objetivos específicos - Universidad de Antioquia

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y
NATURALES
SEMILLERO DE MATEMÁTICAS
Grado 10
Taller # 5
Nivel II
Secciones cónicas – El círculo
INTRODUCCIÓN
El estudio de las secciones cónicas tiene su origen en el descubrimiento de los planetas y su
movimiento alrededor del sol, ya que describen orbitas casi elípticas, con el sol en uno de
sus focos.
Las secciones cónicas tienen aplicabilidad en la reflexión de ondas sonoras y luminosas, en
microcirugía para iluminares espacios pequeños con gran intensidad. En el caso específico
de los círculos, éstos muchas veces modelan movimientos astronómicos como el de los
satélites alrededor de un planeta o la propagación de las ondas en un terremoto; entre otros.
RESEÑA HISTÓRICA (Apolonio de Perga o de Pergamo)
Pérgamo 262-180 a. J.C. Matemático griego. El primero en estudiar las
secciones cónicas, según los fragmentos de obras llegados hasta nosotros,
aplicó por primera vez las palabras elipses, parábola e hipérbola.
OBJETIVOGENERAL
Identificar y describir las secciones cónicas
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
 Graficar círculos con centro en el origen
 Graficar círculos con centros en (h, k)
 Establecer la forma normal y general de la ecuación de un círculo
ELEMENTOS TEÓRICOS
Una cónica puede considerarse como el resultado de cortar una superficie cónica con un
plano; o como el lugar geométrico de los puntos del plano tal que la razón de sus distancias a
un punto y a una recta es constante; o bien puede darse de ella una definición específica,
que es lo que se va a desarrollar en este tema.
Circunferencia: Se denomina circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia de un
punto cualquiera de dicha circunferencia al centro.
1
Ecuación analítica de la circunferencia:
Fígura 1
Fígura 2
En la figura 1 el centro de la circunferencia está en el origen. Dibujando una perpendicular
desde cualquier punto que no se encuentre sobre el eje se puede formar un triángulo
rectángulo.
Utilizando el teorema de Pitágoras, se puede escribir una ecuación que describa cada punto
P sobre la circunferencia con centro en el origen O(0,0) así: r2 = x2 + y2
En la figura 2 el centro de la circunferencia está en un punto (a, b) diferente del origen,
P(x,y) es cualquier punto sobre ésta y r es el radio. Se puede usar la fórmula de la distancia
para escribir una ecuación para la circunferencia conocida como la forma normal de la
ecuación de un círculo con radio r y centro diferente del origen.
r=
(x – a)2 + (y – b)2

r2 = (x – a)2 + (y – b)2
r2 = (x – a)2 + (y – b)2 podemos desarrollarla resolviendo los cuadrados y obtenemos
r2 = x2 – 2ax + a2+ y2–2by + b2  x2+ y2 – 2ax –2by + a2+ b2 – r2 =0
Si reemplazamos – 2a = D; – 2b = E; F = a2 + b2 – r2 tendremos la forma general de la
ecuación de un círculo:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0, donde D, E y F son constantes
EJERCICIOS RESUELTOS
3. A partir de la ecuación x2 + y2 + 6x – 8y – 11 = 0, determinar el centro, el radio de la
circunferencia y la forma normal de la ecuación.
SOLUCIÓN:
–
=–3
E=–
–8=–
El centro de la circunferencia es (– 3, 4)
Hallemos el radio: F = (– 3)2 + 42 – r2
– 11 = (– 3)2 + 42 – r2 r = 6
La forma normal de la ecuación de la circunferencia queda: (x + 3)2 + (y – 4)2 = 36
4.
Escribir la ecuación de la circunferencia que es tangente al eje “y” y tiene su centro
en (-5, 6)
2
SOLUCIÓN:
Como la circunferencia es tangente al eje y la distancia desde el centro a dicho eje equivale
al radio. Ya que el centro está 5 unidades a la izquierda del eje y, el radio es 5.
La ecuación de la circunferencia se puede hallar sustituyendo r por 5, -5 por a y 6 por b. La
ecuación es:
(x – (-5)) 2 + (y – 6) 2 = 52
(x + 5) 2 + (y – 6) 2 = 25
5. Demuestre que la ecuación x² + y² + 6x - 2y + 6 = 0 corresponde a una circunferencia.
Determine el centro, radio y área del círculo que describe.
SOLUCIÓN:
La ecuación se puede escribir en forma estándar o normal completando el trinomio
cuadrado perfecto así:
Primero se reescribe la ecuación colocando juntos todos los términos semejantes luego
pasamos la constante al lado derecho de la ecuación
x² + 6x + y² - 2y = - 6
Después completamos dos trinomios cuadrados perfectos, uno para cada variable.
x² + 6x + 9 + y² - 2y + 1 = - 6 + 9 +1  (x + 3) ² + (y – 1) ² = 4  (x + 3) ² + (y – 1) ² = 2²
Correspondiente a una circunferencia de centro (-3, 1) y radio 2.
El área es: A =  r² =  (2)² = 4 =12.6 unidades cuadradas aproximadamente.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Escribir la ecuación de cada circunferencia con el centro y radio indicados
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Centro (0,0), radio 6
Centro (2,0), radio 5
Centro (0,5), radio 2
Centro (3,4), radio 9
Centro (2, -6), radio 10
Centro (1, 2), radio 7
g)
h)
i)
j)
k)
l)
Centro (0,0), radio 7
Centro (-3,0), radio 8
Centro (0,-6), radio 4
Centro (-5,2), radio 1
Centro (-6,-1), radio 7
Centro (-7,-2), radio 11
2. Grafique cada ecuación
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
x² + y² = 16
(x+4) ² + y² =25
(x+8) ² + (y+2) ² =9
y = -  (4-x²)
x² + y² = 5
x² + (y-3) ² = 4
(x-1) ² + y² = 5
3
h) (x-2) ² + (y+3) ² = 16
i) y =  (16 - x²)
3. Escriba cada ecuación en la forma normal o estándar y establezca el centro y el radio
a)
b)
c)
d)
e)
f)
x² + y² +8x +15 =0
x² + y² +6x – 4y + 9 = 0
x² + y² +6x -2y + 6 = 0
x² + y² + 4y =0
x² + y² +4x -6y -3 = 0
x² + y² - x + 3y -3/2 =0
4. Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (-2,3), (6,-5) y (0,7),
luego identifica el centro, el radio y el área.
5. Escribir las ecuaciones de una familia de cinco circunferencias concéntricas con centro
en (-2,6)
6. Escribir las ecuaciones de la familia de circunferencias en las cuales a = b y el radio es 8
(Haz que b sea cualquier número real) Describe esta familia de circunferencias.
7. Graficar y establecer el radio, el centro y la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro
está en los segmentos de recta determinados por los siguientes pares de puntos:
a) (5,4) y (9,8)
b) (4,9) y (7,12)
8. El círculo circunscribe un rectángulo de largo 517 cm y ancho 238 cm, Determinar el área
de la región sombreada. ¿Es posible determinar la ecuación de la circunferencia? Si, no
¿Por qué? En caso afirmativo determínela.
(Asumir una circunscripción perfecta
del rectángulo)
PEQUEÑOS RETOS:
1. la distancia sobre el ecuador de un satélite en órbita geoestacionaria, se puede
determinar restando el radio de la tierra (6,400 Km) de la distancia r a la que se encuentra
el satélite del centro de la tierra.
4
La fórmula para la distancia es:
r=
3
G M t²
 4²
Donde:
G = constante universal (6.67 x 10^-11 newton m² /Kg²),
M = masa de la tierra (5.98 x 10^24 Kg)
t = período de una órbita (86,400 segundos)
Hallar la distancia sobre el ecuador a la que se encuentra un satélite en órbita
geoestacionaria.
2. De acuerdo con los datos del ejercicio anterior determinar la velocidad v en
metros/segundos de un satélite de comunicaciones en órbita circular geoestacionaria, si v =
(G M / r), donde r es igual a la distancia desde el centro de la tierra al satélite; G es igual a
la constante universal y M es la masa de la tierra
3. Demuestre que el punto esta en el circulo unitario
a.
b.
(3/5,4/5) .
(-1/3,2√2/3)
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