IME - 127 - Universidad de La Frontera

UNIVERSIDAD DE LA FRONTERA
Facultad de Ingeniería, Ciencias y Administración
Depto. Matemática y Estadística
PROGRAMA DE ASIGNATURA
I.- IDENTIFICACIÓN DE LA ASIGNATURA
Asignatura
: MATEMÁTICAS APLICADAS
: Plan común ingeniería
Ing. Civil Telemática – Ing. Civil Ambiental – Ing. Civil
Industrial mención Mecánica – Ing. Civil Matemática,
Ing.Civil Eléctrica, Plan común Ing. Civiles.
Carrera
Código
Horas
Calidad
Tipo de formación
Carácter
Régimen
Curso
Semestre que se imparte
Año académico
Requisitos
Departamento
Facultad
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IME - 127
4-0
Obligatoria
Básica
Teórica
Semestral
2º Año, 4º Nivel; Nº 11
Ambos
2011
Cálculo Avanzado (Nº 6)
Matemática y Estadística
Ingeniería, Ciencias y Administración
II.- DESCRIPCIÓN DE LA ASIGNATURA
Asignatura semestral dirigida a los estudiantes de cuarto nivel de las carreras de Ingeniería Civil,
de carácter teórico y orientada a proporcionar los conocimientos básicos relacionados con el
Cálculo Vectorial, el Cálculo de Variable Compleja, las Series y Transformada de Fourier,
necesarios para la formación de este profesional.
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III.- OBJETIVOS GENERALES Y ESPECIFICOS
a) Objetivos Generales:
Conocer las nociones básicas de campos vectoriales, así como los teoremas clásicos asociados.
Entender las nociones básicas de la teoría de funciones de variable compleja. Desarrollar las
nociones básicas de la teoría de Series de Fourier y aplicarlas en problemas concretos de la
Ingeniería mediante la solución en serie de modelos de la mecánica del continuo.
b) Objetivos específicos:
1. Cognitivos (conceptuales):
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Conocer los conceptos del cálculo vectorial, del cálculo en variable compleja, de las series y
Fourier y de las transformadas de Fourier.
Adquirir habilidades básicas que le permitan plantear y resolver problemas.
Desarrollar su capacidad analítica para el estudio de situaciones que contemplen o empleen
los conceptos adquiridos.
2. Procedimentales:
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Estudiar la noción de continuidad, diferenciación e integración de campos vectoriales.
Entender la noción de superficie, su parametrización y la noción de orientación de una
superficie.
Comprender y aplicar los clásicos teoremas de Green, Gauss y Stokes.
Conocer la teoría clásica de las funciones de variable compleja, su continuidad y la noción de
diferencial mediante las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
Estudiar la integración compleja y sus consecuencias más directas, en particular el Teorema
de los Residuos.
Extender la noción de serie de Taylor a las funciones complejas y estudiar también el
desarrollo de funciones singulares mediante la serie de Laurent.
Extender la noción de producto interno a espacios de funciones y representar una función en
términos de una serie de la base trigonométrica.
Definir formalmente una serie de Fourier así como dar explícitamente la formula del cálculo de
los coeficientes de la serie.
Aplicar lo anterior en la solución de problemas de la Ingeniería. Estudiar la Transformada de
Fourier
3. Actitudinales:
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Relacionar los conceptos estudiados con su experiencia más inmediata, y propender, con la
ayuda de ejemplos bien escogidos (en el curso), a que el alumno logre captar conceptos más
generales.
Percibir la matemática como una disciplina que ha evolucionado y que continua
desarrollándose, y que responde en algunas ocasiones a la necesidad de resolver problemas
prácticos, pero que también se plantea problemas que le son propios.
Valorar el desempeño grupal y la distribución de tareas para conseguir los objetivos de:
seguridad y confianza en si mismo, inventiva y creatividad, capacidad de liderazgo,
responsabilidad, tolerancia, autoestima, hábitos y valores de trabajo y estudio.
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IV.- CONTENIDOS
Unidad 1: Integración en campos escalares y vectoriales.
1.1 Campos vectoriales: divergencia, rotor.
1.2 Integración de campos escalares sobre trayectorias.
1.3 Integración de Campos vectoriales: la integral de línea. Campos Conservativos y no
conservativos.
1.4 El Teorema Fundamental del Calculo para una integral de línea sobre una región conexa.
1.5 Superficies: definición y parametrización. Orientación de una superficie: la noción de producto
vectorial en dimensión dos y tres.
1.6 Rotor de un campo vectorial.
1.7 Teorema de Stokes y Green, o del Rotor y la Divergencia.
Unidad 2: Introducción a la teoría de las funciones de variable compleja.
2.1. Breve repaso sobre el Cuerpo de los números complejos: operatoria básica.
2.2. Funciones de variable compleja: continuidad. Isomorfismo entre las funciones de variable
compleja y los campos vectoriales en dimensión dos.
2.3. Diferenciación compleja: las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Noción de Función Holomorfa
2.4. Extensión de las funciones reales al plano complejo: función exponencial y funciones
trigonométricas.
2.5. Definición del logaritmo complejo: importancia del argumento de un número complejo.
2.6. Integración compleja: equivalencia con la integral de línea en dos dimensiones.
2.7. Formula de Cauchy para las derivadas complejas. Funciones singulares y Teorema de los
Residuos.
2.8. Series de Potencias.
2.9. Aplicaciones: desarrollo en series de Laurent.
Unidad 3: Introducción a las series y Transformada de Fourier
3.1. Ortogonalidad de las bases trigonométricas frente al producto interno definido por la integral.
3.2. Desarrollo de funciones sobre un intervalo acotado con respecto a las bases trigonométricas:
definición de la serie de Fourier de una función sobre un intervalo acotado y cálculo de los
coeficientes de Fourier.
3.3. Convergencia de la serie de Fourier: convergencia puntual, uniforme y regularización (el efecto
de Gibbs).
3.4. Aplicaciones de las series de Fourier a problemas de la ingeniería: el método de separación de
variables para Ecuaciones en Derivadas Parciales.
3.5. La integral de Fourier compleja y la transformada de Fourier, propiedades. Transformada de
Fourier en cosenos y en senos. Transformada finita de Fourier en cosenos y en senos.
Transformada discreta de Fourier. Transformada rápida de Fourier.
V.- RECURSOS METODOLÓGICOS
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Clases expositivas del profesor
Talleres grupales e individuales
VI.- EVALUACION
Habrá tres calificaciones o notas por semestre. De estas notas, 2 corresponderán a evaluaciones
de Pruebas (con predominio de aspectos conceptuales) y 1 nota corresponderá a evaluaciones de
aspectos procedimentales y actitudinales, según la siguiente ponderació:.
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Primera Prueba de calificación de aspectos conceptuales: 30 %.
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Segunda Prueba de calificación de aspectos conceptuales: 40 %.
Calificación de aspectos procedimentales: 24 %
Calificación de aspectos actitudinales: 6 %.
Posteriormente, de acuerdo a lo establecido en el RREP, podrán rendir el Examen de
Recuperación los estudiantes que tengan los requisitos para ello.
VII.- BIBLIOGRAFIA
a) Básica
1.
2.
3.
4.
5.
T. Apostol: Análisis Matemático, Editorial Reverté.
T. Apostol: Calculus Volumen II, Editorial Reverté.
J. Marsden & A. Tromba: Calculus, Editorial MacGraw-Hill.
P. O’Neil: Matemáticas avanzadas para Ingeniería, Editorial Thompson.
H. Weimberger: Ecuaciones en Derivadas Parciales con métodos de variable compleja y de
transformaciones integrales, Editorial Reverté.
b) Complementaria
1. R. Churchill: Introducction to Complex Variables and Applications, Editorial MacGraw-Hill.
2. L. Pennisi Elements of Complex Variables, Editorial Holt,Rinehart and Winston.
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