Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Probabilidad de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Antonio Francisco Roldán López de Hierro * Convocatoria de 2009 Las siguientes páginas contienen las soluciones de los ejercicios propuestos para las pruebas de acceso a la Universidad en Andalucı́a de la asignatura Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. Está clasificados por convocatorias y llevan un código como el siguiente: 2009-3-B-2, que significa ejercicio 2 de la opción B del modelo 3 de la convocatoria de 2009. Ejercicio 1 (2009-1-A-3) Lena y Adrián son aficionados al tiro con arco. Lena da en el blanco 9 7 , y Adrián con probabilidad . Si ambos sucesos son independientes, calcula la con probabilidad 11 13 probabilidad de los siguientes sucesos: (a) [0’6] “Ambos dan en el blanco”. (b) [0’6] “Sólo Lena da en el blanco”. (c) [0’8] “Al menos uno da en el blanco”. Solución : Llamemos 𝐿 al suceso “un tiro al azar de Lena da en el blanco”, y lo mismo 𝐴 respecto de Adrián. El problema nos indica que 𝑝 (𝐿) = 7/11, 𝑝 (𝐴) = 9/13 y que los sucesos son independientes. Apartado (a). Dado que los sucesos son independientes, 𝑝 (𝐿 ∩ 𝐴) = 𝑝 (𝐿) ⋅ 𝑝 (𝐴), y ası́: 𝑝 (“ambos dan en el blanco”) = 𝑝 (𝐿 ∩ 𝐴) = 𝑝 (𝐿) ⋅ 𝑝 (𝐴) = 63 7 9 ⋅ = . 11 13 143 La probabilidad de que ambos den en el blanco es de * 63 . 143 Profesor del I.E.S. Acci de Guadix (Granada) - http://www.ies-acci.com/antonioroldan/index.html 1 Selectividad Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Apartado (b). Si sólo acierta Lena, entonces Adrián debe fallar. Ası́, la probabilidad de que sólo acierte Lena es: ( ) 7 63 28 𝑝 (“sólo Lena da en el blanco”) = 𝑝 𝐿 ∩ 𝐴𝐶 = 𝑝 (𝐿) − 𝑝 (𝐿 ∩ 𝐴) = − = . 11 143 143 La probabilidad de que sólo acierte Lena es de 28 . 143 Apartado (c). El suceso “al menos uno da en el blanco” es 𝐿 ∪ 𝐴, y ası́: 𝑝 (“al menos uno da en el blanco”) = 𝑝 (𝐿 ∪ 𝐴) = 𝑝 (𝐿) + 𝑝 (𝐴) − 𝑝 (𝐿 ∩ 𝐴) = 7 9 63 127 = + − = . 11 13 143 143 La probabilidad de que al menos uno dé en el blanco es de 127 . 143 Ejercicio 2 (2009-1-B-3) Una encuesta realizada por un banco muestra que el 60 % de sus clientes tiene un préstamo hipotecario, el 50 % tiene un préstamo personal y el 20 % tiene un préstamo de cada tipo. Se elige, al azar, un cliente de ese banco. (a) [1] Calcule la probabilidad de que no tenga ninguno de los dos préstamos. (b) [1] Calcule la probabilidad de que tenga un préstamo hipotecario, sabiendo que no tiene un préstamo personal. Solución : Llamemos 𝐻 al suceso “elegido un cliente al azar de ese banco, éste posee algún préstamo hipotecario” y llamemos 𝑃 al suceso similar con un “préstamo personal”. Los datos del problema nos indican que 𝑝 (𝐻) = 0′ 6, 𝑝 (𝑃 ) = 0′ 5 y 𝑝 (𝐻 ∩ 𝑃 ) = 0′ 2. Podemos hacer, entonces, la siguiente tabla de contingencia, que completamos. 𝑃 𝐻 0′ 2 𝑃𝐶 0′ 6 𝐻𝐶 TOTAL 0′ 5 𝑃 𝑃𝐶 TOTAL 𝐻 0′ 2 0′ 4 0′ 6 𝐻𝐶 0′ 3 0′ 1 0′ 4 TOTAL 0′ 5 0′ 5 1 TOTAL ⇒ 1 Apartado (a). El hecho de que un cliente, seleccionado al azar, no tenga ningún préstamo ( ) hipotecario es 𝐻 𝐶 ∩ 𝑃 𝐶 . Como se observa en la tabla, 𝑝 𝐻 𝐶 ∩ 𝑃 𝐶 = 0′ 1. La probabilidad de que no tenga ninguno de los dos préstamos es 0′ 1. Andalucı́a 2 Antonio Roldán Selectividad Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Apartado (b). La probabilidad de que tenga un préstamo hipotecario, sabiendo que no tiene un préstamo personal, se calcula utilizando la fórmula de la probabilidad condicionada: ( ) ) ( 𝑝 𝐻 ∩ 𝑃𝐶 𝐻 0′ 4 4 = 𝑝 = = = 0′ 8. 𝑃𝐶 𝑝 (𝑃 𝐶 ) 0′ 5 5 La probabilidad de que tenga un préstamo hipotecario, si no tiene un préstamo personal, es 0′ 8. Ejercicio 3 (2009-2-A-3, Septiembre) Una enfermedad afecta al 10 % de la población. Una prueba de diagnóstico tiene las siguientes caracterı́sticas: si se aplica a una persona con la enfermedad, da positivo en el 98 % de los casos; si se aplica a una persona que no tiene la enfermedad, da positivo en el 6 % de los casos. Se elige una persona, al azar, y se le aplica la prueba. (a) [1] ¿Cuál es la probabilidad de que dé positivo? (b) [1] Si no da positivo, ¿cuál es la probabilidad de que la persona tenga la enfermedad? Solución : Apartado (a). Llamemos 𝐸 al suceso “elegido un individuo al azar en la población, éste tiene la enfermedad”, y llamemos 𝑃 al suceso “elegido un individuo al azar en la población, éste da positivo al hacer la prueba de diagnóstico”. Como hay un 10 % de personas que tienen ( ) la enfermedad, sabemos que 𝑝 (𝐸) = 0′ 1, y sin la enfermedad habrá un 90 %, es decir, 𝑝 𝐸 𝐶 = 1−𝑝 (𝐸) = 0′ 9. Entre las personas que tienen la enfermedad, la prueba de diagnóstico da positivo en el 98 % de los casos, es decir, 𝑝 (𝑃/𝐸) = 0′ 98. Igualmente, entre las personas que no tienen la ( ) enfermedad, la prueba da positivo en el 6 % de los casos, lo que significa que 𝑝 𝑃/𝐸 𝐶 = 0′ 06. Con estas verosimilitudes y probabilidades a priori, podemos completar el siguiente diagrama en árbol. 4𝑃 ii 0′ 98 iiii iiii i U t: 𝐸 UUUUUUU t UU* 0′ 1tttt 0′ 02 tt tt tt ∙ KK KKK KKK K 0′ 9 KK% 𝑃𝐶 ii4 𝑃 0′ 06 iiii i i i i 𝐸 𝐶 UUUUU UUUU * 𝐶 0′ 94 Aplicando entonces el Teorema de la Probabilidad Total, deducimos que la probabilidad de que un individuo, seleccionado al azar, dé positivo en la prueba es: ( ) ( ) ( 𝐶) 𝑃 𝑃 +𝑝 𝐸 ⋅𝑝 = 𝑝 (𝑃 ) = 𝑝 (𝐸) ⋅ 𝑝 𝐸 𝐸𝐶 = 0′ 1 ⋅ 0′ 98 + 0′ 9 ⋅ 0′ 06 = 0′ 152. 𝑃 Andalucı́a 3 Antonio Roldán Selectividad Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II La probabilidad de que la prueba dé resultado positivo es 0′ 152. Apartado (b). Por otro lado, aplicando el Teorema de Bayes (o bien directamente la definición de probabilidad condicionada), seleccionado un individuo al azar que no ha dado positivo, la probabilidad de que tenga la enfermedad es: ( 𝐶) ( ) 𝑃 ( ) 𝐶 𝑝 (𝐸) ⋅ 𝑝 𝑝 𝐸∩𝑃 𝐸 0′ 1 ⋅ 0′ 02 𝐸 ( ) ) ( = = = = 𝑝 𝐶 𝐶 𝑃𝐶 𝑝 (𝑃 𝐶 ) 0′ 1 ⋅ 0′ 02 + 0′ 9 ⋅ 0′ 94 𝑝 (𝐸) ⋅ 𝑝 𝑃 + 𝑝 (𝐸 𝐶 ) ⋅ 𝑝 𝑃 𝐸𝐶 𝐸 = 0′ 002 2 1 = = ≈ 0′ 0023585. ′ 0 848 848 424 La probabilidad de que una persona tenga la enfermedad si no ha dado positivo es 1/424 (aproximadamente, un 0’236 %). Ejercicio 4 (2009-2-B-3, Septiembre) En una editorial hay dos máquinas A y B que encuadernan 100 y 900 libros al dı́a, respectivamente. Además, se sabe que la probabilidad de que un libro encuadernado por A tenga algún fallo de encuadernación es del 2 %, y del 10 % si ha sido encuadernado por la máquina B. Se elige, al azar, un libro encuadernado por esa editorial. (a) [1] Calcule la probabilidad de que no sea defectuoso. (b) [1] Si es defectuoso, halle la probabilidad de haber sido encuadernado por la máquina A. Se puede resolver este ejercicio con el teorema de la probabilidad total y el teorema de Bayes (como en la opción A). Por variar, vamos a resolverlo con una tabla de contingencia y la regla de Laplace. Solución : Cada dı́a se encuadernan 1000 libros, de los que 100 son encuadernados por la máquina 𝐴 y 900 son encuadernados por la máquina B. De los 100 libros que cada dı́a encuaderna la máquina A, el 2 % (o sea, 2 libros) poseen fallos de encuadernación. Igualmente, de los 900 libros que cada dı́a encuaderna la máquina B, el 10 % (o sea, 90 libros) poseen fallos de encuadernación. Completamos la siguiente tabla de contingencia, donde se anota el número de libros de cada clase: Con fallos Máq. A Máq. B 2 90 TOTAL ⇒ Sin Fallos TOTAL Andalucı́a 100 900 1000 4 Máq. A Máq. B TOTAL Con fallos 2 90 92 Sin Fallos 98 810 908 TOTAL 100 900 1000 Antonio Roldán Selectividad Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Apartado (a). La probabilidad de que, elegido un libro al azar, éste sea defectuoso, es, según la regla de Laplace: p (“defectuoso”) = número de libros defectuosos 92 23 = = = 00 092: número total de libros 1000 250 La probabilidad de que, elegido un libro al azar, éste sea defectuoso, es 23=250, es decir, del 9’2 %. Apartado (b). La probabilidad de que un libro haya sido encuadernado por la máquina A si es defectuoso es: “máquina A” número de libros defectuosos encuadernados en la máquina A p = = “defectuoso” número total de libros defectuosos = 2 1 = 92 46 00 02174: La probabilidad de que un libro haya sido encuadernado por la máquina A si es defectuoso es 1=46 (aproximadamente, un 2’2 %). Ejercicio 5 (2009-3-A-3, Junio) Un turista que realiza un crucero tiene un 50 % de probabilidad de visitar Cádiz, un 40 % de visitar Sevilla y un 30 % de visitar ambas ciudades. Calcule la probabilidad de que: (a) [0’5] Visite al menos una de las dos ciudades. (b) [0’5] Visite únicamente una de las dos ciudades. (c) [0’5] Visite Cádiz pero no visite Sevilla. (d) [0’5] Visite Sevilla, sabiendo que ha visitado Cádiz. Solución : Llamemos C y S a los sucesos “elegido/a un/a turista al azar, éste/a visita Cádiz”o “Sevilla”, respectivamente. Según los datos del enunciado, p (C) = 00 5, p (S) = 00 4 y p (C \ S) = 00 3. Con estos datos, podemos realizar el siguiente diagrama de Venn: C S 0'2 Andalucía 0'3 5 0'1 Antonio Roldán Selectividad Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II De esta forma, todos los apartados son inmediatos. No obstante, utilizamos algunas fórmulas para justificarlos: (a) 𝑝 (𝐶 ∪ 𝑆) = 𝑝 (𝐶) + 𝑝 (𝑆) − 𝑝 (𝐶 ∩ 𝑆) = 0′ 5 + 0′ 4 − 0′ 3 = 0′ 6. (b) 𝑝 (“una sóla ciudad”) = 𝑝 (𝐶╲𝑆) + 𝑝 (𝑆╲𝐶) = (𝑝 (𝐶) − 𝑝 (𝐶 ∩ 𝑆)) + (𝑝 (𝑆) − 𝑝 (𝐶 ∩ 𝑆)) = ( ) ( ) = 0′ 5 − 0′ 3 + 0′ 4 − 0′ 3 = 0′ 2 + 0′ 1 = 0′ 3. 𝑝 (𝐶╲𝑆) = 𝑝 (𝐶) − 𝑝 (𝐶 ∩ 𝑆) = 0′ 5 − 0′ 3 = 0′ 2. ( ) 𝑝 (𝐶 ∩ 𝑆) 0′ 3 3 𝑆 = = ′ = = 0′ 6. (d) 𝑝 𝐶 𝑝 (𝐶) 05 5 (c) (a) 𝑝 (𝐶 ∪ 𝑆) = 0′ 6. (c) 𝑝 (𝐶╲𝑆) = 0′ 2. (b) 𝑝 (“una sóla ciudad”) = 0′ 3. ( ) 𝑆 (d) 𝑝 = 0′ 6. 𝐶 Ejercicio 6 (2009-3-B-3, Junio) En un centro escolar, los alumnos de 2𝑜 de Bachillerato pueden cursar, como asignaturas optativas, Estadı́stica o Diseño Asistido por Ordenador (DAO). El 70 % de los alumnos estudia Estadı́stica y el resto DAO. Además, el 60 % de los alumnos que estudia Estadı́stica son mujeres y, de los alumnos que estudian DAO son hombres el 70 %. (a) [1] Elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre? (b) [1] Sabiendo que se ha seleccionado una mujer, ¿cuál es la probabilidad de que estudie Estadı́stica? Solución : Llamemos 𝐸 y 𝐷𝐴𝑂 a los sucesos “elegido/a un/a alumno/a al azar, éste/a estudia Estadı́stica” o “Diseño Asistido por Ordenador”, respectivamente. De la misma forma, llamemos 𝐻 y 𝑀 a los sucesos “elegido/a un/a alumno/a al azar, éste/a resulta ser hombre” o “mujer”, respectivamente. El enunciado nos dice que 𝑝 (𝐸) = 0′ 7, por lo que 𝑝 (𝐷𝐴𝑂) = 0′ 3 ya que hay que elegir obligatoriamente alguna de las dos asignaturas. También sabemos que 𝑝 (𝑀/𝐸) = 0′ 6, de donde 𝑝 (𝐻/𝐸) = 0′ 4, y además 𝑝 (𝐻/𝐷𝐴𝑂) = 0′ 7, de donde 𝑝 (𝑀/𝐷𝐴𝑂) = 0′ 3. Con todas Andalucı́a 6 Antonio Roldán Selectividad Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II estas probabilidades construimos el siguiente diagrama en árbol: Apartado (a). Aplicando el Teorema de la Probabilidad Total, deducimos que la probabilidad de que una persona, seleccionada al azar, sea un hombre es: ( ) ( ) 𝐻 𝐻 + 𝑝 (𝐷𝐴𝑂) ⋅ 𝑝 = 𝑝(𝐻) = 𝑝 (𝐸) ⋅ 𝑝 𝐸 𝐷𝐴𝑂 4𝐻 0′h4hhhhh h hVhhh V 𝐸 8 V VVVV qq VVVV 0′ 7qqqq * 0′ 6 q 𝑀 q q q qq ∙ MM MMM MMM 4 M 0′ 7hhhhhh 𝐻 0′ 3 MM& h h h h 𝐷𝐴𝑂 VVVV VVVV V* 0′ 3 = 0′ 7 ⋅ 0′ 4 + 0′ 3 ⋅ 0′ 7 = 0′ 49. 𝑀 Apartado (b). Como hay un 49 % de hombres, debe haber un 51 % de mujeres, por lo que 𝑝 (𝑀 ) = 0′ 51. Aplicando la definición de probabilidad condicionada: ( ) ( ) 𝑝 (𝐸) ⋅ 𝑝 𝑀 𝐸 𝑝 (𝐸 ∩ 𝑀 ) 0′ 7 ⋅ 0′ 6 0′ 42 42 𝐸 𝑝 = = = = = ≈ 0′ 82353. ′ ′ 𝑀 𝑝 (𝑀 ) 𝑝 (𝑀 ) 0 51 0 51 51 (a) 𝑝 (𝐻) = 0′ 51. ( (b) 𝑝 𝐸 𝑀 ) = 42 ≈ 0′ 82353. 51 Ejercicio 7 (2009-4-A-3) Sean 𝐴 y 𝐵 dos sucesos de un experimento aleatorio tales que: ( ) 𝑃 𝐴𝐶 = 0′ 2, 𝑃 (𝐵) = 0′ 25, 𝑃 (𝐴 ∪ 𝐵) = 0′ 85. (a) [1’25] ¿Son los sucesos 𝐴 y 𝐵 independientes? ( ) (b) [0’75] Calcule 𝑃 𝐴𝐶 /𝐵 𝐶 . ( ) Apartado (a). Es claro que 𝑝 (𝐴) = 1 − 𝑝 𝐴𝐶 = 1 − 0′ 2 = 0′ 8. De aquı́, podemos calcular la probabilidad de la intersección: Solución : 𝑝 (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑝 (𝐴) + 𝑝 (𝐵) − 𝑝 (𝐴 ∪ 𝐵) = 0′ 8 + 0′ 25 − 0′ 85 = 0′ 2. Dado que 𝑝 (𝐴 ∩ 𝐵) = 0′ 2 y 𝑝 (𝐴) ⋅ 𝑝 (𝐵) = 0′ 8 ⋅ 0′ 25 = 0′ 2, ocurre que 𝑝 (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑝 (𝐴) ⋅ 𝑝 (𝐵) y esto equivale a decir que: los sucesos 𝐴 y 𝐵 son independientes. Andalucı́a 7 Antonio Roldán Selectividad Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Apartado (b). La probabilidad buscada se calcula aplicando las leyes de De Morgan y la propiedad del complemento: ( ) ( 𝐶 ) 𝐶 ( 𝐶) 𝐶 𝑝 (𝐴 ∪ 𝐵) 𝑝 𝐴 ∩𝐵 𝐴 1 − 𝑝 (𝐴 ∪ 𝐵) 1 − 0′ 85 0′ 15 15 1 = 𝑝 = = = = = = . 𝐶 𝐶 𝐶 ′ ′ 𝐵 𝑝 (𝐵 ) 𝑝 (𝐵 ) 1 − 𝑝 (𝐵) 1 − 0 25 0 75 75 5 ( 𝑝 𝐴𝐶 𝐵𝐶 ) = 1 . 5 Ejercicio 8 (2009-4-B-3) Un polideportivo dispone de 100 bolas de pádel y 120 bolas de tenis. Se sabe que 65 bolas son nuevas. Además, 75 bolas de pádel son usadas. Por error, todas las bolas se han mezclado. (a) [1] Calcule la probabilidad de que si elegimos, al azar, una bola de tenis, ésta sea usada. (b) [1] Calcule la probabilidad de que si elegimos, al azar, una bola, sea nueva. Solución : Con los datos del problema, completamos una tabla de contingencia como la siguiente sobre las diferentes pelotas. Nuevas Pádel Usadas TOTAL 75 100 Tenis TOTAL 120 ⇒ 65 Nuevas Usadas TOTAL Pádel 25 75 100 Tenis 40 80 120 TOTAL 65 155 220 Apartado (a). La probabilidad de que si elegimos, al azar, una bola de tenis, ésta sea usada, es: ( 𝑝 “usada” “tenis” ) = número de pelotas de tenis usadas 80 2 = = . número de pelotas de tenis 120 3 La probabilidad de elegir una pelota usada, si es de tenis, es de 2 . 3 Apartado (b). La probabilidad de que si elegimos, al azar, una bola, ésta sea nueva es: 𝑝 (“nueva”) = número de pelotas nuevas 65 13 = = . número total de pelotas 220 44 La probabilidad de elegir una pelota nueva es de Andalucı́a 8 13 . 44 Antonio Roldán Selectividad Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Ejercicio 9 (2009-5-A-3) Sean 𝐴 y 𝐵 dos sucesos tales que 𝑃 (𝐴) = 0′ 3, 𝑃 (𝐵) = 0′ 4, 𝑃 (𝐴 ∪ 𝐵) = 0′ 65. (a) [0’5] ¿Son incompatibles 𝐴 y 𝐵? (b) [0’5] ¿Son independientes 𝐴 y 𝐵? ( ) (c) [1] Calcule 𝑃 𝐴/𝐵 𝐶 . Solución : Apartado (a). Para saber si 𝐴 y 𝐵 son incompatibles, tenemos que calcular su intersección. Para saber si ésta es vacı́a o no, calculamos su probabilidad: 𝑝 (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑝 (𝐴) + 𝑝 (𝐵) − 𝑝 (𝐴 ∪ 𝐵) = 0′ 3 + 0′ 4 − 0′ 65 = 0′ 05. Como 𝑝 (𝐴 ∩ 𝐵) > 0, los sucesos 𝐴 y 𝐵 tienen intersección no vacı́a y, por ello, no son incompatibles. Los sucesos 𝐴 y 𝐵 no son incompatibles. Apartado (b). Para saber si 𝐴 y 𝐵 son independientes, tenemos que estudiar si 𝑝 (𝐴 ∩ 𝐵) coincide con 𝑝 (𝐴) ⋅ 𝑝 (𝐵). Dado que 𝑝 (𝐴 ∩ 𝐵) = 0′ 05 y 𝑝 (𝐴) ⋅ 𝑝 (𝐵) = 0′ 3 ⋅ 0′ 4 = 0′ 12, ocurre que 𝑝 (𝐴 ∩ 𝐵) ∕= 𝑝 (𝐴) ⋅ 𝑝 (𝐵) y esto equivale a decir que: los sucesos 𝐴 y 𝐵 no son independientes. Apartado (c). Aplicamos la definición de probabilidad condicionada: ( ) ( ) 𝑝 𝐴 ∩ 𝐵𝐶 𝐴 𝑝 (𝐴) − 𝑝 (𝐴 ∩ 𝐵) 0′ 3 − 0′ 05 0′ 25 5 𝑝 = = = = = . 𝐶 𝐶 ′ ′ 𝐵 𝑝 (𝐵 ) 1 − 𝑝 (𝐵) 1−04 06 12 ( 𝑝 𝐴 𝐵𝐶 ) = 5 . 12 Ejercicio 10 (2009-5-B-3) 𝐴 y 𝐵 son dos independientes de un mismo experimento aleatorio, tales que: 𝑃 (𝐴) = 0′ 4, 𝑃 (𝐵) = 0′ 6. (a) [1] Calcule 𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵) y 𝑃 (𝐴 ∪ 𝐵). ( ) (b) [1] Calcule 𝑃 (𝐴/𝐵) y 𝑃 𝐵/𝐴𝐶 . Andalucı́a 9 Antonio Roldán Selectividad Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Apartado (a). Dado que los sucesos son independientes, es claro que 𝑝 (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑝 (𝐴) ⋅ 𝑝 (𝐵) = 0′ 4 ⋅ 0′ 6 = 0′ 24. Además, Solución : 𝑝 (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑝 (𝐴) + 𝑝 (𝐵) − 𝑝 (𝐴 ∩ 𝐵) = 0′ 4 + 0′ 6 − 0′ 24 = 0′ 76. 𝑝 (𝐴 ∩ 𝐵) = 0′ 24 y 𝑝 (𝐴 ∪ 𝐵) = 0′ 76. Apartado (b). Se podrı́a razonar que 𝑝 (𝐴/𝐵) = 𝑝 (𝐴) = 0′ 4 ya que los sucesos 𝐴 y 𝐵 ( ) son independientes, y que 𝑝 𝐵/𝐴𝐶 = 𝑝 (𝐵) = 0′ 6 ya que los sucesos 𝐴𝐶 y 𝐵 también son independientes. Si no nos damos cuenta de esto, las dos probabilidades se calculan aplicando la definición y alguna propiedad más: ( ) 𝐴 𝑝 (𝐴 ∩ 𝐵) 0′ 24 = ′ = 0′ 4. 𝑝 = 𝐵 𝑝 (𝐵) 06 ( 𝐶 ) ( ) 𝑝 𝐴 ∩𝐵 𝐵 𝑝 (𝐵) − 𝑝 (𝐴 ∩ 𝐵) 0′ 6 − 0′ 24 0′ 36 𝑝 = = = = = 0′ 6. 𝐴𝐶 𝑝 (𝐴𝐶 ) 1 − 𝑝 (𝐴) 1 − 0′ 4 0′ 6 ( 𝑝 𝐴 𝐵 ) = 0′ 4 ( y 𝑝 𝐵 𝐴𝐶 ) = 0′ 6. Ejercicio 11 (2009-6-A-3) Se consideran dos sucesos 𝐴 y 𝐵, asociados a un espacio muestral, tales que 𝑃 (𝐴 ∪ 𝐵) = 1, 𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵) = 0′ 3, 𝑃 (𝐴/𝐵) = 0′ 6. (a) [1’5] Halle las probabilidades de los sucesos 𝐴 y 𝐵. (b) [0’5] Determina si el suceso 𝐵 es independiente del suceso 𝐴. Solución : Apartado (a). Calculamos la probabilidad de 𝐵 dspejándola de la fórmula de la probabilidad condicionada: ( ) 𝑝 (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑝 (𝐴 ∩ 𝐵) 0′ 3 𝐴 ( 𝐴 ) = ′ = 0′ 5. = ⇒ 𝑝 (𝐵) = 𝑝 𝐵 𝑝 (𝐵) 06 𝑝 𝐵 Ahora despejamos la probabilidad de 𝐴 de la fórmula de la probabilidad de la unión: 𝑝 (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑝 (𝐴) + 𝑝 (𝐵) − 𝑝 (𝐴 ∩ 𝐵) ⇒ ⇒ 𝑝 (𝐴) = 𝑝 (𝐴 ∪ 𝐵) + 𝑝 (𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑝 (𝐵) = 1 + 0′ 3 − 0′ 5 = 0′ 8. 𝑝 (𝐴) = 0′ 8 Andalucı́a y 𝑝 (𝐵) = 0′ 5 10 Antonio Roldán Selectividad Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Apartado (b). Para saber si 𝐴 y 𝐵 son independientes, tenemos que estudiar si 𝑝 (𝐴 ∩ 𝐵) coincide con 𝑝 (𝐴) ⋅ 𝑝 (𝐵). Dado que 𝑝 (𝐴 ∩ 𝐵) = 0′ 3 y 𝑝 (𝐴) ⋅ 𝑝 (𝐵) = 0′ 8 ⋅ 0′ 5 = 0′ 4, ocurre que 𝑝 (𝐴 ∩ 𝐵) ∕= 𝑝 (𝐴) ⋅ 𝑝 (𝐵) y esto equivale a decir que: los sucesos 𝐴 y 𝐵 no son independientes. Ejercicio 12 (2009-6-B-3) El 70 % de los visitantes de un museo son españoles. El 49 % son españoles y mayores de edad. De los que no son españoles, el 40 % son menores de edad. (a) [1] Si se escoge, al azar, un visitante de este museo, ¿cuál es la probabilidad de que sea mayor de edad? (b) [1] Se ha elegido, aleatoriamente, un visitante de este museo y resulta que es menor de edad. ¿Cuál es la probabilidad de que no sea español? Solución : Llamemos 𝐸 al suceso “elegido un visitante al azar de ese museo, éste es español”, y llamemos 𝑀 al suceso “elegido un visitante al azar de ese museo, éste es mayor de edad”. Como el 70 % de los visitantes de un museo son españoles, 𝑝 (𝐸) = 0′ 7. Dado que el 49 % son españoles y mayores de edad, 𝑝 (𝐸 ∩ 𝑀 ) = 0′ 49. De los que no son españoles, el 40 % son menores de edad, ( ) ( ) y esto significa que 𝑝 𝑀 𝐶 /𝐸 𝐶 = 0′ 4. Como 𝑝 𝐸 𝐶 = 1 − 𝑝 (𝐸) = 1 − 0′ 7 = 0′ 3, podemos despejar: ( ) ( 𝐶) ( 𝐶) ( 𝐶 ) ( 𝐶) 𝑝 𝐸𝐶 ∩ 𝑀 𝐶 𝑀 𝑀 𝐶 = ⇒ 𝑝 𝐸 ∩ 𝑀 = 𝑝 𝐸 ⋅ 𝑝 = 0′ 3 ⋅ 0′ 4 = 0′ 12. 𝑝 𝐸𝐶 𝑝 (𝐸 𝐶 ) 𝐸𝐶 Ahora una sencilla tabla de contingencia nos indica muchas probabilidades. 𝑀 𝐸 𝐸𝐶 TOTAL 𝑀𝐶 0′ 49 0′ 12 TOTAL 𝑀 𝑀𝐶 TOTAL 0′ 7 𝐸 0′ 49 0′ 21 0′ 7 𝐸𝐶 0′ 18 0′ 12 0′ 3 TOTAL 0′ 67 0′ 33 1 0′ 3 ⇒ 1 Apartado (a). La misma tabla indica que 𝑝 (𝑀 ) = 0′ 67. La probabilidad de elegir al azar un visitante mayor de edad es 0′ 67. Apartado (b). La probabilidad de elegir un visitante que no sea español, sabiendo que es menor de edad, es: ( ) ( 𝐶) 𝑝 𝐸𝐶 ∩ 𝑀 𝐶 𝐸 0′ 12 12 𝑝 = = = . 𝐶 𝐶 ′ 𝑀 𝑝 (𝑀 ) 0 33 33 Andalucı́a 11 Antonio Roldán Selectividad Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II La probabilidad de elegir un visitante no español, sabiendo que es menor 12 de edad, es . 33 Andalucı́a 12 Antonio Roldán