Introducción a la Geometría Analítica y los vectores

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Introducción a los conjuntos numéricos y a la geometría analítica. La
circunferencia. La recta.
1. Conjuntos numéricos
1.1 Números reales
En el proceso de desarrollo de las diferentes civilizaciones han llegado al concepto de
número, primeros los números para contar, después hizo falta los números para medir y
repartir, después los números que no se pueden representar como los anteriores. Hagamos un
breve recorrido por los diversos conceptos asociados al sistema de numeración decimal, su
representación en la recta numérica y las diferentes notaciones de intervalos.
Ejercicio 1: Complete la siguiente tabla:
Ejercicio 2: Haga una breve descripción de los conjuntos numéricos:
Números Naturales:
Notación:
Números Enteros:
Notación:
Números Racionales:
Notación:
Números Irracionales:
Notación:
Números Reales:
Notación:
Números Complejos:
Notación:
1
2
Concluya el ejercicio, elaborando un diagrama que relacione todos los conjuntos.
Ejercicio 3: Complete los espacios en blanco con los siguientes símbolos:
; ; ; ; ;  .
a) N __ Q
b) R  Q __ I
c)  __ Q
d)  7 __ I
1.2 Recta numérica
O
1
Figura 1: La recta real
Como ya sabemos, todos los números
reales pueden ser asignados en forma única
a puntos de una recta, para lo cual se define
en la recta un origen, un sentido y una
unidad, como se muestra en la figura 1. A
esta recta la llamamos “recta real o eje
real”.
Observación: El conjunto de los números reales, es un conjunto ordenado, en consecuencia
con dos números diferentes entre sí se puede establecer una relación de orden, es decir,
dados dos números cualesquiera a y b solo se puede dar una de las siguientes relaciones:
a  b; a  b; a  b , de ahí el nombre de tricotomía.
1.3 Intervalos
Ejercicio 4: Represente sobre la recta numérica los siguientes conjuntos:
a) A  x  R / x  2; x  3
Sol:
b) B  x   7;6 \ 2;5
Sol:
c) C  x / x  8 x / x  0
Sol:
2
3
¿Cuál de los siguientes conjuntos son intervalos?
Intervalo: Sea I  R , si x e y pertenecen a I y x ≤ y, entonces para todo z tal que x ≤ z ≤ y,
zI .
Forma intuitiva de definir un intervalo:___________________________________
Notación de
Intervalo
a; b 
a; b
Intervalos acotados de números reales
Sean a y b números reales, con a < b.
Tipo de
Notación de
Gráfica
Intervalo
desigualdad
a xb
Abierto
Forma
constructiva
x  R / a  x  b
a xb
Ejercicio 5: Exprese el intervalo x  R / x  2, en sus diferentes notaciones.
Sol:
Ejercicio 6: Complete la siguiente tabla:
Intervalos NO acotados de números reales
Sean a y b números reales.
Notación de
Tipo de
Notación de
Gráfica
Intervalo
Intervalo
desigualdad
xa
Cerrado
a; 
a; 
 ; 
Forma
constructiva
Abierto
xb
x  R / x  b
Para los intervalos acotados cerrados a; b o abiertos a; b  , se utilizan los siguientes
términos:
Extremo izquierdo: ___
Extremo derecho: ____
Longitud del intervalo (amplitud):____________
Punto medio (centro):___________
Semi-amplitud del intervalo:_________________
3
4
1.4 Valor absoluto
Definición:
Interpretación en términos de distancia:
Otras notaciones:
Ejercicio 7: Dado el intervalo 1  x  7 , grafique y determine el centro, la amplitud y semiamplitud. Con los resultados obtenidos exprese el mismo en notación modular.
Ejercicio 8: Complete la siguiente tabla, en casos se pueda
Notación
de
Intervalo
Tipo de
Intervalo
Notación de
desigualdad
Gráfica
Notación
Modular
Forma constructiva
5 x8
Abierto
1;7
x 5  2
x  R /  3  x  7
Geometría Analítica del plano
La idea central de toda la Geometría
Analítica consiste en establecer un vínculo
entre objetos geométricos y números, de tal
manera que los problemas geométricos se
puedan expresar de manera algebraica
(analítica) y que muchos problemas
algebraicos puedan encontrar una
interpretación geométrica. La idea de
establecer este nexo permite por un lado,
representar en forma algebraica objetos
puramente geométricos, con lo cual todo el
arsenal de herramientas del álgebra se puede
aplicar a la geometría y aprovechar la
y
Cuadrante II
Cuadrante I
1
O
Cuadrante III
1
x
Cuadrante IV
Figura 1: El plano cartesiano.
4
5
capacidad que tiene el hombre de comprender diferentes fenómenos a través de la vista (un
imagen vale más que mil palabras). Hoy se conoce que el matemático francés Pierre de
Fermat elaboró las primeras ideas acerca de este asunto (en 1629) y unos años más tarde (en
1637) otro francés, René Descartes, publicó su obra “Geometrie” en la cual hizo referencia a
la misma idea de un “plano coordenado” en el cual cada punto tuviera una dirección
numérica. Este plano coordenado ha recibido el nombre de “plano cartesiano” (en honor a
Descartes).
2.1 El plano coordenado
Consideremos dos rectas reales como la anterior: una horizontal y otra vertical, como se
muestra en la figura 2, de modo que se intersequen en los respectivos orígenes. Estas dos
rectas determinan un plano que llamamos “plano coordenado” o también “plano cartesiano”.
A la recta horizontal la llamaremos “eje de las x” o “eje de las abscisas” y a la recta vertical
“eje de las y” o “eje de la ordenadas”. El origen común lo designamos con la letra O y lo
llamamos “origen del sistema coordenado” o, simplemente, “origen”. Los ejes coordenados
dividen al plano en cuatro regiones que se llaman “cuadrantes” y se numeran como se
muestra en la propia figura.
Puntos en el plano
Ejercicio 9: Represente los siguientes pares ordenados en el plano cartesiano y explique el
procedimiento aplicado: A (3; 2); B (0;-3); P (2; 3) y Q (3; 2)
y
3
2
1
-3
-2
-1 O
-1
1
2
3
x
-2
-3
Figura 3: Puntos en el plano.
Ejercicio 10: De una característica de los puntos que están sobre los ejes coordenados:
Sol: Eje x:__________________________________________
Eje y:__________________________________________
Fórmula de la distancia
Si se conocen las coordenadas de dos puntos del plano, se puede hallar la distancia que los
separa. Para ello se deduce una sencilla fórmula que es consecuencia directa del teorema de
5
6
Pitágoras. Consideremos que los puntos conocidos son P(x1, y1) y Q(x2, y2) y se quiere hallar
la distancia entre P y Q. En la figura 5 los puntos P y Q se han representado en el plano y se
muestra el segmento PQ cuya
longitud se desea hallar. El segmento
y
PQ es la hipotenusa del triángulo
rectángulo PQR. Los catetos de este
P(x1, y1)
triángulo miden respectivamente x2
– x1 y y2 – y1. Los módulos se
y2 – y1
requieren porque estas diferencias
pudieran ser negativas, y aquí
x2 – x1
Q(x2, y2)
R
estamos calculando longitudes, las
cuales no admiten valores negativos.
O
x
Llamemos d(P, Q) a la distancia
entre estos puntos. Al aplicar el
teorema de Pitágoras al triángulo
Figura 2: Distancia entre dos puntos
rectángulo PQR se obtiene para la
distancia entre P y Q:
d ( P, Q)  __________________
Ejercicio 11: Halle la distancia entre los puntos A = (–2; 3) y B = (4; –2).
Sol:
Fórmula del punto medio
y
P(x1, y1)
Otra importante fórmula que vale la pena
deducir y recordar, es la que permite
M(x, y)
hallar las coordenadas del punto medio
de un segmento cuyos extremos se
conocen. Sean P(x1, y1) y Q(x2, y2) los
Q(x2, y2)
extremos de un segmento. Llamemos
M(x, y) al punto medio del segmento PQ.
O
x
x1
x
x2
En la figura 6 se muestra esta situación.
Nótese que la proyección horizontal de M
es exactamente el punto medio de la
Figura 3: Punto medio entre dos puntos
proyección horizontal del segmento PQ.
Lo mismo sucede para las proyecciones verticales. Como el número central entre dos
números es simplemente su promedio, resulta:
x  12 ( x1  x2 ) y y  12 ( y1  y2 )

En resumen: Las coordenadas del punto medio del segmento PQ es 

;

 .

6
7
Ejercicio 12: Sean los puntos A (2; 3), B (4; 1) y C (–1; 1). Halle la longitud de la mediana
correspondiente al vértice C del triángulo ABC.
Sol:
Ejercicio 13: Determine la distancia entre los puntos
a) (4;  3) y (1; 1)
(ejercicio 14, Pág.)
b) (1; 2) y (2;  3)
(ejercicio 16, Pág.)
Ejercicio 14: Determine el área y el perímetro de la figura determinada por los puntos
(3;1) , (1; 3) , (7; 3) y (5;  1) (ejercicio 21, Pág.)
Sol:
Ejercicio 15: Determine el punto medio del segmento de recta con los puntos extremos
 7 3
; ,

 3 4
5 9
 ;

3 4 
(ejercicio 27, Pág.)
Sol:
7
8
3. Curvas y ecuaciones
Después de los puntos, los objetos matemáticos más simples son las curvas (suponiendo que
una recta es un tipo especial de curva). Sin embargo, una curva, por más sencilla que pueda
parecer, está formada por infinitos puntos. Por suerte, muchas curvas tienen la característica
de que todos sus puntos cumplen una cierta condición; si esta condición la podemos
representar mediante una ecuación, entonces decimos que dicha ecuación es “la ecuación de
la curva” y también que “la curva es la gráfica de la ecuación”.
En las secciones que sigue se abordarán dos de las curvas más importantes, por su
simplicidad geométrica y por su utilidad: las circunferencias y las rectas.
3.1 Ecuación de la circunferencia
P
Definición:
r
C
Figura 4: La circunferencia
Para hallar la ecuación de la circunferencia necesitamos expresar la definición anterior
mediante una ecuación. Antes que nada, hay que referir todos los elementos de la definición
a un sistema cartesiano, tal como aparece en la figura 5.
Ecuación de la circunferencia:
y
P(x, y)
r
C(h, k)
x
Figura 5: La circunferencia
Ejercicio 16: Halle la ecuación de la circunferencia con centro en (3; 2) y radio 4. Determine
las coordenadas de los puntos en que esta circunferencia corta a los ejes coordenados.
Sol:
8
9
¿Cualquier ecuación de segundo grado con estas características, será la ecuación de una
circunferencia?
Ejercicio 17: Dada la ecuación que sigue, determine si su gráfica es una circunferencia. En
caso de que lo sea, halle su centro y su radio y trácela.
a) x2  2 x  y 2  6 y  6  0
b) x2  2x  y 2  6 y  14  0
c) x2  y 2  6x  4 y  11  0
d) 2x2  2 y 2  12y  9  0
Sol:
Ejercicio 18: Determine la ecuación estándar de la circunferencia, cuyos extremos de un
diámetro son (1; 3) y (5; 7).
Sol:
y
3.2 La recta en el plano
Pendiente de un segmento
y2
Consideremos un segmento de recta determinado por dos
puntos del plano P1(x1, y1) y P2(x2, y2). La pendiente de este
segmento es un número real que mide la inclinación del
segmento.
Definición de Pendiente:
y1
P2
P1
x1
x2
x
Figura 6: Segmento P1P2
9
10
La pendiente m del segmento no vertical determinado por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) es
el número: m 
¿Un segmento vertical tendrá pendiente?, explique su respuesta: _____________________
_________________________
Ejercicio 19: Calcule la pendiente de los siguientes segmentos. Trácelos y clasifíquelos en
crecientes, decrecientes u horizontales.
a) Segmento AB, donde A = (5; 1) y B = (2; 3).
b) Segmento PQ, donde P = (–1; 1) y Q = (4; 2).
c) Segmento MN, donde M = (3; 2) y N = (–5; 2).
Sol:
Forma punto - pendiente de la recta
y
y0
P0
x0
pendiente: m
A partir de la gráfica, deduzca la ecuación de la recta
en su forma punto pendiente:
P(x, y)
L
x
Figura 7: Forma punto - pendiente
10
11
Ejercicio 20: Halle la ecuación de una recta que pasa por el punto (–2; 3) y tiene pendiente
0,5. Halle los puntos en que la recta corta a los ejes coordenados.
Forma pendiente – intersección y
Dada la gráfica, deduzca la ecuación d la recta en la
forma pendiente – intersección con el eje y.
y
pendiente: m
b
x
Figura 8: Forma pendiente intersección y
Ejercicio 21: Trace la recta y = 2x – 1
Sol:
Rectas verticales y horizontales
y
2
x
En el caso de los segmentos y las rectas verticales el
concepto de pendiente no se define.
Establezca una característica para las rectas verticales, les
puede ayudar, la recta que pasa por x = 2, como se muestra
en la figura 9.
y=–1 –1
11
Figura 9
12
Por lo tanto, las rectas verticales poseen ecuaciones del tipo: x =
El caso de las rectas horizontales es más sencillo porque ellas sí poseen pendiente. Su
pendiente es 0. Haciendo m = 0 en cualquiera de las ecuaciones vistas anteriormente se
aprecia que la ecuación de las rectas horizontales tiene la forma: y =
Rectas paralelas y perpendiculares
Cuando se conocen las ecuaciones de dos rectas es muy simple determinar cuando se trata de
rectas paralelas, pues en ese caso sus pendientes son idénticas. La perpendicularidad entre
rectas no es tan obvia: se requiere que las pendientes satisfagan la condición: m1m2 = –1.
Esta condición puede probarse por varias vías; la más simple es mediante el uso de vectores,
tema que veremos posteriormente.
Ejercicio 22: Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (2; 5) y es perpendicular a la
recta y = 2x – 3.
Sol:
12
13
Ejercicios
1.
2.
3.
Exprese el intervalo I  x  R / x  3  1, en sus diferentes formas.
Exprese en notación modular el intervalo 4; 8 .
Trace cada par de puntos en el plano coordenado y halle la distancia entre ellos:
a) (3; –1) y (6; 3)
b) (–3; 1) y (8; 13)
c) (4; 3) y (2; 5)
d) (–2; 5) y (5; 3)
4.
Demuestre que el triángulo cuyos vértices son (4; 3), (–3; 4) y (9; 8) es isósceles.
5.
Demuestre que el triángulo cuyos vértices son (2; –3), (4; 1) y (8; –1) es rectángulo.
6.
Encuentre el punto del eje de las x que equidista de (4; 1) y (7; 4).
7.
Encuentre la distancia entre los puntos medios de los segmentos AB y CD, donde
A = (0; 2), B = (1; 5), C = (3; 6) y D = (2; 3).
8.
9.

1
Se tiene los puntos P a ; b  y Q  6 ;  7 ; si el punto medio entre ellos es   2 ;  ,
2

determinar las coordenadas del punto P a ; b  .
Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de forma tal, que la
distancia al eje y es igual que la distancia al punto (4; 0).
10. Halle la ecuación de la circunferencia que satisfaga las siguientes condiciones:
a) Centro en (1; –2), radio 6.
b) Centro en (–3; 4), radio 8.
c) Centro en (2; –1), pasa por (5; 3).
d) Centro en (4; 3), pasa por (6; 2).
e) Diámetro AB, donde A = (–1; 2) y B = (3; 8).
11. En los siguientes casos, determine el centro y el radio de cada circunferencia y trace la
misma en un sistema coordenado.
a) x2  y 2  10x  2 y  25  0
b) x2  y 2  6x  16
c) x2  y 2  12y  35  0
d) x2  y 2  10x  10y  0
12. Los puntos (1; 3), (5; 3), (5; –1) y (1; –1) son los vértices de un cuadrado. Halle las
ecuaciones de las circunferencias inscrita y circunscrita.
13. Demuestre que las circunferencias x2  y 2  2x  4 y  11  0 y
x2  y 2  12x  20y  72  0 no se intersecan.
13
14
14. En cada inciso, halle la pendiente de la recta que contiene los dos puntos dados.
a) (2; 2) y (4; 7)
b) (4; 2) y (8; 3)
c) (5; 2) y (4; 0)
d) (2; –5) y (0; 5)
15. Halle la ecuación de la recta que satisfaga las siguientes condiciones. Escriba su
respuesta en forma simplificada. Trace la recta.
a) Pasa por (2; 3) y tiene pendiente 4
b) Pasa por (3; –4) y tiene pendiente –2
c) La intersección y vale 4 y la pendiente es –2
d) La intersección y vale 3 y la pendiente es 0
e) Pasa por (4; 8) y (2; 3)
f) Pasa por (4; 1) y (8; 2)
16. En cada inciso, halle la intersección x, la intersección y y la pendiente de la recta dada.
Trace la recta.
a) 3 y  2 x  4
b) 2 y  5x  2
c) 2x + 3y = 6
d) 4x + 5y = –20
17. Escriba la ecuación de la recta que pasa por (3; –3) y satisface, además, la condición
dada. Trace la recta en cada caso.
a) Es paralela a la recta y = 2x + 3
b) Es perpendicular a la recta y = 2x + 3
c) Es paralela a la recta 2x + 3y = 6
d) Es perpendicular a la recta 2x + 3y = 6
e) Es paralela a la recta que pasa por (–1; 1) y (3; –2)
f) Es paralela a la recta x = 6
g) Es perpendicular a la recta x = 6
18. El punto (3; 10) ¿está arriba o debajo de la línea y = 3x – 1?
19. En cada caso, halle las coordenadas del punto en que las rectas se intersecan. Después,
halle la ecuación de la recta que pasa por ese punto y es perpendicular a la primera de las
rectas dadas.
a) 2x + 3y = 6 y
–3x + y = 5
5x – 2y = 5 y
2x + 3y = 6
b)
14