I.E.S. “La Ería” Año académico: 2009-2010 Departamento Didáctico de

Dpto. Didáctico de Matemáticas.
Ruffini
I.E.S. “La Ería”
Año académico: 2009-2010
Departamento Didáctico de
Matemáticas
Nivel: Bach.
CCSS
Complementos teórico-prácticos.
Tema: Regla de Ruffini y Teorema del resto.
Realizados por: D. Juan José Menéndez Díaz, Ldo. en CC. Físicas por la U.C.M. y profesor agregado de Matemáticas en E.S.
RECUERDA
 Otra forma de dividir: DIVISIÓN RUFFINI.
 Cuando el divisor sea un binomio, podemos aplicar una regla muy sencilla
que consiste en lo siguiente. Sea el polinomio divisor  x  2 , y el polinomio
dividendo 3x 4  8x 2  5x  1 , para hacer la división por la regla de Ruffini, hay
que realizar los siguientes pasos:

Ordenar (en sentido decreciente) y completar con ceros el dividendo:
3x 4  0x3  8x 2  5x 1

Se escriben en hilera los coeficientes del polinomio dividendo, en el
mismo orden en que se encuentran en el polinomio.
3 0 8 5 1

En el extremo izquierdo, y en segunda hilera, se escribe el opuesto del
término independiente del polinomio divisor.
3 0 8 5 1
2

A la siguiente hilera se baja el primer coeficiente del dividendo, tal
como está.

Se multiplica éste por el opuesto del término independiente del divisor
y el resultado se sitúa debajo del segundo coeficiente del dividendo, y se
suman. El resultado de la suma se sitúa en la última hilera a la derecha del
primer coeficiente.
3 0 8 5 1
2
6
3 6

Se multiplica, de nuevo, ése resultado por el opuesto del término
independiente del divisor, y el resultado se sitúa debajo del tercer
coeficiente del dividendo, y se suman. El resultado de la suma se sitúa en
la última hilera a la derecha del resultado anterior, y así sucesivamente
hasta completar todos los términos del polinomio.
Definiciones y conceptos.
Página.- i
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Ruffini
3 0 8 5 1
2
6 12 8 26
3 6 4 13 25

El último valor de la última fila es el resto de la división, en este caso
es 25, y los números anteriores de la última fila son los coeficientes del
polinomio cociente ordenados en sentido decreciente (tener en cuenta que
éste es de grado uno menor), así:


Cociente 3x 3  6x 2  4x  13 , resto: 25.
Comprobación:
3x 4  8x 2  5x  1   x  2    3x 3  6x 2  4x  13   25 
 3x 4  6x3  4x 2  13x  6x 3 12x 2  8x  26  25  3x 4  8x 2  5x 1
c.q.d.
Teorema del resto:
El resto de dividir un polinomio de grado n, Pn(x) = anxn + an-1xn-1 +….. + a2x2 + a1x +
a0, por un binomio de la forma  x  a  , es igual al valor numérico de dicho polinomio
para x =  a .
Si el resto es cero la división se dice exacta y al valor  a se le denomina cero, raíz o
solución del polinomio.
Si x1 , x2 , x3 , …., xn son los ceros, raíces o soluciones de un polinomio de grado n,
entonces dicho polinomio lo podemos escribir, descompuesto en factores, como:
Pn(x) =  x  x1    x  x2    x  x3  
divisores exactos del mismo.
  x  xn  , siendo  x  x1  ,  x  x2  ,
,  x  xn 
Gráficamente los restos equivalen al valor en la ordenada, en consecuencia, los
valores de x para los que el resto es nulo equivalen a los puntos de corte con el eje
de abscisas.
LEMAS:
Lema 1: Los ceros, raíces o soluciones de un polinomio son divisores de su término
independiente.
Lema 2: Hay tantos ceros, raíces o soluciones positivas como cambios de signo hay en
el polinomio.
Lema 3: Hay como máximo tantas soluciones reales como grado tiene el polinomio.
Corolario: Los ceros, raíces o soluciones se encuentran entre los divisores de su
término independiente.
OBS. IMPORTANTE: el número de raíces, soluciones o ceros del polinomio de signo
positivo es igual al número de cambios en el signo que se produzcan
dentro del polinomio.
Definiciones y conceptos.
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Ejemplos:
E1.- Sea el polinomio de quinto grado:
P5(x) = x5  x 4  5x3  5x 2  4x  4
Nº de cambios de signo: 2
Nº de raíces positivas: 2
Posibles raíces: (Como es de quinto grado habrá como mucho 5)
Término independiente: 4  4 = 22  Divisores: 1 2 4
Conclusión: Es más fácil encontrar una solución negativa que una positiva, así pues
empezaremos tomando los valores negativos, –1, –2 y –4.
Aplicamos Ruffini reiteradamente:
1
–1
1
–2
1
1
1
2
1
–5
–5
4
4
–1
0
5
0
–4
0
–5
0
4
0  1ª raíz –1
–2
4
2
–4
–2
–1
2
0  2ª raíz –2
1
–1
–2
–1
–2
0  3ª raíz 1
2
2
1
1
0  4ª raíz 2
Ultimo cociente x + 1  última raíz x = –1
De donde se desprende que:
2
P5(x) = x5  x 4  5x3  5x 2  4x  4 =  x  1   x  1   x  2    x  2 
COMPROBARLO
E2.- ¿Cómo sería el polinomio de 5º grado cuyas raíces, ceros o soluciones son:
x1= 1 ; x2= –1 ; x3= –1 ; x4= 2 ; x5= –2, sabiendo que el valor numérico del polinomio
para x= 3 es 40?.
NOTA: Podíamos haber puesto también: x1= 1 ; x2= x3= –1 raíz doble; x4= 2 y x5= –2.
Visto lo anterior parece lógico que P5(x) =  x  1   x  1   x  2    x  2  , pero para x
2
= 3 su valor numérico es: P5(3)=  3  1   3  1   3  2    3  2   160 , y no 40 como
nos dice el enunciado.
Como 40  160  4 , mi polinomio va a ser 1 4 del que tenía, es decir:
2
Definiciones y conceptos.
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1
x5 x 4 5
5
2
P5 (x)    x  1   x  1   x  2    x  2     x 3  x 2  x  1
4
4
4 4
4
¡¡COMPROBARLO!!
En general si conozco las raíces x1, x 2 ,x n de un polinomio de grado n, va a haber
infinitos polinomios con esas raíces, y serán todos ellos de la forma:
Pn (x)  A   x  x1    x  x 2     x  x n 
El valor de la cte. A depende de las condiciones iniciales del problema.
PROBLEMAS:
1.- Buscar un polinomio de tercer grado de modo que tenga una raíz igual a 7, sea
divisible por  x  2 , se anule para x = 3 y su valor numérico para x = 0 sea seis.
2.- Buscar un polinomio de cuarto grado de modo que se anule para x = 3, sea divisible
por  x  1 , que x = 2 sea una de sus raíces y tome el valor setenta y dos para x = 5.
3.- Buscar un polinomio de cuarto grado de modo que se anule para x = –1, sea divisible
por  x 1 , que x = 3 sea una de sus raíces y x = 2 sea solución del mismo, sabiendo
que P4 (5)  72 .
Definiciones y conceptos.
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SOLUCIÓN
PROBLEMAS:
1.- Buscar un polinomio de tercer grado de modo que tenga una raíz igual a 7, sea
divisible por  x  2 , se anule para x = 3 y su valor numérico para x = 0 sea seis.
Del enunciado se desprende fácilmente que:
x1 = 7 ; x2 = –2 y x3 = 3 son las raíces, ceros o soluciones del polinomio, y el hecho de
que P3(x) = 6 es un aviso que nos dan para que nos fijemos en si hay que multiplicar o
no por una constante el producto de los binomios. En principio:
1
P3 (x)   x  7    x  2    x  3  A  P3 (0)  7  2  3  A  6  A 
7
3
1
x 8
x
Con lo que P3 (x)    x  7    x  2    x  3   x 2   6
7
7 7
7
2.- Buscar un polinomio de cuarto grado de modo que se anule para x = 3, sea divisible
por  x  1 , que x = 2 sea una de sus raíces y tome el valor setenta y dos para x = 5.
Del enunciado se desprende fácilmente que:
x1 = 3 ; x2 = –1 y x3 = 2 son tres de las raíces, ceros o soluciones del polinomio, y el
hecho de que P4(5) = 72 es un aviso que nos dan para que nos fijemos en que la cuarta
solución la podemos buscar por el valor numérico del polinomio. En principio:
P4 (x)   x  3   x 1   x  2   x  a   P4 (5)  5  3  5 1  5  2  5  a   72  a  3
Con lo que P4 (x)   x  3   x  1   x  2   x 4  7x 3  13x 2  3x  18
2
3.- Buscar un polinomio de cuarto grado de modo que se anule para x = –1, sea divisible
por  x 1 , que x = 3 sea una de sus raíces y x = 2 sea solución del mismo, sabiendo
que P4 (5)  72 .
Del enunciado se desprende fácilmente que:
x1 = –1 ; x2 = 1 ; x3 = 3 y x4 = 2 son las raíces, ceros o soluciones del polinomio pedido,
pero el hecho de que P4(5) = 72 nos advierte de que tal vez haya que multiplicar los
binomios por una constante distinta de uno. En principio:
1
P4 (x)  A   x  1   x  1   x  3   x  2   P4 (5)  A  6  4  2  3  72  A 
2
Con lo que definitivamente:
1
1
5
5
5
P4 (x)    x 2  1   x  3   x  2   x 4  x 3  x 2  x  3
2
2
2
2
2
Definiciones y conceptos.
Página.- v
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Nuevos ejercicios:
P1.- Comprueba que 5, 3 y –1 son ceros, raíces o soluciones del polinomio de tercer grado
P3 (x)  x 3  7x 2  7x  15 y descomponlo en factores comprobando el resultado.
P2.- Descompón en factores el polinomio P3 (x)  x 3  2x 2  x  2 tras comprobar que 1 y 2 son
ceros del mismo.
P3.- Descompón en factores el polinomio P3 (x)  2x 3  3x 2 
x 3
1 3
 después de probar que  y
2 2
2 4
son ceros del mismo.
P4.- Los valores x  3 y x  2 son tres ceros del polinomio P4 (x)  x 4  x3  16x 2  4x  48 . Hallar
el cuarto cero y descomponerlo en factores.
P5.- Halla los ceros de los polinomios siguientes y descomponlos en una multiplicación de tres factores:
a) P2 (x)  3x 2  12x  15
b) Q2 (x)  5x 2  5x  30
P6.- Descompón en una multiplicación de tres factores el binomio 45x 2 y4  125x 2 .
P7.- Descompón en una multiplicación de cuatro factores el binomio x 5  16x .
P8.- Halla el m.c.m y el M.C.D. de los siguientes polinomios:
a) x 4  y4
x 2  y2
x 3  x 2 y  xy 2  y3
b) 3x4  3x 3
12x3  12x 2
18x3  18x
c) x 3  1
x2  x
x 2 1
P9.- Calcular el valor del parámetro a, para que el polinomio P3 (x)  x 3  ax 2  9x  45 sea divisible
por x  3 . Sabiendo que x1  3 es una solución del mismo, calcular las otras dos y descomponerlo
en factores, comprobando el resultado.
P10.- Hallar la expresión de un polinomio de cuarto grado sabiendo que x1  1 es una de sus raíces, es
divisible por x  3 , se anula en x = 2 y toma el valor 12 para x = 1.
P11.- Hallar la expresión de un polinomio de cuarto grado sabiendo que x1  1 es una de sus raíces, es
divisible por x  3 , se anula en x = -1 y toma el valor –15 para x = 2.
P12.- Comprobar que x1  4, x 2  1 y x3  1 son soluciones del polinomio
P5 (x)  x5  9x 4  25x3  15x 2  26x  24 .
Calcular las otras dos y descomponerlo en factores comprobando el resultado.
5
P13.- Buscar un polinomio de tercer grado de modo que tenga una raíz igual a
, que sea divisible por
3
x  3 , que se anule para x = 5 y que el valor numérico para x = 0 sea 100.
P14.- Hallar el valor de los parámetros a y b para que el polinomio P3 (x)  2x3  ax 2  x  b sea
divisible por x  1 y x  0 sea una de sus raices.
P15.- Encontrar un polinomio de quinto grado que tenga por soluciones:
x1  1, x 2  1, x 3  2, x 4  3 y x5  4.
Dar el resultado desarrollado.
Definiciones y conceptos.
Página.- vi
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P16.- Escribe un polinomio de quinto grado que tenga una raíz doble en x  1 y triple en x  3 .
P17.- Descompón en factores los siguientes polinomios:
a) 132x 2  132 
b) x 8  x 6 
c) 10x 2  20x  10 
d) 10x 2  90 
e) x 5  9x 3 
f) x 2  2 
g) x 4  2x 3  x 2  8x  12 
P18.- Descomponer, aplicando reiteradamente la regla de Ruffini, los siguientes polinomios:
1) x 5  2x 4  3x 3  6x 2  2x  4
2) x 4  x 3  32x 2  12x  144
;
3) x 4  5x 3  5x 2  5x  6
;
4) x 5  x 4  3x 3  x 2  2x
5) x 3  2x 2  x  2
;
6) x 5  13x 3  36x
7) x 3  2x 2  11x  12
;
8) x 4  10x 3  35x 2  50x  24
9) x 5  x 4  27x 3  13x 2  134x  120 ;
10) 3x 5  27x 4  27x 3  27x 2  24x
11) 2x 5  2x 4  16x 3  24x 2
12) 6x 5  18x 4  24x 3  24x 2  18x  6
;
13) x 4  6x 3  3x 2  70x  312
P19.- Realizar las siguientes operaciones dando el resultado de la forma más simplificada posible:
x 2 1 x 2  9


x 1 x  3
1)


2)
x 2  2x  1 x 2  4


2x  2
3x  6
2x  3 3  x 2

 4x 
x  1 2x  1
3)

2x  3  3  x 2
 
 4x  
x  1  2x  1

4) x 2  1  3x  1  2x  2  2x  2 
5)
x  y x  y 
2xy  x 2  y 2

  1  2


6) 
x  y 2  x  y
x  y x  y 
x 
x 
x
x
 
7)   1   2     2     3   
2 
2 
2
2
 
8)
11)
13)
15)
17)
2
3 x
2x
x 1



x
x 1
3x
3  x  1
x y
2
2

9)
xy
x 2  y2


y  x x 2  2xy  y 2
3  x  y 
2xy  x  y
2
2x  3  x  1
x  3x
2


x
x y
2
2
12)
14)

1

xy
16)
1 x
9x  x
x 4  y4
x
2
 y2

2
x


3
10)

1
9  x  6x
2
4xy
x 2  y2
x2
x2
x2
3 x



6x  6 2x  2 4x  4



1
6x  9x  x3
x  y2
x 2  2xy  y 2
4x
x  2x  1 x  1 2x  4x  2
2
2
2
2



x  3x  1 10  5  x   x  3  x  1  x  2


x2
x2  x  6
2x   1
 1


    1 
18) 
2
1

x
x

1 x  

1
 1
  1

 1 
19)   x     x   
x
x
x

1

 
 

x  
x  
1  x 2 

20) 1 

  1 
  1  x2 
x 
 1  x   1  x  
1
1  
1

22)  x 2  x   2    x  1   
x
x

x 

24)
2
x  2 x  x  1 x  1



x 1
x2
2
xy
3x 2  y 2


x  y x 2  2xy  y 2
2
2
2x  3 3  x 2

 4x 
x 1
2x  1
Definiciones y conceptos.
25)
21)
x 2  x  2 x 2  2x  3 x  22



x3
x2  1
x  23
 x 2  6x  9 x 2  4x  3 

23) 

 x2  x
x 2  4x  4 


2x  3  3  x 2

 4x  

x  1  2x  1

Página.- vii
26)
x 2  5x  6
x 2  2x  1
x2
x 1


x 1 x  2

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27)
x  4 2x  1 x 2  2



x  1 x2  x
x2
28)
30)
x2  1 x  1


x
x2
 x 1
31) 
 1
 x  1
1
2
4
8




x x 2 x3 x 4
29)
2
32)
x  3 x 2  4x  4


x2
x2  9
3x
x2  1
x2



2
x  3 x  3x
2
P20.- Hallar los valores de A y B para que se cumpla
2x  5
A
B
.


2
x 1 x 1 x 1
P21.- Hallar los valores de A y B para que se cumpla
3x  1
A
B
.


2
x 9 x 3 x 3
P22.- Halla los valores de A, B y C para que se cumpla
2x 2  2x  3
A
B
C
 

.
x  x  1  x  1 x x  1 x  1
P23.- Halla los valores de A, B y C para que se cumpla
3x 2  5x
A
Bx  C


.
x  1  x 2  1 x  1 x 2  1
Definiciones y conceptos.
Página.- viii

