de conjunto
gráficamente
x <7 
-
7
+
EJERCICIOS PROPUESTOS
Escribe los siguientes conjuntos como intervalos:
1.
2.
3.
 x  IR / 2 < x  3 
 y  IR / y > - 4 
 x  IR / x < - 2 
x>4

Resuelve las siguientes inecuaciones y representa gráficamente:
4.
5x + 2 < 2x –1
5.
3 – 4x

-3 + 2x
2x - 1
>0
2
2x + 1
7. 4x +1<0
3
2 - 3x
6x + 1
0
8.
2
3
6.
Problemas de aplicación:
9. Encuentra los números enteros positivos tales que su quinta parte más tres sea
mayor que la mitad de su triple.
10.Encuentra los números naturales cuya tercera parte sea mayor que su mitad más
uno.
11.El doble de la suma de un número, y 3 no es más que 14.
12.El 75% de un número, disminuido en 8 es menos que 10.
13.En la fórmula F =
9
C + 32 , C representa el número de grados Celsius y F el de
5
grados Fahrenheit. Hallar la temperatura en grados centígrados y dibujar el gráfico
de la solución si durante un determinado mes en la ciudad A:
a) La temperatura máxima fue de 59°F.
b) La temperatura mínima fue de 50°F.
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INECUACIONES LINEALES CON VALOR ABSOLUTO
Tengamos presente las siguientes propiedades de las desigualdades con valor
absoluto:
i)
x < a  -a < x < a
iii)
x > a  x >a 
x <-a
ii)
x  a  -a  x  a
iv)
x  a  x  a
 x  -a
EJERCICIOS RESUELTOS
Ejemplo :
2x + 8  4
Resolvamos
Según la propiedad correspondiente
2x + 8  4
 - 4  2x + 8  4
Resulta una inecuación doble la que se resuelve de la siguiente manera :
-4  2x + 8  4
-12  2x  -4
-6  x
/ -8
/:2

-2
El conjunto solución en este caso se representa como:
S = { x  IR / -6

x

-2 } =

-6 , -2

gráficamente :
-
-6
-2
+
EJERCICIOS PROPUESTOS
Resuelve las siguientes inecuaciones con valor absoluto:
1.
3x  5  14
2.
3.
2x  4  10
4.
5.
x8
 13
2
6.
x 1
7
3
x6
5
 15
4x  1
3 2
7
Resuelve las siguientes inecuaciones dobles:
7.
10.
-3 < x + 4 < 0
8.
6x < 7x + 4 < 2 + 8x
-8 < -1 + 3x < 11
11.
5 < 3x - 7 < 13
9. -4 < x + 6 < 8
12. 0 < 3x - 5 < x + 9
SISTEMA DE INECUACIONES
Un sistema de inecuaciones lineales es aquel que tienen dos o más inecuaciones
simultáneamente. Para resolverlos se determinan el conjunto de números reales que
satisfacen todas las desigualdades del sistema. Este conjunto se llama conjunto
solución del sistema, determinado por una región del plano que se obtiene al
interceptar los semiplanos o conjunto solución correspondiente a cada una de las
inecuaciones.
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SISTEMA DE INECUACIONES LINEALES
CON UNA INCÓGNITA
EJERCICIOS RESUELTOS
Ejemplo :
Determinemos el conjunto solución del sistema
3x - 5  -10
x + 8 < 12
Resolvamos cada inecuación en forma independiente
3x - 5
3x
 -10
/+5
 -5
x

x<4
-5
3

}
S2 = { x  IR / x < 4 }
-5
3
+
S1 =
/-8
-5
3
S1 = { x  IR / x
-
x + 8 < 12
1
/
3
-
 -5

 3 , +  
Así la solución final será
S2 = ] -  , 4]
S = S 1  S2 :
-5
3
-
Por lo tanto,
S1  S2 = { x  IR /
Esto es:
S=
+
4
-5
3
+
4
x<4}
 -5

 3 , 4 
EJERCICIOS PROPUESTOS
Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones lineales:
1.
3.
5.
7x - 2 < 3x + 5
2(x - 1)  3(x + 3)
2.
x  2
2

x
 -2
x>0
(x + 4 )(x - 1) < x(x - 2)
3x - 4 < 2x + 2
2 x  4
2x - 1
1 - 4x
4.
8
6.
(x - 2)2 - x2
-x
x



0
-2
0
2x
+ 1 < 11
5
x
+ 1 > 3
2
 3
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Resuelve los siguientes problemas usando inecuaciones:
7. Sandra, Ricardo y Marianne son hermanos. Sandra tiene 15 años y Ricardo tiene 3
más que Marianne. La suma de los años de Ricardo y Marianne no alcanza a
igualar la edad de Sandra. ¿ Cuántos años tiene Marianne si su edad es un número
impar?.
8. Se dispone de un número de monedas, entre 197 y 205, que son repartidas entre
las personas A, B y C. Se sabe que B recibe 15 monedas más que C y A recibe el
doble de lo que recibe B . ¿ Cuántas monedas recibe cada uno ?
INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
Son de la forma ax + by > c. El conjunto solución, en general, son semiplanos.
Ejemplo: x + y < 1
y
1
1
x
EJERCICIOS PROPUESTOS
Representa la gráfica del conjunto solución de las siguientes inecuaciones:
1.
2x - y

3
2. x + 2y < 1
3. x - y > -2
SISTEMA DE INECUACIONES LINEALES
CON DOS INCÓGNITAS
Tienen la forma
a1x + b1y > c1
a2x + b2y > c2
Su solución se consigue en el plano cartesiano, haciendo la intersección de los
conjuntos soluciones de cada inecuación.
Ejemplo
L1:
L2:
2 x + 3 y  12
-2 x + y  -2
Graficamos la intersección de los semiplanos o conjunto solución
correspondiente a cada inecuación
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L1
L2
y
4
1
6
x
-2
EJERCICIOS PROPUESTOS
Representa la solución de cada uno de los siguientes sistemas de inecuaciones:
1.
4.
x + 2y > 10
2x + y  3
x 0
y 0
2x + 3y  6
I.
2.
5.
x+y <5
x + 3y  12
y0
y-x4
8x + 3y  12
2) 7 x  3  8 x  9
4)
5)
6.
-1< x  2
2y  x + 4
x 0
y 4
y>x
Resuelve las siguientes inecuaciones lineales, representado las
soluciones como intervalos y gráficamente.
1) 3 x  5  2x  9
3)
3.
x 1
x 1 1
3 

6
8
2
2x  3  7
1  x 2x  4

8
2
5
2
6) 5 x  3  4x  7  2x  3
7) 3x  2y  7x  2
8) x  y  4  2x  2y  4
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II.
Resuelve los siguientes sistemas:
x3  5
1)
2x  7  1
x0
 7  4x  2  9
2)  x  11
x  9  3x  2
III.
a)
3)
xy 1
7x  2y  3x  1
x0
4) y  3
2x  2y  2
Indica a que expresión de las que aparecen a la izquierda le
corresponde el gráfico de la derecha:
4x  10  6
6
b) 2x  y  6
3
c) 3x  5y  8  6y  2x  8
d) 2x  x  8  3x  7  x  5
-8
1
IV.
-6
4
Resuelve los siguientes problemas:
1. Un vendedor de frutas comenzó el día con 20.000 pesos en caja. El
precio promedio de todos sus productos es de 300 pesos el kilo.
Encuentra una desigualdad para los kilos de fruta que debería vender
para tener en caja más de 50.000 pesos.
2. Una cuenta de ahorro otorga un interés mensual de 0,2 %. ¿Después de
cuántos meses se tendrá un 10 % más de lo inicialmente depositado?
3. Alicia decide instalar una pequeña fábrica de empanadas. Haciendo un
estudio de costos de insumos, estima que cada empanada le costará 200
pesos. Estudiando el mercado, decide que venderá sus empanadas en
450 pesos. Por arriendo de local, luz, operarios, etc., tendrá un gasto de
300.000 pesos mensuales. ¿Cuántas empanadas debe vender al mes
para obtener una ganancia mínima de 500.00 pesos?
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