  Probabilidad y Estadística Soluciones Ejercicios Cartilla Nro. 1

Probabilidad y Estadística
Soluciones Ejercicios Cartilla Nro. 1
UNIDAD 7: Estimación
1̂
 1.84 .

1) a ) E X =1/  por el mm x 
 
2
2
b ) Si X E( ) , entonces Var(X) = 1/2, por lo tanto la ˆ  1 ˆ  3.39

ˆ 2 n  0.38
Var( x ) = 2/n  Var (x)  
Como ejercicio adicional determinar por el Método de los Momentos un estimador para el
parámetro de la distribución y su varianza.
2) a ) EX=  x  ˆ  ˆ  2.29

b ) V a r ( ̂ ) = V a r ( x ) =  / n 
2
Var (ˆ )  ˆ / n  0.33
m̂1  X
ˆ  X



1
1
2
2
2   2
m̂ 2   x i
ˆ   x i  x
n

n

  EX
3)  2
2
2
  EX  (EX )
ˆ
Por el Método de los Momentos: ˆ  x  72.01 y 
1 n
( x i  x ) 2  5.16

n i 1
4) x1, …, x5000 iid xB(p)
a)
por el Método de los Momentos.
b)
a
2  x 2 x 3 
a


5) E(X)   x 2 (a  x )dx  2 a
3 
3
a  2
0 a
0
a
2
Por lo tanto, por el Método de los Momentos, E(X) =x = a/3

â  3x .
6) Sea X = “Duración de un foco, en horas”, XN(, 30)
Sea X1, X2,..., X30 iid como X.
a) n = 30 y x  600
El estadístico pivote
X 
 N(0,1) por Teorema de Combinaciones Lineales.
/ n


X 
Planteamos P  z1  / 2 
 z1  / 2   0.95 y trabajando algebraicamente
/ n


obtenemos: IC95%= (591, 609)
z0.975=1.96
b)
  10
X 
10 
  0.95
P( X    10)  0.95  P(10  X    10)  0.95  P


 / n / n / n 

z1-/2 =
10
/ n
 n  35
7) Sea X = “Kilómetros que se maneja un auto por año en Tucumán”, XN(, )
Sea X1, X2,..., X100 iid como X.
n = 100, x  23500 , s = 3900
El estadístico pivote
X 
 t(99)
s/ n
Planteamos P(-t1-/2< X   < t1-/2) = 0.99 y trabajando algebraicamente obtenemos:
s/ n
IC99%= (22478, 24522).
Nota: t (99) 1 / 2  z1 / 2 =2.58
8) Sea X = “Tiempo de secado de la pintura, en horas”.
a) Supuestos:
XN(, ) y X1, X2,..., X15 iid como X.
n=15, x  3.79 , s = 0.97
El estadístico pivote
X 
 t(14)
s/ n
Planteamos P(-t1-/2< X   < t1-/2) = 0.95 y trabajando algebraicamente obtenemos:
s/ n
IC95%= (3.25, 4.33).
t0.975, (14)=2.14
b) Sí, porque el valor 4 pertenece al intervalo de 95 % de confianza.
9) Sean X = “Tiempo de recuperación con Medicamento A”
Y = “Tiempo de recuperación con Medicamento B”
a) Supuestos:
X1, X2,..., X14 iid como XN(A, )
independientes entre si las muestras y  común
Y1, Y2,..., Y16 iid como YN(B, )
Y  X  ( B   A )
El estadístico pivote
 t(28)
donde sp=1.29
1
1
sp /

nA nB
Planteamos P(-t1-/2<
Y  X  ( B   A )
< t1-/2) = 0.99 y trabajando algebraicamente
1
1
sp /

nA nB
obtenemos: IC99%= (0.70, 3.30)
t0.995, (28) =2.76
b) El intervalo de confianza calculado para B – A es íntegramente positivo, por lo que
podemos inferir que B – A > 0 con lo que B > A por lo tanto es mejor el medicamento A.
10) Sea X = “El artículo es defectuoso”, XB(p).
Sea X1, X2,..., X100 iid como X.
n = 100, x  0.08
p̂  p
El estadístico pivote
 N(0,1) Por Teorema Central del Límite
p(1  p) / n
p̂  p
Planteamos P(-z1-/2<
p(1  p) / n
< z1-/2) = 0.98 y trabajando algebraicamente se llega a
p(1  p)
. Como p es desconocido se reemplaza por su estimador y se llega al
n
p̂  z1 
2
siguiente intervalo aproximado o asintótico: IC98%= (0.02, 0.14)
z0.99=2.33
11) Sea X = “El lanzamiento es exitoso”, XB(p)
Sea X1, X2,..., X40 iid como X.
34
a) n = 40 , x 
40
p̂  p
El estadístico pivote
 N(0,1) por Teorema Central del Límite.
p(1  p) / n
Planteamos P(-z1-/2<
p̂  z1 
2
p̂  p
p(1  p) / n
< z1-/2) = 0.95 y trabajando algebraicamente se llega a
p(1  p)
. Como p es desconocido se reemplaza por su estimador y se llega al
n
siguiente intervalo aproximado o asintótico: IC95%= (0.74, 0.96)
z0.975=1.96
b) Como 0.8 se encuentra en el intervalo de confianza, no hay evidencia suficiente para
rechazar que p sea distinto de 0.8.
12)
a) Sea X = “Cantidad de dinero gastado”, XN(, )
Sea X1, X2,..., X61 iid como X.
n = 61 x  28.52 s = 11.39
El estadístico pivote X    t(60)
s/ n
Planteamos P(-t1-/2<
IC95%= (25.6 , 31.5)
X 
s/ n
< t1-/2) = 0.95 y trabajando algebraicamente obtenemos:
t0.975, (60)=2
b) Sea X = “El cliente está dispuesto a adquirir videos educativos”, XB(p)
Sea X1, X2,..., X61 iid como X.
28
 0.459
n = 61 x 
61
p̂  p
El estadístico pivote
 N(0,1) por Teorema Central del Límite.
p(1  p) / n
Planteamos P(-z1-/2<
p̂  z1 
2
p̂  p
p(1  p) / n
< z1-/2) = 0.90 y trabajando algebraicamente se llega a
p(1  p)
. Como p es desconocido se reemplaza por su estimador y se llega al
n
siguiente intervalo aproximado o asintótico: IC90%= (0.36, 0.57)
z0.95=1.64.