Operatoria con Fracciones Algebraicas

Guía de Algebra
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Fracción algebraicas: es toda expresión de la forma
p( x)
, donde p(x), q(x)  P(x); q(x) 
q( x)
0.
El polinomio p(x) es el numerador y q(x) el denominador de la fracción algebraica
Ejemplos:
x5
( x  3)
x3
2 x  3y
(c )
7
( a)
8 
3
x   
2x  3 
2
3x  4
(d) 2
( x  4, x   2)
x  2x  8
(b)
Simplificación de expresiones algebraicas
Una fracción algebraica es reductible (se puede simplificar) si su numerador y su
denominador se pueden dividir por un mismo factor.
Ejemplos
Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:
24a 3 b 3 8a 2  3ab 3 8a 2
 2

21ab 5
7b  3ab 3 7b 2
5x  10y
(b)
2x  4y
(a)
Observa que al factorizar el numerador y denominador de esta fracción, descubrimos que
tienen un factor común que es (x – 2y), entonces:
5x  10y 5( x  2y ) 5


2x  4y 2( x  2y ) 2
(c)
x 2  7x  12
x 2  16
Observa que podemos factorizar el numerador y denominador de la fracción dada, ya que:
x 2  7 x  12  ( x  4)( x  3)
x 2  16  ( x  4)( x  4)
Luego:
x 2  7x  12 ( x  4)(x  3) x  3


( x  4)(x  4) x  4
x 2  16
x3  1
(d) 2
x  x 1
Podemos además factorizar el numerador de la fracción, dado que: x3 – 1 =(x – 1)(x2 + x
+1)
Entonces:
x3  1
( x  1)(x 2  x  1)

 x 1
x2  x  1
( x 2  x  1)
Ejercicios
Simplifica cada una de las siguientes fracciones algebraicas
15a 3 b 2
(1)
20ab 4
121a 4 c 5 d 7
(3)
11ac 5 d 8
42
(5)
18a  24b
27m  36n
(7)
36m  48n
a 2  2ab  b 2
3a  3b
2
x  5x  6
(11)
x 2  2x
3x 2  27x  42
(13)
5x 2  15x  140
m 4 n  m2n3
(15) 3
m n  m2n2
8p 3 q 2 4
(9)
(17)
16p q 
2 2 3
16a 2  56ab  32b 2
2a 2  5ab  3b 2
5am2 x  5an2 x
(21)
5am2 x  10amnx  5an2 x
m3  n3
(23)
5m 2  5mn  5n2
2x a  4 x b
(25)
3y a  6y b
(19)
( x  1) 3 ( x  5) 4
(27) 2
x ( x  5) 3 ( x  1) 2
7mn4 p 5
(2)
21m 3 np 7
8a  16b
(4)
24
14x  21y
(6)
50x  75y
x2  x
(8)
x y x
m2  n2
(10) 2
m  2mn  n 2
a3  b3
(12) 2
a  b2
4p  2q
(14)
2
8p  8pq  2q 2
(16)
(18)
(20)
x 3  3x 2  10x
x 3  4x 2  4x
12mn3 3
18m n
2
4
ac  ad  bc  bd
2c  3bc  2d  3bd
x4 1
3x 2  3
16x 2 y  25y
(24)
4x 2 y  3x y  10y
(22)
x( x  3) 2 ( x  1)
(26) 2
x ( x  5) 3 ( x  1) 2
a 2  ab
(28) 4
a  a 2b 2
Amplificación de fracciones
Toda fracción algebraica se puede amplificar, multiplicando el numerador y el
denominador por un mismo factor. La fracción obtenida es equivalente
Ejemplos:
(a) Amplificada por 2, la fracción
x3
( x  3)  2 2x  6
es

x2
( x  2)  2 2x  4
5a  8b
(5a  8b)  3am 15a 2 m  24abm
(b) Amplificada por 3am la fracción
, resulta :

7m  2n
(7m  2n)  3am 21am2  6amn
(c) Si se desea convertir el denominador de la fracción
debemos amplificar por 3mn
8x
en un cuadrado perfecto,
3mn
8x 3mn 24mnx


3mn 3mn 9m 2 n 2
ab
deseamos convertir el numerador en un cuadrado perfecto,
ab
(a  b) (a  b) (a  b) 2
debemos amplificar la fracción por (a + b).


(a  b) (a  b) a 2  b 2
(d) Si en la fracción
Ejercicios:
Completa el cuadro
Fracción
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
2xy
3ab
6ab
7mn
a  3b
7a 2 b
17mn
9a 3
x4
x7
Amplificada por
5x2y3
Fracción Equivalente
8a2m3n
3a 2 b 3  9ab 4
21a 3 b 4
102amn
54a 4
x 2  11x  28
Mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas
Un polinomio p(x) es el mínimo (m.c.m.) de un conjunto de polinomios dados, si p(x) es el
polinomio de menor grado divisible por cada uno de los polinomios del conjunto.
Para encontrar el m.c.m. debemos, en primer lugar, factorizar cada uno de los polinomios
en sus factores primos y luego obtener el producto de los distintos factores primos,
eligiendo en cada caso el de mayor exponente.
Ejemplos.
Polinomios
factores
m.c.m.
9x y
3 x y
22  32 x 5y 4
6x y4
23 x  y4
36x 5 y 4
12x 5 y
22  3  x 5  y
( x  2)( x  3)
2
2
x 2  5x  6
x 2  6x  9
x 2  3x  2
x2
ab
3b  3a
a2  b2

5a  5b
6 x 3  6y 3
2
( x  3) 2
( x  2)( x  1)
( x  2)
( 1)  (b  a)
3  (b  a)
( 1)  (b  a)(b  a)
( 1)  5  (b  a)
( x  2)(x  3) 2 ( x  1)
 1  3  5(b  a)(b  a)
 15  (b 2  a 2 )
3  2  ( x  y )( x 2  x y  y 2 )
x2  x y y 2
x2  x y y 2
3  2( x  y )( x 2  x y  y 2 )
2( x  y )
2  (x  y)
6( x 3  y 3 )
Ejercicios.
Determina el mínimo común múltiplo para cada conjunto de polinomios
Polinomios
2
5a b
15ab 2
20a 3 b
14pq 3
21p 3 q
42pq
7p 2 q 2
x2
x3
x 2  5x  6
m2  m
m2  1
Factores
m.c.m.
p 2  8p  12
p 2  6p  8
p 2  10p  24
2x 2  3x  2
2x 2  7x  3
OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
Adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadores iguales
Para la adición y sustracción de fracciones algebraicas con igual denominador, se
procede del mismo modo que en las fracciones aritméticas: se conserva el denominador y
se suman o restan los numeradores.
Ejemplos
Consideremos los siguientes casos
(a)
3 14x  19 (3x)  (14x  19) 3x  14x  19 17x  19




x
5
5
5
5
7a  4b 17a  19b (7a  4b)  (17a  19b)


x
x
x
(b)
7a  4b  17a  19b  10a  23b


x
x
(c)
5a  9b 7a  2b 8a  5b



2a  3b 2a  3b 2a  3b
(5a  9b)  (7a  2b)  (8a  5b)
2a  3b
4a  6b

2a  3b

Luego, factorizando el numerador y simplificando, se obtiene:
2(2a  3b)
2
(2a  3b)
5a  9b 7a  2b 8a  5b


2
Entonces:
2a  3b 2a  3b 2a  3b
Ejercicios:
Calcula la adición o sustracción de las siguientes fracciones algebraicas y simplifica
cuando proceda
9 5 7
 
x x x
6x
4

(3)
3x  2 3x  2
2x  3
7x  8

(5)
2x  15 2x  15

12  m 2
3m  m 2

(7) 2
m  m  12 m 2  m  12
(1)
a2
a8
 1
(9)
a2
a2
a5
7
 1
(11)
a5
a5
5m  8n 7m  9n 5m  15n


(13)
3m  2n 2n  3m 2n  3m
(15)
6a  a
a  10
3a  2
 2
 2
2
8
8
3a  10a
3a  10a
3a  10a 8
a  b 3a  2b 5a  8b


(17)
xy
yx
xy
2
4
5
9
 2  2
2
a
a
a
4m
5m  6 7m  8


(4)
2m  5 2m  5 2m  5
7
2a  5
 2
(6) 2
a  3a  4 a  3a  4
15p 2
6p  6p 2
(8)

9p 2  4 9p 2  4
a3
9

1
(10)
a2 a2
a  4 5a  3

1
(12)
3a  2 3a  2
3p  12p 2
p 2  10p
(14)

20p 2  7p  6 20p 2  7p  6
(2)
2
b 2  2b
3b
 4
(16)
4
2
4b  13b  3 4b  13b 2  3
(18)
m4
m 2  3m
7  2m 2


m 2  2m  3 m 2  2m  3 m 2  2m  3
Adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadores distintos
En la adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadores distintos es
necesario obtener el mínimo común múltiplo de los denominadores (mínimo común
denominador)
A continuación se amplifican las fracciones, expresándolas todas con el denominador
común
Ejemplos:
Consideremos los siguientes casos:
(a)
3 x  4 y 2 x  3y

15x y2
10x 2 y
Calculemos el m.c.m. de los denominadores factorizándolos:
15xy 2  3  5  x  y 2
10x 2 y  2  5  x 2  y
m.c.m. = 2  3  5  x 2  y 2  30x 2 y 2
Como el denominador común es 30x2y2, debemos amplificar las fracciones para igualar
los denominadores:
3 x  4 y 2 x  3y 2 x( 3 x  4 y ) 3y ( 2 x  3y )




15x y2
10x 2 y
30x 2 y 2
30x 2 y 2
2 x( 3 x  4 y )  3y ( 2 x  3y )

30x 2 y 2

(b)
6x 2  8x y  6x y  9y 2 6x 2  14x y  9y 2

30x 2 y 2
30x 2 y 2
2a  b
b  6a

3a  3b 4a  4b
Calculemos el mínimo común múltiplo de los denominadores:
3a  3b  3(a  b)
4a  4b  4(a  b)
m.c.m.= 3  4(a  b)  12(a  b)
Luego, amplifiquemos las fracciones:
2a  b
b  6a 4(2a  b) 3(b  6a)



3a  3b 4a  4b 12(a  b) 12(a  b)
4(2a  b)  3(b  2a)

12(a  b)
8a  4b  3b  18a

12(a  b)
26a  7b

12(a  b)
(c)
13  6m
9m  20
 2
2
m  m  6 m  m  12
Calculemos el mínimo común múltiplo de los denominadores:
m 2  m  6  (m  3)(m  2)
m 2  m  12  (m  3)(m  4)
m.c.m.  (m  3)(m  2)(m  4)
Luego, amplificamos las fracciones.
13  6m
9m  20
13  6m
9m  20
 2


2
m  m  6 m  m  12 (m  3)(m  2) (m  3)(m  4)
(m  4)(13  6m)
(m  2)(9m  20)


(m  3)(m  2)(m  4) (m  3)(m  2)(m  4)
(m  4)(13  6m)  (m  2)(9m  20)

(m  3)(m  2)(m  4)

13m  6m 2  52  24m  9m 2  20m  18m  40
(m  3)(m  2)(m  4)

3m 2  13m  12
(m  3)(m  2)(m  4)
Factoricemos el numerador:
3m
2

 13m  12  m  33m  4
Obtenemos:
3m 2  13m  12
(m  3)(3m  4)

(m  3)(m  2)(m  4) (m  3)(m  2)(m  4)
3m  4
3m  4

 2
(m  2)(m  4) m  6m  8
Entonces:
13  6m
9m  20
3m  4
 2
 2
2
m  m  6 m  m  12 m  6m  8
Ejercicios:
Calcula la adición o sustracción y simplifica cuando proceda
9
5 3
 
5x 2x x
m  2 3m  1

(3)
2m
5m
5
(5) m  2 
m1
5
(7) b  1 
3b  1
2
3a
 2
(9) 2
a 1 a  a  2
p 1
2
(11) 2
 2
p  p  12 p  5p  24
d 1
d
6(d  1)

 2
(13)
d3 d3 d 9
(1)
2a  3b 3a  2b

3a  2b 3b  2a
6z  1
3

(17)
2
2z  5z  3 z  3
(15)
2a  5
1
2a  4

 2
a  a  2 a  3 a  4a  3
p  17
p 1
6
(21) 2
 2
 2
p  p  12 p  5p  6 p  2p  8
(19)
2
6
7
5
 
2
2x 3x
x
x  6 2x  5

(4)
8x
12x
7
 a 1
(6)
2a  3
9c
c4
(8)
c3
m
7m
 2
(10)
m  4 m  m  12
x
2x y
y
(12)
 2

x  2y x  2 x y x
(2)
2x
x2
y


2
y x y y
xy
4
2
m


(16) 2
m 1 m 1 m 1
(14)
(18)
2
9
4x  5

 2
2
x  10x  24 18  3x  x
x  x  12
3m  1
m  11
1
 2

(20) 2
m  2m  3 m  2m  3 m  1
3d
7
1
 2
 2
(22)
2
2d  d  1 6d  d  2 3d  5d  2
2
Multiplicación de fracciones algebraicas
En la multiplicación de fracciones algebraicas se procede igual que en las fracciones
aritméticas: se multiplican numeradores y denominadores entre si, simplificando si es
posible
Ejemplo:
(a)
3 x 2z 6 x z


7y w 7y w
(b)
3x 2  2x y 15x  10y

2x
9x 2  4y 2
Factorizamos los polinomios y simplifiquemos.
x( 3 x  2y )
5(3x  2y ) 5


(3x  2y )(3x  2y )
2x
2
(c)
m 2  5m  6
m3  m
7m  21

 2
2
3
2
m 9
m  2m  8m 7m  7
Factoricemos y simplifiquemos
(m  3)(m  2)
m(m 2  1)
7(m  3)



2
(m  3)(m  3) m(m  2m  8) 7(m 2  1)
(m  3)(m  2) m(m  1)(m  1)
7(m  3)
1



(m  3)(m  3) m(m  4)(m  2) 7(m  1)(m  1) m  4
Entonces:
m 2  5m  6
m3  m
7m  21
1

 2

2
3
2
m 9
m  2m  8m 7m  7 m  4
Ejercicios
Calcula el producto de las siguientes fracciones algebraicas
3(a  b)  17(a  b)

2x
19x 2
 3 4
x y
x7y8
(4) 4 5 
x y
 x 15 y 3
2x y4 5x 3 y

3a 3 b 7ab 4
x2 x5 z


(3)
x3 x6 w
(1)
(5)
x y   a b 
a b  x y 
(7)
12x  3y 21a  14b

15a  10b 20x  5y
2
3
3
(2)
(6)
 m n    c d
 cd   m n 
(8)
2 x  2y 7 x  7y x  y


x
x 2  y 2 42x  42y
2 3 4
4 5
2
3 4 2
5
2 3
2
5
2 3 3
a 2  3a  4
ab 5
 2
(9)
ab 2
a  6a  8
2
z  10z  16 z 2  10z  21

(11) 2
z  9z  14 z 2  2z  15
a 2  9a  18 a 2  7a  10

(10) 2
a  8a  15 a 2  11a  18
m 2  6m  16 m 2  m  12

(12) 2
m  10m  24 m 2  m  6
(13)
(14)
x 9
x  7x  12 x  7x  12
 2

2
x  6x  9 x  8x  16
x 2  2x
2
2
2
2a 2  7a  6 2a 2  17a  8

2a 2  9a  9 4a 2  9a  2
x3  y3
6x  6y
(17) 2
 2
2
x  y 2x  2x y  2y 2
(15)
x2  y2
x 2 2x y  y 2
x 2  x y y 2
3x  3y



3
3
2
2
5x  5y
30x  30y
x  y x  2x y  y
a 2  ab  12b 2
2a 2  7ab  6b 2

2a 2  11ab  12b 2 2a 2  9ab  10b 2
5x 2  10x y  5y 2 7x 2  7x y  7y 2
(18)

15x  15y
x3  y3
(16)
b 2  8b  12 b 2  10b  16 b 2  10b  21 b 2  4b  5



(19) 2
b  2b  1 b 2  2b  15 b 2  9b  14 b 2  3b  10
División de fracciones algebraicas
Las divisiones de fracciones algebraicas se resuelven igual que las fracciones aritméticas:
se multiplica la fracción dividiendo por el inverso multiplicativo de la fracción divisor
Ejemplos:
(a)
3x 9x 2
3x 20y 3 4y 2
:



5y 20y 3 5y 9x 2
3x
(b)
2x  4y 6x  12y
2x  4y 15x  45y
:


5x  15y 15x  45y 5x  15y 6x  12y
Factoricemos y simplifiquemos
2( x  2y ) 15( x  3y ) 1

 1
5( x  3y ) 6( x  2y ) 1
(c) x 2  y 2 :
xy
x 2  y 2 2 x  2y


2x  2y
1
xy
Al factorizar y simplificar resulta:
( x  y )( x  y ) 2( x  y )

 2( x  y ) 2
1
xy
(d)
a 2  5a  14
a 2  5a  14
1
: 14a  98 

6a  12
6a  12
14a  98
Factoricemos y simplifiquemos
(a  7)(a  2)
1
1


6(a  2)
14(a  7) 84
Ejercicios:
Calcula el cuociente entre las siguientes fracciones algebraicas
35a 3 14ab 2
:
18b 3 9b 3
24ab 3 x 2 y 9y 3
(3)
:
54a 3 bx y4 x 3
(1)
(5)
6x 2  9x y
a
:
3
3
a
14x  21x 2 y
m 2  8m  16 m 2  2m  3
:
m 2  2m  8 m 2  3m  2
x 2  10x  24 x 2  4 x  3
:
(9) 2
x  3x  18 x 2  6x  9
(7)
a 5b 8 c 7 a 6b 8 c 9
:
a 4 b 6 c 10 a 3 b 2 c 5
a 2 bx 2 3ax 2
(4)
:
ab3 y 3 b 2 y 3
(2)
(6)
a3  a a3  a2
:
a 2  a a 2  2a  1
c 2  6c  5 c 2  8c  7
:
c 2  7c  10 c 2  5c  14
m 2  14m  48 m 2  4m  32
:
(10)
m 2  4m  21 m 2  3m  28
(8)
(11)
3p 2  p  2 3p 2  8p  4
:
4p 2  7p  3 4p 2  5p  6
(12)
6a 2  5a  1 12a 2  a  1
:
4a 2  8a  5 8a 2  6a  1
(13)
m 2  3m  2 m 2  6m  16
:
m 2  5m  4 m 2  m  20
(14)
x3  y3
x2  y2
:
x 2  2x y  y 2 x 2  2x y  y 2
(15)
x4  y4
x2  y2
:
x 2  2x y  y 2 x 2  2x y  y 2
(16)
x3  x x  1
:
x 1 x 1
OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
Para resolver una expresión algebraica con distintas operaciones se realizan en primer
lugar aquellas indicadas dentro de los paréntesis. Si no los hay, las multiplicaciones y
divisiones tienen prioridad.
Ejemplos
(a)
2a a 3a
 
5 2 4
Calculamos primero el producto indicado y luego sumamos las fracciones
2a a 3a 2a 3a 2 8  2a  5  3a 2 16a  15a 2 a(16  15a)
  




5 2 4
5
8
40
40
40
(b)
3x 5x 2 4


2
16 x
En primer lugar efectuamos la multiplicación y enseguida la adición
3x 5x 2 4 3x 5x 2  3x  1  5x 6x  5x 11x

 




2
16 x 2
4
4
4
4
(c)
2x  3y
4 x 2  9y 2
 8x  12y 5 
: 
 
 10x  15y 4 
Calculemos primero el producto del paréntesis, factorizando previamente el numerador y
el denominador, para simplificar si es posible.
2x  3y
4x 2  9y 2
 4(2x  3y) 5 
2x  3y 2x  3y
: 
   2
:
2
 5(2x  3y) 4  4x  9y 2x  3y
Ahora dividimos, multiplicando la fracción dividendo por la fracción divisor invertida :
2 x  3y
2 x  3y
1


(2x  3y )(2x  3y ) 2x  3y 2x  3y

3 x  3y
6 x  6y 
x2  y2

:

2
2
2
 2
 x  2 x y  y 2 x  2y  x  x y  y
(d) 
Calculemos el cuociente del paréntesis y luego multipliquemos.
3( x  y) 2( x  y)
x2  y2


( x  y) 2 6( x  y) x 2  x y  y 2