Productos elevados Escuela Profesor (a)

Productos elevados
Plan de clase (1/3)
Escuela: _______________________________________________ Fecha: _____________
Profesor (a):________________________________________________________________
Curso: Matemáticas 2 Secundaria
Eje temático: SN y PA
Contenido: 8.1.2 Cálculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de la
misma base y potencias de una potencia. Significado de elevar un número natural a una
potencia de exponente negativo.
Intenciones didácticas: Que los alumnos a partir de casos particulares, se apropien de la
ley de los exponentes para simplificar el producto de potencias de la misma base.
Consigna: Reunidos en equipos realicen lo que se pide en cada caso.
1. Expresen los siguientes números como productos de factores iguales, es decir, un número
que multiplicado cierto número de veces por sí mismo dé como resultado el número
mostrado.
a)
b)
c)
d)
8=
32 =
64 =
128 =
e) 243 =
f) 625 =
g) 343 =
h) 27 =
2. Expresen en forma de potencia las siguientes operaciones de productos de factores
iguales:
a)
b)
c)
d)
e)
(2)(2)(2) =
(10)(10)(10)(10) =
(4 x 4 x 4) + (5 x 5 x 5)=
(3 x 3 x 3) (3 x 3 x 3 x 3) =
(7 x 7 x 7)  (7 x 7) =
3. Completen la siguiente tabla:
x
21
22
23
21
22
23
24
25
2n
24
25
26
23
26
2m
4. De acuerdo con lo anterior, elaboren una regla general para expresar como potencia el
resultado de una multiplicación de potencias de la misma base.
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
Consideraciones previas:
Es probable que a los alumnos les cueste trabajo expresar cada número como una
multiplicación de factores iguales; sin embargo, hay que dejarlos que lo intenten, si fuera
necesario, se les puede ayudar mostrando el caso del primer número que es: 8 = (2)(2)(2)
Con respecto a la segunda actividad, se espera que los alumnos puedan expresar las
multiplicaciones de factores iguales como potencias y que se den cuenta que el exponente
representa el número de veces que aparece la base como factor. Si se considera necesario,
en este momento es importante contrastar multiplicaciones de factores iguales con sumas de
sumandos iguales, ya que es un error frecuente en los alumnos confundir ambas
operaciones. Por ejemplo, 2  2  2  2  4(2) con 2  2  2  2  2 4 .
El punto medular de este plan de clase es la resolución de la tabla de la actividades 3, a
partir de la cual se espera que descubran la siguiente regularidad: un producto de dos
potencias de la misma base es igual a la base elevada a la suma de los exponentes. Si lo
logran, podrán llenar la última columna y el último renglón de la tabla, en caso contrario
habrá que ayudarlos. Una vez que los alumnos hayan llegado a una sola conclusión para
simplificar el producto de potencias de la misma base es recomendable plantear algunos
ejercicios para consolidar lo aprendido; por ejemplo:
Escriban el resultado de cada una de las siguientes operaciones como una potencia.
a) 28  2 3 
b) 3 2  3 2 
c) 4 2  4 7 
e) 7 7  7 3 
f) 103  105 
g) 104  103 
i) (53 )  (5  5  5)  j) (10 10 10)  (10 10) 
d) 5 3  5 2 
h) (2  2  2)  (2  2) 
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
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_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
_____________________________________________________________________
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3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
Doble elevación
Plan de clase (2/3)
Escuela: _______________________________________________ Fecha: _____________
Profesor (a):_______________________________________________________________
Curso: Matemáticas 2 Secundaria
Eje temático: SN y PA
Contenido: 8.1.2 Cálculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de la
misma base y potencias de una potencia. Significado de elevar un número natural a una
potencia de exponente negativo.
Intenciones didácticas: Que los alumnos, a partir de casos particulares, construyan la ley
de los exponentes para simplificar la potencia de una potencia.
Consigna: En equipos, encuentren el resultado de las siguientes expresiones y
represéntenlo en forma de potencia. Noten que en todos los casos se trata de una potencia
elevada a otra potencia.
a) ( 22 )4 =
b) ( 21 )4 =
c) ( 25 )2 =
d) ( 52 )2 =
e) ( 43 )4 =
f) ( 35 )2 =
g) ( 102 )3 =
h) ( 6n )3 =
i) ( 7n )m =
Consideraciones previas:
Es importante asegurar que los alumnos comprendan lo que se trata de hacer, es decir,
simplificar a cada potencia elevada a otra potencia como una sola potencia con la misma
base.
Es muy probable que algunos alumnos escriban como respuesta la misma base y como
exponente la suma de los exponentes, por ejemplo: (2 2)4= 26. Si esto ocurre hay que pedirles
que justifiquen su respuesta.
Otros tal vez traten de simplificar lo que hay dentro del paréntesis y lleguen a respuestas
como por ejemplo: (22)4=44. En este caso, aunque es correcta la operación no cumple con la
condición inicial de que la base no debe cambiar.
También es probable que otros alumnos calculen primero lo que está dentro del paréntesis y
luego lo que está afuera de él y finalmente traten de expresar el resultado como una potencia
con la misma base, por ejemplo, (22)4 = (4)4 = (4)(4)(4)(4) = 256 = 28
Una forma para llegar a la regla general para simplificar la potencia de una potencia consiste
en escribir primero como producto la potencia indicada fuera del paréntesis y luego
simplificar este producto de potencias de la misma base como se trabajó en el primer plan de
clase. Por ejemplo, (22)4= (22) (22) (22) (22)= 28. Si esto no ocurriera en el grupo, el maestro lo
puede presentar al grupo como una forma más de dar respuesta a lo solicitado en la
consigna.
Finalmente, se espera que los alumnos descubran que la potencia de una potencia es igual a
la base cuyo exponente es el producto de los exponentes.
Para consolidar lo aprendido, se puede proponer ejercicios como por ejemplo:
Escribe en forma de una sola potencia las siguientes operaciones:
a) (244)5 =
b) (105)6 =
c) (414)8 =
d) (505)4 =
e) (1003)5 =
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
_____________________________________________________________________
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3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
Entre dos elevados
Plan de clase (3/3)
Escuela: _______________________________________________ Fecha: _____________
Profr. (a):______________________________________________________________
Curso: Matemáticas 2 Secundaria
Eje temático: SN y PA
Contenido: 8.1.2 Cálculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de la
misma base y potencias de una potencia. Significado de elevar un número natural a una
potencia de exponente negativo.
Intenciones didácticas: Que los alumnos construyan la ley de los exponentes para
simplificar el cociente de potencias de la misma base e interpreten el significado de elevar un
número natural a una potencia de exponente negativo.
Consigna 1: En equipos, calculen el resultado de los siguientes cocientes de potencias de la
misma base. Luego, formulen una regla general para simplificar cocientes de potencias de la
misma base.
a)
25

22
b)
26

25
c)
37

35
d)
55

51
e)
45

45
f)
108

103
2n
g) 2 
2
2n
h) m 
2
Consigna 2: Efectúen los siguientes cocientes de potencias de la misma base como se
muestra en el ejemplo.
22
2 2
1
 3
a) 5  2 25  2 3 
2 2 2 2 2 2
2
26
b) 5 
2
c)
35

37
d)
51

55
e)
42

43
f)
103

108
Consideraciones previas:
Esta actividad es una extensión de la anterior cuya particularidad consiste en que el
resultado es una potencia con exponente negativo. La finalidad de plantear por separado
estos casos es la de ayudar a los alumnos a tener claro de dónde surge una expresión con
exponente negativo y cómo ésta se puede convertir en una expresión con exponente
positivo. Es importante analizar primero lo que se plantea en la consigna 1 y después pasar a
los casos de la consigna 2.
En el caso de la consigna 1, es necesario destacar cómo se obtiene un exponente uno o un
exponente cero y a qué equivalen.
Es importante concluir que cuando se tiene la misma cantidad en el numerador y
denominador, la fracción es igual a la unidad; por ejemplo:
54
1  4  54  4  50
5
Por lo tanto, 50 = 1 y en general, a0 = 1
Luego de revisar los resultados obtenidos en ambos ejercicios, se les pedirá a los
estudiantes que analicen en qué casos el exponente de la potencia resultante es negativo y
que expliquen con sus palabras cómo se resuelve este tipo de potencias. Es necesario guiar
el análisis y la discusión para que puedan llegar a la siguiente regla general:
1
an
Para afianzar lo aprendido, se pueden proponer ejercicios como por ejemplo:
an 
1. Completa las siguientes expresiones:
a)
35
 ( )5  2  ( ) 3
2
3
b)
62
 6(
5
6
)( )
 6(
)
c)
10 5
 10(
5
10
)( )
 10(
)
1
2. Realiza las siguientes operaciones:
53

53
x4

x6
42

40
35

36
108

1015
104 
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
_____________________________________________________________________
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_____________________________________________________________________
3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
14/15