MATEMATICA PARA INGENIERIA TRAMO I (PARTE C).

C-1
LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCION DE DOS
VARIABLES
Mucha de la terminología relacionada con los límites fue introducida por el
matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897). Su forma de tratar
rigurosamente los límites y otros temas del cálculo le han dado la reputación de
padre del análisis moderno.
El estudio de los límites de funciones de varias variables es mucho más
complejo que el de funciones de una variables, pues en este, únicamente se
tiene dos caminos para acercarse a un punto, por la derecha o por las
izquierda; mientras que en el caso de varias variables existe una infinidad de
caminos para acercarnos a un punto (a,b), como lo muestra la figura 1.
b
a
Figura 1.
Comenzaremos el estudio de los límites para funciones de dos variables, el
caso para funciones de n variables es análogo. Primero definimos el análogo a
un intervalo abierto de R.
Definición de Disco de radio
y centro P
Un disco D(P, ) abierto, o simplemente un disco, de radio
y centro en
P = (a,b) es el conjunto de todos los puntos (x,y) tales que su distancia a (a,b) es menor
que , es decir:
D(P,
=
(x,y)
R2 tal que
(1)
C-2
Observación: si en la definición (1) se cambia en < por un
obtenemos un
disco cerrado.
Definición de Limite de una función
Sea f : D((a,b), )  R2
R una función de dos variables definida en el
disco abierto D((a,b), ), excepto posiblemente en (a,b). Entonces
Si y solo si para cada
existe un correspondiente
tal que
, siempre que 0
Observación : gráficamente, esta definición significa que para un punto
(x,y) ≠ (a,b), cualquiera (x,y) D((a,b), ), el valor de f(x,y) está entre L +
y
L - , como se ilustra en la figura
Como ya mencionamos, cuando escribimos que (x,y)
entendemos que
el punto (x,y) se aproxima al punto (a,b) en cualquier dirección. Si el valor de
C-3
no es el mismo para todos los posibles caminos o trayectorias de acercarnos
a (a,b), entonces el límite no existe (ver ejemplo 1).
Hay muchas maneras de cómo acercarse al punto (a,b), puede ser a través de
rectas, parábolas, cubicas, etc. El caso más sencillo a probar es acercarse al
origen por una recta de pendiente m.
Propiedades de límites de funciones de dos variables
Las reglas siguientes se cumplen si L, M y K son números reales y
y
1) Regla de Suma:
2) Regla de la Diferencia:
3) Regla del Producto:
4) Regla de Multiplicación por una Constante:
(K es cualquier número)
5) Regla del Cociente:
,
M≠0
6) Regla de la Potencia: si r y s son enteros no comunes, y s ≠ 0, entonces:
Siempre que
que L
)
sea un número real. (Si s es incluso, nosotros asumiremos
Ejemplo 1
Compruebe que el siguiente límite no existe
C-4
Solución
El dominio de esta función es D = R2 –
existe, consideramos dos trayectorias
punto (0,0).
. Para comprobar que le límite no
diferentes de acercamiento al
Sobre el eje X (y = 0) cada punto es de la forma (x,0) y el límite en esta
dirección es:
=
=
Sobre la trayectoria y=x cada punto es de la forma (x,x) y el límite en esta
dirección es
=
=
Esto quiere decir que en un disco abierto cualquiera centrado en (0,0) existen
puntos (x,y) en los cuales f vale 1/2 y 0 . Luego f no puede tener límite
cuando (x,y) (0,0).
Observación: en el ejemplo 1 pudimos concluir que el límite no existe porque
encontramos dos caminos que conducen a límites diferentes. Sin embargo,
aunque los dos caminos hubieran llevado al mismo límite, no podemos concluir
que el límite existe. Para llegar a tal conclusión, debemos demostrar que el
límite es el mismo para toda posible trayectoria. Esta tarea no es simple y
requiere el uso de la definición misma, como muestra en siguiente ejemplo.
Ejemplo 2
Compruebe que :
=0
Solución
C-5
La técnica que usamos con el ejemplo anterior no es adecuada para este caso,
pues aunque el límite dé cero a través de muchas trayectorias esto no
demuestra que este sea su valor; pero nos hace sospechar que el límite existe.
Sea
, queremos encontrar un
tal que
siempre que 0
Es decir:
siempre que 0
Como:
=3
Por consiguiente, si elegimos a
, entonces
Por consiguiente, por la definición:
=0
Recordatorio sobre las propiedades del valor absoluto
(1)
(2)
(3)
(4)
C-6
Ejemplo 3
Usar la definición de límite para demostrar que
Solución
El primer requisito de la definición es que 2x + 3y debe estar definido en algún
disco abierto que tenga centro en el punto (1,3), excepto posiblemente en (1,3).
Como 2x + 3y está definida en cada punto (x,y), entonces cualquier disco
abierto centrado en (1,3) satisfará este requisito. Ahora, debe demostrarse que
para cualquier
existe un
tal que:
Si 0
, entonces
De la desigualdad,
Debido que:
y
Se deduce que:
Si
entonces 2
Esta proposición muestra que una elección adecuada para
es,
0
. Con esta
se tiene el argumento siguiente:
y
es 5
, esto
C-7
2
De este modo, se ha probado que para cualquier
que la proposición 0
se elige
a fin de
, entonces
Sea verdadera. Esto demuestra que:
Ejemplo 4
Calcule el límite siguiente:
Solución
Evaluando da:
=1
Ejemplo 5
Calcule el límite siguiente:
Solución
Evaluando dá:
la cual es una indeterminación, entonces
factorizando el denominador, recordando que: A3 - B3 = (A – B)(A2 + AB + B2),
luego:
C-8
Ejemplo 6
Calcule el límite siguiente:
Solución
Evaluando dá:
la cual es una indeterminación, entonces
racionalizando el denominador, nos queda:
=
=
=
=2+2=4
Ejemplo 7
Calcule el límite siguiente:
Solución
Sean (r, ) las coordenadas polares del punto (x,y) y sean (r,θ,z) las
coordenadas cilíndricas del punto (x,y,z). Entonces debemos tener presente
que en coordenadas polares y en coordenadas cilíndricas:
Polares
Cilíndricas
x = r.cosθ
x=
y = r.senθ
y=
r2 = x2 + y2
z=
= x2 + y2 + z2
C-9
Evaluando dá:
la cual es una indeterminación, luego usando
coordenadas polares, cuando (x,y) (0,0) entonces r
, luego el
0
Pues,
para cualquier valor de
Ejemplo 8
Estudie la existencia del siguiente límite:
Solución
Usando trayectorias rectas que pasan por el origen y=mx, donde m ≠ 0,
tenemos:
=
Usando como trayectoria la parábola y=x2, luego tenemos que:
Esto nos podría llevar a concluir que el límite existe y es cero, pues las
rectas y la parábola que pasan por el origen son una infinidad de trayectorias.
Pero observe que al usar la trayectoria y = x3, obtenemos:
Por tanto, el límite no existe.
Ejemplo 9
C-10
Calcule el siguiente límite:
Solución
Evaluando dá:
la cual es una indeterminación, entonces
factorizando el numerador, nos queda:
=
= (o)2 - (0)2 = 0
Ejemplo 10
Calcule el siguiente límite:
Solución
Evaluando dá:
la cual es una indeterminación, entonces
racionalizando el denominador, nos queda:
=
=
Ejemplo 11
Aplicando la definición de límite, demostrar que:
Solución
Para cualquier
existe un
tal que:
Siempre que
0
, o sea
C-11
Siempre que
0
Siempre que
0
Siempre que
0
Desde
tenemos que:
Si escogemos
y deje
0
, obtendremos que:
Esto demuestra que:
RECORDATORIO DE LÍMITES NOTABLES DE UNA VARIABLE Y
ALGUNAS IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
A) LIMITES NOTABLES
B) LIMITES TRIGONOMÉTRICOS (LIMITES NOTABLES)
1)
,
al igual que
C-12
2)
,
al igual que
3)
4)
,
,
al igual que
al igual que
5)
al igual que
al igual que
7)
8)
9)
ALGUNAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
sen(2u) = 2sen(u).cos(u)
cos(2u) = cos2(u) – sen2(u) =
C-13
1 + tg2(u) = sec2(u)
tg(2u) =
1 + ctg2(u) = csc2(u)
sen(u
•
(u
tg(u
EJERCICIOS PROPUESTOS
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
(Trabajo)
8)
9)
10)
(Trabajo)
C-14
11)
12)
13)
14) Usar coordenadas esféricas para encontrar el limite. (Sugerencia: tomar:
x=
y=
z=
= x2 + y2 + z2
Observar que (x,y,z) (0,0,0) es equivalente a
)
DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE n
VARIABLES.
Suponiendo que f es una función de n variables y que A es un punto de Rn.
Se dice que f es continua en el punto A si y solo si se satisfacen las tres
condiciones siguientes:
(i)
(ii)
(iii)
DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES
C-15
Una función f(x,y) es continua en el punto (a,b) si:
(i) f está definida en (a,b), es decir f(a,b) Existe
(ii)
(iii)
Una función es continua si es continua en cada punto de su dominio. La
definición de continuidad para funciones de dos variables, pueden extenderse a
funciones de tres o mas variables.
Ejemplo 1
Determine si la función g es continua en (0,0), si
si (x,y) ≠ (0,0)
g(x,y) =
2
si (x,y) = (0,0)
Solución
(i)
. Por tanto, se cumple la primera condición.
(ii) Veremos si
, para ello calculemos el límite:
, evaluando da:
Usando trayectorias rectas que pasan por el origen y=mx, donde m ≠ 0,
tenemos:
C-16
Usando como trayectoria la parábola y=x2, luego tenemos que:
Por tanto, podemos concluir que g es continua en el punto (0,0), ya que
cumple con las tres condiciones de continuidad.
Ejemplo 2
Determine si la función h es continua en (0,0), si
si (x,y) ≠ (0,0)
h(x,y) =
0
si (x,y) = (0,0)
Solución
(i)
. Por tanto, se cumple la primera condición.
(ii) Veremos si
, para ello calculemos el límite:
, evaluando da:
Usando trayectorias rectas que pasan por el origen y=mx, donde m ≠ 0,
tenemos:
C-17
ya podemos concluir que el limite no existe
porque el limite quedo en función de m, sin embargo vamos a usar otra
trayectoria de acercamiento al punto (0,0), para verificar que el limite no existe.
Usando como trayectoria la parábola y=x2, luego tenemos que:
Si una función f de dos variables es discontinua en un punto (a,b) pero
, entonces se dice que f tiene una discontinuidad
removible (o eliminable) en (a,b) debido a que si se redefine f en (a,b) de
modo que:
Entonces la nueva función es continua en (a,b). Si una discontinuidad no es
removible, entonces de denomina discontinuidad esencial.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1) Analizar la continuidad de la función siguiente:
(Trabajo)
C-18
si (x,y) ≠ (0,0)
f(x,y) =
1
si (x,y) = (0,0)
2) En los ejercicios (2.1) a (2.4) la función es discontinua en el origen debido a
que f(0,0) no existe. Determine si la discontinuidad es removible o esencial. Si
la discontinuidad es removible redefina f(0,0) de modo que la nueva función
sea continua en (0,0).
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)