Definición( presentación)

∫
b
a
f ( x) dx
SUMAS INFERIORES
Sinf ( f ,1) = h ⋅ m1
;
h =b−a
SUMAS INFERIORES
Sinf ( f ,2) = h⋅ m1 + h⋅ m2
; h=
b−a
2
SUMAS INFERIORES
4
S inf ( f ,4) = h ⋅ m1 + h ⋅ m2 + .... + h ⋅ m4 = ∑ h ⋅ mk
k =1
; h=
b−a
4
SUMAS INFERIORES
8
S inf ( f ,8) = h ⋅ m1 + h ⋅ m2 + .... + h ⋅ m8 = ∑ h ⋅ mk
k =1
; h=
b−a
8
SUMAS INFERIORES
16
S inf ( f ,16) = h ⋅ m1 + h ⋅ m2 + .... + h ⋅ m16 = ∑ h ⋅ mk
k =1
; h=
b−a
16
SUMAS INFERIORES
n
S inf ( f , n) = h ⋅ m1 + h ⋅ m2 + .... + h ⋅ mn = ∑ h ⋅ mk
k =1
; h=
Sinf ( f , n) n
→ Área bajo f entre x = a y x = b
→∞
b−a
n
SUMAS SUPERIORES
Ssup ( f ,1) = h ⋅ M 1
;
h =b−a
SUMAS SUPERIORES
Ssup( f ,2) = h⋅ M1 + h⋅ M2
; h=
b−a
2
SUMAS SUPERIORES
4
S sup ( f ,4) = h ⋅ M 1 + h ⋅ M 2 + .... + h ⋅ M 4 = ∑ h ⋅ mk
k =1
; h=
b−a
4
SUMAS SUPERIORES
8
S sup ( f ,8) = h ⋅ M 1 + h ⋅ M 2 + .... + h ⋅ M 8 = ∑ h ⋅ M k
k =1
; h=
b−a
8
SUMAS SUPERIORES
S sup ( f ,16) = h ⋅ M 1 + h ⋅ M 2 + .... + h ⋅ M 16 = ∑ h ⋅ M k ; h = b − a
16
k =1
16
SUMAS SUPERIORES
n
S sup ( f , n) = h ⋅ M 1 + h ⋅ M 2 + .... + h ⋅ M n = ∑ h ⋅ M k
k =1
; h=
Ssup ( f , n) n
→ Área bajo f entre x = a y x = b
→∞
b−a
n
INTEGRAL DEFINIDA
b
Área = ∫ f ( x) dx = lim S inf ( f , n) = lim Ssup ( f , n)
a
n →∞
n →∞
Área bajo f entre a y b = f (c) ⋅ (b − a)
para algún punto c entre a y b
TEOREMA DE LA MEDIA
(INTEGRAL)
Área bajo f entre a y b = f (c) ⋅ (b − a)
para algún punto c entre a y b
TEOREMA DE LA MEDIA
(INTEGRAL)
Área bajo f entre a y b = f ( c ) ⋅ ( b − a )
El punto c está donde el área que sobra y la que falta coinciden
Si f es continua en [a,b], entonces la función:
A ( x ) = Área bajo f entre a y x
es una primitiva de f, es decir A´(x)=f(x)
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL
CÁLCULO INTEGRAL
Si f es continua en [a,b], entonces la función:
A ( x ) = Área bajo f entre a y x
es una primitiva de f, es decir A´(x)=f(x)
ya que …
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL
CÁLCULO INTEGRAL
A´( x) = lim
h →0
A( x + h) − A( x)
h ⋅ f (c )
= lim
= lim f (c) = f ( x)
h
→
0
h →0
h
h
donde c es algún punto entre x y x+h
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL
CÁLCULO INTEGRAL
Como A(x) es una primitiva de f
se escribe:
x
A( x) = ∫ f (t ) dt
a
Sea f una función continua en [a,b],
y sea F(x) una primitiva de f(x) en [a,b];
entonces:
∫
b
a
f ( x) dx = F (b) − F (a)
REGLA DE BARROW
x
A( x) = ∫ f (t ) dt
a
Esta función cumple:
por tanto si F es una primitiva de f :
y como A(a)=0 :
A( x ) = F ( x ) + C
A(a) = F(a) +C = 0 ⇒ C = −F(a)
Es decir:
x
A( x) = ∫ f (t ) dt = F ( x) − F ( a )
a
A´(x)=f(x)
REGLA DE BARROW
Sea f una función continua en [a,b],
y sea F(x) una primitiva de f(x) en [a,b];
entonces:
∫
b
a
f ( x) dx = F (b) − F (a)
INTEGRAL DEFINIDA
∫
b
a
f ( x) dx = lim S sup ( f , n) = lim S inf ( f , n)
n →∞
n →∞
Si f es positiva en [a,b], representa el área bajo f entre a y b
INTEGRAL DEFINIDA
∫
b
a
f ( x) dx = lim S sup ( f , n) = lim S inf ( f , n)
n →∞
n →∞
Si f es positiva en [a,b], representa el área bajo f entre a y b
FUNCIÓN INTEGRAL
x
F ( x) = ∫ f (t ) dt = lim S sup ( f , n) = lim S inf ( f , n)
a
n →∞
n →∞
Si f es positiva y continua en [a,b], F representa el área bajo f entre a y x.
INTEGRAL DEFINIDA
∫
b
a
f ( x) dx = lim S sup ( f , n) = lim S inf ( f , n)
n →∞
n →∞
Si f es positiva en [a,b], representa el área bajo f entre a y b
FUNCIÓN INTEGRAL
x
F ( x) = ∫ f (t ) dt = lim S sup ( f , n) = lim S inf ( f , n)
a
n →∞
n →∞
Si f es positiva y continua en [a,b], F representa el área bajo f entre a y x.
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL
Si f es continua en [a,b], entonces la función integral es derivable y:
F´(x) = f ( x) ∀ x ∈ [a, b]
INTEGRAL DEFINIDA
∫
b
a
f ( x) dx = lim S sup ( f , n) = lim S inf ( f , n)
n →∞
n →∞
Si f es positiva en [a,b], representa el área bajo f entre a y b
FUNCIÓN INTEGRAL
x
F ( x) = ∫ f (t ) dt = lim S sup ( f , n) = lim S inf ( f , n)
n →∞
a
n →∞
Si f es positiva y continua en [a,b], F representa el área bajo f entre a y x.
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL
Si f es continua en [a,b], entonces la función integral es derivable y:
F´(x) = f ( x) ∀ x ∈ [a, b]
REGLA DE BARROW
Si f es continua en [a,b] y F es una primitiva de f; entonces:
∫
b
a
f ( x) dx = F (b) − F (a)