Programa de Cálculo 20 Identificación Materia: Cálculo 20

FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA BÁSICA
MÉRIDA - VENEZUELA
Programa de Cálculo 20
Identificación
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Materia: Cálculo 20.
Prelación: Cálculo 10
Ubicación: 2do semestre.
TPLU: 6-0-0-6
Condición: Obligatoria.
Departamento: Cálculo.
Justificación
Una vez que el estudiante ha aprobado el curso de Cálculo 10 ha sentado las bases para
iniciar sus estudios en la Facultad de Ingeniería. El cálculo diferencial integral es la base
del conocimiento sobre el cual se forma un ingeniero. Teniendo en cuenta esta premisa,
el Departamento de Cálculo se ha motivado a presentar un nuevo programa para
Cálculo 20 que inicia en la derivada y sus aplicaciones, y continúa con la integral y sus
aplicaciones. Estos dos conceptos, junto a sus aplicaciones, constituyen la base del
cálculo diferencial e integral.
Metodología
Para desarrollar este curso de cálculo se ha pensado en utilizar como modelo de
enseñanza el Modelo de Enseñanza Directa. Este modelo emplea la explicación y la
modelización para enseñar conceptos y habilidades combinando para ello la práctica y
la retroalimentación. Basado en la eficacia del docente, este modelo ubica al docente
como centro de la enseñanza y responsable único del proceso. Cuando se aplica este
modelo el docente asume la responsabilidad de estructurar el contenido, explicándoselo
a los alumnos, dándoles oportunidades para practicar y brindando retroalimentación.
Las Estrategias. Se debe planificar la enseñanza para hacer posible la consecución de
un determinado grupo de objetivos. Para planificar la enseñanza se deben buscar los
medios para identificar las capacidades humanas que lleven a resultados que hemos
denominados objetivos específicos. Estos medios se refieren a estrategias que permitan
dar mayor contexto organizativo a la información nueva que se aprenderá al presentarla
de forma gráfica o escrita. Proporcionar una adecuada organización a la información
que se ha de aprender mejora su significatividad lógica, y en consecuencia, hace más
probable el aprendizaje significativo de los alumnos. Mayer (1984) se ha referido a este
asunto de la organización entre las partes constitutivas del material que se ha de
aprender denominándolo: construcción de “conexiones internas”. Las estrategias se
clasifican, de acuerdo al momento en el que se desarrolla el aprendizaje, en:

Preinstruccionales: Se refiere a las estrategias que se aplican antes de iniciar la
acción educativa.

Coinstruccionales: Se refiere a las estrategias que se aplican durante la acción
educativa.

Postinstruccionales: Se refiere a las estrategias que se aplican una vez
finalizada la acción educativa.
Evaluación
Aplicación de evaluaciones parciales.
Contenidos y Objetivos
Unidad 1: Teoremas sobre funciones derivables
Tiempo de ejecución (1.5 semanas)
Objetivos Terminales:

Reconocer bajo que condiciones es aplicable el teorema de Rolle o valor medio.

Valorar el uso de la Regla de L’Hopital en el cálculo de límites indeterminados.

Reconocer la importancia del polinomio de Taylor para hallar valores
aproximados.
Objetivos Específicos.

Identificar las condiciones del teorema de Rolle.

Identificar las condiciones del teorema del Valor Medio.

Encontrar los valores que satisfacen los teorema de Rolle y Valor Medio.

Encontrar el polinomio de Taylor de una función alrededor de un punto.

Hallar valores aproximados usando el polinomio de Taylor.
Contenidos Conceptuales.
Teorema de Rolle e interpretación geométrica. Teorema del Valor Medio e
interpretación geométrica. Teorema de Cauchy. Regla de L´Hopital.
Indeterminaciones de la forma 0/0,  1 . Polinomio de Taylor.
Teorema de Taylor.
Contenidos Procedimentales.
Aplicación del teorema Rolle sobre funciones definidas en un intervalo.
Aplicación del Teorema del Valor Medio sobre funciones definidas en un
intervalo. Aplicación de la regla de L’Hopital para calcular límites con
indeterminaciones de la forma 0/0,  1 Desarrollo de una
función como un polinomio en potencias de  x  a  . Aplicación del Teorema de
Taylor para encontrar valores aproximados. Cálculo de cotas para el error
cometido en la aproximación.
Contenidos Actitudinales.
El teorema de Cauchy como una generalización del teorema del valor medio y el
teorema del valor medio como una generalización del teorema de Rolle. La regla
de L’Hopital como una técnica que me permite calcular límites de forma más
rápida y segura. Imposibilidad de calcular ciertos límites usando L´Hopital.
Importancia del Teorema del valor medio en el cálculo. El Teorema de Taylor
como una excelente herramienta para determinar valores aproximados y permite
acotar el error en la aproximación.
Bibliografía Recomendada.

Purcell, E., Varberg, D., Rigdon, S. (2000). Cálculo (8va ed). México: Pearson.

Salas S,. Hille, Etgen. (2002). Cálculus. Una y varias variables. Volumen I.
(4ta ed). España: Editorial Reverté, S.A..
Unidad 2: Gráfica de funciones y problemas de máximos y
mínimos
Tiempo de ejecución (3 semanas)
Objetivos Terminales:

Reconocer la importancia del uso de la derivada para estudiar extremos
relativos, crecimiento y decrecimiento, puntos de inflexión, intervalos de
concavidad.
Objetivos Específicos.

Determinar las asíntotas de una función.

Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función usando
el criterio de la primera derivada.

Estudiar la concavidad y puntos de inflexión usando el signo de la segunda
derivada.

Graficar una función.

Plantear una función real de una variable que describa una situación real e
identificar los extremos de dicha función.
Contenidos Conceptuales.
Simetrías y periodicidad. Intervalos de crecimiento y decrecimiento: Puntos
críticos: puntos estacionarios, puntos extremos y puntos singulares. Extremos
relativos y extremos absolutos. Criterios de la primera derivada, de la segunda
derivada y de la derivada enésima. Concavidad y puntos de inflexión. Asíntotas:
verticales, horizontales y oblicuas. Cortes con asíntotas.
Construcción de una función objetivo a partir de un enunciado procedente de
una aplicación. Identificación de los extremos de interés.
Contenidos Procedimentales.
Uso del criterio de la primera derivada para determinar intervalos de crecimiento
y decrecimiento. Uso del criterio de la primera derivada para encontrar puntos
máximos o mínimos. Aplicación de los extremos absolutos para determinar
máximos y mínimos en una función continua definida en un intervalo cerrado.
Uso del criterio de la segunda derivada para determinar máximos y mínimos.
Problemas aplicados de máximos y mínimos. Cálculo de las asíntotas de una
función. Representación gráfica de funciones, casos importantes: polinómicas,
racionales, irracionales exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Estudio
de las funciones hiperbólicas y sus inversas.
Contenidos Actitudinales.
Las asíntotas se pueden cortar entre sí. La gráfica de la función puede cortar una
asíntota. Una función puede tener las tres asíntotas. Importancia del Teorema del
Valor Medio porque gracias a él es posible demostrar los teoremas más
importantes de esta unidad. Aplicación del teorema del valor medio a la
acotación de funciones.
Bibliografía Recomendada.
-
Unidad 3: La Integral
Tiempo de ejecución (3.5 semanas)
Objetivos Terminales:

Reconocer la importancia del primer y segundo teorema fundamental del
cálculo.

Valorar el cálculo de la antiderivada como un método sencillo para evaluar
integrales definidas.
Objetivos Específicos.

Calcular la antiderivada de una función.

Evaluar una integral definida usando sumas de Riemann.

Evaluar una integral definida usando el segundo teorema fundamental del
cálculo y la regla de Barrow.

Estudiar la convergencia de una integral impropia.
Contenidos Conceptuales.
Antiderivadas (integrales indefinidas). Antiderivadas de funciones elementales
(integrales inmediatas). Propiedades de la antiderivada. Técnicas de integración:
sustitución, por partes, funciones racionales, funciones trigonométricas y de
algunas funciones irracionales. La integral definida: sumas de Riemann.
Interpretación geométrica de la integral definida de una función continua.
Condiciones necesarias y suficientes de integrabilidad. Propiedades de la
integral definida. Primer teorema fundamental del Cálculo. Segundo teorema
fundamental del cálculo y la regla de Barrow. Integrales impropias.
Contenidos Procedimentales.
Cálculo de antiderivadas (integración). Aplicación de las propiedades para
calcular integrales inmediatas. Cálculo de integrales definidas mediante la suma
de Riemann. Cálculo de integrales definidas mediante el teorema fundamental
del cálculo y la regla de Barrow. Cálculo de la integral definida de una función
que no es continua en un punto y es acotada. Cálculo de integrales impropias.
Contenidos Actitudinales.
Importancia de calcular antiderivadas porque me permite calcular integrales
definidas de manera más fácil. La integral definida es un número que no
necesariamente representa un área.
Bibliografía Recomendada.

Purcell, E., Varberg, D., Rigdon, S. (2000). Cálculo (8va ed). México: Pearson.

Salas S,. Hille, Etgen. (2002). Cálculus. Una y varias variables. Volumen I.
(4ta ed). España: Editorial Reverté, S.A..
Unidad 4: Aplicaciones de la Integral
Tiempo de ejecución (1.5 semanas)
Objetivos Terminales:

Reconocer la importancia de la integral definida como un método que permite
calcular áreas y volúmenes.
Objetivos Específicos.

Calcular el área limitada por una curva.

Calcular el área entre dos curvas.

Encontrar el volumen de un sólido de revolución.

Determinar la longitud de un arco.
Contenidos Conceptuales.
Área bajo la curva. Área entre curvas. Volúmenes de sólidos de revolución:
Método del disco, arandelas y cascarones cilíndricos. Longitud de arco.
Aplicaciones físicas: Centro de masa y trabajo.
Contenidos Procedimentales.
Cálculo de áreas usando la integral definida. Cálculo de volúmenes de sólidos de
revolución usando integral definida. Calculo de la longitud de un arco. Cálculo
de áreas o volúmenes que conducen a una integral impropia.
Contenidos Actitudinales.
La integral definida como un método para calcular áreas y volúmenes de sólidos
de revolución.
Bibliografía Recomendada.

Purcell, E., Varberg, D., Rigdon, S. (2000). Cálculo (8va ed). México: Pearson.

Salas S,. Hille, Etgen. (2002). Cálculus. Una y varias variables. Volumen I.
(4ta ed). España: Editorial Reverté, S.A..
Unidad 5: Coordenadas polares y
Curvas parametrizadas
Tiempo de ejecución (3 semanas)
Objetivos Terminales:

Reconocer la existencia de un nuevo sistema de referencia en el plano:
Coordenadas Polares.

Parametrizar una curva en el plano y reconocer el sentido de la parametrización.
Objetivos Específicos.

Representar puntos en el plano polar.

Representar curvas en el plano polar.

Determinar las ecuaciones paramétricas de una curva en el plano.

Representar curvas parametrizadas vía eliminación del parámetro.

Determinar los vectores posición, velocidad y aceleración.
Contenidos Conceptuales.
Coordenadas polares. Relación entre coordenadas polares y coordenadas
cartesianas. Simetrías en el plano polar. Curvas polares: cardioides, lemniscatas
y rosas. Intersección de curvas polares. Área en coordenadas polares. Longitud
de una curva polar. Curvas en el plano parametrizadas. Derivada de curvas
parametrizadas. Orientación de una curva según la parametrización. Tangentes a
curvas dadas paramétricamente. Áreas limitadas por una curva parametrizada.
Longitud de arco de curvas parametrizadas. Velocidad a lo largo de una curva en
el plano. Vector posición, velocidad y aceleración.
Contenidos Procedimentales.
Transformación de puntos del plano polar al plano cartesiano y viceversa.
Transformación de curvas del plano polar al cartesiano y viceversa (rectas y
cónicas) Representación de estas curvas en el plano polar. Representación de
curvas polares: cardioides, lemniscatas y rosas. Cálculo de áreas limitadas por
curvas polares y por curvas parametrizadas. Cálculo de la longitud de una curva
polar y de una curva parametrizada. Representación de curvas parametrizadas
(eliminación del parámetro). Intersecciones y colisiones.
Contenidos Actitudinales.
Reconocimiento de un nuevo sistema de referencia en el plano: Coordenadas
polares. La no unicidad en la representación de un punto en el plano polar.
Bibliografía Recomendada.

Purcell, E., Varberg, D., Rigdon, S. (2000). Cálculo (8va ed). México: Pearson.

Salas S,. Hille, Etgen. (2002). Cálculus. Una y varias variables. Volumen I.
(4ta ed). España: Editorial Reverté, S.A..
Unidad 6: Tópicos de la Geometría en el Espacio
Tiempo de ejecución (1.5 semanas)
Objetivos Terminales:

Reconocer la importancia de los vectores en el cálculo de rectas en el espacio y
planos.
Objetivos Específicos.

Calcular la ecuación de la recta en el espacio.

Calcular la ecuación del plano.

Representar planos.
Contenidos Conceptuales.
Coordenadas cartesianas en el espacio tridimensional. Planos coordenados.
Vectores en el espacio: Operaciones con vectores. Componentes de un vector.
Base canónica. Dependencia e independencia lineal, interpretación geométrica.
Angulo entre dos vectores. Producto escalar, propiedades. Módulo de un vector.
Cosenos directores Condición de paralelismo y perpendicularidad. Producto
vectorial, propiedades.
Rectas y planos: Ecuaciones de la recta: Simétrica y paramétrica. Angulo entre
dos rectas: condiciones de paralelismo y perpendicularidad. Ecuación del plano.
Angulo entre dos planos: condición de paralelismo y perpendicularidad. Recta
producto de la intersección de dos planos. Angulo determinado por una recta y
un plano: condición de paralelismo y perpendicularidad.
Contenidos Procedimentales.
Cálculo de las componentes de un vector. Cálculo de las ecuaciones de la recta
en el espacio. Cálculo de la ecuación del plano.
Contenidos Actitudinales.
Aplicación de la teoría de vectores en el cálculo de las ecuaciones de la recta y
en el cálculo de las ecuaciones del plano.
Bibliografía Recomendada.

Purcell, E., Varberg, D., Rigdon, S. (2000). Cálculo (8va ed). México: Pearson.

Salas S,. Hille, Etgen. (2002). Cálculus. Una y varias variables. Volumen I.
(4ta ed). España: Editorial Reverté, S.A..