ALGEBRA II - Udabol Virtual

FACULTAD DE CIENCIAS
ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
RED NACIONAL UNIVERSITARIA
UNIDAD ACADEMICA DE SANTA CRUZ
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS
INGENIERÍA COMERCIAL
AUDITORIA
SEGUNDO SEMESTRE
SYLLABUS DE LA ASIGNATURA DE
ALGEBRA II
Elaborado por:
Ing. Mijail Díaz Concepción
Ing. Lorena Montes
Ing. Rubén Toyama U.
Ing. Esther Guisela Veizaga
Gestión académica I/2007
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FACULTAD DE CIENCIAS
ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
UDABOL
UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA
Acreditada como PLENA Mediante R.M. 288/01
VISIÓN DE LA UNIVERSIDAD:
Ser la Universidad líder en calidad educativa.
MISION DE LA UNIVERSIDAD
Desarrollar la Educación Superior Universitaria con Calidad y competitividad al servicio
de la sociedad.
Estimado (a) alumno (a):
La Universidad de Aquino Bolivia te brinda a través del Syllabus, la oportunidad de contar
con una compilación de materiales que te serán de mucha utilidad en el desarrollo de la
asignatura.
Consérvalo y aplícalo según las instrucciones del docente.
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SYLLABUS
Asignatur
a:
Código:
Requisito:
Carga
Horaria:
Créditos:
Álgebra II
MAT – 111C
MAT – 101C
100 horas Teórico
Practicas
10
I. OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA.
 Interpretar y aplicar las operaciones aritméticas de matrices en la resolución de problemas de la carrera.
 Utilizar las transformaciones elementales de filas de matrices y la función determinante en la resolución de
sistemas de ecuaciones lineales.
 Aplicar los espacios vectoriales en la resolución de problemas de la profesión.
 Utilizar una herramienta informática para simplificar los cálculos (MATLAB)
II. PROGRAMA ANALITICO DE LA ASIGNATURA.
UNIDAD I: MATRICES Y SISTEMAS LINEALES.
TEMA 1. Matrices.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
Teoría de matrices y tipos de matrices.
Matrices y operaciones matriciales matrices.
Aplicaciones.
Transformaciones elementales.
Inversa por Gauss-Jordán.
TEMA 2. Determinantes.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
Determinantes (propiedades).
Método de reducción.
Método de los cofactores.
Inversa por cofactores.
TEMA 3. Sistemas de ecuaciones lineales.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
Ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones.
Matrices y sistemas de ecuaciones.
Eliminación de gauss (gauss – jordán).
Sistemas homogéneos de ecuaciones lineales.
Método de la inversa.
Aplicaciones.
UNIDAD II: VECTORES Y ESPACIOS VECTORIALES.
TEMA 4. Vectores.
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FACULTAD DE CIENCIAS
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
Definiciones. Norma de un vector.
Operaciones con vectores.
Producto escalar.
Producto vectorial.
Planes estratégicos y operativos.
Rectas y planos en R3.
TEMA 5. Espacios vectoriales.
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
Definiciones y propiedades básicas.
Subespacios.
Combinaciones lineales y espacios generados.
Dependencia lineal.
Bases y dimensión; rango; nulidad.
III. BRIGADAS UDABOL.
Las Brigadas están destinadas a incidir de manera significativa en la formación profesional integral de
nuestros estudiantes y revelan las enormes potencialidades que presenta esta modalidad de la educación
superior no solamente para que conozcan a fondo la realidad del país y se formen de manera integral,
sino, además, para que incorporen a su preparación académica los problemas de la vida real a los que
resulta imperativo encontrar soluciones desde el campo profesional en el que cada uno se desempeñará.
El trabajo de las Brigadas permite que nuestros estudiantes se conviertan a mediano plazo en verdaderos
investigadores, capaces de elaborar y acometer proyectos de desarrollo comunitario a la vez que se
acostumbren a trabajar en equipos interdisciplinarios o multidisciplinarios como corresponde al desarrollo
alcanzado por la ciencia y la tecnología en los tiempos actuales.
La ejecución de diferentes programas de interacción social y la elaboración e implementación de proyectos
de desarrollo comunitario derivados de dichos programas confiere a los estudiantes, quienes son, sin
dudas, los más beneficiados con esta iniciativa, la posibilidad de:
Desarrollar sus prácticas pre-profesionales en condiciones reales y tutorados por sus docentes con
procesos académicos de enseñanza y aprendizaje de verdadera “aula abierta”Trabajar en equipos, habituándose a ser parte integral de un todo que funciona como unidad,
desarrollando un lenguaje común, criterios y opiniones comunes y planteándose metas y objetivos
comunes para dar soluciones en común a los problemas.
Realizar investigaciones multidisciplinarias en un momento histórico en que la ciencia atraviesa una
etapa de diferenciación y en que los avances tecnológicos conllevan la aparición de nuevas y más
delimitadas especialidades.
-
Desarrollar una mentalidad, crítica y solidaria, con plena conciencia de nuestra realidad nacional.
ACTIVIDADES A REALIZAR VINCULADAS CON LOS CONTENIDOS DE LA MATERIA
TAREAS
PROPUESTAS
Recopilación de información
bibliográfica sobre el tema
de investigación.
Preparación del informe final
Defensa de los trabajos
TEMA(S) CON LOS
QUE
SE RELACIONA
Todas las unidades
Todas las unidades
Todas las unidades
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LUGAR DE ACCIÓN
FECHA
PREVISTA
Biblioteca
de
la
universidad y de
otros centros
Biblioteca
de
la
universidad y de
otros centros
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Todo el semestre.
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Todo el semestre.
Semana 19
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ACTIVIDADES DE INCURSIÓN MASIVA EN LA COMUNIDAD
A lo largo del semestre se realizarán dos incursiones masivas en la comunidad, comprendida la primera
entre el 2 y el 8 de octubre y la segunda entre el 13 y el 19 de noviembre. Con la finalidad de realizar
trabajos ya sean de recojo de información, extensión o relacionada con los proyectos a desarrollar en la
asignatura o la carrera.
IV. EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA.
 PROCESUAL O FORMATIVA.
En todo el semestre se realizarán preguntas escritas; exposiciones de las investigación realizadas; trabajos
prácticos que se comprobaran mediante la evaluación escrita de una pregunta del mismo, seleccionada de
forma aleatoria y además las actividades planificadas para las Brigadas UDABOL. Estas evaluaciones
tendrán una calificación entre 0 y 50 puntos en la primera y segunda etapa y entre 0 y 30 puntos en la
etapa final.
 PROCESO DE APRENDIZAJE O SUMATIVA.
Se realizarán dos evaluaciones parciales con contenidos teóricos y prácticos. Cada uno de estos
exámenes tendrá una calificación entre 0 y 50 puntos.
El examen final incluirá los contenidos abordados a lo largo de todo el semestre
V. BIBLIOGRAFIA.
BIBLIOGRAFIA BASICA
 TONDELLI Gelen; “ Álgebra Lineal”;
512.5 T61
 ROJO Armando; “Álgebra II”, Argentina. 1995
512 R63
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA
 HOWARD Antón; “Introducción al Álgebra Lineal”; Ed. Limusa, México, 1989. 512.5 An 88
 RAFFO LECCA. Solucionario de Álgebra lineal de H. Antón. . Perú. 1997 512.5 R12
 VICTOR CHUNGARAÁlgebra Lineal editorial Leonardo, Perú 2006. 512.15 V68
 EDUARDO ESPINOZA RAMOS. Vectores y Matrices. Perú . 2002
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VI. CONTROL DE EVALUACIONES.
1° evaluación parcial
Fecha
Nota
2° evaluación parcial
Fecha
Nota
Examen final
Fecha
Nota
APUNTES
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VII. PLAN CALENDARIO
SEMANA
ACTIVIDADES ACADÉMICAS
OBSERVACIONES
1ra.
avance de materia
Tema I
2da.
Avance de materia
Tema I
3ra.
Avance de materia
Tema II
4ta.
Avance de materia
Tema II
5ta.
Avance de materia
Tema III
6ta.
Avance de materia
Tema III
7ma.
Avance de materia
Primera Evaluación
8va.
Avance de materia
Primera Evaluación
Presentación de Notas
9na.
Avance de materia
Tema III
Presentación de Notas
10ma.
Avance de materia
Tema III
11ra.
Avance de materia
Tema IV
12da.
Avance de materia
Tema IV
13ra.
Avance de materia
Tema IV
14ta.
Avance de materia
Segunda Evaluación
15va.
Avance de materia
Segunda Evaluación
Presentación de Notas
16va.
Avance de materia
Tema IV
Presentación de Notas
17va.
Avance de materia
Tema V
18va.
Avance de materia
Tema V
19va.
Avance de materia
Tema V
20va.
Evaluación final
21va.
Evaluación final
Presentación de Notas
22va.
Evaluación del segundo turno
Presentación de Notas
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ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 1
UNIDAD O TEMA: MATRICES
TITULO: Operaciones con matrices
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: PRIMER PARCIAL
MATRICES.
Una matriz es un arreglo rectangular de números ordenados en m-filas (horizontales) y n-columnas
(verticales) encerrados entre paréntesis o corchetes.
La notación mas usada es A = [aij] donde i es el número de posición de la fila y j el de la columna.
El tamaño de la matriz se especifica usualmente escribiendo como subíndice “mxn”
 a11
a
 21
A   a31


am1
ejemplo
a12
a13

a22
32
a23
a33





am 2
am3

a1n 
a2 n 
a3 n 

 
amn  mn
8  15 
2
B
0  2  3
 5 27
Cuando m = n se dice que la matriz es cuadrada.
Diagonal principal:
Solo existe en matrices cuadradas y es la línea formada por los elementos aij tales que i = j
Traza de una matriz: es la suma de los elementos de la diagonal principal.
Traza (A) = a11 + a22 + a33 + ... + ann
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OPERACIONES CON MATRICES
Matriz opuesta: Sea A = [aij] su opuesta es – A = – [aij] = [– aij]
 2 8  15
 2  8 15
A
 A  


 5 27 0 
 5  27 0 
Matriz traspuesta: Sea A = [aij] de orden m x n su traspuesta se obtiene permutando las filas con las
columnas y se denota A’ o At = [aji] y es de orden n x m
 2  5
 2 8  15
t
A
 A   8 27 

 5 27 0  2 3
 15 0  3 2
Suma de matrices: Sean la matrices A = [aij] y B = [bij] su suma se obtiene sumando “elemento a
elemento” A + B = [aij + bij] y es del mismo tamaño.
Nota: Solo se pueden sumar matrices del mismo tamaño.
Sean las m atrices:
2 5 
 7
A
B

6  3 22
 12
1 5 6
0
C
D


 3
3 4 2 23

 5 13
A B  

 18 6  22
8
9 22
 5 3
104 2 23
1 0 9
CD

0 108 4 23
A  C  no existe
Multiplicación por un escalar: El producto de una matriz A = [aij] por un escalar “k” se obtiene
multiplicando cada elemento de la matriz por dicho escalar k·A = [k·a ij]
Nota: En el trabajo con matrices se acostumbra a llamar escalar las cantidades numéricas independientes.
Sean las matrices:
2 5 
 1 5  6
A
C


6  3 22
 3 4 2  23
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 5  25 30 
 5C  

 15  20  10
 6 15 
3 A  

18  9
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ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
Multiplicación de matrices: El producto de dos matrices solo es posible cuando el número de filas de la
segunda matriz es igual al número de columnas de la primera.
Sean las matrices A = [aij]mxp y B = [bij]pxn el producto es pasible porque el número de filas de B es p y es
igual al número de columnas de A. La matriz resultante C es del orden m x n C = A·B = [c ij]mxn y sus
elementos se obtienen multiplicando los elementos de las filas de A por los elementos correspondientes
de las columnas de B y sumando estos productos.
p
cij   a ik  b kj
k 1
1
A  2
3
6
0
4
5
3
2 33
 8
0 
2  32
4
B   1
 7
33
C  A  B  29
22
2 
 10 
 20 32
CUESTIONARIO DEL WORK PAPER # 1 (OPERACIONES CON MATRICES)
Considerando las siguientes matrices:
 3 0
A   1 2
 1 1
1 4 2
C

3 1 5
4  1
B

0 2 
 6 1 3
E   1 1 2
 4 1 3
 
H  h 
 1 5 2
D   1 0 1
 3 2 4
G  gi j
4x3
i j 2x3
1  2 3 5 
F

4  3 0 7 
/
gi j  i  j
/
hi j  i
j
Determine cuando sea posible y justifique su respuesta cuando no lo sea.
1. 3C – D
6. D + 2E2
2. (3E)D
7. GHT – 2FT
3. (AB)C
8. (3H + 1/2C) – BAT
4. A(BC) + 3I3
5. (4B)C + 2B
Dadas las matrices:
 1
 7
A
 9

 0
2
5
X
4
3
11
6
5
4 
3 
 23

8 
 2
 7
B
 5

 4
10
11
X
3
 5
35 
3 

 9
11
20
17
2
0
1
13
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9. Que valor debe tomar “x” para que el elemento a.b 32 = 0
10.
Que valor debe tomar “x” para que el elemento a.b 32 = 14
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 2
UNIDAD O TEMA: DETERMINANTES
TITULO: Determinantes
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: PRIMER PARCIAL
DETERMINANTES.
El determinante es una función que asocia un número real a una variable matricial y se define como det (A).
 El determinante de una matriz de segundo orden es el producto de la diagonal principal menos el
producto de la diagonal secundaria.
El determinante como un número real asociado a una matriz cumple las siguientes propiedades:
1. Si una matriz A tiene una fila o columna cuyos elementos son todos “0” entonces el det(A) = 0
2  3
7 0
Si : A  
B


5 0  det( A )  0 det( B )  0
0 0 


2. Si una matriz A tiene dos filas iguales, det(A) = 0
2 7 
 5 11
Si : A  
B


 5 11  det( A )  0
2
7




det( B )  0
3. Si A es una matriz cuadrada, det(At) = det(A)
2  3 t  2 4
Si : A  
A 
 det( At )  det( A )


4 5 
  3 5
4. Si A es una matriz triangular, det(A) = a11۰a22۰a33۰...۰ann
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1 0 0 
2  3
Si : A  
B  2 4 0

0 5 
3 5 6
ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
 det( A )  10; det( B )  24
5. Si una matriz B es el resultado de sumarle a una fila de la matriz A un múltiplo de otra fila, det(A) = det(B)
det( B )  det( A )
 8  (2)  4  (6)
10  10
1  2
1  2
Si : A  
B


1 8 
3 4 


6. Si B es el resultado de intercambiar dos filas en una matriz A, det(A) = – det(B)
1  2
Si : A  

3 4 
3 4 
B

1  2
det( A )   det( B )
 4  (6)   6  4
10   10  10
7. Si una matriz B es el resultado de multiplicar una fila de la matriz A por un escalar k entonces det(B) =
k۰det(A)
1  2
1  2
Si : A  
B


3 4 
9 12 

det( B )  3  det( A )
12  (18)  3  4   6
30  3  10  30
 Si A y B son matrices de igual tamaño, det(A۰B) = det(A)۰det(B)
 det(A + B) ≠ det(A) + det(B)
det( A1 ) 

1
det(A)
Métodos de evaluación de determinantes de orden “n”.
 Por reducción (con operaciones elementales entre filas).
Este método consiste en transformar la matriz en una matriz triangular realizando operaciones en las filas y
teniendo en cuenta las propiedades de los determinantes se obtiene el determinante a partir de
determinante de la matriz resultante.
Combinaciones lineales: Se dice que una fila de una matriz es combinación lineal de las otras, si existen
números reales k1; k2; k3;...; kn tales que la fila dada es la suma de los productos de cada número real por
cada una de las otras filas de la matriz.
Operaciones entre filas de una matriz:
Entre las filas de una matriz se pueden realizar las siguientes operaciones sin que la matriz resultante deje
de ser equivalente a la matriz original.
1. Permutar dos filas de la matriz.
2. Multiplicar una fila por un número real diferente de cero.
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3. Sumar o restar a una fila una combinación lineal de una o varias de las demás filas de la matriz.
Ej :

 F1  F 2; F 2  F1
0  1 4 
 4 5  2
3
det A  det 4 5  2   det 0  1 4  F 3  F 3  F 2
4

11 34 
3 1 7 
0 
 () si int ercam bian
4 4

dos filas
F 3  4F 3
 4 5  2
1
1
 
  det 0  1 4    se m ultiplica
4
4
0  11 34  una fila por 4
4 5  2  F 3  F 3  11F 2
1
  det 0  1 4 
4
0 0  10
1
1
det A   4   1   10   40  10
4
4
 Por desarrollo de cofactores en filas o columnas (regla de Cramer).
Para explicar este método es necesario primero que es un menor y que es un cofactor o complemento.
Si A=[aij]nxn y M=[mij](n – 1)x(n – 1) es la matriz obtenida de suprimir de A la i-ésima fila y la j-ésima columna, al
detM se le conoce como menor del elemento aij de A y al escalar cij = (-1) i +j۰detM se le denomina cofactor.
El determinante de una matriz de orden n es la suma de los productos de los elementos de una fila o
columna por su correspondiente cofactor.
Desarrollando en la fila 1 det (A) = a11۰c11 + a12۰c12 + a13۰c13
Ej :
 3 1  4
5 6
Sea : A  2 5 6  c11  (1)11 
4 8
1 4 8 
det A  3  16  1  10  (4)  3 det A  26
2 6
1 8
c12  (1)1 2 
c13  (1)13 
2 5
1 4
CUESTIONARIO DEL WORK PAPER # 2 (DETERMINANTES)
1.Calcule (por simple inspección) el determinante de las siguientes matrices:
 1 4 0
A   3 11 0
 2 5 0
 4 23 13
 5  12 7
B
0
0
0

 12 6  17
4
 2
0

3
3
5 
1

C   41 11 21 
 3  9  15
4 21  7  1
0 3  1 4 

D
0 0  2 3 


0 0 0  1 
2.Calcule el determinante de las siguientes matrices:
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 4  5  1
A   0
3
2 
 2 1
3 
ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
0
2  3
0
 3 20 3
0 

B
0
0
0
1 


5 1 2 
0
  3 1 2
C   6 2 1
 9 1 2
 2  3 4  1
 4 6 8
2 

D
 5 7  3 0 


4
2
1
0
Dadas las siguientes matrices, evalué las expresiones indicadas teniendo en cuenta las propiedades de los
determinantes:
1 2
2  1
1 0
5
A
B

C

D


6  3
3 4
0
0 1 





 1  2  3
1 2 3 
1




E0
3
3  F  2 4 6  H   2
 1 2  2
4 8 12
  3
2
3. Y  det A  3 det B  det E
6.
4. Y  5det H   5(det E ) 3
0
5
0  1
1 2 0 

3 2  G  2 0 2
0 2 2
3  2
Y  det F  det F t
7. Y  det F  det B   det(F  B)
3
5. Y  det(C  D)  det C  det D   det F
8. Y  det(A 2  3B T  5I 2 )
9. Determine los valores de x en las siguientes matrices para su determinante sea “cero”:
0 
2  x 2 x  1
2 x  3
 2 x  3
A
B
D



3 
x  1
 4
 1
 3 2 x 
10. Sabiendo que det (A) = 4 y det (C) = –3. Aplique las propiedades correspondientes y calcule los
determinantes de las matrices “B” y ”D”. Justifique su respuesta.
1 2 3 
8 16 24
a




A  0  1 2 B  0  1 2  C  d
2 3 4
2 3 4 
 g
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b
e
h
c
f 
i 
b
 a

D  d  3a e  3b
  2 g
 2h
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
f  3c 
 2i 
c
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ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 3
UNIDAD O TEMA: INVERSA DE UNA MATRIZ
TITULO: Cálculo de inversas
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: PRIMER PARCIAL
INVERSA DE UNA MATRIZ.
En el trabajo con números reales se puede sustituir la división de un número “a” entre un número “b” por el
producto de “a” por el inverso de “b”.
No se ha definido un método para dividir matrices directamente pero si podemos encontrar una matriz
inversa a la dada entonces podemos definir (en los casos que sean posibles) la división de una matriz A
ente una matriz B como el producto de A por la matriz B-1 donde B-1 es la matriz inversa de B.
Uno de los métodos mas utilizados para encontrar la inversa de una matriz es el método de Gauss-Jordán
y consiste anotar una matriz identidad correspondiente al lado de la matriz dada, luego realizar
transformaciones en las filas de ambas matrices hasta convertir la matriz dada en identidad, luego la matriz
resultante de las transformaciones realizadas en la identidad será la inversa de la matriz original.
Notas:
a) Solo se puede hallar la inversa de matices cuadradas.
b) Si el determinante de una matriz es “0”, su inversa no existe.
Ejemplo: Hallar la inversa de la matriz A por el método Gauss-Jordán.
1 3 3 1
1 3 3



A  1 4 3  1 4 3 0
1 3 4 0
1 3 4
1 0 0 7  3  3


0   A 1
0 1 0  1 1
0 0 1  1 0
1 
1 3 3 1 0 0
1 3 0 4 0  3
0 0





1 0   0 1 0  1 1 0   0 1 0  1 1 0 
0 0 1  1 0 1
0 0 1  1 0 1 
0 1
 7  3  3
  1 1
0 
 1 0
1 
Otro método para calcular la inversa de una matriz es utilizando los cofactores y los determinantes:
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ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por adjA, a la matriz que se
obtiene de reemplazar cada elemento de A por su correspondiente cofactor. Luego la inversa de A se
puede calcular por la siguiente formula:
1
t
 adjA 
det A
A1 
Ej :
2  3 1 
Sea A  4 0  2
3  1  3




djA   




0
1
3
1
3
0
2
3
1
3
1
2
4
3
2

3
2

4

det A  4  (1) 3
1
1  3
 (2)  (1)
2 3
3 1
det A  4(9  1)  2(2  9)  40  14
2
3
1
3
1
2
 2  10 6 
adjA   6  9 8 
 4  7 12
t
3
det A  26
4 0 


3 1 
  2 6  4
2  3 


   10  9  7
3 1  
 6
8 12 
2  3 

4 0 
 2  10 6 
1 
1
 A 
  6  9 8 
 26
 4  7 12
CUESTIONARIO DEL WORK PAPER # 3 (INVERSAS)
Encuentre la inversa de las siguientes matrices: (A, B, E, F) por el método de Gauss-Jordán y las demás
por el método de los cofactores.
1 2
A

0 1 
2  1
B

5  3
1 2
C

3 4
 5 8
D

 7 11
 0  2  3
1 2 3
 1 2 3




F1
3
3  G  2 5 3 H   1 0 4
 1  2  2
1 0 8
 0 2 2
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 5 8
E

 7 11


12  6 43 
1  1 0
I  3  2 0 J   1 3  14

1 
 0 21 22 
1
5 
2 

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WORK PAPER # 4
UNIDAD O TEMA: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
TITULO: Solución de SEL
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: SEGUNDO PARCIAL
SISTEMAS DE ECUACIONES
Ecuación lineal: Lineal es una igualdad donde hay una o mas incógnitas o cantidades desconocidas.
Resolver una ecuación consiste en encontrar el valor o los valores de las incógnitas para los cuales se
cumple la igualdad.
Cuando una ecuación lineal tiene una sola incógnita entonces tiene una sola solución y se resuelve
despejando la incógnita o variable.
Cuando una ecuación lineal tiene mas de una incógnita entonces tiene muchas soluciones (infinitas en la
mayoría de los casos) porque al despejar la una variable esta queda en función de la otra. Para resolverla
es necesario asignar el valor de un parámetro a una variable, luego las demás variables quedan en función
del parámetro asignado.
a)
b)
c)
12  2 x
3
Si asignam osel valor " t " a x :
12  2t
la solución es : x  t ; y 
3
2 x  3 y  12 
y
Sistemas de ecuaciones lineales: Se le llama así cuando si tienen mas de una ecuación con mas de una
incógnita, en este caso se pueden dar tres posibles soluciones:
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a)
b)
c)
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Que el sistema tenga una sola solución (compatible y determinado)
Que el sistema tenga mas de una solución (compatible indeterminado)
Que el sistema no tenga solución (incompatible)
Como una ecuación lineal representa una línea recta, las soluciones pueden interpretarse de la siguiente
manera:
 Compatible y determinado (rectas que se cortan)
 Compatible indeterminado (Rectas equivalentes o coincidentes)
 Incompatible (rectas paralelas)
Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales de 2 o 3 ecuaciones con 2 o 3
incógnitas. En este curso no se trabajaran los ya aprendidos en materias anteriores a excepción del
método de Cramer el cual se extenderá a sistemas de n-ecuaciones con n-incógnitas.
En forma general un Sistema de ecuaciones lineales (SEL) de m-ecuaciones con n-incógnitas se puede
escribir:
a11x1 + a12 x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22 x2 + ... + a2nxn = b2
...............................................
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
A los términos a11, a12, ... a1n, a22, ... (en general aij) se les llama coeficientes y a los términos b1, b2, ... bm
se les llama términos independientes.
Como en este curso se estudiará el uso de las matrices y determinantes para resolver SEL, veamos a
continuación con un ejemplo dos formas de escribir un SEL con representación matricial
.
x1 + x2 + 2 x3 = 8
– x1 – 2 x 2 + 3 x3 = 1
3 x1 – 7 x2 + 4 x3 = 11
Notación de m atriz am pliada Notación A  X  B
1
1
 1  2

 3  7
2 8 
3  1 
4  11
1
1
 1  2

 3  7
2  x1   8 
3   x2    1 
4  x3  11
Métodos de solución:
Método de Gauss.
El método de Gauss consiste en convertir la matriz ampliada del sistema de ecuaciones en otra
escalonada (convertir en triangular la parte de los coeficientes de la matriz).
x1  x2  x4  3
2 x2  x3  4 x4  2
2 x1  x4  3
x1  x2  x3  0

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1
0

2

1
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1
2
0
1
1
4
4
0
0
1
0
1
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3 
 2
3 

0 
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ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
transform aciones en las filas
sustituyendo y despejando
1  1 0  1 3 
0 2
1
1  2

0 0  1  3  1 


0  3  1
0 0
1
5
5
x 4  ; x3  0; x 2   ; x1 
3
3
3
1.Método de Gauss -Jordán.
El método de Gauss-Jordán consiste en convertir la matriz ampliada del sistema de ecuaciones en una
matriz escalonada y reducida (convertir en identidad la parte de los coeficientes de la matriz).
x1  x2  2 x3  9
2 x1  4 x2  3x3  1
3x1  6 x 2  5 x3  0
Matriz am pliada Transform aciones en las filas
 x1  1

S   x2  2
x  3
 3
1 1 2 9 
1 0 0 1 
 2 4  3 1   0 1 0 2 




3 6  5 0
0 0 1 3
2.Método de Cramer.
El método estudiado en cursos anteriores es aplicable a SEL de n-ecuaciones con n-incógnitas.
3.Método de la inversa.
Consiste en escribir el SEL de la forma A۰X = B y luego resolver X = A-1۰B aplicando la multiplicación de
matrices.
x1  2 x2  3 x3  4
2
se calcula la inversa de A
1
2


3
se despeja
 13  1  10
1 
A 
 14  2 10 

 10
 17  1 10 
 x1 
 13  1  10  4 
 x1  6
 x   1  14  2 10    2    x  7
 2
 2   10 
  
 x 8
 x3 
 17  1 10   1
 3
3 x1  4 x2  x3  2
2 x1  3 x2  4 x3  1
1
4
3
3   x1   4 
 1   x2    2 
4   x3   1
y m ultiplica
Sistemas homogéneos de ecuaciones lineales:Cuando en un SEL todos los términos independientes
son “0” se dice que el sistema es homogéneo y puede tener:
a)Una única solución que es S = (0; 0; ... ;0) (Solución trivial)
b)Infinitas soluciones no triviales además de la Solución trivial.
Por lo general se resuelven por Gauss –Jordán.
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ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
CUESTIONARIO DEL WORK PAPER # 4 (SISTEMAS DE ECUACIONES)
1. Considere que siguientes matrices representan sistemas de ecuaciones y resuélvalos.
1 0 0 2 
a) 0 1 0  3
0 0 1 5 
1  5 7  2 1 
2

b ) 0 3 0 3 0 
0 0 2 1
2


1
0
c) 
0

0
0
1
0
0
0 2  1
0  4 8 
1 5
9

0 0  2
1 0 2 0 3 
d ) 0 1 3 0 0 
0 0 0 1  2
2. Resuelve los siguientes sistemas por el método Gauss.
x  y  z  0

a)  x  y  2 z  1
 x  2 y  3z  0

2 x1  5 x 2  3x3  28

b) 3x1  2 x 2  4 x3  35
 x  7 x  5 x  29
2
3
 1
3. Resuelve los siguientes sistemas por el método Gauss – Jordán.
 x1  x 2  2 x3  8

a)  x1  2 x 2  3x3  1
3 x  7 x  4 x  11
2
3
 1
 x1  x 2  2 x3  2 x 4  11

b) 2 x1  x 2  2 x3  2 x 4  2
 3 x  7 x  4 x  8
1
2
4

4. Resuelve los siguientes S. E. L. Por la formula X = A-1 . B
 I 1  3I 2  23

a) I 1  I 2  I 3  0
2 I  3I  9
3
 2
2 x1  5 x 2  3x3  28

b) 3x1  2 x 2  4 x3  35
 x  7 x  5 x  29
2
3
 1
5. En el siguiente sistema de ecuaciones, que valores puede “λ” para que el sistema tenga infinitas
soluciones.
2 x    7  y  0
  3x  8 y  0
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ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 5
UNIDAD O TEMA: VECTORES
TITULO: Operaciones con vectores
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: SEGUNDO PARCIAL
WP # 5: VECTORES
Llamamos magnitud física a aquella propiedad de un cuerpo que puede ser medida. La masa, la longitud,
la velocidad o la temperatura son todas magnitudes físicas. El aroma o la simpatía, puesto que no pueden
medirse, no son magnitudes físicas.
Para muchas magnitudes físicas basta con indicar su valor para que estén perfectamente definidas. Así,
por ejemplo, si decimos que José Antonio tiene una temperatura de 38 ºC, sabemos perfectamente que
tiene fiebre y si Rosa mide 165 cm de altura y su masa es de 35 kg, está claro que es sumamente delgada.
Cuando una magnitud queda definida por su valor recibe el nombre de magnitud escalar.
Otras magnitudes, con su valor numérico, no nos suministran toda la información. Si nos dicen que Pedrol
corría a 20 km/h apenas sabemos algo más que al principio. Deberían informarnos también desde dónde
corría y hacia qué lugar se dirigía.
Estas magnitudes que, además de su valor precisan dirección y sentido se llaman magnitudes
vectoriales, y se representan mediante vectores. En este tema estudiaremos los vectores y sus
propiedades.
Podemos considerar un vector como un segmento de recta
con una flecha en uno de sus extremos. De esta forma lo
podemos distinguir por cuatro partes fundamentales: punto de
aplicación, módulo (norma o intensidad), dirección y sentido.
Módulo
Dirección
Punto de aplicación Sentido
Si dos vectores se diferencian en cualquiera de los tres últimos elementos, (intensidad, dirección o
sentido), los consideraremos distintos.
Mientras que si sólo se diferencian en el punto de aplicación los
consideraremos iguales.
Siempre es posible dibujar dos vectores con la misma dirección pero sentido
opuesto. Si además tienen la misma intensidad decimos que son vectores
opuestos, ya que se anularían uno a otro.
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ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
Cualquier vector puede dibujarse en un plano, si lo colocáramos de tal forma que su punto de aplicación
coincida con el origen, el extremo del vector, coincidirá entonces con un punto del plano, el punto (x, y).
Cualquier punto (x, y) determina el vector que empieza en el origen de
coordenadas y termina en él propio punto. Analíticamente,
representaremos el vector por el punto que determina su final. A las
coordenadas del vector las denominaremos componentes, y todo
vector estará así definido por dos componentes, una x y otra y, que
serán las componentes cartesianas del vector.
Y
(x,y)
|V|
α
Además de por sus coordenadas cartesianas, existe otra forma de
representar y determinar numéricamente un vector: indicando su
intensidad y el ángulo que forma con el eje de abscisas. Éstas (módulo
|V| y ángulo α) son las coordenadas polares de un vector. En muchas
ocasiones, es más conveniente trabajar con coordenadas polares que
con coordenadas cartesianas.
X
Conocidas las coordenadas polares de un vector, determinar sus coordenadas cartesianas es inmediato
aplicando la trigonometría.
x  v  cos  ;
y  v  sen 
La determinación de las coordenadas polares del vector a partir de sus coordenadas cartesianas es
también inmediata por trigonometría.
v 
x2  y 2 ;
  tag 1
y
x
VEVTORES Y MATRICES:
Un vector puede ser representado como una matriz fila o una matriz columna, así de igual manera las filas
y columnas de una matriz pueden ser consideradas como vectores.
Operaciones con vectores:
Suma: La adición de vectores suma vectores y produce como resultado un vector. Esta operación se puede
realizar, tanto gráficamente (como se ha estudiado en cursos anteriores) como analíticamente.
Nota: Es objetivo de este curso trabajar mas de esta última forma.
Para sumar dos o más vectores en forma analítica es necesario primero expresarlos en coordenadas
cartesianas y luego se suman como matrices filas (componente a componente). Solo se pueden sumar
vectores de igual tamaño.
Multiplicación por un escalar: Un vector puede ser multiplicado por un escalar y en ese caso cada
componente del vector queda multiplicada por el escalar (como una matriz fila).
Gráficamente significa multiplicar el modulo del vector:
Producto escalar: El producto escalar; (producto punto o producto interior euclidiano) es un tipo de
multiplicación definida entre vectores que es muy útil para aplicaciones a problemas reales ya que asigna
un valor real a una operación entre vectores y se define de la siguiente manera:
Ejemplo: Sean
v = ( v1; v2 ); u = ( u1; u2 ) Θ : Es el ángulo entre “v” y “u”
u  v  u  v  cos 
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ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
También se define en función de sus componentes cartesianas.
u  v  u1  v1  u2  v2
Análogamente se extiende para todo Rn. Sean: v = ( v1; v2; ... ; vn ) y u = ( u1; u2; ... ; un )
u  v  u1  v1  u2  v2 un  vn
Nota: Si dos vectores ”u” y “w” son perpendiculares u۰w = 0
Producto cruz de vectores: Es un tipo de multiplicación que se define para el conjunto R 3 la cual es muy
usada en la solución de problemas en los que es necesario definir un vector que sea perpendicular
(ortogonal) a otros dos vectores.
Sean v = ( v1; v2; v3 ) y u = ( u1; u2; u3 ) vectores que pertenecen a R3
El producto v x u es un vector que pertenecen a R 3 y es perpendicular a “v” y a “u”, su sentido se puede
determinar utilizando la regla de la mano derecha:
v v
v  ( v1 ; v2 ; v3 )
v v v v 
v v v 
  1 2 3   v  u   2 3 ;  1 3 ; 1 2 
u  ( u1 ; u 2 ; u3 )
u1 u 2 u3 
 u 2 u3 u1 u 3 u1 u 2 
Ej :
v  ( 1, 2,  2 )
u  ( 3, 0; 7 )

1 2  2
3 0 7 


 2 2
1 2 1 2
   14;  13;  6
v  u  
;
;
3 7 3 0 
0 7
Nota: Las componentes del producto u x v tienen los mismos valores pero con signos contrarios:
u  v    14; 13; 6 
CUESTIONARIO DEL WORK PAPER # 5 (APLICACIONES DE VECTORES)
1.¿Cuál de los siguientes vectores tiene mayor modulo? (3,0);(2,1);(2.5,2).
2.Con los vectores v(1,2);w(2,-1) y u(-1,1) realiza las sumas:
a)
u+v+w
b)
v+u+w
c)
(u – v) – (v – u)
3.Dados v(1y 45º) y w(2 y 180º) ¿Calcule su producto escalar?
4.Con los vectores v(1,2);w(2,-1) y u(-1,1) realiza:
a) u . w
b) v . w
c) u . v
d) v . u
5.¿Qué ángulo forman los vectores u y v ; u y w ; v y w del ejercicio anterior?
6.Calcule el producto escalar entre:
a)
b)
c)
u = (3,4,2) y v = (2,1,5)
u = (1,1,1) y v = (2,2,-2)
u = (5,-2,1) y v = (0,-1,3)
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ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
7.Determine la distancia entre los puntos P1(1,2,3) y P2(-3,-2,-1)
8.Determine el producto vectorial y el ángulo comprendido entre:
a)
u = (3,4,2) y v = (2,1,5)
b)
u = (1,1,1) y v = (2,2,-2)
c)
u = (5,-2,1) y v = (0,-1,3)
9.Determine el área del triangulo comprendido entre los puntos:
a)
b)
P1(1,2,3) ; P2(-3,-2,-1) y P3(3,-3,0)
P1(5,0,0) ; P2(0,5,0) y P3(0,0,5)
10. Determine el área del paralelogramo que tiene como vértices consecutivos a los puntos
a)
P1(3,-2,12) ; P2(-4,-2,7) y P3(1,-3,0)
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 6
UNIDAD O TEMA: ESPACIOS VECTORIALES
TITULO: Espacios vectoriales
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: EXAMEN FINAL
ESPACIOS VECTORIALES
Estamos acostumbrados a representar un punto en la recta como un número real; un punto en el plano
como un par ordenado y un punto en el espacio tridimensional como una terna o trío ordenado. Pero si
reconocemos un conjunto de números ordenados (a1; a2; a3; a4) como un punto en el espacio
tetradimencional, aun cuando esta idea no se pueda concebir geométricamente mas allá del espacio
tridimensional, es posible entenderlo considerando las propiedades analíticas de lo números en lugar de
las propiedades geométricas.
Un espacio vectorial no es mas que un conjunto no vacío de n-vectores ordenados que cumple con las
propiedades de cierre y las antes mencionadas para la suma y la multiplicación por un escalar. Se
denota por Rn
y se clasifican así:
R1 = espacio unidimensional, línea recta real.
R2 = espacio bidimensional, pares ordenados.
R3 = espacio tridimensional, terna ordenadas.
Rn = espacio n-dimencional, n-adas ordenadas.
Combinación Lineal: Se dice que un vector “v” es una combinación lineal de los vectores v1, v2, v3, ..., vn
en un espacio vectorial Rn si existen números reales k1, k2, ... kn tales que “v” pueda ser expresado como:
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V = k1v1 + k2v2 + k3v3 +... + knvn
Para comprobar si el vector “x” es combinación lineal de v, u, w є R 3:
Se plantea un sistema homogéneo de ecuaciones lineales para:
k1v + k2u + k3w = x
k1( v1; v2; v3 ) + k2( u1; u2; u3 ) + k3(w1; w2; w3) = (x1; x2; x3)
k1۰v1 + k2۰u1 + k3۰w1 = x1
k1۰v2 + k2۰u2 + k3۰w2 = x2
k1۰v3 + k2۰u3 + k3۰w3 = x3
Si el sistema tiene solución el vector x es combinación lineal de v, u, w.
Dependencia e Independencia Lineal: Se dice que los vectores v1, v2, v3, ..., vn son linealmente
dependientes si existen infinitas combinaciones lineales de estos vectores que den como resultado el
vector 0.
Si la única combinación lineal que da este resultado es aquella en la que k 1 = k2 = ... = kn, entonces se dice
que los vectores son linealmente independientes.
0 = k1v1 + k2v2 + k3v3 +... + knvn
Ejemplo: Para comprobar la dependencia Lineal entre los vectores v, u, w є R3:
Se plantea un sistema homogéneo de ecuaciones lineales para:
k1v + k2u + k3w = 0
k1( v1; v2; v3 ) + k2( u1; u2; u3 ) + k3(w1; w2; w3) = (0; 0; 0)
k1۰v1 + k2۰u1 + k3۰w1 = 0
k1۰v2 + k2۰u2 + k3۰w2 = 0
k1۰v3 + k2۰u3 + k3۰w3 = 0
Si este sistema solo tiene la solución trivial los vectores son linealmente independientes.
Si tiene infinitas soluciones entonces son linealmente dependientes.
Espacio vectorial generado: Se dice que los vectores v1, v2, v3, ..., vn generan un espacio vectorial V si
cualquier vector “b” de dicho espacio se puede escribir como combinación de los vectores dados.
b = k1v1 + k2v2 + k3v3 +... + knvn
Base y Dimensión de un espacio vectorial: Un sistema de vectores libre, que permite generar todos los
vectores de su espacio vectorial es una base.
Todo espacio vectorial tiene al menos una base.
El número de elementos de una base de un sistema de vectores se llama dimensión del espacio vectorial.
Por ejemplo: Los vectores (0,0,1), (0,1,0) y (1,0,0) son la base que se utiliza normalmente en un espacio de
tres dimensiones.
CUESTIONARIO DEL WORK PAPER # 6 (ESPACIOS VECTORIALES)
1.
Determine cuales de los siguientes conjuntos son espacios vectoriales y para los que no lo son,
enumere las propiedades que no cumple:
a)El conjunto de pares (x ; y) con las operaciones
( x ; y ) + ( x´ ; y´ ) = ( x + x´ ; y + y´ )
y
k ( x ; y ) = (kx +ky)
b)El conjunto de pares ( x ; y ) con las operaciones
( x; y ) + ( x´; y´ ) = (x ▪ x´; y ▪ y´ ) y kx = x k
c) El conjunto de las matrices
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M2 2 =
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a 1
1 b 


2.¿Cuáles de los siguientes vectores son combinaciones lineales de :
u = ( 1 ; -1 ; 3 ) y v = ( 2 ; 4 ; 0 )
a=(3;3;3)
c = (1 ; 5 ; 6 )
b=(4;2;8)
d=(0;0;0)
3.Exprese los siguientes vectores como combinaciones lineales de:
u = (2; 1; 4); v = (1 ; -1; 3) y w = ( 3; 2; 5)
a = (5 ; 9 ; 5 ); b = ( 2 ; 0 ; 6 );
c = ( 0 ; 0 ; 0 ); d = ( 2 ; 2 ; 3 )
4.¿Cuales de los siguientes conjuntos de vectores son linealmente dependientes y cuales linealmente
independientes?
a)u1 = ( 1 ; 2) y u2 = ( -3 ; -6 ) en R2
1 3
 2  6
y B


2 0
 4 0 
b) A  
en M 22
c) (2 ; -1; 4); (3; 6; 2) y (2; 10; -4) en R3
Práctica de Laboratorio:
Título:
Lugar de Ejecución:
Elaborado por:
Nº 1
Operaciones con matrices.
Laboratorio de Computación.
Ing. Mijail Díaz Concepción.
Nombre y apellidos:
Objetivos:
 Asignar el valor de una matriz en la herramienta informática (MATLAB).
 Realizar las diferentes operaciones con matrices estudiadas en clases utilizando (MATLAB).
 Calcular determinantes e inversas utilizando el programa.
Diseño:
Método: Analítico y experimental
Materiales y equipos:
 Laboratorio de computo
 Software MATLAB.
Fundamentos teóricos:
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Una matriz es un conjunto de elementos ordenados en filas y columnas.
Las operaciones con matrices son una de las aplicaciones más importantes del Álgebra lineal a las
diferentes ramas de la ingeniería.
El programa MATLAB es una de las tantas herramientas informáticas desarrolladas para mejorar la forma
en que las matemáticas sirven de apoyo a las diferentes áreas profesionales. El manejo de dicha
herramienta será de gran apoyo para los estudiantes y futuros profesionales.
Desarrollo:
Al comenzar la práctica, el docente dará una introducción de cómo funciona el programa y como se pueden
realizar en el mismo las deferentes operaciones con matrices que han aprendido en clases. Seguidamente
se les orientara realizar de forma independiente los siguientes ejercicios.
1.Ingrese las siguientes matrices al programa y escriba correctamente la expresión utilizada.
A=
A=
1
5
9
2
6
0
3
7
1
4
8
2
B=
B=
-1
-5
-9
-3
2 -1
6 -7
0 -1
4 -5
4
8
2
6
C=
C=
2
5
-1
3
7
0
4
9
3
D=
D=
4 -2 5
3 0 -7
11 15 18
E=
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E=
12
-15
F=
F=
4
-3
-1
0
6
1
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4
3
-1
102
54
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2.Realice las operaciones indicadas escribiendo la expresión correcta y la matriz resultante. Si la operación
no es posible explique ¿por qué?
a)AT .
b)C + D.
c) 3 (C + D.)
d)3 (C+D)-2C
e)A por B
f) B por A
g)2(ETF)-4CA
h)Determinante de A
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i) Determinante de B
j) Inversa de C
Conclusiones:
 Se analizaran las ventajas de usar una herramienta informática.
 Se comentará sobre otras herramientas como calculadoras y un ejemplo disponible en internet.
Bibliografia:

http://www.math.gatech.edu/~villegas/matlab/
Práctica de Laboratorio:
Título:
Lugar de Ejecución:
Elaborado por:
Nº 2
Sistemas de ecuaciones lineales.
Laboratorio de Computación.
Ing. Mijail Díaz Concepción.
Nombre y apellidos:
Objetivos:
 Resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando (MATLAB).
 Resolver series de sistemas de ecuaciones lineales utilizando (MATLAB).
Diseño:
Método: Analítico y experimental
Materiales y equipos:
 Laboratorio de computo
 Software MATLAB.
Fundamentos teóricos:
Una ecuación es una igualdad donde hay una o más incógnitas o cantidades desconocidas.
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Resolver una ecuación consiste en encontrar el valor o los valores de las incógnitas para los cuales se
cumple la igualdad. Si el mayor exponente de las variables es “1” entonces se dice que la ecuación es
lineal.
Si se tienen más de una ecuación con más de una incógnita, estamos en presencia de un sistema de
ecuaciones. Resolverlo significa encontrar los valores de las variables que las satisfagan.
Prácticamente no existe ninguna profesión en la que no surjan problemas que solo pueden resolverse
mediante sistemas de ecuaciones y en numerosos ocasiones se tienen tantas ecuaciones e incógnitas que
se hace prácticamente imposible resolver el sistema manualmente y se busca el apoyo de una herramienta
informática como lo es en este caso el programa MATLAB.
Desarrollo:
Al comenzar la práctica el docente recordará dos de los métodos de solución estudiados en clases. Luego
se explicará como se deben introducir las matrices para aplicar cada uno y se orientará a los estudiantes
realizar los siguientes ejercicios.
Nota: Escriba en las líneas debajo de cada ejercicio, las instrucciones ingresadas al programa y las
correspondientes respuestas.
1. Resuelve Los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
a)
x1  12x 2  150x5  45x6  463
25x1  113x3  x 4  3 x5  5 x 6  56
 210x1  3 x 2  2 x 4  x5  x 6  700
x1  250x 2  3 x3  2 x6  124
3 x 2  2 x 4  2 x5
 1200
x1  3 x3  2 x 4  16
b)
x1  2 x2  x3  10x4  13x6  0
x1  31x2  115x6  55x4  0
17x1  2 x5  312x3  2 x4  0
2. Resuelve La siguiente serie de sistemas de ecuaciones lineales:
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12x1  31x2  3x3  13

 x1  45x2  53x3  23
 x  17x  84x  512
2
3
 1
12x1  31x2  3x3  15

 x1  45x2  53x3  416
 x  17x  84x  0
2
3
 1
ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
12x1  31x2  3x3  51

 x1  45x2  53x3  14
 x  17x  84x  111
2
3
 1
12x1  31x2  3x3  0

 x1  45x2  53x3  181
 x  17x  84x  783
2
3
 1
 Se analizaran las ventajas de usar una herramienta informática.
 Se comentará sobre algunos ejemplos de cómo se pueden utilizar los métodos matriciales para resolver
sistemas de ecuaciones lineales en algunas ramas específicas de la ingeniería.
Bibliografia:
 http://www.math.gatech.edu/~villegas/matlab/
Nombre y apellidos:
Objetivos:
 Utilizar el MATLAB para realizar diferentes operaciones con vectores de forma analítica.
 Utilizar estas operaciones para resolver problemas de aplicación.
Diseño:
Método: Analítico y experimental
Fundamentos teóricos:
La representación vectorial es ampliamente utilizada en las diferentes profesiones, no solo en el campo de
la Física donde se emplean para representar magnitudes que requieren de dimensión; dirección y sentido y
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en dibujo o en sistemas de posicionamiento geográfico donde pueden representar puntos o dimensiones
en el espacio tridimensional, sino también en almacenamiento de datos, ya que toda información se puede
representar como un vector n-dimensional.
Es por ello que es muy importante poder realizar diferentes operaciones con vectores, de forma analítica
pues gráficamente es imposible trabajar con vectores de más de tres dimensiones.
Desarrollo:
Al comenzar la práctica se recordara la relación ente los vectores y matrices, se explicara como se realizan
las diferentes operaciones y se indicarán los comandos que se deben utilizar en cada caso.
Después se orientara realizar los siguientes ejercicios.
Nota: Escriba en las líneas debajo de cada ejercicio, las instrucciones ingresadas al programa y las
correspondientes respuestas.
Conclusiones:
1. Dados los vectores v = (25; 315; 53; 0; 19) , u = (41; 15; 253; 0; 27) y w = (2,5; 31,15; 3; 0; 1,29)
determine:
a)
b)
c)
d)
w – 2u
3v + u
modulo de v “ lvl “
vector u
2. Dados los vectores p = (-225; 309; 1) y q = (40; 0; -125)
e)
Determine el modulo de vector q x p
3. Determine el área del triángulo cuyos vértices son los puntos P1(454; -21; 1); P2(101; 4; -152) y P3(-412;
0; 594) Y encuentre además la distancia entre los puntos P1 y P2
4. Determine el área del paralelogramo que tiene dos arístas consecutivas coincidentes con los vectores
v1(54; -271; 0) y u2(11; 654; -152)
Conclusiones:


Se analizaran las ventajas de usar una herramienta informática.
Se comentará sobre algunos ejemplos de cómo se pueden utilizar los métodos matriciales para resolver
sistemas de ecuaciones lineales en algunas ramas específicas de la ingeniería.
Bibliografia:

http://www.math.gatech.edu/~villegas/matlab/

HOWARD Antón; “Introducción al Álgebra Lineal”; Ed. Limusa, México, 1989.

MENDOZA Domingo M; “Álgebra Lineal”, Bolivia 1992.

RICHARD Hill; “Álgebra Lineal Elemental con aplicaciones”; 3era edición, México, 1997.
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIF´s # 1
UNIDAD OTEMA: MATRICES
TITULO: Propiedades de la aritmética matricial.
FECHA DE ENTREGA:
En las diferentes disciplinas de las ciencias económicas, es común que un conjunto de datos se
representen en forma de matrices para simplificar u optimizar su procesamiento, con ellas se realizan
diferentes operaciones básicas. Después de consultar las siguientes páginas de Internet y la bibliografía
complementaria recomendada en este material:Describa mediante un ejemplo concreto una de estas
aplicaciones.
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/ed99-0289-02.html
http://www.webmath.com/
http://fresno.pntic.mec.es/~jvaamond/producto.htm
www.recursosmatematicos.com/interactiva.html
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIF´s # 2
UNIDAD OTEMA: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
TITULO: Interruptores
FECHA DE ENTREGA:
En algunas áreas profesionales como la economía, etc. surgen problemas cuya solución requiere de
sistemas de ecuaciones lineales con un considerable número de ecuaciones e incógnitas los cuales no son
posibles de resolver por los métodos de eliminación y por ello se recurren a los métodos matriciales.
Consulte la Internet y los textos de ingeniería que considere pertinente y traiga un ejemplo de dichos
problemas con el desarrollo de su solución, para discutir en clases.
http://www.mvps.org/vexpert/articles/mat_gauss.htm
http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/jvazquez/teleco.html
http://fresno.pntic.mec.es/~jvaamond/producto.htm
www.recursosmatematicos.com/interactiva.html
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIF´s # 3
UNIDAD OTEMA: VECTORES Y ESPACIOS VECTORIALES
TITULO: Interruptores
FECHA DE ENTREGA:
Si se quieren definir elementos que requieran más de una característica para su comprensión y tenerlos de
forma ordenada para su procesamiento, la forma ideal que nos brinda la matemática es la representación
vectorial y las propiedades de las operaciones que se realizan con los conjuntos de elementos o vectores,
definidos como espacios vectoriales.
Consulte la Internet y la bibliografía necesaria y traiga un ejemplo de alguna aplicación específica que se le
de en las carreras de ingeniería de Sistemas y Telecomunicaciones a los vectores y/u operaciones con
espacios vectoriales
http://fresno.pntic.mec.es/~jvaamond/producto.htm
www.recursosmatematicos.com/interactiva.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial
http://html.rincondelvago.com/algebra-lineal_vectores-y-espacios-vectoriales.html
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
VISITA TECNICA No. 1
UNIDAD O TEMA :
LUGAR
:
FECHA PREVISTA :
RECURSOS NECESARIOS
OBJETIVOS DE LA ACTIVIDAD
FORMAS DE EVALUACION (Si procede)
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VISITA TECNICA No. 1
UNIDAD O TEMA :
LUGAR
:
FECHA PREVISTA :
RECURSOS NECESARIOS
OBJETIVOS DE LA ACTIVIDAD
FORMAS DE EVALUACION (Si procede)
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