Enseñanza de la Matemática I:

Didáctica
Profesora Deriard
Autor de la compilación realizada por Gabriel Berlanda
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Enseñanza de la Matemática I:
Si recurrimos a un diccionario de sinónimos, encontramos que construir significa: edificar, fabricar,
erigir, levantar, cimentar, fundar, etcétera.
Ahora bien, analicemos cómo nuestros alumnos aprenden matemática en general, y si nosotros como
profesionales de la docencia arbitramos los medios necesarios para que ellos la construyan.
Nos preguntamos ¿le damos nosotros el qué? y ¿el cómo que lo busquen nuestros alumnos a través
de la heurística? (arte de inventar) ¿O seguimos haciéndoles padecer con ejercicios sin sentido
(algunos largos y tediosos), como padecimos nosotros a través de toda nuestra escolaridad y sin
saber para qué? y cuanto mejor nos acercáramos a dominar el algoritmo (reglas secuenciales
preestablecidas) que nos proponía el docente, nos asegurábamos el resultado o sea él "éxito". ¿No
les presentaremos hermosos ejercicios maquillados, creyendo que son problemas?, porque lo
hemos escuchado o lo hemos leído en algún libro, artículo o en los diseños curriculares que, la
matemática se construye a través de problemas.
Siguiendo con este análisis vamos a presentar tres modelos de enseñanza donde se pone en juego la
relación: docente, alumno, saber:
El modelo llamado normativo (centrado en el contenido)
El modelo llamado iniciativo (centrado en el alumno)
El modelo llamado aproximativo (centrado en la construcción del saber por el alumno)
En esta tríada podemos observar tres posturas totalmente distintas de cómo se entiende la
construcción del saber. Ahora bien, la primera pregunta que deberíamos hacernos, sería, ¿cuál es
nuestra concepción del proceso de enseñanza?, ¿cuál es nuestro conocimiento sobre este proceso?
Analicemos los modelos:
En el primer modelo, el docente es el que aporta, comunica, ofrece, da ejemplos; el alumno debe
imitar y aplicar (escuchar, retener, repetir).
En el modelo llamado iniciativo, el docente esta atento a las necesidades e intereses del alumno, para
que se sienta "motivado".
En el último modelo, el docente parte de los conocimientos previos de los alumnos y diseña
situaciones donde el alumno deberá enfrentarse con obstáculos que tendrá que sortear y que le
permitirán ser fuente de nuevos conocimientos o reestructurar los existentes (pensar, actuar,
transformar), o como dice Bachelard, G.: ”....se conoce en contra de un conocimiento anterior,
destruyendo conocimientos mal adquiridos o superando aquello que, en el espíritu mismo, obstaculiza
a la espiritualización."
Frente a estos modelos de enseñanza tendríamos que preguntarnos ¿cuál o cuáles son los que
privilegiamos nosotros en nuestras clases?
Presentaremos ahora modelos de aprendizaje, pero antes deberíamos hacernos las mismas
preguntas; ¿cuál es nuestra concepción del proceso de aprendizaje?, ¿cuál es nuestro conocimiento
sobre este proceso?:
Piaget nos aporta una visión constructivista.
Ausubel nos habla de aprendizaje significativo.
Bruner nos ofrece el concepto de andamiaje.
Vygotsky nos aporta la zona de desarrollo próximo.
Rogoff nos habla de participación guiada y traspaso paulatino del control.
Como vemos el proceso de enseñanza y el proceso de aprendizaje, nos debe remitir a su vez a otro
análisis sobre ¿cuál es nuestro "contrato didáctico”?. De acuerdo a como lo definió Brousseau, G:
"Conjunto de comportamientos (específicos) del maestro que son esperados por el alumno, y conjunto
de comportamientos del alumno que son esperados por el maestro, y que regulan el funcionamiento
de la clase y las relaciones maestro-alumno-saber, definiendo así los roles de cada uno y la
repartición de las tareas: ¿Quién puede hacer qué? ¿Quién debe hacer qué? ¿Cuáles son lo fines y
los objetivos?"
Volviendo al diccionario, nos encontramos que antónimos de construir son, por ejemplo: demoler,
derribar, destruir, etcétera. Me pregunto dónde estamos ubicados nosotros en cuanto a acompañar al
alumno en la construcción del saber matemático, ¿en el trabajo con los problemas?, ó, como dice
Ronald Charnay, ¿aprender (por medio de) la resolución de problemas?
Ahora bien hay que aclarar que no se trata de cualquier problema sino, de aquellos que hacen
funcionar como herramienta de solución a los conocimientos que se desean que el alumno construya.
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Por otro lado, debemos afirmar: no basta con la actividad de resolución de problemas, sino que se
necesitan diferentes instancias de explicitaciones, justificaciones, confrontaciones, análisis,
establecimientos de conclusiones, de relaciones explícitas con los saberes culturales (ver situaciones
didácticas de Brousseau), etc.
Un modelo para trabajar con problemas
Un modelo es una guía que nos facilita el camino que debemos recorrer a lo largo de todo el proceso
de resolución de un problema. La finalidad de todo modelo es la de adquirir una colección de hábitos
mentales que nos ayuden eficazmente en el manejo de los problemas.
Este modelo consta de cuatro fases y fue sugerido por, Miguel de Guzmán:
Fase I:
Fase II:
Fase III:
Fase IV:
Familiarización con el problema.
Búsqueda de estrategias.
Llevar adelante la estrategia.
Revisar el proceso y sacar conclusiones de él.
I
Familiarización con el problema





Antes de hacer, tratar de entender.
Tomarse el tiempo necesario.
Actuar sin prisas y con tranquilidad.
Jugar con los elementos del problema.
Poner en claro la situación de partida, la de
llegada y lo que se debe lograr.
 Buscar información que pueda ayudar.
 Encarar la situación con gusto e interés.


II
Búsqueda de estrategias
Buscar y anotar las ideas que se le ocurran.
No desarrollar las ideas hasta no poseer
varias.
 Estas estrategias pueden ayudar:
 Empezar por lo fácil.
 Experimentar y buscar regularidades,
pautas.
 Hacer esquemas, figuras, driagramas.
 Modificar el problema.
 Escoger un lenguaje, una notación
apropiada.
 Buscar semejanzas con otros problemas.
 Explorar la simetría de la situación.
 Suponer el problema resuelto.



III
Llevar adelante la estrategia
Llevar adelante las ideas de la etapa anterior.
Procurar no mezclar, de una en una.
Trabajar con tenacidad y decisión en cada
idea.
 Trabajar con flexibilidad si la situación se
complica demasiado.
 Cuando considera que ha llegado al final,
analice a fondo la solución que obtuvo.

Examine con detenimiento el camino que ha
seguido.
 ¿Cómo ha llegado a la solución? Si no lo ha
resuelto, ¿por qué no ha llegado a la solución?
 Trate de entender que cosas han servido y por
IV
qué.
Revisar el proceso y sacar conclusiones  Busque otro modo más sencillo de resolverlo.
 Intente trasladar el método seguido a otras
situaciones.
 Reflexione sobre sus estados de ánimo y su
proceso de pensamiento y saque conclusiones
para el futuro.
Bloqueos y/o obstáculos
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Un problema constituye un autentico reto. Sabemos, más o menos, adonde queremos llegar, pero
ignoramos el camino. Ante esta situación caben actitudes positivas como confianza, tranquilidad,
disposición de aprender, curiosidad, gusto por el reto, etcétera; y otras negativas o bloqueos que
pueden obstaculizar el avance de nuestros alumnos.
En la tabla siguiente encontraremos los tipos de obstáculos más frecuente que pueden afectar el
desempeño del alumno, y que como profesionales de la enseñanza debemos estar atentos,
ofreciéndoles pautas para superarlos.
BLOQUEOS DE ORIGEN
AFECTIVO:





Apatía, abulia, pereza por el comienzo.
Miedos al fracaso, a la equivocación, al ridículo.
Dificultad para soportar situaciones de incertidumbre.
Ansiedad por terminar pronto o saber el resultado.
Excesivo juicio crítico.
COGNOSCITIVO:





Dificultades en la percepción del problema.
Incapacidad de desglosar el problema.
Visión estereotipada.
De lenguaje inadecuado: ya sea gráfico o simbólico, impiden al
alumno formalizar la situación planteada en el enunciado del
problema de la manera más operativa posible.
De rigidez mental: pensamiento poco flexible necesario para
cambiar de estrategia o modificarla en el curso de la resolución de
la situación problemática.
CULTURALES Y AMBIENTALES:

La sabiduría popular dice:
-"Busca la respuesta correcta"
-"Esto no es lógico"
-"La fantasía y la reflexión son una perdida de tiempo"
-"La razón, la lógica, la utilidad y lo práctico, son buenos; los
sentimientos, la intuición, el placer, son malos.
Propuesta didáctica
Considerando el aprendizaje como actividad (situación didáctica que proporciona un aprendizaje
significativo) se encuentran "capas" que van desde formas intuitivas iniciales de pensamiento, hasta
las formas deductivas finales, sin que se pueda invertir el proceso ni dar saltos bruscos.
Por lo tanto, no existe una organización lineal de los contenidos en los problemas si se propone una
estructuración helicoidal de los contenidos dentro de éstos, de manera que casi todos los
contenidos deben ser retomados en varias ocasiones para que el alumno pueda tratarlos en todos los
niveles de razonamiento que sea capaz de alcanzar.
Si bien no es sencillo diseñar la metodología adecuada para que un aprendizaje sea significativo, ni
existe una que sea de validez universal. La experiencia indica que los aprendizajes significativos
llevan mucho tiempo; que proponer (y dejar tiempo) al alumno a que recorra todas las fases o niveles
que llevan al aprendizaje significativo. Fases que, con una o otra formalización están sobradamente
reconocidas, tanto en diseños de investigación como en situaciones de aula.
Todo esto lleva a propiciar una metodología que se podría llamar como: activa, heurística y
diferenciada.
 Metodología activa: el proceso de enseñanza se basa en la experimentación por parte del
alumno.
 Es una metodología que centra el proceso de enseñanza en la actividad creadora del alumno, en
su labor investigadora propia, en sus propios descubrimientos, entendiendo que es el alumno
quien construye sus conocimientos.
 Metodología heurística: una metodología es heurística en la medida en que enfatiza el dominio
de los procedimientos (operaciones de pensamiento) y estrategias, en contraposición con las que
persiguen, expresa o tácitamente, la adquisición de contenidos como objetivo último.
 Metodología diferenciada: cuando se tiene en cuenta que las dificultades para el aprendizaje
difieren en gran medida de un alumno a otro. Por lo tanto:
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¿Cómo planificar actividades?
Raths enumera 12 principios para que el docente se guíe en el diseño de actividades de aprendizaje:
 A condiciones iguales, una actividad es preferible a otra si permite al alumno tomar decisiones
razonables respecto a cómo desarrollarla y ver las consecuencias de su elección.
 A condiciones iguales, una actividad es preferible a otra si atribuye al alumno un papel activo en
su realización.
 A condiciones iguales, una actividad es preferible a otra si exige del alumno una investigación de
ideas, procesos intelectuales, sucesos o fenómenos de orden personal o social y le estimula a
comprometerse con ella.
 A condiciones iguales, una actividad es preferible a otra si obliga al alumno a interactuar con su
realidad.
 A condiciones iguales, una actividad es preferible a otra si puede ser realizada por alumnos de
diversos niveles de capacidad y con intereses diferentes.
 A condiciones iguales, una actividad es preferible a otra si obliga al alumno a examinar en un
contexto nuevo una idea, concepto, ley, etcétera, que ya conoce.
 A condiciones iguales, una actividad es preferible a otra si obliga al alumno a examinar ideas o
sucesos que normalmente son aceptados sin más por la sociedad.
 A condiciones iguales, una actividad es preferible a otra si coloca al alumno y al enseñante en
una posición de éxito, fracaso o crítica.
 A condiciones iguales, una actividad es preferible a otra si obliga al alumno a reconsiderar y
revisar sus esfuerzos iniciales.
 A condiciones iguales, una actividad es preferible a otra si obliga a aplicar y dominar reglas
significativas, normas o disciplinas.
 A condiciones iguales, una actividad es preferible a otra si ofrece al alumno la posibilidad de
planificarla con otros, participar en su desarrollo y comparar los resultados obtenidos.
 A condiciones iguales, una actividad es preferible a otra si es relevante para los propósitos e
intereses explícitos de los alumnos.
Nosotros las ampliaremos agregando:
 A condiciones iguales, una actividad es preferible a otra si considera las inteligencias múltiples e
inteligencia emocional desde la diversidad cognitiva.
 A condiciones iguales, una actividad es preferible a otra si presenta los contenidos desde una
gran variedad de situaciones y enfoques (en distintos contextos: de
tecnológicos, ficcionales y aquellos mismos de la ciencia misma).
origen cotidiano,
 A condiciones iguales, una actividad es preferible a otra si los contenidos se plantean de tal modo
que sean significativos y funcionales para los alumnos.
 A condiciones iguales, una actividad es preferible a otra si aparece como un reto abordable para
el alumno, es decir, que tenga en cuenta sus competencias actuales y las hagan avanzar con la
ayuda necesaria; que permitan crear zonas de desarrollo próximo e intervenir en ellas.
 A condiciones iguales, una actividad es preferible a otra si provoca un conflicto cognoscitivo y
promueve la actividad mental del alumno necesaria para que establezca relaciones entre los
nuevos contenidos y los conocimientos previos.
 A condiciones iguales, una actividad es preferible a otra si fomenta una actitud favorable, o sea,
que sea motivadora con relación al aprendizaje de los nuevos contenidos.
 A condiciones iguales, una actividad es preferible a otra si estimula la autoestima y el
autoconcepto con relación a los aprendizajes que se le proponen, es decir, que el alumno pueda
experimentar con ellas que en algún grado ha aprendido, que su esfuerzo ha valido la pena.
 A condiciones iguales, una actividad es preferible a otra si ayuda a que el alumno vaya
adquiriendo destrezas relacionadas con el aprender a aprender y que le permitan ser cada vez
más autónomo en sus aprendizajes.
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 A condiciones iguales, una actividad es preferible a otra si admite una única solución, más de una
o ninguna.
 A condiciones iguales evitar en la redacción de la actividad, palabras claves que el alumno le
permita identificar la solución de la misma a través de un algoritmo específico.
A continuación se presenta una descripción resumida de las dos mejores propuestas didácticas
realizadas en el ámbito de la matemática.
Las situaciones didácticas de Brousseau
El docente debe proponer y organizar una serie de situaciones con distintos propósitos y desafíos.
Para ello, Brousseau nos propone diferentes fases. Estas situaciones deben dar sentido a los
conocimientos que se quieren enseñar, es decir, contextualizar y personalizar el saber para pasar a
otra de descontextualización en la que se logra despegar el saber de aquéllas que le dieron origen. De
esta manera, al conocimiento como instrumento se le otorga un carácter de conocimiento científico
convencional.
DEFINICIÓN
DESCRIPCIÓN
1- De acción
 Experimentando
 Descubriendo
Estas situaciones ponen al alumno en contacto
con un problema, cuya solución es precisamente
el conocimiento que se quiere enseñar; el actuar
sobre esta situación permite que el alumno
reciba información sobre el resultado de su
acción. Su objetivo básico es establecer
interacciones entre el sujeto y el medio, pero no
es imprescindible la manipulación física de
objetos.
2- De formulación
(de hipótesis)
 Comunicando
Estas situaciones obligan a que el alumno ponga
de manifiesto sus modelos implícitos
(preconceptos) sobre determinados conceptos,
construyendo una descripción o representación
de los mismos, e incluyendo esta descripción
dentro de una dialéctica en la que intervienen el
emisor y el receptor. El sujeto emisor prueba y
controla de este modo su vocabulario, dándole
sentido.
3- De validación
 Demostrando
Estas situaciones tienen por objetivo probar que
lo que se dice es verdadero. Para ello hay que
convencer a los demás de la coherencia y
consistencia de unas afirmaciones.
Ésta es la fase más compleja de la teoría de las
situaciones didácticas, y en ella el docente sólo
debe intervenir para poner de manifiesto las
contradicciones, pedir pruebas, mejorar los
argumentos y acostumbrar a los alumnos a la
necesidad de objetivar los motivos del propio
razonamiento.
4- De institucionalización
 Formalizando
Estas situaciones sirven para fijar las
convenciones y explicitar formalmente el
conocimiento construido, formulado, validado y
aceptado por todos; conocimiento que deberá
ser poseído por los alumnos participantes.
5- De consolidación
 Practicando
Estas situaciones tienen como objetivo fijar ese
conocimiento interrelacionándolo con los demás
conocimientos de las estructuras conceptuales
que posee el alumno.
6- De aplicación
( o transferencia)
 Resolviendo
Estas situaciones tienen como objetivo detectar
el grado de significación que este conocimiento
tiene para el alumno, ya que su presencia se
muestra por la capacidad para reparar un fallo o
para adaptar un procedimiento a una situación
nueva. Los alumnos deberán aplicar los
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conocimientos y el lenguaje que acaban de
adquirir a otras investigaciones diferentes de las
anteriores. Mide el grado de transferencia o
funcionalidad que tiene de su aprendizaje.
El modelo de aprendizaje de desarrollo del pensamiento geométrico de los Van Hiele
El modelo describe cuatro niveles (discretos y secuenciales) que indican distintos alcances en el
proceso de comprensión geométrica, partiendo de un nivel de base o nivel cero netamente perceptual
hasta llegar un nivel cuatro de alto grado de abstracción.
Propiedades del modelo:
Según Van Hiele estas propiedades son particularmente significativas para los docentes porque le
ofrecen una guía para planificar la enseñanza de la geometría en el aula.

Es secuencial. Para que funcione de manera correcta en un nivel, el alumno debe haber
adquirido las estrategias de los niveles precedentes.

El avance o progreso (o la falta de él) depende más de los contenidos y métodos de enseñanza
que de la edad de los alumnos.

Es intrínseco-extrínseco en el sentido de que los objetos inherentes a un nivel se tornan objetos
de estudio en el siguiente. Así en el nivel cero se puede considerar como objeto de estudio las
formas, mientras que en el nivel uno interesan las propiedades de las mismas y en el nivel dos
cómo se vinculan esas propiedades.

Es lingüístico, en tanto que cada nivel tiene sus propios símbolos lingüísticos y su propio
sistema de relaciones que conectan esos símbolos. Una relación que se conecta con un nivel
puede ser modificada en otro. Por ejemplo, una figura en el nivel cero ó uno puede ser vista
como un cuadrado y no admitirse que también pertenece a la clase de los rectángulos ó de los
paralelogramos, hecho que corresponde a las relaciones inclusivas del nivel dos.

Pueden existir desarticulaciones: Si el alumno se encuentra en un nivel y la enseñanza en otro.
No hay aprendizaje y por lo tanto progreso. En particular si el docente, los materiales, el
contenido, el vocabulario, etcétera, esta en un nivel más alto, el alumno no puede seguir el
proceso de pensamiento utilizado. Frente a estas situaciones adoptará una actitud defensiva y
asimilará los contenidos de una manera memorística, verbal y algorítmica.
NIVEL
DEFINICIÓN
Reconocer (visualizar)
figuras y formas por su
apariencia global.
Los alumnos perciben las figuras como un todo
global. No explecitan las propiedades
determinantes de las figuras; por ejemplo, las
propiedades que distinguen un cuadrado de un
rombo. Pueden, sin embargo, producir una copia
de cada figura particular y reconocerla.
Analizar propiedades de
las figuras y formas.
Los alumnos pueden analizar las partes de las
figuras; por ejemplo "los rectángulos tienen
diagonales congruentes o los rombos tienen los
lados congruentes", pero no explicitan relaciones
entre distintas familias de figuras; por ejemplo,
un rombo o un rectángulo no se perciben como
paralelogramos. Las propiedades de las figuras
se establecen experimentalmente.

Deducción informal:
enunciar predicados que
relacionen propiedades
Los alumnos determinan las figuras por sus
propiedades": cada cuadrado es un rectángulo",
pero son incapaces de organizar una secuencia
de razonamiento que justifique sus
observaciones. Se pueden comprender las
primeras definiciones que describen las
interrelaciones de las figuras con sus partes
constituyentes.

Deducción formal:
deducir predicados de

0
1

2
3
DESCRIPCIÓN
Los alumnos pueden desarrollar secuencias de
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otros

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Rigor: analizar sistemas
deductivos con alto grado
de rigor
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proposiciones para deducir una propiedad de
otra. Asi, por ejemplo, se puede demostrar que
el postulado de las paralelas implica que la suma
de los, ángulos de un triángulo es igual a 180º.
Sin embargo, no se reconoce la necesidad del
rigor en los razonamientos.
Los alumnos están capacitados para analizar el
grado de rigor de varios sistemas deductivos.
Pueden apreciar la consistencia, la
independencia y la completitud de los axiomas
de los fundamentos de la teoría. Este último
nivel, por su alto grado de abstracción debe ser
considerado en una categoría aparte.
Nota: Sería deseable que un alumno que haya cumplido con la escolaridad inicial hubiese transitado
por el nivel 0 y, al finalizar el segundo ciclo de la EGB, hubiese completado el nivel 2, para luego
continuar, en tercer ciclo y polimodal, con el nivel 3.