5 utilización de la hoja de cálculo

XVII Reunión Nacional de Profesores de
Mecánica de Suelos e Ingeniería Geotécnica
Sociedad Mexicana de
Ingeniería Geotécnica, A.C.
Noviembre 14, 2012 – Cancún, Quintana Roo
Utilización de la hoja de cálculo: Cálculo_Esfuerzos_Subsuelo
Using the spreadsheet: Cálculo_Esfuerzos_Subsuelo
Marcos OROZCO-CALDERÓN1 y Luisa Nicté EQUIHUA-ANGUIANO2
1Consultor,
Ciudad del Carmen, Campeche, México
UPAEP, Puebla, México
2Profesor,
RESUMEN: En la pasada XVI Reunión Nacional de Profesores de Mecánica de Suelos e Ingeniería Geotécnica 2010 se
presentó el artículo “Fórmulas de Boussinesq para un triángulo rectángulo y programación de la solución de Damy y
Casales en hoja de cálculo” (Orozco-Calderón y Equihua-Anguiano, 2010) que incluye la solución de Boussinesq para
una poligonal con esfuerzo uniforme a través de una hoja de cálculo. Las posibilidades de ampliación de la hoja de
cálculo son variadas y en este trabajo se incluye la evaluación de los asentamientos por consolidación primaria,
utilizando las soluciones más simples y prácticas. El artículo incluye algunos ejemplos, así como las consultas
realizadas por los usuarios.
ABSTRACT: In the last 16th National Meeting of Teachers of Soil Mechanics and Geotechnical Engineering 2010, was
presented the paper “Boussinesq formulas for a right triangle and spreadsheet Damy and Casales solution
programming” (Orozco-Calderón y Equihua-Anguiano, 2010). The Boussinesq solution for a polygonal uniformly loaded
was programmed in a spreadsheet. Expansions possibilities of the spreadsheet are diverse; this paper includes the
evaluation of primary consolidation settlements by using the simple and practical solutions. The article includes some
examples and the consultations held by users.
1 INTRODUCCIÓN
En la pasada XVI Reunión Nacional de Profesores
de Mecánica de Suelos e Ingeniería Geotécnica
2010 se presentó el artículo “Fórmulas de
Boussinesq para un triángulo rectángulo y
programación de la solución de Damy y Casales en
hoja de cálculo” (Damy y Casales1985, OrozcoCalderón y Equihua-Anguiano 2010), en el cual se
considera una poligonal con esfuerzo uniforme p y
definida por 12 vértices para el cálculo del esfuerzo
vertical z (para este trabajo se representará como
z). El archivo se puso a disposición de forma libre
para fines didácticos
Actualmente la hoja de cálculo se ha ampliado
para calcular los asentamientos por consolidación
primaria, utilizando un modelo clásico de cimentación
superficial y una estratigrafía típica formada por un
estrato de arcilla entre dos estratos de arena,
incluyendo el nivel de aguas freáticas. Para el cálculo
del incremento de esfuerzos promedio en el estrato
de arcilla se utilizan diferentes propuestas que se
encuentran en la literatura técnica.
Se incluyen diferentes ejemplos, considerando
cimentaciones formadas por doce vértices y
cargadas uniformemente, desplantas a nivel de la
superficie del suelo y una estratigrafía típica para la
enseñanza de este tema.
Por otra parte, la hoja de cálculo se ha distribuido
a diferentes usuarios, como profesores, alumnos y
profesionistas de la geotecnia. Algunos usuarios de
la
hoja
de
Cálculo_Esfuerzos_Subsuelo
manifestaron sus dudas en la utilización, mismas
que se respondieron recurriendo a los conceptos
básicos de la solución de Boussinesq y no
precisamente en la utilización de la hoja de cálculo.
Finalmente se propone un formato para que los
usuarios puedan contribuir con ejemplos para el
desarrollo
de
la
hoja
de
cálculo
Cálculo_Esfuerzos_Subsuelo.
2 HOJA DE CÁLCULO
Cálculo_Esfuerzos_Subsuelo
2.1 Secciones de la hoja de cálculo
Se conserva la estructura de la primera versión de la
hoja de cálculo de 2010 considerando la solución de
Boussinesq, una sección para los datos iniciales y
del proyecto, y los resultados del incremento de
esfuerzos con la profundidad, así como una sección
para la representación de la planta de la poligonal y
una gráfica con la distribución de los esfuerzos (Figs.
1 y 2)
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
2
Experiencia en la utilización de la hoja de cálculo: cálculo_esfuerzos_subsuelo
Mecánica de Suelos. El modelo se compone de una
cimentación
superficial
desplantada
a
una
profundidad D en un estrato de arena, el nivel de
aguas freáticas se encuentra a la profundidad H1. El
estrato de arcilla de espesor H3 se encuentre entre
dos estratos de arena y sus propiedades de
compresibilidad se definen a través de los calores de
la relación de vacíos inicial e0 y de los coeficientes
de compresión Cc y Cs.
Figura 1. Sección de datos iniciales: coordenadas del área
cargada, datos del proyecto, coordenada para el cálculo
del esfuerzo vertical, esfuerzo uniforme sobre la poligonal,
profundidad para el cálculo del esfuerzo y resultados.
Figura 3. Modelo estratigráfico para el cálculo de las
deformaciones por consolidación primaria en el estrato de
arcilla.
(a)
3 ASENTAMIENTO POR CONSOLIDACIÓN
PRIMARIA
El asentamiento por consolidación primaria (H) del
estrato compresible depende del incremento del
esfuerzo vertical z, para un estrato de arcilla
normalmente consolidada (´z = ´c) se calcula con la
expresión siguiente:
H 
(b)
Figura 2. Sección donde se presenta la configuración de
la poligonal (a) y esfuerzos calculados en diferentes
puntos (b).
(1)
Para los casos de una arcilla preconsolidada se
consideran dos casos, el primero si (´z + z≥´c)
se utiliza la ecuación (2), en caso de que (´z < ´c<
´z+z) la expresión (3). Los detalles de la
ecuaciones (1) a (3) se pueden consultar en Das
(1999).
H 
  ´  z 
Cs H 3
log  z

1  e0
 ´z 

(2)
H 
  ´  z 
 ´  C H
Cs H 3
log  c   c 3 log  z

1  e0
 ´c 
  ´z  1  e0

(3)
2.2 Modelo estratigráfico para el cálculo de
deformaciones por consolidación primaria
La Figura 3 muestra el modelo de estratigrafía que
se considera en este trabajo y representa un modelo
didáctico utilizado frecuentemente en los cursos de
  ´  z 
Cc H 3
log  z

1  e0
 ´z 

SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
3
OROZCO-CALDERÓN M. et al.
donde: ´c corresponde a valor del esfuerzo de
preconsolidación.
Para las ecuaciones (1) a (3) se requiere calcular
el incremento de esfuerzos z, y que es el objetivo
de la hoja de Cálculo_Esfuerzos_Subsuelo; sin
embargo, la variación de los esfuerzos transmitidos
al estrato compresible de arcilla no es uniforme, por
lo que se recurre a una integración de los mismos,
como lo señala Juárez-Badillo y Rico-Rodríguez
(2009) y expresado en la ecuación (4):
H 
e
 1  e dz
(4)
0
Bowles (1988) propone utilizar la regla del trapecio
para la integración de la curva de incrementos de
esfuerzos z-profundidad, en este caso el estrato
de arcilla se divide en subestratos de igual espesor
h, y se toma en cuenta el incremento de esfuerzo
en la parte superior e inferior del estrato, z1 y zn
respectivamente, quedando:
  z1   zn

  z 2   z 3  ... 
h 
 z 
2

H 3 




z ( n 1)


4.1 Ejemplo 1: cimentación circular formada por 12
vértices
Se trata de una poligonal de 12 lados inscrita en una
circunferencia de radio igual a 2 m, el esfuerzo
uniforme es de p=100 kPa desplantada a nivel de la
superficie del suelo (D=0 m). Para el estrato
compresible se considera un valor de e0= 0.90 y
Cc=0.28.
Los valores de los esfuerzos efectivos iniciales
junto con los incrementos de esfuerzos en el estrato
compresible (al centro de la poligonal) calculados
con las ecuaciones (5) y (6) se incluyen en la Figura
4.
Los cálculos de la deformación por consolidación
primaria (ecuación 2) se resumen en la Tabla 2. Se
observa que el incremento de esfuerzo promedio
según la expresión (6) es mayor, puesto que se
favorece la influencia del incremento de esfuerzos en
la parte superior del estrato.
(5)
Budhu (2000) propone calcular el incremento de
esfuerzo z como un valor medio harmónico, de
esta forma se toma en cuenta mejor la contribución
de la parte superior del estrato compresible:
 z 
n z1  (n  1) z 2  (n  2) z 3  ...   zn
n  (n  1)  (n  2)  ...  1
(6)
Das (1999) además propone dos métodos para el
cálculo de z, mismos que se deja al lector
consultar.
Las ecuaciones (5) y (6) junto la (2) se utilizan en
este trabajo a manera de ejemplo.
4 EJEMPLOS
Para los ejemplos que se incluyen en este trabajo la
se considera que la cimentación está desplantada en
la superficie del suelo, las características
estratigráficas se resumen en la Tabla 1.
Tabla 1. Estratigrafía simplificada para el cálculo de
deformaciones por consolidación primaria.
No.
Suelo
1
2
3
4
Arena
Arena
Arcilla
Arena
H
m
2.5
1.5
3.0
1.0

sat
kN/m3
16.4
16.4
kN/m3
17.7
18.1
e0
CC
…
…
0.90
…
…
…
0.28
…
Figura 4. Esfuerzos efectivos iniciales e incremento del
esfuerzo vertical debido a la cimentación superficial del
Ejemplo 1.
Tabla 2. Resultados de deformaciones verticales por
consolidación primaria del Ejemplo 1, considerando
diferente promedio del incremento de esfuerzos z.
Autor
Bowles, 1988
Budhu, 2000
´z
z
kPa
65.3
65.3
kPa
17.2
20.2
Cc
1+e0
0.28
0.28
1.90
1.90
H3
m
3.0
3.0
H3
mm
45
52
4.2 Ejemplo 2: cimentación superficial en forma de
“H”
La Figura 5 muestra la forma de la cimentación
superficial, formada por 12 vértices, con una presión
uniforme de p=200 kPa.
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
4
Experiencia en la utilización de la hoja de cálculo: cálculo_esfuerzos_subsuelo
un área poligonal uniformemente cargada es intuitiva
y de fácil utilización.
Se cuenta con un breve manual de usuario
(Orozco-Calderón y Equihua-Anguiano, 2010a) de
solamente 4 páginas en el cual se describe de forma
breve la utilización, contenido de la hoja de cálculo, y
algunos ejemplos; su contenido es el siguiente:
Figura 5. Cimentación superficial del Ejemplo 2 en forma
de “H”.
Para este ejemplo se toma la estratigrafía de la
Tabla 1, considerando que la cimentación se
desplanta a nivel de la superficie del suelo. El cálculo
de las deformaciones por consolidación primaria se
realizará para las coordenadas: centro de la
cimentación (5.5 m, 6 m), borde (9 m, 6 m) y exterior
(5.5 m, 3 m). Los resultados se resumen en la Tabla
3.
Tabla 3. Resultados de deformaciones verticales por
consolidación primaria del Ejemplo 2 en diferentes puntos,
considerando diferente promedio del incremento de
esfuerzos z.
Autor
´z
z
Cc
kPa
kPa
Centro de la cimentación (5.5 m, 6 m)
Bowles, 1988
65.3
58.3 0.28
Budhu, 2000
65.3
64.9 0.28
Borde de la cimentación (9 m, 6 m)
Bowles, 1988
65.3
42.0 0.28
Budhu, 2000
65.3
46.2 0.28
Exterior a la cimentación (5.5 m, 3 m)
Bowles, 1988
65.3
37.4 0.28
Budhu, 2000
65.3
39.4 0.28
1+e0
H3
m
H3
mm
1.90
1.90
3.0
3.0
123
133
1.90
1.90
3.0
3.0
95
103
1.90
1.90
3.0
3.0
87
91
Los resultados indican que la propuesta de Budhu
(2000) proporciona valores de deformación mayores
a la solución propuesta por Bowles (1988). Es
conveniente destacar que la obtención del
incremento de esfuerzos permite la integración de la
curva z–profundidad, dichos incrementos y su
integración pueden obtenerse fácilmente con la
ayuda
de
la
propuesta
de
la
hoja
Cálculo_Esfuerzos_Subsuelo.
5
UTILIZACIÓN DE LA HOJA DE CÁLCULO
5.1 Manual de usuario y formato para la captura de
ejemplos por los usuarios
El
archivo
correspondiente
a
la
hoja
Cálculo_Esfuerzos_Subsuelo se puso a disposición
de la comunidad geotécnica. La utilización de la
propuesta para el cálculo de esfuerzos inducidos por
Un breve manual de la hoja de
Calculo_Esfuerzos_Subsuelo_V0.0.xlsx
1. Introducción
2. Documentación
3. Contenido de la hoja de cálculo
3.1 Hoja principal
3.2 Unidades
4. Resultados
5. Ejemplos
5.1 Ejemplo 1
5.2 Ejemplo 2
5.3 Ejemplo 3
5.4 Ejemplo 4
6. Referencias
7. Bibliografía
Anexo. Ejemplo 3
cálculo:
Al mismo tiempo que se proporciona el archivo se
incluye el manual de usuario, además de un
documento de 2 páginas para que los usuarios
puedan contribuir con ejemplos (Orozco-Calderón y
Equihua-Anguiano, 2010b), mismos que podrán ser
de gran utilidad para los alumnos de Mecánica de
Suelos, su contenido es el siguiente:
Ejemplos
para
la
hoja
de
cálculo:
Calculo_Esfuerzos_Subsuelo_V0.0.xlsx
1. Ejemplos para el
Calculo_Esfuerzos_Subsuelo_V0.0.xlsx
1.1 Ejemplo XYZ-01
1.2 Ejemplo XYZ-02
2. Bibliografía
5.2 Consultas de los usuarios
La mayoría de usuarios que han solicitado la hoja de
cálculo son estudiantes de licenciatura y de maestría
de Mecánica de Suelos. Profesores de universidades
así como investigadores de diferentes dependencias
han solicitado la aplicación, así como los ingenieros
de la práctica.
Las consultas más frecuentes de los usuarios se
resumen al planteamiento de preguntas, a
continuación las principales con sus respuestas:
1. ¿Se puede incrementar el número de vértices?
Respuesta: La hoja de cálculo proporcionado no
contempla la modificación para el incremento de
vértices.
2. Tengo una poligonal con más de 12 vértices
¿podrá proporcionar una hoja de cálculo con el
numero de vértices que necesito?
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
OROZCO-CALDERÓN M. et al.
Respuesta: Aunque la programación se puede
modificar se considera que la utilización de 12
vértices es adecuada para fines didácticos.
3. ¿Cómo cálculo una poligonal de más de 12
vértices?
Respuesta: Se podrá realizar si se divide en dos
o más poligonales.
4. ¿Se considera el cálculo de incrementos de
esfuerzos horizontales?
Respuesta: Actualmente no.
5. ¿Se incluyen las soluciones de Frölich?
Respuesta: Para la hoja de cálculo
proporcionada No, aunque se tiene la
programación incluso para Westergaard.
Las diferentes consultas han enriquecido la
experiencia de los autores en la enseñanza de este
tema de la Mecánica de Suelos. Se espera seguir
contribuyendo en la enseñanza a través de la
comunicación por correo electrónico.
5
de Damy y Casales en hoja de cálculo”, Memorias
XVI Reunión Nacional de Profesores de Mecánica
de Suelos e Ingeniería Geotécnica, Publicación
SMIG, Acapulco, Guerrero, México, Vol. 1: 31-36.
Orozco-Calderón, M. y Equihua-Anguiano, L.N.
(2010a). Un breve Manual de la hoja de cálculo:
Calculo_Esfuerzos_Subsuelo_V0.0.xlsx, Ciudad
del Carmen, Campeche, México, pp. 4.
Orozco-Calderón, M. y Equihua-Anguiano, L.N.
(2010b). Ejemplos para la hoja de cálculo:
Calculo_Esfuerzos_Subsuelo_V0.0.xlsx, Ciudad
del Carmen, Campeche, México, pp. 2.
CONCLUSIONES
La hoja de cálculo “Cálculo_Esfuerzos_Subsuelo” se
ha actualizado para el cálculo de las deformaciones
debido a la consolidación primaria. Se utiliza una
estratigrafía compuesta por un estrato de arcilla
entre dos estratos de arena, modelo utilizado
frecuentemente en la enseñanza de este tema de la
Mecánica de Suelos.
El cálculo del incremento de esfuerzos se realiza a
través de la integración de la curva z vs
profundidad, y calculando su valor como una media
harmónica.
Se propone a los usuarios un formato para la
recopilación de ejemplos, los cuales serán de gran
utilidad a los estudiantes.
AGRADECIMIENTOS
A todos los usuarios que han contribuido con sus
preguntas y comentarios.
REFERENCIAS
Budhu, M. (2000). Soil Mechanics and Foundations,
John Wiley & Sons, Inc.
Damy, J. y Casales, G. (1985). “Soil stress under a
polygonal area uniformly loaded”, Proc. 11th Int.
Conf. On Soil Mech. and Found. Engrg., San
Francisco, Vol. 2: 733-735.
Das, B.M. (1999). Shallow foundatios, bearing
capacity and settlement. CRC Press, pp. 624.
Juárez-Badillo, E. y Rico-Rodríguez, A. (2009).
Mecánica de Suelos II: Teoría y aplicaciones de la
Mecánica de Suelos, Limusa, México.
Orozco-Calderón, M. y Equihua-Anguiano, L.N.
(2010). “Fórmulas de Boussinesq para un
triángulo rectángulo y programación de la solución
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.