Matemáticas Aplicadas a las CCSS y Humanidades Tema 3- Programación lineal. I.7.- INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL BIDIMENSIONAL. Igualdades y desigualdades. Propiedades de las desigualdades. Inecuaciones lineales con una y dos incógnitas. Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas. Resolución gráfica. IGUALDADES Y DESIGUALDADES. DESIGUALDADES. PROPIEDADES DE LAS Del mismo modo que para expresar que dos cantidades o expresiones algebraicas son iguales se usa el signo de igualdad “ = “, para expresar que son distintas puede emplearse simplemente el signo “ ≠ “, pero se proporciona mas información si se indica cual de ellas es mayor. Para eso tenemos las desigualdades o signos de desigualdad: Mayor que: a>b c positivo / a = b + c Menor que: a<b c positivo / a + c = b Mayor o igual que: a ≥ b c positivo o cero / a = b + c Menor o igual que: a ≤ b c positivo o cero / a + c = b Las desigualdades cumplen las siguientes propiedades: a b a c b c Si un número (o expresión) es mayor que otro y éste que un tercero, el primero es mayor que el tercero. 1.- 2.- a > b a+c>b+c Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma un mismo número o expresión se obtiene otra desigualdad del mismo sentido. a b ac bc c 0 Si se multiplican o dividen los dos miembros de una desigualdad por un mismo número positivo se obtiene otra desigualdad del mismo sentido. 3.- 1 Matemáticas Aplicadas a las CCSS y Humanidades Tema 3- Programación lineal. a b ac bc c 0 Si se multiplican o dividen los dos miembros de una desigualdad por un mismo número negativo se obtiene una desigualdad de sentido contrario. 4.- a b ac bd c d Si se suman miembro a miembro dos desigualdades del mismo sentido se obtiene otra desigualdad del mismo sentido. (si fueran de sentidos contrarios podría dar cualquier resultado. Y si se restan también). 5.- ab 1 1 ab 0 a b Si los dos miembros de una desigualdad tienen el mismo signo y se invierten se obtiene una desigualdad de sentido contrario. 6.- INECUACIONES LINEALES CON UNA Y DOS INCÓGNITAS. Así como una ecuación es una igualdad que sólo se cumple para determinados valores de las incógnitas que aparecen en ella, una inecuación es una desigualdad que sólo se cumple para algunos valores de las incógnitas que aparecen en ella. Ejemplo: 3(x + 2) > 5 + 5x Hay inecuaciones de primer y segundo grado, etc.; de una o varias incógnitas; sistemas de inecuaciones; etc. Para resolverlas se utilizan las propiedades de las desigualdades y normalmente tienen infinitas soluciones que pueden representarse mediante una semirrecta para las de una variable (incógnita) y una región del plano o del espacio para las de dos y tres variables. INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA: Son las que, una vez simplificadas todo lo posible, tienen la forma: ax + b > 0 b x a si a 0 Para resolverla hacemos: ax b x b si a 0 a 2 Matemáticas Aplicadas a las CCSS y Humanidades Tema 3- Programación lineal. Por tanto, en el primer caso las soluciones son todos los números reales del b b intervalo , , y en el segundo los del intervalo , . a a Gráficamente la solución es una de las semirrectas en que el punto x b a divide a la recta (ese punto estará incluido en la solución si el signo de la desigualdad incluye el igual). INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS: Son las que, una vez simplificadas todo lo posible, tienen la forma ax + by + c > 0 y que, despejando la y, pueden escribirse en la forma y > mx + p. Si sustituimos el signo de desigualdad por el de igualdad obtenemos la ecuación y = mx + p cuya representación gráfica es una recta en el plano formada por los puntos cuyas coordenadas (x,y) cumplen la ecuación. Esa recta divide al plano en dos semiplanos. En los puntos de uno de ellos el valor de la ordenada es mayor que el calculado mediante la expresión mx + p, luego son los que cumplen la inecuación y > mx + p. Para los puntos del otro semiplano la ordenada es menor que el valor mx + p, luego son los que cumplen la inecuación y < mx + p. Si en la inecuación aparecen los signos ”≤” o “≥” las coordenadas de los puntos de la recta que determina el semiplano también serán solución de la inecuación. 3 Matemáticas Aplicadas a las CCSS y Humanidades Tema 3- Programación lineal. SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS. RESOLUCIÓN GRÁFICA. Un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto de inecuaciones lineales con dos incógnitas cuyas posibles soluciones comunes se trata de averiguar. La solución del sistema es la región formada por los puntos del plano que verifican a la vez todas las inecuaciones. Las coordenadas de cualquier punto que verifique todas las inecuaciones son una solución del sistema. Resolver un sistema de inecuaciones es hallar sus soluciones o decidir que ningún punto la cumple. Para resolverlo se representan los semiplanos que son solución de cada una de las inecuaciones y la parte común a todos ellos es la solución del sistema. 2x 6y 12 7x 3y 21 Ejemplos: Resolver los sistemas: x0 y0 x x x y y 5 y 3 0 0 4 Matemáticas Aplicadas a las CCSS y Humanidades Tema 3- Programación lineal. I.8.- FORMULACIÓN Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL. Formulación de problemas sencillos de programación lineal (en dos variables). Definiciones: función objetivo, conjunto de restricciones, región factible, soluciones óptimas. Resolución por métodos gráficos y analíticos. FORMULACIÓN DE PROBLEMAS SENCILLOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL (EN DOS VARIABLES). DEFINICIONES: FUNCIÓN OBJETIVO, CONJUNTO DE RESTRICCIONES, REGIÓN FACTIBLE, SOLUCIONES ÓPTIMAS. En muchas situaciones de la vida real (industria, economía, etc.) se plantea la necesidad de elegir entre varias posibilidades la más ventajosa: obtener el mayor beneficio posible, conseguir que los costes de producción sean mínimos, establecer la mejor ruta de transporte desde los puntos de producción a los de venta, etc. Este tipo de problemas de optimización es el que estudia la programación lineal; en concreto el problema tipo de programación lineal es el siguiente: Encontrar los valores de dos variables x e y (normalmente no negativos) que hagan máxima o mínima una función lineal de ellos z = ax + by teniendo en cuenta que los valores posibles de las variables están limitados por una serie de condiciones o restricciones que se expresan mediante desigualdades. La función que se pretende maximizar (o minimizar) se llama función objetivo. Las condiciones que deben cumplir las variables forman el conjunto de restricciones. Cada conjunto de valores de las variables que cumplan el conjunto de restricciones constituye una solución factible y el conjunto de todas ellas (su representación gráfica en el plano) forma la región factible. Las soluciones óptimas son aquellas, de entre las factibles, que hagan máxima o mínima (según interese) a la función objetivo. 5 Matemáticas Aplicadas a las CCSS y Humanidades Tema 3- Programación lineal. EJEMPLO 1: Una empresa dedicada a la reparación de componentes electrónicos recibe el encargo de reparar ordenadores y consolas de videojuegos. Los aparatos han de pasar por dos talleres de reparación. El primero puede emplear 300 horas de trabajo y necesita emplear 6 horas para cada ordenador y 5 para cada consola. El segundo dispone de 200 horas y necesita 2 horas para reparar cada ordenador y 5 para cada consola. Las ganancias netas que obtiene la empresa son de 10.000 pta por ordenador y 10.000 por consola. La empresa desea obtener una ganancia máxima. ¿Cuáles son las unidades que deben repararse de cada artículo para maximizar las ganancias de la empresa?. Representando los datos en una tabla tenemos: TALLERES PRIMERO SEGUNDO HORAS POR ORDENADOR 6 2 HORAS POR CONSOLA 5 5 HORAS TOTALES 300 200 La función objetivo es la que da el beneficio B = 10.000x + 10.000y Las restricciones por las condiciones de los talleres son: 6x + 5y ≤ 300 2x + 5y ≤ 200 Y también serán, evidentemente: x≥0 y≥0 EJEMPLO 2: Las 20 chicas y los 10 chicos de un grupo de 2º de Bachillerato organizan un viaje para el cual necesitan dinero. Deciden pedir trabajo por las tardes en una compañía encuestadora que contrata a dos tipos de equipos de jóvenes: Tipo A. Parejas: una chica y un chico. Tipo B. Equipos de cuatro, formados por tres chicas y un chico. Se paga a 30 € la tarde del equipo tipo A y 50 € la tarde al tipo B. ¿Cómo les conviene distribuirse para conseguir la mayor cantidad posible de dinero?. Representando los datos en una tabla tenemos: EQUIPOS Nº DE EQUIPOS TIPO A TIPO B TOTAL x y CHICAS QUE INTERVIENEN x 3y x + 3y CHICOS QUE INTERVIENEN x y x+y La función objetivo es la que da el beneficio (en decenas de euros): + 5y B = 3x Las restricciones por los tipos de equipos serán: ≤ 20 x + 3y Y también serán, evidentemente: x+ y ≤ 10 x≥0 y≥0 6 Matemáticas Aplicadas a las CCSS y Humanidades Tema 3- Programación lineal. RESOLUCIÓN POR MÉTODOS GRÁFICOS (de las rectas de nivel). Si representamos gráficamente y resolvemos las inecuaciones que forman el conjunto de restricciones obtenemos una región del plano, la región factible, que incluye o representa a todas las soluciones factibles ya que sus puntos son aquellos cuyas coordenadas satisfacen todo el conjunto de restricciones. En la figura tenemos la región factible correspondiente al ejemplo 2 teniendo en cuenta que las soluciones (número de equipos de cada tipo) han de ser números enteros por lo que sólo hay esos 54 puntos factibles (1ª figura). Ahora nos falta determinar cual de entre todas las soluciones factibles (infinitas a no ser, como en este ejemplo, que tengan que tomar valores enteros) es la solución óptima, que en este caso será la que haga máxima la función beneficio B = 3x + 5y (se ha escrito en decenas de euros para que la representación gráfica resulte mas sencilla). Vamos a ver como se resuelve este problema gráficamente. La recta 3x + 5y = 0 (en el caso general ax + by = 0) de beneficio 0 pasa por el origen de coordenadas. Si trazamos paralelas a ella (que son las que se llaman rectas de nivel) hacia la derecha (hacia arriba) serán rectas de ecuaciones ax + by = k siendo el beneficio k positivo y cada vez mayor (2ª figura). La intersección de cada una de esas rectas con la región factible da los puntos del plano (y las correspondientes coordenadas los valores de la variable) que proporcionan el valor k a la función objetivo (3ª figura). Por tanto el punto (o puntos) de la región factible que coincidan con la recta de esa familia mas alejada hacia la derecha (arriba) dará los valores de la variable que hacen máxima la función objetivo, y el que coincida con la recta mas alejada hacia la izquierda (abajo) proporcionará los valores que hacen mínima la función objetivo. Normalmente esos puntos serán vértices del polígono que forma la región factible, con lo que la solución óptima será única a no ser que alguna de las rectas obtenidas a partir de las restricciones y que limitan por su parte mas alejada la región factible sea paralela a la familia de rectas ax + by = k en cuyo caso habrá infinitas soluciones óptimas. En la práctica se representa la recta ax + by = 0 y se va desplazando paralelamente a sí misma hasta encontrar el vértice (solución única) o lado (infinitas soluciones) mas alejado en la dirección que interese, según se trate de maximizar o minimizar la función objetivo (4ª figura). 7 Matemáticas Aplicadas a las CCSS y Humanidades Tema 3- Programación lineal. En este ejemplo la solución será el punto de corte de las rectas x + 3y = 20, x + y = 10, por lo que habrá 5 equipos de cada tipo, con un beneficio de 400 euros. 8 Matemáticas Aplicadas a las CCSS y Humanidades Tema 3- Programación lineal. RESOLUCIÓN DEL EJEMPLO 1: 9 Matemáticas Aplicadas a las CCSS y Humanidades Tema 3- Programación lineal. RESOLUCIÓN ANALÍTICA. Como consecuencia de lo visto está claro que la solución óptima está en alguno de los vértices del polígono o región factible (a no ser que lo sean todos los puntos de uno de sus lados) por lo que para resolver el problema se puede calcular el valor que toma la función objetivo en cada vértice y ver entonces cual es el que proporciona la solución óptima. Este método se conoce como resolución algebraica o analítica. Este método es que se ha utilizado en el apartado d) del Ejemplo 1 en la página anterior. 10 Matemáticas Aplicadas a las CCSS y Humanidades Tema 3- Programación lineal. PROBLEMAS CLÁSICOS: Entre los muchos problemas que se resuelven utilizando la programación lineal hay algunos muy clásicos como son el de la producción, el de la dieta y el del transporte. A continuación se presenta un ejemplo de cada uno de ellos. 11 Matemáticas Aplicadas a las CCSS y Humanidades Tema 3- Programación lineal. 12 Matemáticas Aplicadas a las CCSS y Humanidades Tema 3- Programación lineal. 13