GUIA DE A L G E B R A

GUIA DE A L G E B R A
SEGUNDA FASE
Q.F.B. CLAUDIA RAYON ENRIQUEZ
M. en C. LORENZO CONTRERAS GARDUÑO
Ing. JUAN MANUEL GOMEZ TAGLE FDEZ. DE C.
Noviembre - 2009
1
PROBLEMARIO DE ALGEBRA I
SEGUNDA FASE
Instrucciones. Realiza las siguientes operaciones, simplifica y
ordena tu resultado por grado:
Adición y Sustracción de polinomios.
1) (3x 2  2 xy  y 2 )  (5x 2  7 xy  7 y 2 ) 
2) ( x 3  3x 2  2x)  (5x 3  3x 2  3) 
3) (5x 3  1)  ( x 2  2 x)  ( x 3  2 x 2  x) 
4) ( x 3 y  2 x)  ( xy 3  7 x)  ( x 3 y 3  5x) 
5) 2( x 3  2x 2  4 y)  7( x 3  5x 2  2 y  1) 
Multiplicación y División de polinomios.
1) 7 xy( x 2  3xy  2x  y 2 
2)
3)
1
2
x 2 (3x 3  23 x 2  12 x  8) 
(2 x  5)(7 x  4) 
4) (3x  2)(x 2  2 x  4) 
5) (2 x  3 y)(x  5xy  2 y) 
División de polinomios. Efectúa las siguientes divisiones y resalta el
cociente.
1) (12x 4  15x 3  9x 2 )  3x 2
2) (12x 2 y  20x 5 y 4  8x 4 y 3  x 3 y 3 )  2x 2 y
3) (2 x 2  3x  5)  ( x  1)
4) (3x  2 x  10)  (3x  2)
5) (4x 3  2x 2 y  3xy 2  y 3 )  ( x  y)
6) (8x 3  27)  (2x  3)
2
Productos notables. Primero escriba el producto notable a utilizar y
después efectúe la aplicación del mismo.
1) (3x  2 y) 2 
2) (2a  14 ) 2 
3) (2 x 2  3x) 2 
4) (3x  12 )3 
5) (2x  13 )3 
6) (3x 2  2 x)3 
7) (2 x  3 y  1) 2 
8) (4 x  2)(4 x  2)
9) (5x  1)(25x 2  5x  1)
10) (2x  12 )(4x 2  x  14 )
11) ( x  3)(x  6)
12) (5 x  2)(x  1) 
13) ( 12 a  13 b)( 12 a  13 b) 
14)
( 23x  32y )2 
15) (5  5 ) 2 
16) (2a  7b)(4a 2  14ab  49b2 ) 
17) (9 y 2  3 y  1)(1  3 y) 
18) (2x  12 )3 
19) (7 x  1)(2 x  4) 
20) (2 x  3)(x  5) 
3
Factorice los siguientes polinomios. Factoriza los siguientes
polinomios y comprueba tu resultado, multiplicando.
1)
x 2  x  12
2) 12x 2  19x  4
3)
x 2  121
4)
x 2  6x  9
5) 1  27x 3 y 6
6) 64y 2  49
7) 12x 2  26x  10
8)
x 3  2 x 2  3x  6
9)
x 3  6 x 2  12x  8
10) y 9 
1
y3
11) 4x 2  4xy  y 2
12) 3x 2 y  6xy 2  9 xy
13) x12  64
14) 6 x 2  2 x
15) x 2  9 x  8
16) 2ab  3b  4a  6
17) 4 x 2  15
18) x 3  9 x 2  27x  27
19) x 3  2 x 2  x  2
20) 6 x 2  13x  6
4
21) 9a 2  24ab  16b 2
x 3 x 2 3x


22)
4
2
8
23) 8x 3  125y 3
24) xy  x  y  1
25) 16x 4  81
Operaciones con expresiones algebraicas racionales.
Realice las siguientes operaciones con expresiones algebraicas racionales
enteras y simplifique.
1)
5
x5


x 1 x 1
2)
3
x


x2 x2
3)
4
x

x 1 x 1
4)
5x
4

2 x  3 3x  1
5)
6x  2
1
 2
x
x 1
6)
2x
3
4


x 4 x2 x2
7)
3x  6
2x


x  4x  4 x  2
2
2
 3x 2   x  2 

2

 x  4  2x 
8) 
 x   2 x  2   x  1
9) 

2
 x  1  1  x   x 
5
a 2  2a a 2  a


10)
a3
a 1
11)
x3 x3


x2 x2
12)
x2  9x  8 x  8


x 1
2x
13)
x3  8 x 2  4


x2
x2
 2 x 2  18   x 2  6 x  9 
  
 
2
2
 x  8 x  15   3x  75 
14) 
 4 x  6  x  1



 3  x  2  x  1
15) 
1
x 1
 2x

16)
3
x 1
1
x
17) 3
x
 2x

x
4
18)
1
1

1
1
1
1
1
1
2
1
19) x 
1
1
1

1
1 x
6
Ecuaciones de primer grado y sistemas de ecuaciones lineales con
dos y tres incógnitas.
1) Situación por resolver. Dos tanques de almacenamiento de agua potable
de forma cilíndrica con las mismas dimensiones; el tanque 1 está lleno
hasta una altura de 1.2 metros y se está vaciando a una velocidad de 5 cm
por minuto, mientras que el tanque 2 está lleno hasta una altura de 30 cm
y se está llenando con una velocidad de 20 cm por minuto. ¿Cuál es la
altura en la que los tanques tienen el mismo nivel de agua? Y ¿en qué
momento se presenta?
Completa la siguiente tabla y responde a las preguntas:
¿Con qué variable representas al tiempo? _________
¿Cuál es la representación algebraica que describe cómo varía la altura del
tanque 1? __________________________________________________
¿Cuál es la representación algebraica que describe cómo varía la altura del
tanque 2? __________________________________________________
Tiempo
en minutos.
Expresión
Expresión
Comparación de
algebraica para algebraica para las alturas
el tanque 1:
el tanque 2:
¿En cuánto tiempo los niveles de los tanques se igualan? _____________
¿A qué altura los niveles de ambos tanques son iguales? _____________
2.
Justifica
cada
paso
empleado
para
resolver
la
igualdad
5x  3
 3 x  13 usando las propiedades de la igualdad y de los números
4
reales.
5x  3
 3 x  13
4
 5x  3 
Entonces: 
 4  (3x  13) 4 _____________________________
 4 
Si:
5 x  3  12 x  52 : _______________________________
5x  3  52  12x  52  52: ___________________________
5 x  49  12 x : ___________________________________
7
5 x  49  5 x  12 x  5 x : ______________________________
49  7 x : ____________________________________
49 7 x

: ____________________________________
7
7
7  x : ______________________________________
¿Si la igualdad 7  x la cambias por x  7 , cambia de significado? ____
¿Qué propiedad se involucra en este cambio? _______________________
Comprueba que la solución es correcta:
Un almacén de ropa tiene venta de liquidación, y anuncia que
todos los precios tienen 20% de descuento. Si el precio de oferta de
una camisa es de $280. ¿Cuál es su precio normal?
9.
10. Un almacén de ropa tiene venta de liquidación, y anuncia que
todos los precios tienen 30% de descuento. Si el precio de oferta de
un pantalón es de $320. ¿Cuál es su precio normal?
3. Desigualdades de primer grado con una incógnita.
Represente en forma de desigualdad y gráficamente los siguientes
intervalos.
20)  3,7
21) (4,2

22)  1,
23)  ,5
24) 6,10
Represente mediante paréntesis y gráficamente los siguientes intervalos.
25)  2  x  7
8
26)  4  x  6
27) x 
1
2
28) x  4
29)  2  x  5
DESIGUALDADES
Resuelve las siguientes desigualdades e interprete geométricamente la
solución.
a) 7 x  3x  3
b) 5 x  6  2 x  8
c) 3( x  4)  4  (3x  1)
d) 2(3x  6)  4( x  5)
e) 4 
2x 4x

8
3
5
Problemas de planteo de desigualdades de una variable con una
incógnita.
Con el enunciado del problema moldea una desigualdad de primer grado y
representa la solución como intervalo y gráficamente.
1) Pienso un número que sumado a 12 resulta un número menor que
55, ¿qué números satisfacen esta condición?
2) Clara obtuvo 5.3 en su primer parcial, ¿cuál debe ser su
calificación en el 2º examen si éste representa el 70% de la
calificación y sólo tiene 8.0 del 30% de escala? De tal manera que
logre un promedio mayor que 7.0
3) Javier pesa 25 kg menos que su tío Isaac, si la suma de los pesos
es menor de 160 kg, ¿cuánto pesa Javier?
4) Si el triple de la edad de Nohemí se disminuye en 5, el resultado
es menor que 53. ¿Qué puede concluirse sobre la edad de
Nohemí?
9
5) Las edades de Diana, Isabel, Nely y Vanessa son números
consecutivos cuya suma no es mayor de 62. ¿cuáles son las
edades de estas cuatro jovencitas?
Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con 2 incógnitas y
comprueba la solución en ambas ecuaciones.
2 x  3 y  14
 x  6y  2
a) 
x  2  y
y  x  6
b) 
a  5
 b  3
c) 
 3b  6
 a
d) Encuentra dos números reales distintos cuya suma es 35, tales que la
tercera parte del mayor es igual a la mitad del menor.
e) El papá de Emmanuel va a invertir $40,000 en dos cuentas, y obtener un
rendimiento de $2,156. En una cuenta piensa invertir una parte del
dinero a un plazo fijo de 7% anual; y el resto en una cuenta de ahorro
con disponibilidad inmediata a una tasa de interés de 4.2%. ¿Qué
cantidad invierte en cada cuenta?
f) En salón hay 70 alumnos; el doble del número de mujeres es igual al número
de hombres más 5. ¿Cuantos hombres y cuantas mujeres hay?
ECUACIONES CUADRÁTICAS
Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas por factorización, por el
método gráfico y por fórmula general.
a) x 2  5x  4  0
b) 2 x 2  6 x  20  0
c)
x 2  7 x  12  0
d) 2n 
e)
1 99

2n 10
3
4

2
x3 x4
10