TEMA 3: PROGRAMACIÓN LINEAL BIDIMENSIONAL 1

TEMA 3: PROGRAMACIÓN LINEAL BIDIMENSIONAL
1. Introducción.
2. Regiones lineales en el plano.
3. Programación lineal bidimensional: en qué consiste y lenguaje que utiliza.
4. Algunos problemas clásicos que resuelve.
3. PROGRAMACIÓN LINEAL BIDIMENSIONAL: EN QUÉ CONSISTE Y LENGUAJE QUE
UTILIZA.
3.1. ¿Qué es la Programación lineal?
Es una parte de las Matemáticas que trata de optimizar (maximizar o minimizar)
una función lineal en un conjunto definido por unas restricciones que están dadas por
inecuaciones lineales.
La programación lineal que estudiaremos es este curso es bidimensional. Esto
quiere decir que tendremos siempre dos variables, a las que llamaremos por comodidad x
e y.
Algunos de los problemas que resuelve la Programación lineal son:
a) Una fábrica produce distintos productos. ¿Cuántos tiene que producir de cada uno bajo
ciertas condiciones para que el beneficio obtenido sea máximo?
b) Un pienso para pollos está compuesto de varios ingredientes y tiene que contener unas
cantidades mínimas de calorías, vitaminas, etc. ¿Cuántos kg tenemos que mezclar de cada
ingrediente para que el coste sea mínimo?
c) Tenemos varias fábricas de coches de una misma marca que se vende en distintos
lugares. ¿Cuántas unidades tenemos que producir en cada fábrica para que el coste del
transporte a cada lugar de ventas sea mínimo?
d) A lo largo de una calle hay que poner varios semáforos. ¿Cómo tenemos que
regularlos para que la circulación sea lo más fluida posible?
3.2 Definiciones
Función objetivo
Es la función que deseamos optimizar, es decir, maximizar o minimizar. La
representaremos por f(x , y) = ax + by + c , o bien por F(x , y ) o por z = ax + by + c.
Vector director de la función objetivo
Es el vector v = (-b , a) . Ambas componentes podemos multiplicarlas o dividirlas por un
mismo número, distinto de cero, y obtendremos un vector paralelo. Así lo alargaremos o
lo acortaremos de forma que nos resulte un vector cómodo de dibujar en la escala que
usemos en cada problema.
Restricciones de una función objetivo
Es el conjunto de inecuaciones lineales que definen el conjunto donde puede tomar
valores la función objetivo.
Región factible o soluciones factibles
Es el conjunto donde puede tomar valores la función objetivo, es decir, los puntos del
plano que verifican todas las restricciones. Coinciden con las soluciones del sistema de
inecuaciones que forman las restricciones.
La región factible es un polígono convexo o un segmento, y puede ser acotado o no
serlo, e incluso puede ser vacío, es decir, que no haya ni un solo punto que verifique
todas las restricciones a la vez.
Vértices de la región factible
Son los puntos intersección de las rectas que definen los lados que limitan a la región
factible. Son los vértices del polígono convexo, cerrado o abierto, o del segmento que
define la región factible. Ellos son la clave para encontrar las soluciones.
Rectas de nivel
Son las rectas que pasan por los puntos de la región factible y son paralelas al vector
director de la función objetivo.
Solución óptima
Es el punto de la región factible donde la función objetivo alcanza el valor máximo o
mínimo deseado. La solución óptima se alcanza, generalmente, en uno de los vértices de
la región factible.
a) Para hallar gráficamente la solución óptima, trazamos las rectas de nivel que pasan
por los vértices de la región factible. Si tratamos de maximizar, la solución será el vértice
que corresponda a la recta de nivel más alta, y si se trata de minimizar, es el vértice que
corresponda a la línea de nivel más baja, todo desde el punto de vista del vector director.
b) Para hallar analíticamente la solución óptima, sustituimos en la función objetivo
todos los vértices de la región factible. Me quedo con el que alcance en ella el valor más
grande o el más pequeño según se trate de maximizar o de minimizar, respectivamente.
NOTA: Si al resolver un problema de programación lineal gráficamente no diferenciamos
con claridad entre dos vértices cuál es la solución, los probamos analíticamente, que es
más fiable, porque puede que la solución sea uno, el otro, o ambos, en cuyo caso también
serían solución todos los puntos del segmento que los une.
Planteamiento del problema
Hagamos un problema-ejemplo para ver cómo conviene hacer las anotaciones
pertinentes para plantearlo, y con él explicamos los dos métodos, gráfico y analítico:
En una cooperativa de guardias de seguridad trabajan 12 personas (5 hombres y
7 mujeres). El trabajo lo pueden hacer de la siguiente manera: pareja de hombre y
mujer, a la que deben pagar 30 €/h , o grupos de tres, constituidos por un hombre y dos
mujeres a los que deben pagar 40 €/h. ¿Cómo deben distribuirse para obtener el
máximo beneficio?