Ejercicios sobre operaciones con matrices.

MATRICES
1. Sean las matrices
 1 0 1
 2 2 2


A = 1 1 0 y B =  0 2 2  ; obtener A2 , B 2 , A3 , B 3 , AB − BA y




 −1 1 0 
 0 0 2




( A + B )( A − B ) .
2. Obtener todas las matrices cuadradas de orden dos, tales que A = I 2 .
2
3. Obtener todas las matrices cuadradas de orden dos, tales que A ≠ 0 y A = 0 .
2
 1 1
.
 −1 2 
4. Hallar todas las matrices que conmutan con A = 
1 0 0


5. Si A = 0 2 0 , calcular An .


 0 0 3


1 0 0 


6. Si A = 1 1 0 , calcular An .


1 1 1 


 cosα
 − senα
7. Sea A = 
senα 
, obtener A + At , A − At , A2 y An .
cosα 
8. Encontrar las matrices X e Y que verifiquen:

 1 −1
 X − 2Y = 


7 2 

2 X + Y =  2 3 
1 4




1 2 
 0 1
y B=

.
1 1 
 1 1
9. Calcular la matriz X que verifique XA = B 2 ; siendo A = 
I.E.S. Pedro de Tolosa. Matemáticas II
Ejercicios de matrices. Pag. 1
10. Hallar la matriz X que verifique XA + B = C , siendo:
0 2 0 
 4 −2 1 
 1 −3 5 
A =  3 0 −3  , B = 
y C =

.


 5 1 −3 
 −2 4 −6 
0 1 2 



 2 4
X +Y = 


 −4 2 
11. Determinar las matrices X e Y sabiendo que: 
3Y − X =  −2 8 
 −12 2 




a a
 distintas de la matriz
0 b
12. Hallar todas las matrices A = 
0 0
2
 0 0  tales que A = A . Para una


cualquiera de las matrices obtenidas, calcular M = A + A2 + ..... + A10 .
 −1 1 
 , hallar la matriz B para la cual se verifica A + B = AB .
 2 −1 
13. Dada la matriz A = 
 3 −4 
a b
encontrar las matrices B = 

 tales que AB = − BA .
 2 −3 
0 c
14. Dada la matriz A = 
15. Calcular una matriz cuadrada X sabiendo que verifica XA2 + BA = A2 , siendo
0 −2 
 0 0 −1 
 0



A = 0 −1 0 y B = 0 −2 0  .




 −1 0 0 
 −2 0

0




 1 −1 
 2 −1 
 1 0
, B=
, I =


 , hallar una matriz X tal que
0 1 
 1 −1 
0 1
16. Dadas las matrices A = 
AXB = I .
3
 0
7
4
17. Se sabe que la matriz A = 
 −9 −2

5
 2
2 −1 
1 −6 
verifica la igualdad A2 = A + I , siendo I la matriz
1 7

3 −3 
identidad. Calcular A−1 y A4 .
I.E.S. Pedro de Tolosa. Matemáticas II
Ejercicios de matrices. Pag. 2
2 0 
 8 −9 
−1
, B=

 . Hallar una matriz X tal que XAX = B .
0
−
1
6
−
7




18. Sean las matrices A = 
1
x
19. Determinar los valores de x , y , z para que se verifique la igualdad 
y 1
z   y
x   5 0
=
.
z   0 5 
1 1 1
0


 
20. Sea k un número natural y sean las matrices A = 0 1 0 , B = 1 , C = (1 1 2 ) .


 
0 0 1
 −1 


 
Calcular Ak y hallar la matriz X que verifica la ecuación A X = BC .
k
 5 2 0
 a b 0




21. Dadas las matrices A = 2 5 0 y B = c c 0 , encontrar las condiciones que deben




0 0 1
 0 0 1




cumplir a , b y c para que se verifique AB = BA . Para a = b = c = 1 , calcular B10 .
 cos nx sen nx 
 , x∈ℝ .
 − sen nx cos nx 
22. Para cada número entero n , se considera la matriz An = 
Comprobar que An ⋅ Am = An + m y como aplicación calcular An−1 .
1 0
 1 0
2
, I =

 , comprobar que A = 2 A − I . Determinar la matriz inversa de
3
1
0
1




23. Siendo A = 
A y la matriz A8 .
 3 2 x

 4 3  z
24. Resolver la ecuación matricial 
y   2 3   29 40 
=
.
t   1 2   34 47 
λ
5
25. Calcular los valores del parámetro λ para que la inversa de la matriz A = 
−2 
coincida con
−λ 
su opuesta.
2 a
 1 0
tales que su inversa sea 2I − A , donde I = 

.
b c
0 1
26. Determinar todas las matrices A = 
 2 3
 1 1
, hallar una matriz X tal que AXA = 

.
1 2
 2 3
27. Dada la matriz A = 
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Ejercicios de matrices. Pag. 3
 0 −1 −2 
 1 0 0




28. Dadas las matrices A = −1 0 −2 , I = 0 1 0 determinar, si es posible, un valor de λ




1 1 3
0 0 1




para el que la matriz ( A − λ I ) sea la matriz nula.
2
 2 2 −1 
 1 0 0
2




29. Se consideran las matrices A = −1 −1 1 , I = 0 1 0 . Calcular ( A − I ) y haciendo




 −1 −2 2 
0 0 1




uso del resultado calcular A4 .
30. Sea M una matriz real cuadrada de orden n que verifica la identidad M 2 − 2 M = 3I , donde I
denota la matriz identidad de orden n . Se pide:
−
Estudiar si existe la matriz inversa de M . En caso afirmativo, expresar M −1 en términos de M
e I.
−
Expresar M 3 como combinación lineal de M e I .
−
Hallar todas las matrices de la forma M = 
a b
 que verifican la identidad del enunciado.
b a
 1 1
.
 0 1
31. Hallar todas las matrices X tales que XA = AX , siendo A la matriz A = 
32. Sea A una matriz real cuadrada de orden n que verifica la igualdad A2 = I , siendo I la matriz
identidad de orden n . Se pide:
−
Expresar A−1 en términos de A .
−
Expresar An en términos de A e I , para cualquier número natural n .
−
Calcular a para que A2 = I , siendo A la matriz A = 
1 1
.
0 a
0 3 4


33. Dada la matriz A = 1 −4 −5 , se pide:


 −1 3 4 


−
Comprobar que se verifica la igualdad A3 + I = 0 , siendo I la matriz identidad y 0 la matriz
nula.
−
Justificar que A tiene inversa y obtener A−1 .
−
Calcular A100 .
0 a
, que cumplan A3 = A .

b 0
34. Hallar las matrices A = 
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Ejercicios de matrices. Pag. 4
35. Se sabe que una matriz no nula A verifica A2 = A . Desarrolla la expresión matricial ( A − µ I ) ,
3
siendo I la matriz identidad y µ una constante. Calcular µ sabiendo que se verifican las
3
relaciones A2 = A y ( A − µ I ) = A − µ I .
3
36. Encontrar un número real λ ≠ 0 , y todas las matrices B ∈ M 2×2 (distintas de la matriz nula), tales
λ 0
 3 0
= B ⋅


 3 1
 9 3
que B ⋅ 
37. Resolver la ecuación matricial XA = B + C , donde
 1 1 0
A = 0 1 1


0 0 1


 2 0 0
B = 1 1 2


2 0 1


3
6
38. Sabiendo que la matriz A = 
3

3
1 1 0
C = 0 1 0


0 1 2


−2 −2
4
−5 −6 12 
 verifica A2 = A , determinar un valor no nulo del
−3 −2 6 

−3 −3 7 
número real λ tal que ( λ A − I ) = I , siendo I la matriz identidad.
2
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Ejercicios de matrices. Pag. 5