EL MÉTODO AXIOMÁTICO

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EL MÉTODO AXIOMÁTICO
INTRODUCCIÓN
Uno de los aspectos fundamentales en cualquier interpretación rigurosa de la realidad es
la coherencia interna de la explicación. Es conveniente atender a este aspecto con toda
la claridad que sea posible. La lógica se ocupa del estudio de las formas correctas de
pensar y sirve, por tanto, no sólo para comprobar la validez formal de los argumentos,
sino que permite también la elaboración formalmente rigurosa de las explicaciones
teóricas.
En la medida en que las ciencias procuran interpretar la realidad física sin depender
excesivamente de implícitos no controlables, y en que la realidad que estudian es
compleja y difícil de comprender intelectualmente; necesitan aumentar el control sobre
las propias formulaciones teóricas. Este dominio debe ejercerse en dos campos
principales: el significado estricto de las nociones que emplea, y la validez formal de
las teorías y leyes en que las ordena.
El método que permite dar cumplimiento a estas necesidades es el de la
axiomatización. Es aplicable en toda su pureza en las llamadas ciencias formales:
lógica y matemáticas, pero proporciona grandes ventajas en la física, y sigue siendo el
ideal en otras ramas del saber.
No es posible alcanzar un control objetivo absoluto acerca del saber: tenerlo todo
explicitado sin presupuestos. No cabe alcanzar un dominio total de la objetividad.
Pero sí merece la pena que lo objetivable se exprese del modo más claro y formalmente
riguroso que pueda alcanzarse, conscientes de las limitaciones inherentes al intento y de
la necesidad de presupuestos no sistematizables para que el conocimiento pueda
cumplirse.
El conocimiento humano puede dividirse en inmediato i mediato. Todo posible
conocimiento debe alcanzarse desde aquel que ya se posee, y el modo de poseer con
claridad objetiva lo que se sabe se apoya en la posibilidad de expresarlo mediante
enunciados con sentido.
Así pues, lo que se desconoce directamente habrá de poderse concluir desde los
enunciados conocidos, con la ayuda de una regla que nos permita comprender su
validez. El proceso avanza desde las premisas hacia la conclusión, según las reglas
válidas de la demostración.
SISTEMAS AXIOMÁTICOS
La idea de axiomatizar un campo del saber está presente en Aristóteles, y la matemática,
gracias a Euclides, es el primer saber que se organiza de este modo. Los modernos
intentaron extender el procedimiento a otros campos, y la lógica y la física se
axiomatizan. El interés por la axiomatización ha crecido en la época contemporánea.
Axioma procede de Axiou "valor positivo", "reconocimiento de la validez". Indica un
Principio – en forma de proposición- para otros enunciados que se deducen de él.
Antiguamente se consideraba que los axiomas debían ser enunciados evidentes, seguros
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y con prioridad ontológica, modernamente se han variado estas exigencias. Un sistema
axiomático, pues, contiene dos clases de enunciados: los axiomas, y los enunciados
deducidos de ellos.
En la axiomatización se acomete por separado la sistematización de los significados
(expresiones) y la de la formalidad estructural (enunciados). El primer orden es el de las
nociones y su definición, el segundo el de la “gramática” que concreta las formas
correctas de relacionar los términos.
Modernamente se exigen estas condiciones para un sistema axiomático:
1. Constituido por un sistema formalizado de signos, cuyo significado o
interpretación no forma parte del sistema. La formalización permite deducir de
modo mecánico –cálculo- sin necesidad de “interpretar” los signos, sino apoyándose
en las reglas.
2. Los axiomas se definen exclusivamente por no ser deducibles en el sistema, no por
su evidencia.
3. Los axiomas son leyes y las reglas son indicaciones acerca de cómo proceder.
4. Con el formalismo y la distinción entre leyes y reglas, no se habla de deductibilidad
si no es en el seno del un determinado sistema.
5. Junto con el sistema de los enunciados se formula el sistema de las expresiones con
sentido.
En la construcción de un sistema axiomático de enunciados se procede así:
1. Se eligen los enunciados que valen como axiomas y se incorporan sin demostración.
2. Se establecen unas reglas que, con los axiomas, determinan el sistema
completamente.
3. Se deducen nuevos enunciados según las reglas, indicando en cada caso qué
axiomas, reglas o enunciados ya deducidos se emplean.
En un sistema axiomático, los axiomas y los enunciados deducidos pertenecen al
lenguaje objeto, mientras que las reglas pertenecen al metalenguaje -el que se refiere
al del sistema-. El lenguaje del sistema suele estar formalizado –sin significado-,
mientras que el metalenguaje debe tener sentido, ya que de lo contrario no se sabría
cómo emplear las reglas. Así pues, ningún sistema está completamente formalizado. Se
dice que lo está, de todos modos, si todo, excepto las reglas, está formalñizado en él.
Los requisitos indispensables de un sistema axiomático son:
1. Que esté libre de contradicción, y que incluya la prueba de que no puede darse en él.
Se ha demostrado que de cualquier contradicción se puede deducir cualquier cosa,
con lo cual el sistema deja de tener sentido: no habría diferencia entre lo verdadero y
lo falso.
2. El sistema debe ser completo: que puedan deducirse de los axiomas todos los
teoremas válidos en el sistema.
3. Los axiomas deben ser independientes entre sí: no deducibles entre ellos.
4. La formalización rigurosa solamente la exigen los lógicos matemáticos. Otros no la
reclaman y emplean incluso la inducción.
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El sistema axiomático de las expresiones, o sistema constitutivo. Se forma de modo
semejante:
1. Se establece la clase de las expresiones fundamentales y se incorporan sin
definición.
2. Se señalan las reglas para la introducción de nuevas expresiones en el sistema. Éstas
se dividen en reglas de definición, para las nuevas expresiones simples (atómicas), y
las de formación, para las expresiones combinadas (moleculares). Se indica de qué
expresiones válidas y con qué reglas se forman.
3. Antes de expresar qué enunciados son válidos, debe aclararse qué expresiones lo
son.
CONSTRUCCIÓN DE UN SISTEMA AXIOMÁTICO EN LAS CIENCIAS
Las teorías científicas deben ser consistentes y expresadas del modo más riguroso
posible. Formularlas de modo axiomatizado ofrece muchas ventajas, ya que permite
analizar con detalle su coherencia interna, permite deducir con mayor facilidad leyes o
situaciones no conocidas experimentalmente y permite apoyar la investigación teórica
en el rigor de la lógica y no en la intuición o el sentido común, que se quedan cortos
ante la extraordinaria complejidad de las teorías actuales.
La axiomatización es un aspecto de los métodos de la ciencia, que debe complementarse
con otros. Su función es, sobre todo, la de permitir la formulación madura de las teorías:
presentarlas de modo completo en cuanto a los principios y líneas generales, y permitir
la inserción progresiva de nuevas leyes y fenómenos investigados.
Para la elaboración sistemas axiomáticos en las ciencias, pueden seguirse dos
procedimientos:
1. Establecer los axiomas propios del dominio del que se trata, acompañados entonces
de numerosas reglas tomadas de la lógica.
2. Establecer axiomas del dominio propio, junto a algunas leyes lógicas y a
determinadas reglas de conclusión, que suelen ser entonces pocas.
La ciencia de la naturaleza que más emplea el método axiomático es la física. Como las
ciencias de la naturaleza no son meramente formales, sino que deben conectar con el
sentido observable en la experiencia, en ellas es preciso axiomatizar, tanto la estructura
formal de los enunciados, como el significado de los términos que se admiten como
teniendo sentido.
El problema con que se encuentran las ciencias para esta elaboración sistemática radica
en la existencia de una diversidad notable de sistemas lógicos. Esta dificultad puede
llevar a un relativismo difícilmente superable. De todos modos, los sistemas que
contienen sentido eidético siguen las condiciones de la lógica clásica, así como las
reglas metalógicas, que siempre están dotadas de sentido y siguen también la lógica
clásica. Las contradicciones que parece haber entre diversos sistemas obedecen,
además, a la diferente definición de los símbolos en cada uno, más que en una auténtica
contradicción.