SOLUCIÓN DEL EXAMEN DE SISTEMAS Y FUNCIONES

SOLUCIÓN DEL EXAMEN DE SISTEMAS
Y FUNCIONES-3ºB
1) Representación gráfica de sistemas.
A) ¿Cuántas soluciones tiene cada uno de estos sistemas?
x  y  9
a) 
x  6
3x  y  1
b) 
6 x  2 y  2
2 x  2 y  18
c) 
x  y  3
a) Tabla de valores para x + y = 9: (despejando y = 9 – x)
x
y
0
9
1
8
2
7
–1
10
–2
11
La recta x = 6 es vertical, así que no hacemos ya tabla.
Rectas secantes; sistema compatible determinado; una única solución
b) Tabla de valores para 3x – y =1:
(Despejando y = 3x – 1)
x
y
0
–1
La ecuación 6x – 2y = 2 es obviamente la ecuación
1
2
2
5
–1
–4
3x – y =1 multiplicada por 2. Así que la representación
gráfica consiste en dos rectas coincidentes, el sistema es
compatible indeterminado, es decir, tiene infinitas
soluciones.
–2
–7
En la gráfica solamente vemos una
recta porque las dos están
superpuestas.
c) La tabla de valores para 2x + 2y = 18 es la misma que para la 1ª ecuación del
sistema a). Para la segunda ecuación, x – y = 3:
x
y
0
–3
1
–2
2
–1
–1
–4
–2
–5
Rectas secantes; sistema compatible determinado; una única solución
B) ¿Es x = 3, y = 2 solución del sistema a)? ¿Y del sistema b)? Justifica tu respuesta.
No es solución del sistema a) porque (3,2) no cumple la 1ª ecuación (ni la segunda, pero
es suficiente que no cumpla una de las dos):
3 2  5  9
Tampoco es solución del sistema b) porque (3,2) no cumple la ecuación:
3·3  2  9  2  7  1
C) ¿Alguno de los sistemas anteriores son equivalentes?
Los sistemas a) y c) son equivalentes pues, como vemos en las representaciones
gráficas, los dos sistemas tienen como solución (6,3).
2) Resolución de sistemas:
a) Sustitución:
 y  3x  8

 y  5x   y  3
En primer lugar arreglamos la 2ª ecuación, después despejamos y en la 1ª
ecuación y sustituimos su valor en la 2ª:
 y  3x  8
y 3 x 8

 2 ·3x  8  5x  3  6 x  16  5x  3 

2 y  5x  3
x  13  y  3·13  8  39  8  31
Solución: 13, 31
b) Igualación:
4  2y

x

7 x  2 y  4 
4  2 y 1  3y
7



 8  4 y  7  21y 

7
2
2 x  3 y  1
x  1  3 y

2
4  2 · 0, 04 4  0 , 08 3, 92
1
25y  1  y 
 0 , 04  x 


 0 , 56
25
7
7
7
Solución: 0 ' 56,  0 , 04
c) Reducción:
2y x 1
  
 5 3 15

15x  15y  2
Primero, eliminamos los denominadores:
6 y  5 x  1
18y  15x  3 Sumamos
5
3

 
 3 y  5  y  


3
15x  15y  2
15x  15y  2
5
9 9
6 ·  5 x  1  10  5 x  1  5 x  9  x 

3
5 5
9 5
Solución:  , 
5 3
3) Un examen tipo test consta de 40 preguntas y hay que contestar a todas. Por cada
acierto se obtiene medio punto y por cada fallo se restan 0, 25 puntos. Si mi nota
ha sido de 20 puntos, ¿cuántos aciertos y cuántos fallos he tenido?
Leyendo con atención obtenemos fácilmente la respuesta: como 40 · 0, 5 = 20,
he acertado todas las preguntas. Veamos cómo resolver el problema mediante
sistemas:
x = número de aciertos
y= número de fallos
 x  y  40
0,25x  0,25y  10 Sumando
0 , 25


 
 0 , 75x  30 

0 , 5 x  0, 25y  20
0 , 5 x  0, 25y  20
x
30
 40  y  40  40  0
0,75
como ya sabíamos.
4) Hace tres años la edad de Nuria era el doble de la de su hermana Marta. Dentro
de 7 años será los 4 3 de la que tenga Marta entonces. Calcula la edad actual de
cada una.
Hagamos una tabla para no perdernos:
Ahora
Hace 3 años
Dentro de 7 años
Nuria
x
x–3
x+7
Marta
y
y–3
y+7
Todos estos problemas son iguales:
 x  3  2 · y  3
x  3  2 y  6
 x  2 y  3  3




4

 x  7  3 · y  7  3 x  21  4 y  28 3 x  4 y  7
3 x  6 y  9 Re s tan do
 16
  2 y  16  y 
8

2
3 x  4 y  7
x  2 ·8  3  x  16  3  x  13
Por lo que Nuria tiene 13 años y Marta 8. Hace 3 años tenían 10 y 5, dentro de 7
tendrán 20 y 15.