Análisis Matemático I – Bioquímica – Universidad Nacional Arturo

Análisis Matemático I – Bioquímica – Universidad Nacional Arturo Jauretche
Aplicaciones de las matrices.
Sistemas de ecuaciones lineales.
Introducción.Ustedes ya han trabajado con funciones lineales, y saben que la representación gráfica de
una función es una recta. Sin embargo, no deben olvidar que la recta es un elemento
geométrico que fue definido y estudiado muchísimo antes de que existiera el concepto de
función.
Ahora bien: si tenemos dos rectas en el plano, uno de los problemas más comunes consiste
en hallar las coordenadas del punto donde ambas se intersecan. Sabemos que las ecuaciones
correspondientes conforman lo que denominamos un sistema de ecuaciones lineales; en
cursos anteriores ustedes han visto que los mismos pueden resolverse analíticamente por
diversos métodos (sustitución, igualación, sumas y restas, etc.). Les proponemos, para
comenzar, explorar una alternativa, empleando para ello un software libre, con el que
acostumbramos a trabajar en clase.
Primer Problema.Les propongo resolver el sistema:
Para comenzar, emplearemos una instrucción bastante genérica, la instrucción”solve”:
Observen que, dentro del paréntesis, tenemos dos grupos de datos, encerrados entre
corchetes: en primer lugar, las ecuaciones; luego, debemos expresar cuáles son las
incógnitas.
Existe una segunda instrucción, que es específica para la resolución de éste tipo de sistema
de ecuaciones: la instrucción “lisolve”:
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Como verán, su empleo no difiere del de la instrucción “solve”; ésta última, como dijimos,
puede emplearse para la resolución de ecuaciones que no sean lineales, razón por la cual,
seguiremos utilizando “linsolve”.
Podríamos graficar ambas rectas, para observar efectivamente el punto donde se intersecan:
Figura 1: representación gráfica de las rectas que conforman el sistema de ecuaciones
del Problema 1.
La instrucción “plot2d” es la más sencilla que nos ofrece el software que estamos
empleando.
¿Y las matrices?
Tal como vieron en clase, el sistema de ecuaciones que conforma nuestro sistema podría
también escribirse como:
Recordemos que
recibía el nombre de matriz de los coeficientes, y que
incluye, en forma ordenada, a los coeficientes que acompañan a las variables dentro del
sistema.
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Ahora bien: toda matriz cuadrada (es decir, que cuenta con la misma cantidad de filas y
columnas, como A) tiene asociado a ella un número, al que denominamos determinante.
En general, para matrices de dos filas y dos columnas, como la de nuestro ejemplo, se
cumple que:
Allí
representa al determinante de la matriz A.
Ahora bien: durante el curso, vieron que los sistemas de ecuaciones lineales podían
clasificarse como:
i) Sistemas compatibles determinados (solución única).ii) Sistemas compatibles indeterminados (infinitas soluciones).iii) Sistemas incompatibles (no tienen solución).El determinante de la matriz asociada a nuestro sistema nos permite saber (¡antes de
resolver el sistema!) si el mismo ha de tener solución única o no. Como regla práctica
diremos que un sistema será compatible determinado cuando el determinante de su
matriz de los coeficientes sea distinto de cero.
(La justificación teórica de dicha “regla” excede los alcances de nuestro curso, pero puedes
consultarla, por ejemplo, en el libro “Algebra II”, de Armando Rojo (Editorial El Ateneo,
Buenos Aires)).
Ahora bien: cuando el determinante de una matriz cuadrada
matriz recibe el nombre de inversible: sucede que
que escribimos como
No olviden que
es distinto de cero, dicha
tendrá asociada a ella otra matriz a la
, que cumple con la siguiente condición:
es la matriz identidad, y que ésta última, entre otras características
notables, resulta ser el elemento neutro del producto de matrices.
Nuestro sistema de ecuaciones puede expresarse en forma matricial como:
Dado que el producto de matrices no es conmutativo, multiplicamos a izquierda ambos
miembros de la expresión por
:
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La expresión en negrita corresponde a lo que se denomina el método matricial para la
resolución de sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados.
Ahora bien: la obtención de la inversa de una matriz dada puede resultar trabajoso
(particularmente, cuando nuestro sistema presenta tres ecuaciones y tres incógnitas, o más).
Por esa razón, pensamos que era interesante que vieran cómo podía aplicarse nuestro
software con ese fin.
Volviendo a nuestro problema…
Habíamos expresado matricialmente a nuestro sistema como:
En la Figura 2 les mostramos cómo deben hacer para “introducir” la matriz con la que han
de trabajar. En nuestro problema, vamos a introducir entonces la matriz de los coeficientes.
Figura 2: cómo seleccionar la instrucción “introducir matriz”.
Una vez que seleccionen “introducir matriz” se abrirá otra ventana (ver Figura 3), que les
permitirá definir el tamaño (filas y columnas) de la matriz. Seguidamente, se abre otra
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ventana, que nos permite ingresar los valores correspondientes en sus posiciones (ver
Figura 4).
Figura 3: seleccionamos el tamaño de nuestra matriz.
Figura 4: introducimos los valores.
Cuando aceptamos, aparece en la pantalla la matriz:
Dijimos que la obtención de la inversa de una matriz dada no es muy sencilla. Sin embargo,
empleando nuestro software (con la instrucción “invert”), dicho cálculo es inmediato.
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Cabe aclarar que lo que aparece entre paréntesis después de la instrucción (“%o17”) hace
referencia a la respuesta del paso anterior (es decir, la inversa de la matriz de los
coeficientes).
Seguidamente, operamos para introducir la matriz de los términos independientes, tal como
se observa en las Figuras 5 y 6.-
Figura 5: seleccionamos el tamaño de la matriz que contiene a los términos
independientes…
Figura 6:…e ingresamos los valores.
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Finalmente, teniendo en cuenta que
, efectuamos el producto de las dos matrices
(la inversa de A, que dentro de nuestro desarrollo quedó expresada como “%o18”, y la
matriz “b”, de dos filas por una columna), tal como se observa a continuación:
Evidentemente, el resultado es el mismo que el que habíamos obtenido anteriormente; solo
hemos de tener en cuenta que también aparece expresado matricialmente, de modo que el
número que aparece arriba corresponde al de la incógnita “x”, en tanto que el que aparece
debajo ha de ser el valor de “y”.
Segundo Problema.Ahora bien: muchos de ustedes podrán pensar que la resolución de un sistema de dos ecuaciones
con dos incógnitas podía perfectamente llevarse a cabo sin tanto trabajo.
Y, en cierto modo, estamos de acuerdo.
Sin embargo, si han comprendido lo que hicimos en el problema anterior, se darán cuenta de la
conveniencia de emplear el software para problemas más complejos, como el que proponemos a
continuación.
Supongamos el sistema de ecuaciones lineales:
Desde ya, la resolución del mismo en forma manual no es sencilla; pero bastará con aplicar
nuevamente la instrucción “linsolve” para obtener la solución:
Como vimos anteriormente, el sistema también puedo ser resuelto en forma matricial. Escribimos
entonces:
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Operamos entonces tal como lo vimos en el caso anterior, y obtenemos:
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Tal como se observa en “%o29” (la “o” proviene de “output”, que significa “salida”), la
matriz obtenida me ofrece la solución del sistema, (verificándose el resultado obtenido con
la expresión “linsolve”).
Avancemos un poco…
Así como al resolver el Problema 1 comentamos que cada una de las dos ecuaciones
representaba una recta en el plano, cada una de las tres ecuaciones que conforma el
sistema podría considerarse como un plano en el espacio de tres dimensiones.
Para graficar en tres dimensiones, se emplea la instrucción “plot3d”, tal como se muestra a
continuación:
Se obtiene así la gráfica que presentamos en la Figura 7.-
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Figura 7: representamos los tres planos cuyas ecuaciones coinciden con las que
conforman nuestro sistema.
Si cambiamos los límites de las variables independientes “x” e “y”, podremos observar el
punto intersección entre los tres planos, es decir, la solución gráfica de nuestro problema
(ver Figura 8).
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Figura 8: la solución de nuestro sistema puede interpretarse gráficamente como las
coordenadas del punto intersección entre los tres planos.
Apéndice.¿Y si el sistema no es compatible determinado?....
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Ya dijimos que el método matricial solo era aplicable para sistemas compatibles determinados. Sin
embargo, es interesante estudiar qué sucedería si el sistema tuviera infinitas soluciones… o no
tuviera ninguna.
Por ejemplo, estudiemos el sistema:
Aplicando la instrucción “linsolve”, obtenemos:
La expresión “%r1” representa lo que denominamos un parámetro, un número al que le podemos
asignar un valor cualquiera a partir del cual quedarán determinados los valores de las restantes
incógnitas.
Este tipo de resultado se obtiene cuando estamos en presencia de un sistema compatible
indeterminado (es decir, un sistema que admite infinitas soluciones posibles).
Si supusiéramos entonces que cada una de las ecuaciones representara la ecuación de un plano en el
espacio de tres dimensiones, la representación gráfica de dicho conjunto solución sería una recta.
La misma aparece representada en la Figura 9.-
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Figura 9: claramente se observa la recta que contiene los infinitos puntos, cuyas coordenadas
habrán de ser una de las infinitas soluciones de nuestro sistema.
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Supongamos ahora el sistema:
Nuevamente, empleamos la instrucción “linsolve”:
Esta vez, entre los corchetes no hay nada: esa es la forma en que el software nos indica que
nuestro sistema es incompatible, no tiene solución.
La Figura 10 nos muestra la situación desde el punto de vista gráfico.
Figura 10: los tres planos podrán intersecarse tomados de a dos, pero no habrá ningún punto
del espacio que pertenezca simultáneamente a los tres.
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Ejercitación:
Empleando adecuadamente el software, resolver cada uno de los siguientes sistemas de
ecuaciones. Cuando lo considere oportuno, graficar:
1)
2)
3)
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