tica formación general_GUIAN°3

Liceo Polivalente Arturo Alessandri Palma
Corporación de desarrollo social de Providencia
Departamento de Matemática
SECTOR: Matemática
NIVEL II/cursos A-B-C-D-E-F-G-H
PROFESOR-A: Fermín Peña Aravena
Plazo:21 de Octubre
UNIDAD TEMÁTICA: Función Lineal o afín
CONTENIDO: Ecuación y propiedades de una recta en el plano
APRENDIZAJE ESPERADO: Reconocer en el estudio y propiedades de una recta
en el plano la relación básica del álgebra y de la geometría euclidiana
[email protected]
UNIDAD I GUÍA Nº 3 SEGUNDO MEDIO
SEGUNDO SEMESTRE
INSTRUCCIONES GENERALES
1) La guía que trabajarás en esta ocasión corresponde a la CONTINUACIÓN de la Primera unidad del Segundo Semestre,
para lo cual deberás recordar conceptos básicos de una función lineal (Gráficos, Distancia entre dos puntos, Pendiente y
Ecuación, etc.)
2) Posteriormente encontrarás el desarrollo de cada uno de los contenidos (objetivos) que se desean alcanzar con esta
guía, con la explicación del contenido respectivo y con ejemplos de aplicación. Adjuntando además algunos ejercicios
para tu trabajo personal
3) Luego ya resuelta la guía debes imprimirla y archivarla en una carpeta, la que será solicitada al término de este proceso
4) Finalmente lo más importante es que al término de este trabajo encontrarás algunas preguntas que debes responder
como evaluación de los contenidos incluidos en la guía, respuestas que debes enviarme al correo electrónico que se te
comunicó (indicando que es plan común).
REFORZAMIENT0 FUNCIÓN LINEAL
Nota: En esta primera parte recordaremos algunos conceptos elementales de una función lineal, los demás deberas recurrir
a los apuntes señalados en la Guía Nº1
1) Recuerda ¿Qué es una Función Lineal?
Nota. Es una función real biyectiva de la forma
F ( x)  ax  b
con
a, b  R y representa una recta en el plano
cartesiano.
Además sabemos por axioma, que por dos puntos distintos del plano existe una única Recta que los contiene,a la cual le
está asociada una ECUACIÖN ,PENDIENTE y DISTANCIA entre los puntos que la determinan:
Por lo tanto debes tener presente las siguientes formulas:
i) Distancia entre dos puntos del plano
ii) Pendiente de una recta conocidos dos puntos de ella
iii) Ecuación de una recta conocidos dos puntos
d ( AB)  ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y 1 ) 2
m
y 2  y1
x2  x1
y  y1
y  y1
 2
x  x1
x2  x1
Ejercicio 1): Si se conocen los puntos del plano
i) La distancia
AB
A(1,3)  B(5,6) Determina:
ii) Pendiente iii) Nombre del ángulo que forma
Ejercicio 2) Si la equivalencia entre grados Celsius (
0
C)
iv) Ecuación de la recta
y Fahrenheit
AB
( 0 F ) , esta dada por 0 0 C equivalen a 320 F
0
0
100 C equivalen a 212 F
i) Determinar la función lineal (ecuación de la recta) que permita calcular las temperaturas dado cualquier valor.
ii) Indicar Pendiente y coeficiente de Posición de la Recta correspondiente
Ejercicio 3) Dada la ecuación de la recta
M : 2x  3 y  k  0
P(3,4)
Determinar el valor de k si se sabe que la recta M contiene al punto
Respuestas: 1) i)
d ( AB)  5
2) i) Ecuación
3)
ii) m AB 
3
4
iii) Agudo
9 x  5 y  160  0
ii)
m
k 6
9
5
iv) Ec.
y
3x  4 y  9  0
n  32
POSICIÓN DE DOS RECTAS EN EL PLANO
Introducción: Si consideramos que en el plano exiten infinitas rectas,podemos deducir que ellas pueden ser
paralelas,coincidentes,secantes (intersectan) y perpendiculares(secantes que originan ángulos rectos)
I)Resolvamos la siguiente situación: Dadas las rectas K y M del plano cuya ecuaciones son
K : x  y 1  0
;
M : 2x  y  2  0
i) Graficar en el plano e indicar que sucede entre ellas
ii) Determinar las pendientes de cada recta
i) Se construye tabla de valores para ambas rectas
a) Recta K
x
y
0
1
-1
0
b) Recta M
x
y
0
1
2
0
EJE Y
Recta M
Recta K
2
1
1
EJE X
-1
CONCLUSIÓN :
i) En la Grafica puedes observar que las rectas se intesectan (es decir son secantes) en este caso en el punto
(1,0)
ii) Si expresamos las ecuaciones de las rectas en forma Principal se obtiene las pendientes:
K : y  x 1
Luego m K  mM
a)
b)
M : y  2 x  2
Entonces sus pendientes son
mK  1
y
mM  2
Por lo tanto afirmaremos que si dos rectas tienen pendientes y coeficientes de posición distintos entonces son
SECANTES
Es decir si
m K  mM  n K  n M  K  M
son Secantes
y
Entonces de lo anterior se puede inferir si las pendientes de dos rectas son iguales (ángulos de inclinación congruentes),
y sus coeficientes de posición distintos; entonces son PARALELAS
Es decir si
m K  mM  n K  n M  K  M
son Paralelas
En consecuencia también podemos deducir que dos rectas son COINCIDENTES si son de igual pendiente e igual
coeficiente de posición
Es decir si
m K  mM  n K  n M  K  M
son Coincidentes
II) Resolvamos el siguiente problema: Demostrar cuando dos rectas son secantes y perpendiculares
Dadas las ecuaciones de las rectas H : 2 y  3x  3  0 ; T : 2 x  3 y  11  0
i) Graficar en el plano
ii) Probar que el triángulo que se forma con respecto al Eje X es rectángulo
iii) Determinar las pendientes de cada recta y compararlas
i) i) Se construye tabla de valores para ambas rectas para graficar
a) Recta H
x y
x
b) Recta T
1 0
1 3
3
0
2
y
1 3
4 1
11
0
2
EJE Y
Recta H
Recta T
3
P
2
1
-3
-2
-1
A
1
2
3
4
5
B 6
EJE X
-1
-2
En el grafico comprobamos que las rectas son SECANTES con intersección en el punto
 11
A(1,0) ; B 0, 
 2
triángulo es rectángulo en el punto P
Luego los puntos
y
P(1,3)
dan origen al triángulo
APB
P(1,3)
Entonces por demostrar que el
II) El triángulo es rectángulo si se cumple el Teorema de Pitágoras, por tanto debemos demostrar que
d ( AB) 2  d ( AP) 2  d (BP) 2
  11  2

   1  (0) 2 
 2




2
=
Aplicando fórmula
 (1  1)
2
 (3  0) 2
d ( AB)  ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y 1 ) 2
  11  2

2



1

(

3
)

 
 2





2
2
Como cada raíz esta elevada al cuadrado se pueden cancelar por lo tanto resulta:
2
2
 13 
9
2
2
   2 3   9
2
2

169 88  81

4
4

APB
P

Por lo tanto se demostró que triángulo
169
81
169
81
 49 9 
 22 
4
4
4
4
es RECTÁNGULO
secantes y además PERPENDICULARES en el punto
169 169

4
4
, lo cual nos permite afirma que las rectas son
P
iii) Para encontrar las pendientes de cada recta expresamos las ecuaciones en forma Principal, es decir:
3x  3
3
3
 y  x
2
2
2
H : 2 y  3x  3  0  2 y  3x  3  y 
b) Recta
T : 2x  3 y  11  0  3 y  2x  11  y   2 x  11  y   2 x  11  mT  
3
3
 mH 
3
2
a) Recta
3
2
3
 mT por lo tanto las rectas son SECANTES (tal
mH  mT  1 , lo cual nos indica que además de ser secantes
Conclusión: Hemos comprobado que las pendientes son distintas mH
como lo indica el gráfico) pero además se cumple que
son PERPENDICULARES (ya demostrado)
Es decir si:
mH  mT  1  H
T
perpendiculares
Entonces resumiendo la POSICIÓN de dos rectas en el plano dependen del valor de la Pendiente y de su Coeficiente
de Posición, luego:
 m K  mM  n K  n M
ii) Dos rectas K y M son Paralelas
 m K  mM  n K  n M
iii) Dos rectas K y M son Coincidentes
 m K  mM  n K  n M
mH  mT  1
iv) Dos rectas K y M son Perpendiculares 
i) Dos rectas K y M son Secantes
Ejercicios de aplicación
1) Dadas las ecuaciones de las rectas i)
R : 5 y  4x  1  0
Determinar: a) Sus pendientes b) Coeficiente de posición
y ii)
2
1
N : y x20
5
2
c) Ángulo que forman las rectas con el Eje X
d) Establecer si las rectas R y N son Paralelas, Coincidentes, Perpendiculares o sólo Secantes
Solución: i) La ecuación R : 5 y  4 x  1  0 se expresa en forma principal
a)  m R

4
5
b)  mR

1
5
(intersección con el Eje Y)
4 1
5 y  4 x  1  y   x 
5
5
c) Ángulo obtuso
mR  0
2
1
5
5
N : y  x  2  0  4 y  5x  10  0  4 y  5x  10 y  x 
4
2
5
2
5
b)  m N  
(intersección con el Eje Y) c) Ángulo Agudo mN  0
2
mR  m N Entonces son rectas secantes y si además mR  mN  1 puesto que
Solución: ii) La ecuación
a)  m N

5
4
d) Las pendientes
4 5
   1 Por lo tanto se concluye que son Perpendiculares
5 4
2) Dadas las ecuaciones de las rectas i) L : y  kx  h  0 y ii) F
Determinar el valor de k y h para que las rectas sean coincidentes
: y  3x  2  0
Solución: Expresando cada ecuación en forma principal se tiene:
i)
L : y  kx  h  0  y  kx  h
 m L   k  n L  h
ii)
F : y  3x  2  0  y  3x  2
 mF  3  nF  2
Luego como sabemos las rectas L y F son Coincidentes
Luego
 k  3  k  3
y
 mL  mF  nL  nF
 h  2  h  2
3) Determinar la ecuación principal de la recta T que contenga al punto P(3,3) y que sea paralela a la
recta M de ecuación
M : 4 y  3x  5  0
Solución: Se expresa la ecuación de la recta M en forma Principal
 mM  
3
4
Entonces como sabemos M y T son Paralelas
Entonces la recta T tiene pendiente
y  y1  mT ( x  x1 )
mT  
3
4
y remplazando se tiene
3
9
3
3
 y   x 3 y   x
4
4
4
4
4 y  3x  5  y   3 x  5
4
4
 mM  mT  n M  nT
y contiene al punto
P(3,3) , aplicando fórmula
3
9
3
y  3   ( x  3)  y   x   3
4
4
4
Ecuación pedida
EJERCICIOS PARA RESOLVER
1) Dadas las ecuaciones de las rectas
L : 2x  y  4  0
y
N : y  3x  5  0 Determinar
i) Pendientes y coeficientes de posición de cada recta.
ii) Indicar que sucede entre ellas (Paralelas, secantes, etc)
2) Dada la ecuación de una recta
M : 2x 
3
y 1  0
2
perpendicular a la recta M y que contenga al punto
Determinar la ecuación de otra recta H tal que sea
A(1,0)
3) Dadas las ecuaciones de las rectas R : 2 x  y  4  0 y F : y  3x  5 
Determinar si son secantes y encontrar las coordenadas d su punto de intersección
0
4) Si se sabe que la recta
H
contiene a los puntos del plano
Determinar la ecuación de otra recta
T
A(3,4)  B(2,5) .
que sea paralela y que pase por el origen del sistema.
5) Determinar la ecuación de la recta Simetral (recta que intersecta a un segmento en el punto medio perpendicularmente)
al segmento
6)
Si
PQ del plano, cuyos puntos extremos están dados por P(6,1)  Q(4,5)
se
tienen
la
rectas
del
plano L : (3h  1) x  2 y  4
0
y
L1 :
3
x  (1  h) y  10  0
4
son perpendiculares. Determinar el valor de h
RESPUESTAS:
1) i) Recta
L
ii) Como e
2)
y
mL  2 ; nL  4 y
Recta N : mN  3 ; nN  5
mL  mN  mL  mN  1 Entonces las rectas son SECANTES
:
3
3
x
4
4
0 bién
3x  4 y  3  0
3) Son SECANTES y su punto de intersección es
4)
(9,22)
5x  9 y  0
5)
x  3y 1  0
6)
h  11
LAS CONSULTAS A PARTIR DE AHORA SON EN FORMA PRESENCIAL EN LA PARROQUIA
ITALIA, QUE ESTA EN BUSTAMANTE, FRENTE AL HOSPITAL DEL TRABAJADOR.
EVALUACIÓN
Nota Debes responder los siguientes ítems, que corresponden a los objetivos básicos considerados en la guía de
aprendizaje anterior, justificando adecuadamente cada una de tus respuestas; las cuales debes enviar vía correo
electrónico al profesor correspondiente,(indicando que es plan común)
Nombre……………………….
Curso……………
1) Dadas las ecuaciones de las rectas
L : 6 x  10y  1  0 
Determinar si las rectas
2) Si una recta
R
L  L1
Fecha………………
contiene a los puntos (2,4)
(1,2) del plano .Encontrar la ecuación de otra recta M
R  M sean perpendiculares
3) Dadas las ecuaciones de las rectas T : (2k  3) x  y  2  0
k
3
5
x y 3 0
2
2
son Paralelas
1 2
el punto P
 ,  De tal manera que las rectas
2 3
Calcular el valor de
L1 :
para que las rectas
RM
 T1 : x  (3  k ) y  5  0
sean secantes y no perpendiculares
que pase por
RUBRICA DE LA EVALUACIÓN
(Con estos criterios y puntajes que se indican en el cuadro serán evaluadas tus respuestas)
Desempeño Optimo
Bueno
Regular
Insuficiente
(2 puntos)
(1 punto)
(0 punto)
Determina las pendientes
de
ambas
rectas
correctamente y responde
con
fundamento
que
ambas
rectas
son
paralelas
Determina
las
pendientes de ambas
rectas correctamente sin
embargo no establece la
condición correcta para
que las rectas sean
paralelas
Determina
las
pendientes
de
ambas
rectas
correctamente sin
embargo
,sin
embargo responde
que las rectas no
son paralelas
No determina las
pendientes
correctamente y
no responde lo
solicitado
Realiza
ordenadamente
todos los procedimientos
algebraicos
adecuados
para
determinar
su
respuesta
correcta
y
fundamentada
Determina la ecuación
con los procedimientos
adecuados ,pero sin
embargo no es la
ecuación pedida
Parte
de
su
respuesta
es
correcta pero es
incompleta por lo
cual
no
dada
respuesta
a
lo
solicitado
Todo su proceso
es incorrecto y
por
tanto
su
respuesta
también
Expresa correctamente las
ecuaciones
en
formar
principal y determina sus
pendientes correctamente,
calculando
valor
e
infiriendo la respuesta
correcta
Expresa correctamente
las ecuaciones en formar
principal y determina sus
pendientes
correspondiente,
calculando valor pero
infiriendo erróneamente
la respuesta
Expresa
correctamente las
ecuaciones
en
formar principal y
determina
sus
pendientes
erróneamente ,por
tanto su respuesta
es incorrecta
No
interpreta
adecuadamente
la
información
dada, por tanto
su respuesta es
completamente
incorrecta
Categorías
(3 puntos)
Rectas
Paralelas
conocidas
sus
ecuaciones
generales
Rectas
perpendiculares en
el plano conocidos
algunos elementos
de ellas
Determinar
condiciones para
que dos rectas
sean secantes