GEOMETRÍA I (Guía docente)

GEOMETRÍA I (Guía docente)
Departamento de Geometría y Topología
Facultad de Ciencias, Universidad de Granada
1. Objetivos de la Asignatura
El propósito fundamental de este curso es familiarizar al alumno con las
herramientas básicas del Álgebra Lineal y Geometría.
El Álgebra Lineal ocupa un lugar importante en la Matemática por encontrarse
en la encrucijada de diversas ramas, como el Álgebra, la Geometría y el
Análisis. Es básico por tanto el manejo por el alumno del lenguaje matricial
clásico, resolución de sistemas de ecuaciones lineales y teoría abstracta de
espacios vectoriales y aplicaciones lineales.
Desde un punto de vista más geométrico, se introducirán los conceptos
elementales de la Geometría Afín y Euclídea, insistiendo de forma especial en
los casos de dimensiones dos y tres.
Por tratarse de alumnos de primer curso, prestaremos atención a la adaptación
o preparación de la mente del alumno al razonamiento matemático, cuidando
los aspectos lógicos fundamentales en la exposición de los resultados.
Finalmente, introduciremos a los alumnos en el manejo del software
Mathematica, una herramienta de gran utilidad en el cálculo formal, numérico y
gráfico y con notables aplicaciones en el campo de la Geometría Analítica.
2. Contenidos Mínimos
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Discusión de sistema de ecuaciones lineales, operaciones matriciales
básicas y cálculo de determinantes.
Concepto de espacio vectorial, dependencia lineal de vectores, sistemas
de generadores y bases. Coordenadas de un vector en una base.
Subespacios vectoriales y sus operaciones.
Concepto de aplicación lineal y matriz asociada en unas bases dadas.
Núcleo e Imagen de una aplicación lineal. Rango de matrices.
Formas cuadráticas y bilineales. Formas canónicas y bases conjugadas.
Métricas euclídeas en un espacio vectorial: longitud de vectores,
ángulos, bases ortonormales, orientación y producto vectorial.
Transformaciones naturales en un espacio euclídeo: proyecciones
ortogonales, reflexiones y giros. Endomorfismos autoadjuntos respecto
de una métrica euclídea, matrices simétricas y diagonalización en bases
ortonormales.
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Espacios Afines: Rn como espacio afín. Subespacios afines, sistemas de
referencia afín, paralelismo e incidencia de susbespacios afines de Rn.
Ecuaciones analíticas de un subespacio afín.
Espacios Afines Euclídeos: Rn como espacio afín euclídeo.
Perpendicularidad de subespacios y sistemas de referencia euclídeos.
Movimientos rígidos en R2 y R3.
3. Destrezas
 Resolver por los métodos de Gauss y Cramer un sistema de ecuaciones
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lineales.
Saber sumar y multiplicar matrices y calcular la inversa de una matriz.
Cálculo de determinantes usando transformaciones elementales de
matrices.
Determinación del rango de una matriz por el método de Gauss y
utilizando determinantes.
Discriminar si un sistema de vectores es linealmente independiente o
sistema generador de un subespacio vectorial dado. Determinar una
base de un subespacio vectorial. Cálculo de las ecuaciones analíticas de
un subespacio vectorial en una base dada.
Determinación de bases y ecuaciones analíticas de la suma e
intersección de dos subespacios vectoriales.
Cálculo de la matriz asociada a una aplicación lineal en dos bases
dadas, así como sus ecuaciones analíticas. Ecuaciones de cambio de
base. Determinación del núcleo e imagen de una aplicación lineal.
Asociar a una forma bilineal su correspondiente forma cuadrática y
viceversa. Determinar la forma canónica y una base conjugada
asociadas a una forma cuadrática usando el método de Sylvester.
Determinar, en un espacio vectorial euclídeo, una base ortonormal de
un subespacio vectorial prefijado, así como su subespacio ortogonal.
Calcular todos los elementos geométricos de una transformación
ortogonal en un espacio vectorial euclídeo, y determinación de ésta en
función de ellos.
Reconocer los endomorfismos autoadjuntos respecto de una métrica
euclídea, y encontrar bases ortonormales en las que éstos diagonalicen.
Diagonalización de matrices simétricas por semejanza ortogonal.
Cálculo de las ecuaciones analíticas de un subespacio afín en Rn.
Ecuaciones del cambio de sistema de referencia en Rn.
Distinción de la posición relativa de dos subespacios afines de Rn.
Calcular todos los elementos geométricos de un movimiento rígido en R2
y R3, y determinación del mismo en función de ellos.
Dominio suficiente del programa Mathematica para poder desarrollar
todas las destrezas anteriores con el apoyo de un ordenador.
4. Temario de la Asignatura
1. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales.
Definición de espacio vectorial. Ejemplos. Subespacio vectorial,
operaciones con subespacios. Dependencia e independencia lineal.
Sistemas de generadores. Bases. Aplicaciones lineales, matrices. El
grupo lineal general. Cálculo matricial, aplicaciones: determinantes y
estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. Espacio dual:
aplicaciones.
2. Formas Bilineales y Formas Cuadráticas.
Definición y algunas propiedades. Métricas generales. Congruencia de
matrices. Conjugación y existencia de bases conjugadas. Ley de
inercia de Sylvester. Clasificación de formas cuadráticas.
3. Espacios Vectoriales Euclídeos y Aplicaciones Ortogonales.
Métricas euclídeas. Norma de un vector. Ortogonalidad. Bases
ortonormales. Ángulos. Aplicaciones ortogonales: proyecciones,
reflexiones y giros. Endomorfismos autoadjuntos. Vectores y valores
propios. Diagonalización de endomorfismos autoadjuntos. Orientación
y producto vectorial. Aplicaciones
4. La Estructura Afín Euclídea de Rn. Movimientos Rígidos.
Variedades lineales afines y euclídeas. Referencias afines y euclídeas.
Ecuaciones analíticas de una variedad afín y euclídea. Paralelismo y
perpendicularidad. El grupo afín y el euclídeo. Movimientos rígidos en
R2 y R3. Clasificación. Estudio de figuras particulares. Distancias,
áreas, volúmenes y ángulos.
5. Prácticas de Ordenador
1.- Matrices y sistemas de ecuaciones.
2.- Espacios vectoriales.
3.- Cambio de base y aplicaciones lineales.
4.- Espacios vectoriales euclídeos.
5.- Espacio afín-euclídeo.
6. Bibliografía
Básica:
L. MERINO, E. SANTOS. Álgebra lineal con métodos elementales.
Universidad de Granada, 1997.
A. ROMERO SARABIA. Álgebra lineal y Geometría I. La Madraza, 1991.
J. ROJO, I. MARTIN. Ejercicios y problemas de Álgebra lineal. MacGraw
Hill, 1994.
Complementaria:
J. ARVESÚ, R. ÁLVAREZ, F. MARCELLAN. Álgebra lineal y aplicaciones.
Síntesis, 1999.
M. BERGER, Geometry I,II. Springer-Verlag, 1987.
M. CASTELLET, I. LLERENA. Álgebra lineal y Geometría. Reverté, 1991.
S. WOLFRAM. Mathematica, a system for doing Mathematics by
computer. Adisson-Wesley, 1991.
7. Conocimientos Previos Necesarios
Familiaridad con el cálculo algebraico básico. Representación de puntos y
rectas en el plano cartesiano. Resolución de ecuaciones lineales al menos con
dos incógnitas.
8. Metodología
Se dedicarán 4 horas presenciales a la semana, que se distribuirán entre teoría
y problemas dependiendo del desarrollo del temario.
Durante el desarrollo de cada uno de los temas del curso, los alumnos
dispondrán de al menos una relación de problemas. Algunos de estos
problemas se resolverán en clase, y otros de éstos se asignarán a distintos
grupos de alumnos para su resolución.
Para aquellos alumnos que no superen alguna de las pruebas que se
especifican en el apartado siguiente, se organizarán clases de tutorías
especiales con el objetivo de facilitar la superación de los contenidos no
asimilados.
En cuanto a las prácticas con ordenador, cada clase se dividirá en dos grupos.
Cada uno de éstos realizará 5 sesiones de dos horas.
9. Evaluación del Aprendizaje
La discusión y corrección de los problemas asignados a los alumnos se
realizará en horario de tutorías junto con el profesor. Éste tendrá en cuenta la
labor realizada por cada uno de los alumnos para la evaluación posterior de
sus conocimientos.
Además realizaremos algunos controles a lo largo del curso, atendiendo a la
siguiente planificación:
El curso se dividirá en dos bloques, el primero de ellos comprenderá los dos
primeros temas del temario y el segundo el resto.
Cada bloque temático se evaluará de forma continua en sucesivos controles
acumulativos, esto es, cada control abarcará todo lo estudiado en clase hasta
ese momento. La calificación del bloque temático se hará de acuerdo con la
siguiente fórmula:
Bj=Nota del bloque j-ésimo= (C1+2 C2+…+n Cn) / (1+2+…+n)
donde Ci denota la calificación de 0 a10 del i-ésimo control de dicho bloque.
A la finalización de las prácticas de ordenador, se realizará un control sobre los
contenidos impartidos.
Para aprobar el curso habrá que superar satisfactoriamente los dos bloques
temáticos, y además, la media ponderada:
Calificación final= (4 B1+4 B2 +T+P) / 10
deberá ser mayor que 5, donde Bj ,T y P son las calificaciones de cero a diez
del bloque j-ésimo, nota de tutorías y prácticas de ordenador, respectivamente.
Los alumnos que no asistan asiduamente a las clases y tutorías, o no realicen
los trabajos y controles periódicos, no podrán ser evaluados de forma continua,
por lo que habrán de superar el examen final de la asignatura.