Limites indeterminados:

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR DE LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL
GUIA I
(LIMITES INDETERMINADOS)
Operaciones con infinito
Sumas con infinito
Infinito más un número
Infinito más infinito
Infinito menos infinito
Productos con infinito
Infinito por un número
Infinito por infinito
Infinito por cero
Cocientes con infinito y cero
Cero partido por un
número
Un número partido por
cero
Un número partido por
infinito
Infinito partido por un
número
Cero partido por infinito
Infinito partido por cero
Cero partido por cero
Infinito partido por infinito
Limites Indeterminados
Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino que la
aplicación de las propiedades de los límites tal como las hemos enunciadas no son válidas.
En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada una de las
indeterminaciones (Factor común, trinomio, diferencia de cuadrados, Ruffini, conjugada entre otras).
Tipos de indeterminación
Estudiaremos los casos 0/0, ∞/∞, ∞-∞, 1∞ .
Cero sobre cero
EJERCICIOS
RESUELTOS
1.
Calcula los siguientes límites, eliminando las indeterminaciones que se presenten
( x  2) 2
x3  1
3m 2  3
a) Lim 2
b) Lim
C) Lim 2
.
m1
x2 x  4
x1 x  1
m 1
x  64
x 4  16
t2 9
d) Lim 3
e) Lim 2
f) Lim
x  64
x2 x  8
t 3 t  5t  6
x 8
2
3
3
x  2x  1
r 2
x 1
g) Lim
h) Lim
i) Lim
x 1
r 8 r  8
x


1
x 1
x 1
x2
v 1  2
5n  5
j) Lim
k) Lim
l) Lim 2
x2 x  x  6
v 3
n 0
v3
2n
Infinito partido
por infinito
Si se trata de funciones potenciales dividimos todos los sumandos por la x elevada al mayor
exponente.
EJERCICIOS RESUELTOS
2.
Calcula los siguientes límites, eliminando las indeterminaciones que se presenten
Infinito menos
infinito
Cuando se trata de funciones irracionales podemos multiplicar y dividir por el conjugado.
Uno al infinito
S e resuelve t ra nsforma ndo la expres ión en una potencia de l número e.
Límites Trigonométricos
En términos generales los límites trigonométricos se pueden resolver aplicando un límite notable o
una identidad trigonométrica y en algunos casos se debe aplicar ambas operaciones. Sin embargo a
veces es necesario realizar algunas operaciones algebraicas como multiplicar y dividir por un
número, factorizar, multiplicar por la conjugada o aplicar las propiedades de los límites.
lim
x 0
1  cos x  cos x  lim 1  cos x  cos x  lim cos x  cos 0  1  
1  cos x
1  cos x
 lim
 lim
x

0
x

0
senx
tan x  senx
senx  senx cos x x0 senx (1  cos x) x 0 senx sen 0 0
 senx
cos x
tan2 x
tan2 0
0
0



x 0 1  cos x
1  cos0 (1  1) 0
lim
2
 senx 


2
1  cos x1  cos x
tan x
sen 2 x
1  cos2 x
cos x 

lim
 lim
 lim

lim
 lim
2
2
x 0 1  cos x
x 0 1  cos x
x 0 1  cos x  cos x
x 0 1  cos x  cos x
x 0 1  cos x  cos2 x
lim
x 0
1  cos x   1  cos 0  1  1  2
cos 2 x
cos 2 0
Ejercicios Propuestos:
12