Guia de Matemáticas 1ro. Medio - Liceo Tecnológico Enrique Kirberg

LICEO TECNOLÓGICO ENRIQUE KIRBERG BALTIANSKY
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 2015 PRIMERO MEDIO
PROFESORA INGRID GALLARDO RIFFO
Guía de Trabajo Primero Medio 2015
Unidad n° 2: Álgebra:
1. Lenguaje algebraico: Se basa en el uso de letras y relaciones matemáticas para generalizar
diferentes situaciones.
Ejemplo: el perímetro P de un cuadrado de lado a
P= 4*a
Cada una de las letras involucradas en la fórmula anterior es una variable, donde se puede
asignar diferentes valores.
Una variable es cualquier letra involucrada en una expresión algebraica. Expresemos
algunas:
a) El doble de un número
2m, 2x, 2b
b) La mitad de un número
a/2, p/2, z/2
c) El cuadrado de un número
a2, x2, m2
Hay oraciones para expresar en lenguaje algebraico, donde utilizamos variables, como por
ejemplo:
a) El triple de la cuarta parte del cuadrado de b
 b2
3* 
 4



Ejercicios n°1: Expresa en el lenguaje algebraico las siguientes oraciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
La suma de a y b
La diferencia de m y n
El producto entre un número y su sucesor
El triple de a, aumentado en el doble de b
El doble del cuociente entre a y b
La diferencia entre el cubo de x y el cuadrado de y
2. Valorización de Expresiones Algebraicas: Las expresiones algebraicas sabemos que no
representan valores en sí, sino que pueden ser evaluadas para distintos valores que se les
asignen a las letras que las componen.
Ejemplo: Si tenemos la expresión a2*b, reemplazamos con los valores a= 2 y b=5
Reemplazamos los valores, nos queda 22*5= 4*5= 20
Ejercicios n°2: Si m= -2 y n= 3, determine el valor de:
a) 2m-3n
b) M-m2-2n
c) 1+m
d) (m+n)(m-n)
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3. Término Algebraico: es un conjunto de números y letras que se relacionan entre sí por
medio de la multiplicación y/o división.
TÉRMINO ALGEBRAICO
Consta de:
a) grado
b) coeficiente numérico
c) factor literal
Ejemplo:
-3 a4
Factor literal
Coeficiente numérico
GRADO DE UN TÉRMINO
Es la suma de los exponentes del factor literal
Ejemplo:
En el término 3x3 tiene grado 3 (por el exponente de x)
En el término 4x2y3 tiene grado 2 (2 + 3, la suma de los exponentes)
GRADO DE UNA EXPRESIÓN
Es el grado mayor de sus distintos términos.
Ejemplo:
En la expresión 3x3 + 5y5 tiene grado 5 (por el grado del segundo término)
En el término 4x2y3 – 4b3y2z7 tiene grado 12 (por el grado del segundo término)
Ejercicios n°3: DETERMINA EN LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS LOS DATOS QUE ESTAN EN
LA SIGUIENTE TABLA:
Expresión algebraica
Coeficiente numérico
-8x2y
7a 2
3
-25
3 4 2
a b
4
0,3ab5
-mc2
4. EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Factor literal
Grado de la
expresión
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Es toda combinación de números y letras ligados por los signos de las operaciones
aritméticas.
De acuerdo al número de términos puede ser:
MONOMIO: tiene uno término
Ej. 5 x2yz4;
BINOMIO: tiene dos términos
Ej. 7 xy  y5
TRINOMIO: tiene tres términos
Ej. x2 + 3x - 5
x2  y2
ab
; p+q
POLINOMIO O MULTINOMIO: tiene varios términos Ej. Inventa uno_____________
Ejercicios n°4: CLASIFICA LAS SIGUIENTES EXPRESIONES ALGEBRAICAS SEGÚN LOS
TERMINOS QUE TENGAN EN MONOMIO, BINOMIO, TRINOMIO O POLINOMIO:
a) 7x2y + xy_______________
b) -3 + 4x – 7x2 _____________
c) -2xy__________________
d) vt +
1 2
at ______________
2
e) 7m2n – 6mn2 +mn-m4n_____________
f) x2 + 8x + 5__________________
5. Reducción de Términos Semejantes: Se llaman términos semejantes aquellos que tienen el
mismo factor literal y por consiguiente el mismo grado; solo pueden diferir en el coeficiente
numérico.
Por ejemplo: 3ab con 2ab
3b con b
3a2b con 8 a2b
Ejercicios n°5: En caso encierra en un círculo las parejas de términos semejantes:
a) 5ab 3a2b 7ac 2ab
b) 0,5a 0,3a2 -0,6a 2,8b3
c) 9xy 1/4x2y 16xy2 1/7x2y
d) –bx4
x3a
x4b
x4b2
Ejercicios n°6: Si tenemos los siguientes polígonos, encuentra el perímetro de cada uno, dejando en
una sola expresión reduciendo términos semejantes.
a)
c)
2ab
5q-3p
2p
2ab
p-q
b)
3y-1
y
x+y
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Ejercicios n°7: Reduce los términos semejantes en cada uno:
a) 3ab – b + 2ab + 3b
b) 3a2b – 8 a2b – 7a2b + 3a2b
c) ab2 – b2a + 3ab2
d)
e) –(a+b-c)-(-a-b+c)+( a-b+c)
3
4
5
7
a b a b
2
5
4
10
2
f)  b 
2
1
1
b  b2  b
7
5
14
g) 3x+2y-{2x-[3x-(2y-3x)-2x]-y}
6. Multiplicación Algebraica: Para poder multiplicar se necesitan las propiedades de las
potencias, recordando son:
a0 = 1
a * am = an + m
(an)m = an*m
n
 Multiplicación de Monomios: Escribimos 5x3 y -4x6
Luego aplicando la propiedad de la asociatividad y conmutativa de la multiplicación
de los coeficiente numérico y los factores literales entre sí.
5*-4 * x3*x6 = -20*x3+6 = -20*x9
 Multiplicación de Monomio por Polinomio: Si tenemos 2x4 y 5x3- 3x2+4x+5
Luego aplicando la propiedad de la distributividad de la multiplicación respecto a la
adición en los reales, tenemos:
2x4 * 5x3 - 2x4 * 3x2 + 2x4 *4x + 2x4 * 5 = 10x7 -6x6 +8x5 + 10x4
 Multiplicación de Polinomios: Si consideramos, 3x + 5 y 2x2+4x – 7
Luego, aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la
adición en los reales, sucesivamente a cada término del polinomio:
3x* 2x2 + 3x* 4x - 3x*7 + 5* 2x2 + 5*4x – 5*7
6x3 +12x2 – 21x + 10x2 + 20x – 35 = 6x3 + 22x2 – x – 35
Ejercicios n°8: Calcula los siguientes productos:
a) p*(q + r)
b) a2 * (a2 – a)
c) 3b5*(b4-6ab3- 8b)
d) (x + y)(l + m)
e) (a – b - c)(x + y - z)
f) (x3 - 3x2 +1)(x+4)
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Ejercicios n°9: si uno de los lados de un cuadrado se aumenta en 3 cm y el otro en 4 cm,
¿Qué expresión algebraica representa el área de este rectángulo?
Ejercicio n°10: En cada caso, expresa algebraicamente el área de cada figura:
a)
a
b
c
c)
x+y+z
a
x+y
b)
a
d)
b
5m
3n
a
b
3m
7. Productos Notables: Son aquellos cuyos factores cumplen ciertas características que
permiten que su resultado pueda ser escrito simplemente, sin estar realizando todos los
pasos de la multiplicación.
Fórmulas para aplicar:
 Cuadrado de binomio: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 y (a - b)2 = a2 – 2ab + b2
 Suma por su diferencia: (a + b)(a - b) = a2 – b2
 Término común : (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)*x + a*b
(x + a)(x - b) = x2 + (a - b)*x - a*b
 Cubo de binomio: (a + b)3 = (a + b) (a + b) (a + b), este producto notable lo
resolvemos mediante la propiedad de la distributividad y reduciendo los términos
semejantes.
Ejercicios n° 11: Desarrolla los siguientes cuadrados de binomio:
a) (a + m)2
b) (3a – 2b)2
c) (5x2 + 3y)2
Ejercicios n°12: Interpreta geométricamente la expresión (x - 2)2
Ejercicios n°13: Resuelve las sumas por su diferencia:
a) (x + m)(x - m)
b) (3p – 5r)(3p + 5r)
c) (2q2 + 1)(2q2 - 1)
d) (k3 – 6h) (k3 + 6h)
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Ejercicios n°14: Resuelve el problema: Felipe está en la siguiente disyuntiva: quiere
construir una casa a su mascota de base cuadrada y le han propuesto cambiar su forma a
rectangular, de manera tal que el largo del rectángulo sea la medida del lado del cuadrado
más h metros y el ancho es el lado del cuadrado menos h metros. ¿Qué expresión
algebraica representa el área de este rectángulo?
Ejercicios n°15: Resuelve los siguientes productos con el término en común:
a) 48*42
b) (x + 4)(x + 6)
c) 19*16
d) (2m + 3)(2m - 5)
Ejercicios n°16: Para cada figura geométrica, expresa algebraicamente el área de cada una
de ellas:
a)
X
4
b)
m
2
X
m
6
7
Ejercicios n°17: Calcula los productos de los cubo de binomio aplicando la propiedad de la
distributividad:
a)
b)
c)
d)
(4m + 1)3
(x – 2y)3
(a + 8h)3
(2k2 - nm)3
Ejercicios n°18. Calcula el volumen de un cubo con arista (a – 5)3
Ejercicios n°19: Resuelve los siguientes problemas:
a) Un terreno de forma cuadrada mide a metros por lado. Debido a un nuevo loteo,
aumento su frente en d metros y disminuyo en b metros su fondo. Determina la
nueva área del terreno.
b) Un terreno cuadrado de b metros de lado, se transforma en forma rectangular,
aumentando el frente en c metros y disminuyendo el fondo en la misma longitud.
Determina su nueva área.