ASIGNACION 1: Ecuaciones de Diferencias

ASIGNACION 1:
Ecuaciones de Diferencias
Universidad de Puerto Rico en Humacao
MECOBI 2004
26 de Agosto del 2004
Fecha de Entrega: Martes 7 de Septiembre
(1) Supongamos que la densidad de moscas en un pantano esta descrita por la siguiente
ecuación:
xt 1  R xt 
R
xt2
2000
Considere tres valores de R, seleccionados de los siguientes rangos:
(a) 1  R  3.00
(b) 3.00  R  3.449
(c) 3.570  R  4.00
Para cada valor de R construya el diagrama de cobweb. Describa cualitativamente el
comportamiento en cada caso y trace la gráfica xt vs, t.
NOTA: Utilice un número de iteraciones (t) que le permita observar el
comportamiento general de la ecuación.
(2) La siguiente ecuación describe la población de insectos en un manglar en años
sucesivos:
xt 1  α xt exp( β xt3 ),
donde  y  son números positivos y xt  0.
(a) Construya el diagrama de cobweb para 2.720.33yx137
(b) Determine los puntos fijos y su estabilidad.
(c) ¿Cuál será una posible dinámica del sistema para el límite t   ?
(3) Como parte del proyecto LTER (Long Term Ecological Research) de Luquillo se
viene realizando un monitoreo de la población de camarones de río en Quebrada
Prieta (El Verde) desde el 1988 hasta el presente. El monitoreo se realiza cada dos
meses y consiste del número de camarones para cada una de las tres especies: Atya
lanipes, Xiphocaris elongata, y Macrobrachium spp. Los datos originales están
disponibles en la página del LTER http://luq.lternet.edu/data/lterdb54/metadata/lterdb54.htm. Para
este ejercicio utilizaremos un archivo de datos llamado camarones.txt el cuál
esta organizado de la siguiente manera:
1
2
3
4
.
.
.
184
435
530
547
.
.
.
182
337
358
300
.
.
.
7
10
14
11
.
.
.
373
782
902
858
.
.
.
La primera columna comienza en 1 y es en orden ascendente y corresponde al número
del muestreo o el tiempo (recordando que transcurren dos meses entre cada
muestreo). La segunda columna es el número de camarones de la especie Atya
lanipes, la tercera es el número de Xiphocaris elongata, y la tercera es el número de
Macrobrachium spp. La cuarta columna corresponde al total de camarones de las tres
especies. El archivo camarones.txt lo pueden bajar de la página del curso en la
localización que se indique en clase.
(a) Utilizando la función ImportMatrix grafique Nt vs. t para cada una de las
tres especies de camarones. Para simplificar las cosas en el eje de x pueden
utilizar los datos de la columna 1 como si fuera el tiempo. Recuerden rotular
los ejes de las gráficas e incluir títulos que muestren la especie que se esta
graficando.
(b) Proponga un modelo de diferencias finitas lineal para describir
aproximadamente los datos para cada especie. Trace la gráfica de la solución
del modelo lineal y superpóngasela a los datos. La gráfica resultante deberá
mostrar los datos para cada especie y una línea continua con el modelo
correspondiente.
(c) Evalué críticamente los modelos propuestos en términos de su capacidad de
descripción de la dinámica poblacional.
¿Será mejor la capacidad de
descripción del modelo si en lugar de los datos bimensuales utilizamos un
promedio anual?