probmec2

MECÁNICA Y TERMOLOGÍA.
Primer curso de Química
Profesor: Javier Ruiz del Castillo
Problemas.
2. MECÁNICA ANALÍTICA.
1. En la figura adjunta, AB es un alambre
recto y liso, fijo en el punto A sobre el eje vertical
OA. AB gira alrededor del eje OA con velocidad
angular constante w. Una cuenta de masa m está
constreñida a moverse sobre el alambre.
Determinar la lagrangiano. Escribir las ecuaciones
de Lagrange y el movimiento en cualquier instante.
2. De una polea cuelga una pesa de masa
m1 por un lado y por el otro lado un mono de masa Prob. 1
m2 que trepa con la velocidad v(t) respecto a la
cuerda. Estudiar el movimiento del sistema con las ecuaciones de Lagrange, y por medio de
las ecuaciones de Newton. ¿Es posible que el mono pueda elevar la masa m1 > m2 trepando
suficientemente rápido?
3. Hallar por el método de Lagrange las ecuaciones del movimiento de un péndulo
cuyo punto de suspensión oscila armónicamente en una línea horizontal con amplitud A y
frecuencia .
4. Una partícula de masa m se desliza sin rozamiento desde la parte superior de un
plano inclinado de masa M. A su vez, el plano puede deslizar sin rozamiento sobre la
horizontal, y está en reposo inicialmente.
a) Mediante la formulación newtoniana, encontrar la reacción del plano inclinado
sobre la partícula.
b) Utilizando la formulación lagrangiana, determinar la aceleración de la partícula
respecto al plano inclinado.
Prob. 4
Prob. 5
5. Sea el sistema de la figura. El bloque de masa M puede deslizarse sin
rozamiento sobre la horizontal. La partícula de masa m cuelga del bloque mediante un hilo
inextensible de longitud l y masa despreciable, y debido a la acción de la gravedad oscila en
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Primer curso de Química
Profesor: Javier Ruiz del Castillo
Problemas.
el plano de la figura. Utilizando formulación lagrangiana y newtoniana, escribir las
ecuaciones del movimiento. Acción del plano horizontal sobre el bloque y la tensión del
hilo. Constantes del movimiento, indicando el motivo de su conservación.
6. Dos partículas de masas M y m están unidas por un hilo inextensible de masa
despreciable y longitud l. La partícula de masa m puede deslizar sin rozamiento sobre una
curva de ecuación y = x2/2 con el eje de ordenadas en la dirección vertical ascendente. La
otra partícula puede oscilar en el plano vertical que contiene la curva. Teniendo en cuenta
que todo el sistema está sometido a la acción de la fuerza gravitatoria, se pide: Determinar
las relaciones que hay entre las seis coordenadas de las dos partículas (es decir, las
ligaduras). Dígase los grados de libertad del sistema. Mediante la formulación lagrangiana,
calcular: las ecuaciones del movimiento; una constante del movimiento, indicando las
razones de su conservación. Mediante la
formulación newtoniana, calcular: Las ecuaciones
del movimiento. La tensión del hilo y la reacción
de la curva sobre la partícula de masa m.
Prob. 7
Prob. 8. Proyecto 1.
7. En un sistema como el de la figura,
una masa m = 10 Kg cuelga de una cuerda que
pasa por una polea A sin masa y por otra B de
masa M = 18 Kg, y radio R = 20 cm.
Determinar el movimiento del sistema. Calcular
la aceleración del centro de la polea B.
Prob. 8. Proyecto 2.
8. El Parque de Atracciones de Madrid quiere instalar un nuevo gran columpio tipo
galeón, para lo que convoca un concurso. Se presentan dos proyectos. En el proyecto 1, un
vagón cuelga de dos puntos fijos A y B, mediante dos barras rígidas paralelas AC y BD que
están articuladas en los puntos A, B, C y D (pueden girar libremente alrededor de ellos). En
el proyecto 2, el vagón cuelga del punto fijo O mediante la barra OE articulada en O, y
unida rígidamente al vagón. En los dos casos, el vagón oscila alrededor de la posición de
equilibrio. Los responsables del parque no saben por cual decidirse. Para ayudarlos, se pide
calcular en cada uno de los proyectos, el período de las oscilaciones pequeñas del columpio.
Datos. La longitud de las barras AC, BD, y OE es l, y el vagón se puede considerar como
un paralelepípedo de altura 2a, con masa M, coincidiendo su centro de masas G con su
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Profesor: Javier Ruiz del Castillo
Problemas.
centro geométrico y siendo el momento de inercia alrededor de un eje que pasa por G y es
perpendicular al plano de movimiento igual a I. Despreciar la masa de las barras AC, BD, y
OE. Datos: a = 1 m. l = 3 m. M = 3000 kg. I = 6000 kgm2.
9. Estudiar el movimiento de bajada por un plano inclinado de una esfera maciza,
una hueca, un cilindro macizo y uno hueco, todos ellos homogéneos con radio R y masa M.
Estudiar el movimiento de un cono homogéneo y macizo cuya base rueda en un plano, y
cuyo vértice está fijo a una altura sobre el plano igual al radio, de modo que su eje es
paralelo al plano.
10. Un disco no homogéneo de masa m y radio R está obligado a moverse en un
plano vertical fijo, sobre una superficie horizontal en el campo gravitatorio terrestre. El
centro de gravedad está en un punto situado a una distancia del centro geométrico. Se
supone que el disco rueda, sin deslizar. Se pide: Las coordenadas generalizadas que
describen el movimiento. Las energías cinética y potencial, las ecuaciones del movimiento,
las fuerzas que actúan sobre el disco. Las configuraciones de equilibrio. Período de las
pequeñas oscilaciones alrededor de las configuraciones de equilibrio estable. Si en el
instante t = 0, la velocidad angular del disco es w0 (ortogonal al plano del disco), y el centro
de gravedad está en la posición más próxima a la superficie horizontal, calcular la velocidad
del centro de gravedad. (Momento de inercia del disco respecto de un eje ortogonal a su
plano y que pasa por su centro geométrico = I0).
11. Dos barras homogéneas e iguales, de masa M y longitud L están unidas por
dos hilos de longitud a que unen sus extremos. Las dos barras se mueven en el mismo plano
vertical. Una de ellas gira en torno a su punto medio, que es fijo. Determinar el movimiento
del sistema, mediante las ecuaciones de Lagrange y mediante las de Hamilton.
12. El extremo A de una varilla AB de masa M y longitud 2L desliza sobre una
recta vertical; el extremo B se mueve sobre un plano horizontal. Escribir las ecuaciones del
movimiento.
13. Determinar la ecuación de movimiento, por métodos lagrangianos, de los
siguientes sistemas:
a) Una pequeña esfera deslizándose sin rozamiento en un alambre liso en forma de
cicloide.
b) Péndulo simple.
c) Péndulo compuesto:
Prob. 13 c)
Prob. 13 d)
Prob. 13 e)