Integración Mediante Fracciones Parciales

Integración Mediante Fracciones Parciales
La Integración mediante fracciones parciales, es uno de los métodos de Integración mas
fácil, en donde la forma a seguir esta dada (se podría decir), por unos criterios.
Definición: Se llama función racional a toda función del tipo
En donde
y
son polinomios con coeficientes reales, y grado
Ejemplo:
¿Cómo descomponer una función racional en fracciones parciales?
Veamos los siguientes casos:
CASO 1: Factores Lineales Distintos.
A cada factor lineal, ax+b, del denominador de una fracción racional propia (que el
denominador se puede descomponer), le corresponde una fracción de la forma
siendo A una constante a determinar.
Ejemplo:
Luego nos queda la siguiente igualdad
O también lo podemos escribir 1 = ( A + B )x + 2A - 2B
Haciendo un Sistema.
A+B=0
2A - 2B = 1 , las soluciones son :
,
Quedando de esta manera:
Con lo cual
CASO 2: Factores Lineales Iguales.
A cada factor lineal, ax+b, que figure n veces en el denominador de una fracción
racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma
EJEMPLO:
Calculemos la siguiente integral
Pero:
Tendremos
Amplificando por
Las Soluciones son:
Nos queda:
CASO 3: Factores Cuadráticos Distintos.
A cada factor cuadrático reducible,
que figure en el denominador de una
fracción racional propia, le corresponde una fracción de la forma
A y B constantes a determinar.
siendo
Ejemplo:
Calcular:
Con lo que se obtiene
de donde
Luego los valores a encontrar son.
A=0,B=1,C=1,D=0
CASO 4: Factores cuadráticos Iguales
A cada factor cuadrático irreducible,
que se repita n veces en el
denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones
de la forma
Siendo los valores de A y B constantes reales.
Ejemplo:
Calcular la siguiente integral
Tendremos que
Por tanto multiplicando a ambos lados de la igualdad por el mínimo común
denominador tenemos
Donde los valores de las constantes son
A=0,B=2,C=0,D=1
De donde remplazando e integrando a primitivas se obtiene.
Esto es fracciones parciales, gracias.
Ejercicio Nº1
1) Hallar la primitiva de la siguiente integral
Lo primero que haremos será calcular las fracciones parciales
Tenemos que
Igualando y multiplicando por el mínimo común múltiplo tenemos que
Ahora determinemos las constantes igualando coeficientes de potencias idénticas
C=0
A=1
Entonces los valores de A, B, C y D son:
Así pues:
Para resolver la segunda y tercera integral usamos el siguiente cambio de variable:
Entonces tenemos:
Ejercicio 4
Calcular la siguiente Integral mediante Fracciones Parciales
Primero podemos factorizar el denominador de la siguiente manera
Entonces calculando las fracciones parciales tenemos:
Multiplicando por el mínimo común múltiplo
Igualando coeficientes tenemos:
A = -1
B=1
C = -3
Entonces remplazando los valores de A , B y C, tenemos:
La primera integral da como resultado :
La segunda integral la debemos resolver completando cuadrados y luego por sustitución
trigonométrica
Ejercicio 5
Calcular la siguiente Integral mediante Fracciones Parciales
El denominador lo podemos factorizar y luego expresando las fracciones parciales
obtenemos la siguiente expresión:
Multiplicando por el mínimo común denominador nos queda
Igualando por coeficientes obtenemos:
A = -1
B=0
C=3
D=1
E=0
Entonces los valores serán:
Así pues, aplicando el segundo teorema fundamental del calculo se tiene que
Con lo cual resolvimos el problema
Sustitución trigonometrica+
Integrales del tipo
Primero el argumento de la raíz cuadrada debe ser mayor o igual a cero ; así que
Al hacer el cambio de variable
varía en el conjunto de los x tales que
se tendrá que cuando
.
Por lo tanto hacemos el cambio de variable
entonces
Y se tiene que:
En resumen:
Integrales del tipo
Primero el argumento de la raíz debe ser mayor o igual a que cero ,así:
Al hacer el cambio de variable
se tendrá, que :
cuando  varia en [- ,x varía en el conjunto de los x tales que
Por lo tanto hacemos el cambio de variable:
Entonces:
Y reemplazando en la integra original
En resumen:
INTEGRE
.
Observemos que
con
entonces aplicando la sustitucion,
y
tenemos que
para evaluar esta ultima integral
trigonométrica se hacer uso de
para expresar este resultado en terminos de la variable x, observamos que
que cos
y
y tenemos que
Así
Calcular la siguiente integral
Observemos que
, entonces aplicando la sustitución
Al reemplazar nos queda:
,
y usando la formula de
reducción
=
Ahora para dejar todo en terminos de X volvemos a la sustitución que teníamos al
principio
,así nos queda que
geometrica tenemos que
y
. Y usando la identidades
Finalmente reemplazando,
Entonces:
Integrales del tipo
En este caso , claramente el argumento de la raíz es siempre positivo, por lo que la
expresion tienen sentido para cualquier valor de X . Entonces necesitamos una
sustitucion que recorra todos los reales. La mas simple y usada es
, con ya
que en este intervalo la tangente que recorre todos reales.
Por lo tanto hacemos el cambio de variable:
entonces
Y se tiene que: (notando que
)
Resumiendo:
Calcula la siguiente integral:
Observemos que
entonces aplicamos la sustitucion
Luego:
aplicando formula de reduccion
Pero volviendo en terminos de X
, pues
y finalmente
Integrales del tipo
En este tipo de integrales la idea es formar una suma (o resta) de cuadrados dentro
de la raíz completando como un cuadrado de binomio , para llegar a una de las
integrales conocidas anteriormente y luego hacer una sustitución trigonométrica.
Integre
Primero, completamos el cuadrado de binomio:
Ahora si lo dejamos expresada como
nos queda una integral de la forma
el cambio de variable
y al reemplazar
al reemplazar:
así que podemos usar
Ahora primero debemos dejar todo en términos de U y para esto volvemos a la
sustitución
así;
y por identidades trigonométricas nos queda que
y reemplazando,
Finalmente expresandolo en términos de X tenemos que
por lo tanto:
GUIA DE EJERCICIOS
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