propuesta de plan instruccional de la asignatura geometría analítica

PROPUESTA DE PLAN INSTRUCCIONAL DE LA
ASIGNATURA FUNCIONES VECTORIALES (MA3B05)
Semana Sesión
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Contenido
Presentación del contenido de la asignatura, bibliografía recomendada para el
curso, plan de evaluación.
Rn como conjunto, Rn como espacio vectorial, Rn como espacio euclídeo, Rn
como espacio métrico.
Función real de varias variables reales. Función vectorial. Componentes de
una función vectorial. Dominio, espacio de valores, rango de una función
vectorial. Gráfica de una función vectorial. Conjunto de nivel de una función
real de varias variables reales. Representación geométrica de una función
f:R2R.
Esfera abierta en Rn, Punto interior, exterior, frontera, de acumulación,
aislado. Conjunto abierto, cerrado, acotado, compacto. Interior, frontera,
derivado y clausura de un conjunto.
Definición de límite de una función vectorial: en términos de esferas abiertas,
en términos de distancias. Unicidad del límite. Calculo de límites de una
función real de varias variables reales: limite a lo largo de una curva, límites
iterados. Demostración de la existencia del límite a través de la definición.
Límite de una función vectorial a partir de los límites de sus funciones
componentes.
Definición de Continuidad de una función vectorial. Discontinuidad de una
función vectorial: tipos. Extensión continua. Continuidad de una función
vectorial a partir de la continuidad de sus funciones componentes.
Transformación lineal. Continuidad de una transformación lineal.
PRIMER EXAMEN CORTO. Derivada Parcial: definición, significado
geométrico e intrínseco. Función derivada parcial. Propiedades de las
derivadas parciales. Matriz Jacobiana.
Derivadas parciales de orden superior. Igualdad de las derivadas parciales
cruzadas. Transformación afín.
Diferenciablidad de una función: caso f:RR (recta tangente a una curva) ,
caso f:R2R (plano tangente a una superficie),
caso F:RnRm
(transformación afín aproximante). Matriz jacobiana y matriz del diferencial.
Diferenciabilidad y continuidad. Propiedades de las funciones diferenciables.
Continuidad de las derivadas parciales de primer orden y diferenciabilidad de
una función. Funciones de clase C1.
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Derivada Direccional: definición, significado geométrico e intrínseco.
Derivada direccional y funciones diferenciables.
El vector gradiente. Derivada direccional y el vector gradiente. Valor
máximo y mínimo de la derivada direccional en un punto. Conjunto de nivel
de una función real de varias variables reales y el vector gradiente. Curva en
el plano definida en forma implícita. Recta tangente a una curva de la forma
f(x,y) = c. Superficie en el espacio definida en forma implícita. Plano
tangente a una superficie de la forma g(x,y,z) = c.
PRIMER EXAMEN PARCIAL
Composición de funciones. Diferencial de la función compuesta (regla de la
cadena) : diversos casos. Teorema de la función compuesta.
Inversa de una función. Inversa local. Diferencial de la función inversa .
Teorema de la función inversa.
Función implícita definida por un sistema de ecuaciones: Caso f(x,y) = 0,
caso general. Diferencial de la función implícita: diversos casos.
Diferencial de la función implícita: diversos casos. Teorema de la función
implícita.
Curva en el espacio definida en forma implícita. Recta tangente a una curva
en el espacio de la forma
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SEGUNDO EXAMEN CORTO. Forma cuadrática. Matriz asociada a una
forma cuadrática. Forma cuadrática definida, semidefinida y no definida.
Diagonalización de una forma cuadrática.
Matriz Hessiana. Desarrollo de Taylor de segundo orden de una función real
de varias variables reales.
Extremos de una función real de varias variables reales: extremos relativos y
absolutos. Puntos críticos. Análisis de extremos usando la Matriz Hessiana.
Caso de una función real de dos variables.
Extremos Condicionados: sustitución directa, parametrización. Teorema de
Lagrange.
Extremos en un conjunto compacto.
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SEGUNDO EXAMEN PARCIAL.
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Integral iterada en un rectángulo de R2. Integral iterada en una región
general de R2. Definición de Integral doble como límite de sumas.
Significado geométrico. Teorema de Fubini.
Propiedades de la integral doble. Integral triple y múltiple.
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f(x, y, z)  c1

g(x, y, z)  c2
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Aplicaciones de las integrales dobles y triples: Área de una región plana,
volumen de una región en el espacio. Masa de regiones planas y regiones del
espacio, momentos estáticos, centro de gravedad, momentos de inercia.
Teorema del cambio de variables en integrales dobles. Cambio de variables a
coordenadas polares. Teorema del cambio de variables en integrales triples.
Cambio de variables a coordenadas cilíndricas y esféricas.
TERCER EXAMEN CORTO. Curva en Rn definida en forma paramétrica.
Curva suave y parcialmente suave. Curva cerrada. Representación
geométrica de curvas en R2 y en R3 definidas en forma paramétrica. Vector
tangente. Recta tangente a una curva definida en forma paramétrica.
Longitud de arco. Integral respecto a la longitud de arco. Aplicaciones: Masa
de un alambre , centro de gravedad. Área de una cerca de altura variable.
Campo vectorial en Rn. Integral de línea de un campo vectorial. Propiedades.
Significado físico. Campo vectorial gradiente. Integral de línea de un campo
vectorial gradiente. Curva en Rn orientada. Teorema de Green.
Superficie en R3 definida en forma paramétrica. Superficie suave y
parcialmente suave. Supeficie cerrada. . Representación geométrica de
superficies en R3 definidas en forma paramétrica. Vector normal a una
superficie en R3 definida en forma paramétrica. Plano tangente a una
superficie en R3 definida en forma paramétrica. Área de superficie. Integral
respecto al diferencial de área de superficie. Aplicaciones.
Integral de superficie de un campo vectorial en R3. Propiedades.Significado
físico.
Superficie en R3 orientada. Rotacional de un campo vectorial. Significado
físico. Teorema del rotacional Stokes. Divergencia de un campo vectorial.
Significado físico .Teorema de la divergencia de Gauss.
TERCER EXAMEN PARCIAL
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