Ejercicios y problemas resueltos de polinomios

Guía
Del estudiante
Modalidad a distancia
Modulo
FUNDAMETOS MATEMÁTICOS PARA ADMINISTRACIÓN TURISTICA Y HOTELERA
I SEMESTRE
DATOS DE IDENTIFICACION
TUTOR
Luis Enrique Alvarado Vargas
Teléfono
435 29 52 – CEL. 310 768 90 67
E-mail
Lugar
BIENVENIDA
[email protected]
Madrid Cundinamarca
Corporación Universitaria Minuto de Dios – Rectoría Cundinamarca
1
BIENVENIDA
EL curso de
Fundamentos Matemáticos permite indicar un proceso de formación de
administradores turísticos y hoteleros que apropien competencias interpretativas,
argumentativas y propositivas y competencias ciudadanas como líderes integrales en sus
desempeños el curso pretende fortalecer procesos.
Fundamentos del Pensamiento Humano: Que le permiten apropiarse del lenguaje matemático
en lo referente al pensamiento variacional y las estructuras algebraicas para la
contextualización de su entorno.
pensamiento variacional y sistemas algebraicos: Solución de problemas y generalización,
investiguen en la selección de herramientas matemáticas que le permitan ver las situaciones
del mundo como una regla bien general.
Autoformación: A partir del estudio auto programado del dialogo de saberes como resultado
del trabajo en equipo para la construcción y socialización del conocimiento de la investigación
y acción de las prácticas.
Trabajo Cooperativo: El curso propende por el trabajo en equipo con toda la comunidad para
el desarrollo del proyecto de investigación.
El propósito de formación de este curso es facilitar al estudiante de administración
Agropecuaria es vivenciar por contexto y las demás áreas del programa el desarrollo de las
competencias que le permitan utilizar el lenguaje y herramientas necesarias en las acciones
propias del trabajo en equipo.
El curso esta propuesto acorde a los principios expuestos por la universidad del Tolima, el
IDEAD y el programa de Administración Agropecuaria, los cuáles dan preeminencia a los
procesos de auto formación del ser humano y el administrador ya que la implementación de
herramientas didácticas y métodos mentales de la modalidad a distancia, que deben
esforzarse a muchas horas de estudio individual y grupal sin la presencia física del tutor.
2
INTRODUCCIÓN
El pensamiento variacional y los sistemas algebraicos han contribuido al desarrollo de las
diferentes áreas de desempeño de los ciudadanos. en el actual siglo nadie pone en duda la
aplicabilidad de la matemática y en especifico los sistemas algebraicos para resolver
situaciones que se le presentan al individuo en el proceso de formación como administrador
turístico y hotelero, las expresiones algebraicas se aplican por ejemplo para resolver
situaciones problema en las que deseamos plantear por ejemplo la proporción entre ella
afluencia de turismo a una determinada región y la capacidad hotelera instalada. estas
situaciones planteadas de manera matemática han permitido desarrollar la industria turística y
hotelera en diferentes zonas del país como por ejemplo el eje cafetero que paso de ser una
región eminentemente de vocación agrícola a ofrecer turismo.
Un estudio debe contener análisis cuantitativo y cualitativo, en el se utilizan ecuaciones
matemáticas que aportan soluciones de situaciones problema. Tanto los sistemas lineales de
ecuaciones como las ecuaciones de segundo grado aportan resultados que nos dan
indicadores para mejorar la oferta de un determinado producto ofrecido en el mercado en
este caso por ejemplo un portafolio de servicios de hotelería y turismo.
Queda para los estudiantes la construcción conjunta de un conjunto de problemas
relacionados con la carrera para que le veamos una real aplicación y le encontremos sentido al
estudio del pensamiento variacional y los sistemas algebraicos.
Este componente del currículo tiene en cuenta una de las aplicaciones más importantes de la
matemática: la formulación de modelos matemáticos para diversos fenómenos. Por ello, debe
permitir que los estudiantes adquieran progresivamente una comprensión de patrones,
relaciones y funciones, así como desarrollar su capacidad de representar y analizar situaciones
y estructuras matemáticas mediante símbolos algebraicos y gráficas apropiadas. Así mismo,
debe desarrollar en ellos la capacidad de analizar el cambio en varios contextos y de utilizar
modelos matemáticos para entender y representar relaciones cuantitativas.
3
UNIDAD DE TRABAJO No.3

¿Cómo aplicar el pensamiento variacional y los sistemas algebraicos la
administración Turística y hotelera?

¿A través las expresiones algebraicas y los sistemas lineales se puede
establecer un modelo que estructure el sistema turístico y hotelero?
OBJETIVOS
1. Continuar el estudio de los polinomios y fracciones algebraicas.
2. Se pretende que el alumno conozca la regla de Ruffini y su aplicación al cálculo de
raíces de polinomios y la simplificación de fracciones.
3. Se pretende que el alumno aprenda a trabajar de una manera sistemática y como
objetivo complementario potenciar su imaginación, iniciativa y flexibilidad de mente.
4. Para ello, se dan estrategias para la resolución de problemas de diversos contextos y se
utilizan los métodos estudiados de resolución de ecuaciones y sistemas
INDICADORES
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Reconoce las expresiones algebraicas, las clasifica y las ordena.
realiza las cuatro operaciones básicas con expresiones algebraicas (polinomios).
Aplica la regla de Ruffini para encontrar las raíces de un polinomio.
resuelve problemas en los que aplica la factorización y los productos notables
resuelve sistemas lineales, aplicando distintos métodos.
formula y resuelve problemas en los que involucra ecuaciones de segundo grado y
bicuadradas.
4
PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS
CONTENIDOS
1. Expresiones algebraicas.
 monomios
 polinomios
2. Operaciones con polinomios.
 Suma
 Resta
 Multiplicación
 División
3. Regla de Ruffini.
4. Teorema del residuo (resto )
5. Factorización de polinomios
6. Fracciones algebraicas.
7. Ecuaciones de primer y segundo grado.
8. Bicuadras e irracionales
9. Sistemas de ecuaciones.
10. Aplicaciones a la resolución de problemas
11. Inecuaciones.
5
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
A) Traduce a lenguaje algebraico:
1. El triple de un número.
2. La mitad del resultado de sumarles al triple de un número 4 unidades.
3. La diferencia de los cuadrados de dos números de dos números consecutivos.
4. Cinco veces el resultado de restarle al doble de un número 5 unidades
Solución:
5(2x-5)
5. Expresa algebraicamente el área y el perímetro de un cuadrado de lado x.
x
B) Asocia cada una de los enunciados con la expresión algebraica que le corresponde:
1) La suma de los cuadrados de dos números
2) El espacio recorrido por un móvil es igual a su velocidad
por el tiempo que está en movimiento
(x +y)2= x2+ y2+ 2xy
3) El área del circulo de radio x
4) Los lados de un triángulo son proporcionales a 2, 3 y 5
E = v .t
5) El cuadrado de la suma de dos números es igual a la suma
de sus cuadrados más el doble de su producto
x2+ y2
(1)
2
6) Media aritmética de tres números
C) Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones para los valores que se indican:
1. 2x +1
para x =0
2
2
2. x + y
para x =1 , y =3
3. (1-2x)(1+ 2x) para x = 2
6
4.
para x =3, y =2, z =4
Solución
=
=3
5. x2+ y2+ 2xy para x =1, y =2
6. –2x2y3
para x =2, y = 2
D) Identidades notables.
Cuadrado de una suma
Cuadrado de una diferencia
Diferencia de cuadrados
1) Desarrolla las siguientes expresiones:
a) (x +2)2
b) (x -1)2
c) (2x +3)2
d) (x +2)(x –2)
e) (2x –1)(2x +1)
f) (3x – y)2
g) (2x –3y)(2x +3y) = 4x2 –9y2
h) (x -1)3
i) (x +5)2-(x-3)2
2) Factoriza las siguientes expresiones algebraicas:
a) 3x4 -2x2
b) x2 –1
c) x2 +6x +9
Solución. No tiene ningún factor común , es una identidad notable: (x +3)2= x2 +6x +9
d) x2 + 4 +4x
e) 4x2-y2
f) 9 –6x +x2
g) 2x –4x2y
h) x2 +x y +x z +y z
Solución: x(x +y) +z(x +y) =(x +z) (x + y)
i) a x –ay –b x +by
3) Completa las siguientes expresiones para que sean cuadrados perfectos
a) x2+ 2x+.....
b) 4x2 + 8x+......
Solución:
4x2 + 8x +4 = (2x +2)2
7
c) 9x2 -....+ 16
E) Calcula el grado de los siguientes polinomios:
1. –2x2y3
2. . x2+ y2+ 2xy
3.
Solución:
2+4+2 =8
4. (x +5)2-(x-3)2
5. 7x5-3x2-6x4+2+x
F) Efectúa las operaciones indicadas y simplifica la expresión resultante.
1) 3(x3 –5x +7) –(2x3 +6x2 +11x+4)
2)
3) 2x(4x2 –6x +2) +3 (5x2 –3x-4)- 14 x2
4) (3x3 –x + 5) (2x3 +1)
5) (x3y3 + 2) (x3y3 - 2)
6) (7x3 –5x+3) (2x2 +x-1)
7)
Solución:
= 4x-12 +21x-9-24 = 25x -45
8)
9)
G) Operaciones con expresiones algebraicas:
1) Multiplica la siguiente expresión por 12 y simplifica el resultado:
2) Multiplica por 20 y simplifica el resultado:
H) Divide los siguientes polinomios:
1) 15 a3b2c : 6 a2c =
=
8
2) 5 x3y2z4 : 3 x2z2
3) (2x3 +6x2 +11x+4):(x +1)
4) (2x3 +6x2 +11x+4) : (x-3)
5) (x4 -6x3 +5x2-4x+1): (x2 –x +5)
6) (x3 +6x2 +5x+4): (x2 –3x +1)
Solución
x3 + 6x2 +5x +4
-x3 +3x2 -x
/
x2 –3x +1
x +9
2
9x + 4x +4
-9x2 + 27x-9
/ 31x –5
7) (x4 -5x3 +3x2-2x+5): (x2 +x -3)
Nota. Cuando el divisor es un binomio de la forma (x-a) se puede aplicar la regla de Ruffini, que
utiliza sólo los coeficientes
Ejemplo. Divide x3-3x2+ 5x-7 entre (x-3)
Se hace la siguiente disposición de la figura.
El cociente es x2+5 y el resto 8
1) (x3 –x2 -16x -3): (x -3)
Solución: Utilizando Ruffini quedaría
9
Nos queda que el cociente es x2 +2x – 10
y el resto -33
2) (2x3 +6x2 +11x+4):(x +1)
3) (3x4 +6x2 +11x+4) : (x-2)
4) (x3 + 1) : (x +1)
5) (–x4 +2x3 +5x -3):(x+3)
Ampliación
Teorema del resto.
El resto de la división de un polinomio P(x) entre el binomio (x-a) es el valor numérico del
polinomio en x =a, es decir el resto es el valor de P al sustituir la x por a,
R =P(a).
Ejemplo: El resto de la división ( x3 -2x2 +3x -4):(x-1) es:
13-2.12+3.1-4=1-2+3-4= -2 (comprobarlo)
1. Calcula el resto de la división (x3 –x2 -16x -3): (x -3) sin efectuarla
2. Calcula el valor de k para que la división de P(x) entre Q(x) dé exacta:
a) P(x) = x3 -x2 +k.x -4, Q(x) = (x-2)
b) P(x) = x4 -2x3 +3x2 –k x -5; Q(x) = (x +1)
2. Calcula el valor de k, para que el resto de la división del polinomio x4 –k x3 +3x2 – x +4 entre
el binomio x +2 nos dé15.
Factorización
Factorizar un polinomio es ponerle como producto de sus factores (se llama también
descomposición en factores del polinomio).
Para factorizar hay que tener en cuenta las identidades notables, el sacar factor común, la
regla de Ruffini, y la resolución de ecuaciones (de 2º grado) para la búsqueda de raíces.
Ejemplo: Factoriza x3-5x2+ 4x
Solución
En primer lugar se saca factor común x, x3-5x2+ 4x =x(x2-5x+4)
El segundo factor es un polinomio de 2º grado, y para encontrar los otros factores se puede
obtener las raíces aplicando la fórmula de la ecuación de 2º grado.
x=
por tanto los factores son (x-4) y (x-1)
10
El polinomio factorizado es: x(x-4)(x-1).
Nota: También podría haberse usado Ruffini para el cálculo de las raíces, ya que son enteras
d) x3 -11x2 +34x -24
e) x4 -11x3 +33x2 -9x -54
Si necesitas mas ejercicios del tema de polinomios visita estos enlaces
Polinomios
o
Ejercicios de profundización
Fracciones Algebraicas
A) Hallar el valor numérico de las siguientes fracciones algebraicas en los puntos que se
indican:
1)
en x = 1, x =3.
2)
en x = 2, x = 0.
3)
Solución:
en x =1, x =2
En
x=1
No existe este valor, no se puede dividir por cero, no se puede
calcular el valor numérico en x =1.
En
x =2
4)
en x =-2, 0, 1 y 2
B) Estudia si las siguientes fracciones son equivalentes:
1)
2)
y
y
Solución. Se tiene:
(x-2)(x2-4) = x3 -4x -2x2+8 = x3 -2x2 -4x +8
(x +2)(x2-4x+4) = x3 -4x2 +4x+ 2x2 -8x +8 = x3 -2x2 -4x +8
Son equivalentes.
C) Simplifica las siguientes fracciones algebraicas, en los casos posibles:
11
1)
2)
3)
4)
5)
Solución.
Se tiene
==
6)
D) Realiza las operaciones indicadas y simplifica el resultado en los casos que se pueda.
1)
.
2)
3)
4)
Solución. Primero reducimos a común denominador y después sumamos los numeradores:
m .c. m (x, x +1) = x(x +1) =x2+ x
=
5)
12
6)
7)
8)
Si necesitas mas ejercicios del tema de polinomios visita estos enlaces
Polinomios y fracciones algebraicas
Parte: Ecuaciones y sistemas
Igualdades, identidades, ecuaciones
Una igualdad, (=), es una relación de equivalencia[1] entre dos expresiones, numéricas o
literales, que se cumple para algún, alguno o todos los valores. Cada una de las expresiones
recibe el nombre de miembro.
IGUALDAD
una expresión = otra expresión
primer miembro
segundo miembro
entre números se denomina
identidad numérica.
Ejemplo 1: 2 +4 +5 = 1 +10
identidad literal es una igualdad que se cumple para todos los valores.
Ejemplo 2: Las Identidades Notables
Cuadrado de una suma
Cuadrado de una diferencia
Diferencia de cuadrados
13
llama ecuación. A las letras se les llama indeterminadas o incógnitas.
Ejemplo 3: a) 3x+2 =0 es una ecuación con una incógnita.; b)3x +2y =1 es una ecuación con
dos incógnitas.
Al valor, o valores, que convierten la ecuación en identidad numérica se les llama solución (o
raíz) de la misma.
Ejemplo 4. Una solución de la ecuación del ejemplo 3 es x =-2/3 .
Ejercicio 1. Encuentra 2 soluciones de la ecuación 3x-2y-1=0
Resolver una ecuación en encontrar todas su soluciones o llegar a la conclusión de que no
tiene ninguna.
Ejemplo 5. a) x2-1=0 tiene dos soluciones, x =1 y x =-1
b) x2 + 1=0 es una ecuación sin soluciones en R.
c) 2x +3y = 0 tiene infinitas soluciones, (0,0), (-3,2), (3, -2)....
Ecuaciones equivalentes
Dos ecuaciones son equivalentes cuando admiten la mismas soluciones. Se cumple:
Si se suma o resta un mismo número a los dos miembros de una ecuación, se obtiene
una ecuación equivalente a la primera.
Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo número
distinto de cero se obtiene una ecuación equivalente a la primera.
Trasposición de términos.
Aplicando las reglas anteriores deducimos dos reglas prácticas:
Si un número aparece en un miembro sumando, se le puede pasar al otro
miembro restando. Si esta restando pasará sumando.
De igual manera si está multiplicando pasa dividiendo y al revés.
Esto se llama trasponer términos.
Ejemplo 6: La ecuación 5x - 1 = 2x -3 se puede escribir 3x + 2 = 0, trasponiendo términos.
Nota : El segundo miembro de la ecuación se puede considerar siempre que es 0.
Ecuaciones de primer grado
La forma general de esta ecuación es a x +b =0 con a 0
Trasponiendo y dividiendo por a se llega a
.
Solución que siempre existe y es única.
14
Ejemplo 7.
b) 7x + 2 = 2x -3 , si trasponemos términos, nos queda
Luego 5x = -5
7x –2x = -2 –3
de donde x = -1
Ecuaciones de segundo grado
La forma general de una ecuación de 2º grado es:
, donde a
La solución de esta ecuación general viene dada por la fórmula:
Ejemplo 8.
=
Observación. A D =
se llama discriminante de la ecuación de 2º y se verifica:
Si D>0 la ecuación tiene dos soluciones conjugadas
Si D =0 la ecuación tiene una única solución (doble)
Si D <0 la ecuación no tiene ninguna solución real.
Ecuaciones incompletas

Si c =0 la ecuación se reduce a
y sacando factor común x se tiene:
x(ax +b) =0
Este tipo de ecuación siempre tiene dos soluciones.
Ejemplo 9. 3x2-5x=0

Si b =0 la ecuación queda
x(3x-5)=0
de donde
Puede tener dos soluciones opuestas o ninguna solución, dependiendo de que
15
El radicando sea o no positivo.
Ejemplo 10. 2 x2-
=0;
2 x2=
Ejemplo 11. 3x2+1 =0
(dos soluciones)
(no tiene ninguna solución)
Resolución “práctica” de una ecuación
Lo estudiamos con un ejemplo
Ejemplo 12.
Para resolver la ecuación seguiremos el siguiente orden.
1º Quitar denominadores
Al multiplicar los dos miembros de una ecuación por el mínimo común múltiplo de sus
denominadores, se obtiene otra ecuación equivalente a la primera, pero sin denominadores.
Multiplicamos los dos miembros de la igualdad por 6, que es el m.c.m. de los denominadores.
Nos queda
3(2x-3) -2(5x-1) =6
2º Quitar paréntesis
Se efectuarán las operaciones indicadas, utilizando la propiedad distributiva.
Quitando paréntesis
6x-9 –10x+2=6
3º Trasposición de términos
Se disponen todos los términos que llevan x en un miembro y los demás en el otro.
Trasponiendo términos
6x –10x = 9 - 2 + 6
4º Reducción de términos semejantes
De este modo cada miembro de la ecuación queda con un solo término:
-4x = 13
5º. Despejar la incógnita
Se dividirá ambos miembros por el coeficiente de la incógnita (se puede hacer siempre que sea
a 0)
16
Observación. Dependiendo de la ecuación a resolver puede ocurrir que alguno de los pasos
sea innecesario, se omite y se pasa al siguiente.
EJERCICIOS PARA PRACTICAR
Ecuaciones de primer grado
Resuelve
1)
2)
3)
4)
5)
7)
8)
9)
Solución.
Multiplicamos los dos miembros por 8 (es el m.c.m. de los denominadores)
(2x-4)2 = 40 +4x(x +1)
4x2 –16x +16 = 40 + 4x2 +4x
4x2 –16x +16 =40 +4x2 +4x
Reduciendo términos semejantes:
16x-4x= 40- 16 -20x =24
= -1,2
17
10)
Ecuaciones de segundo grado
Resuelve las siguiente ecuaciones indicando si son completas o no:
1) 3x2+ 2x=0
2) 5x2-3=0
3) x2-4x+2=0
4) 2x2+ x-1=0
5) 3 x2-
=0
2
=
2
=
6) –x2 + 4 =0
8) 4x2 –4x +1 =0
9) –x2 +6x-5=0
10) –6x2 +5x-1=0
11) (5x-4)(2x+3) =5
12) 30 + 9x – 3x2 =0
18
13)
Solución.
Multiplicamos por el M.C.M de los denominadores, que es 2(2 +x):
(2 +x)(2-x) +4.2 =2(2 +x)
4 –x2 +8 =4 + 2x,
agrupando términos y organizando la ecuación
0 = x2 +2x –
14)
15)
16)
Aplicaciones de las ecuaciones de 2º grado
Descomposición en factores del trinomio de 2º grado.
Ejemplo 13.La ecuación x2 –5x +6= 0 tiene dos raíces r1=3 y r2= 2 (comprobarlo).
Entonces se puede descomponer en producto de (x-3) por (x-2). Es decir:
x2 –5x +6 = (x-3)(x-2).
Ejercicios
Determina los factores de los siguientes trinomios de 2º grado
1) x2-16
19
2) x2-13x+36
3) 4-x2
4) 2x2+17+21
5) 2x2-5x+7
6) 3x2- 0,75
7) –x2 +5x-6
4) Solución
=
Luego 2x2+17+21= 2(x +1)(x +7)
Resolución de ecuaciones irracionales.
Ejemplo 14.
Se procede de la forma siguiente:
1) Se aísla la raíz:
2) Se elevan al cuadrado ambos miembros de la igualdad:
4(x-1)=(4-x)2
-4 = 16-8x +x2
3) Se resuelve a ecuación de 2º grado que resulta
x2-12x +20 =0
x =10 y x =2
(comprobarlo)
20
4) Se comprueban las soluciones
Si x =10
16 - 4= 0 Falso, no es solución
Si x =2
4 - 4=0 Cierto, si es solución.
Ejercicios
Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Solución.
Aislamos una de las raíces:
Elevamos al cuadrado
(
21
Volvemos a aislar la raíz que nos queda
Elevamos al cuadrado
144(2x-1)=x2 +62x+961
288x -144 = x2 +62x +961
Es decir:
x2 –226x +1105 =0
Comprobamos las soluciones:
x =221 no es solución pues
x =5
sí es solución
3=3
7)
Ecuaciones bicuadradas
Ejemplo 15. La ecuación x4 – 5x2 +6=0 es bicuadrada (es de 4º grado sin potencias
impares).
Para resolverla se procede así:
Se hace un cambio de incógnita
x2= y
con lo cual
x4 = y 2
22
Sustituyendo en la ecuación:
y2-5y+6=0 que sí es de 2º grado y podemos aplicar la
fórmula:
Sustituyendo los valores en la expresión x2= y , x =
obtenemos:
y
En este caso la ecuación tiene 4 soluciones.
Ejercicios
Resuelve:
1) x4 –3x2+2
2) x4-13x2+36
3) x4-1
4) x4+ 4x2 =0
Solución.
Como es incompleta, .al igual que en las de segundo grado, sacamos factor común
x2(x2 +4) =0
que tiene sólo la solución (doble) x =0
5) x4-9x2=0
6) 3x4 –5x2+2=0
7) x4+ x2+1=0
23
8)
El tema completo se repasa y amplia en Álgebra
Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales.
Ejemplo 16:
es un sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas
Resolver un sistema es encontrar la solución (o soluciones) común a todas ellas, o concluir que
el sistema no tiene solución.
Hay tres métodos para resolverlos:
Sustitución
Ejemplo 17.
En la 2ª ecuación despejamos la y y la sustituimos en 1ª ecuación
y =3x;
11x =1
x =1/11
Una vez encontrado el valor de una de las incógnitas se sustituye (y =3x) para encontrar el
valor de la otra incógnita:
y =3/11
Observación. Este método es muy adecuado cuando el coeficiente de, al menos, una de las
incógnitas es 1.
Igualación
Ejemplo 18. Resuelve el sistema:
Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones
; y =3x.
Igualando
1-2x =9x
x =1/11
Ahora para obtener el valor de la y se procede como en el caso anterior, es decir se sustituye el
valor hallado en la ecuación que más convenga
En este caso en y =3x, nos queda y =3/11
Observación. Este método es muy adecuado cuando el coeficiente de una de las incógnitas es
igual en las dos ecuaciones.
Reducción
Ejemplo 19.
Multiplicamos la 1ª ecuación por 2 y la 2ª por 3. (De esta forma el coeficiente de y en las dos
ecuaciones es el mismo, el m.c.m.
Resulta:
24
Sumando obtenemos
13 x =2
Sustituyendo el valor encontrado de x en la segunda ecuación:
y =3/13
Observación. Este método es muy adecuado en todos los casos.
Nota. A veces es más cómodo usar la reducción dos veces para encontrar el valor de la otra
incógnita. (Ver ejercicio resuelto)
Ejercicios
Resuelve los siguientes sistemas por el método que creas más adecuado:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Solución
Para quitar los denominadores multiplica
Le resolvemos por reducción doble.
Multiplicamos la 2ª ecuación por –
Sumando las dos ecuaciones obtenemos una equivalente: -3y = y =4
Para encontrar el valor de x, eliminamos la y, para ello multiplicando la 1ª por -2
sumando –3x= -
x =4
25
8)
Problemas de aplicación
1) Calcula dos número cuya suma sea 8 y su producto 12.
2) La suma de dos número es 65 y su diferencia 23. Halla los números
3) La diferencia de dos números es 1/6. El triple del mayor menos el doble del menor es 1.
Halla dichos números.
Sistemas de ecuaciones de 2º grado
Son aquellos en que al menos una de las ecuaciones es de 2º grado. Veremos con un ejemplo
como proceder para obtener las soluciones
Ejemplo 20. Sea el sistema
En la 2ª ecuación despejamos la y, y la sustituimos en la 1ª
y = 2x2x2+(2x –4)2=22
2x2 +4x2 –16x +16=22; 6x2-16x-6=0,
Simplificando por 2 obtenemos:3x2-8x-3=0, que es una ecuación de 2º grado completa:
=
Ejercicios
Resuelve los siguientes sistemas:
1)
2)
3)
Para resolver un problema es conveniente realizar cuatro fases[1]:
1ª. Comprender el problema.
Hay que leer el problema hasta familiarizarse con él y que podamos contestar, sin dudar, a las
siguientes preguntas:
¿Cuáles son los datos? ¿cuál es la incógnita o incógnitas? ¿son las condiciones suficientes para
determinar a las incógnitas? ¿son insuficientes?.. .
2ª Concebir un plan.
Determinar la relación entre los datos y la incógnitas.
De no encontrarse una relación inmediata puedes considerar problemas auxiliares.
¿Conoces problemas relacionados con éste?
26
¿Podrías plantear el problema de forma diferente?
¿Puedes cambiar la incógnita o los datos o ambos si fuera necesario, de tal forma que la nueva
incógnita y datos estén en una relación más sencilla?...
¿Has considerado todas las nociones esenciales del problema?
.................
Obtener finalmente un plan de solución.
Para nuestro caso:
Escribir la ecuación o ecuaciones que relacionan datos e incógnitas y analizar el sistema que
forman.
3ª. Ejecutar el plan.
Resuelve el sistema por los métodos estudiados.
4ª. Examinar la solución obtenida.
Comprobar si las soluciones obtenidas son válidas y proceder en consecuencia.
Ejemplo 21.. Alejandra tiene 27 años más que su hija Carmen. Dentro de 8 años, la edad de
Alejandra doblará a la de Carmen. ¿Cuántos años tiene cada una?
Solución. Sólo en este problema indicaremos con detalle las 4 fases
1º. Comprender el problema.
Es un problema con dos incógnitas y dos condiciones, luego suficientes para poder
determinarlas.
Llamamos x a la edad de Alejandra e y a la de su hija.
Ordenamos los elementos del problema:
La madre
La hija
Hoy
x
y
dentro de 8 años
x+8
y+8
2º. Concebir un plan.
Escribimos las ecuaciones que relacionan los datos con las incógnitas:
x = 27 + y
x + 8 = 2(y +8)
Es un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas. Lo resolveremos por el método de
sustitución.
3º Ejecutar el plan.
x = 27 + y
Entonces:
27 + y +8 = 2(y +8) de donde 35 y = 19, x = 46
4º Examinar la solución obtenida .
La solución obtenida es factible por ser entera.
El método empleado se puede usar en problemas “similares”.
Problemas resueltos
1. La edad de una madre es siete veces la de su hija. La diferencia entre sus edades es de 24
años. ¿qué edad tienen?.
Solución
Llamamos x a la edad de la hija, luego 7x será la edad de la madre.
7x –
x =4
Luego edad de la hija 4 años y edad de la madre 28 años
27
2. Halla un número tal que su mitad más su cuarta parte más 1, sea igual al número pedido.
Solución
Llamamos x al número que buscamos, la mitad del número es x/2 y su cuarta parte x/4
Entonces:
Multiplicamos por el m.c.m. que es 4. Nos queda:
2x +x + 4 = 4x
x =4
3. Se atribuye a Pitágoras la siguiente respuesta sobre el número de sus discípulos:
- Una mitad estudia matemáticas, una cuarta parte física, una quinta parte guarda silencio, y
además hay tres mujeres.
¿Cuántos discípulos tenía?
Solución
Llamamos x al número de sus discípulos.
Traduciendo a lenguaje algebraico las condiciones, se tiene:
Multiplicando por 20, que es el m.c.m. , quitamos todos los denominadores
10x +5x +4x +60 =20x
Es decir, x = 60 discípulos
4. Dos poblaciones A y B distan 25km. Un peatón sale de A hacia B a una velocidad de 4km/h.
Simultáneamente sale de B hacia A otro peatón a 6km/h. Calcula el tiempo que tardan en
encontrarse.
Solución
A
B
25km
El espacio que recorre el peatón que sale de A es: E = v A t =4.t
El espacio que recorre el peatón que sale de B es: E = v B t = 6t
Cuando se encuentran habrán recorrido entre ambos los 25km
Por lo tanto:
4t +6t =25
Tardan en encontrarse 2 horas y media
5. En una jaula hay conejos y palomas, pueden contarse 35 cabezas y 94 patas. ¿Cuántos
animales hay de cada clase?.
Solución
Llamamos x al número de conejos, y al número de palomas habrá entonces
x +y =35
Lo conejos tienen 4 patas, hay 4x patas de conejos
Las palomas 2 patas, luego tendremos 2y patas de palomas
El número de patas en total es 94
4x + 2y= 94
Es decir
lo resolvemos por sustitución
4x +2(35 –x) = 94
4x + 70 –2x =94
x =12 y =35 –12 =23
Hay 12 conejos y 23 palomas
28
= y = 35 -x
6. Había doble de leche en un envase que en otro. Cuando se extrajeron 15 litros de leche de
ambos envases, entonces había tres veces mas leche en el primer envase que en el segundo.
¿Cuánta leche había originariamente en cada envase.
Solución.
Llamamos x al nº de litros de un envase.
En el otro envase habrá 2x litros.
Al extraer 20 litros de cada envase nos quedan
x -15
2x –15
2x –15=3(x –15) =3x – 45
x =30
En un envase había 30 litros y en el otro 60 litros
7. El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el segundo y éste
3 más que el menor. Si entre todos tienen la edad del padre que tiene 40 años ¿qué edad tiene
cada hermano ?
Solución
Llamamos x = edad del hermano menor. Entonces según las condiciones del problema:
x + 3 es la edad del hermano mediano
x +3 + 4 = x + 7 es la edad del hermano mayor
Como la suma de las edades de los hermanos es 40:
–10 =30
x =10
Por lo tanto: edades de los tres hermanos: 10 , 13 y 17 años.
8. ¿ A qué hora forman por primera vez un ángulo rcto las agujas de un reloj, a partir del
mediodía.
Solución
Es un caso particular de problemas de móviles.
La velocidad del minutero es doce veces mayor que la del horario. Podemos pues representar
por 12 y 1 las velocidades respectivas de las dos saetas.
Si x es el nº de divisiones que ha recorrido la aguja horaria, la minutaría formará con ella
ángulo recto cuando haya recorrido x +15 divisiones
Al igualar los tiempos empleados por ambas, se obtiene:
Se encuentran a las 12 horas 16 minutos 21 segundos
9. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la edad del padre
será el doble de la del hijo. ¿Cuántos años tiene ahora cada uno?
Solución
Llamamos x a la edad del hijo. La del padre será x2
Dentro de 24 años el hijo tendrá
x +24
Dentro de 24 años el padre tendrá
x2 +24
2
Por lo tanto
x +24 = 2(x +24) = 2x +48
La ecuación que resulta es de 2º grado.
x2- 2x –24=0
Por ser completa aplicamos la fórmula general:
29
Aunque da dos soluciones, sólo la primera x =6 es válida, x =-4 no nos vale pues las edades no
pueden ser negativas.
Por tanto el hijo tiene 6 años y el padre 36 años
10. Para vallar una finca rectangular de 750m2 se han utilizado 110m de cerca. Calcular las
dimensiones de la cerca.
Solución
Llamamos x a la base del rectángulo, e y la altura.
Como la superficie es el producto de la base por la altura, entonces x .y =750
El perímetro es la suma de los 4 lados:
2x +2y =110
Es decir tenemos el sistema
Sustituyendo en la segunda:
2x2+1500 =110 x
De la primera ecuación se tiene y =750/x
2x2-110x +1500=0
De donde
Nos da dos soluciones:
Si la base es x =3
y = 750/30 =25
Si la base es x = 22,5
y =750/22,5=100/3= 33,333..
Ambas válidas.
Problemas propuestos
1. Un gavilán se cruza en vuelo con lo que parece un centenar de palomas. Pero una de ellas lo
saca de su error:
- No somos cien -le dice-. Si sumamos las que somos, más tantas como las que somos, más la
mitad de las que somos, y la mitad de la mitad de las que somos, en es caso, contigo, gavilán,
seríamos cien.
¿Cuántas palomas había en la bandada?
2. El perímetro de un jardín rectangular es de 68 m. Si el lado mayor mide 10 m. más que el
lado menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín?
3. Halla dos números positivos cuya suma es 20 y la suma de sus cuadrados 250.
4. Un ciclista sale por una carretera a 15km / h. Media hora después sale otro en su
persecución a una velocidad de 20km/h. ¿Cuánto tardarán en alcanzarse?
5. Halla un número tal que su mitad más su cuarta parte más 1, sea igual al número pedido.
6. En la primera prueba de una oposición queda eliminado el 70% de los participantes. En la
segunda queda eliminado el 40% de los restantes. Si el número de personas que aprobaron los
dos exámenes fue 36 ¿cuántas personas se presentaron a la oposición?
7. Calcula tres números sabiendo que son consecutivos y que su suma es igual al cuádruplo del
menor.
30
8. La base de un rectángulo es 10cm más larga que la altura. Su área mide 600m 2. Calcular las
dimensiones del rectángulo.
9. Un ciclista sale por una carretera a 15km / h. Media hora después sale otro en su
persecución a una velocidad de 20km/h. ¿Cuánto tardarán en alcanzarse?
10. El área de una lámina de plata es 48cm2, y su longitud es 4/3 de su anchura. Halla su
longitud y su anchura.
11. Halla dos números cuya suma sea 24 y su producto 135.
12. Hallar tres números impares consecutivos, tales que si al cuadrado del mayor se le restan
los cuadrados de los otros dos se obtiene como resultado 7.
13. Dos números son tales que el mayor menos la raíz cuadrada del menor es 22 y la suma de
los números es 34. ¿Cuáles son los números.
14. Una caja mide 5cm de altura y de ancho, cinco cm. más que de largo. Su volumen es
1500cm3. Calcular la longitud y la anchura.
15. La diagonal de un rectángulo mide 26cm y el perímetro 68cm. Hallar los lados del
rectángulo.
Los lados de un triángulo A’B’C’ miden el doble que los de ABC. Si la superficie del primero es
18 dm2, ¿cuál será la superficie del segundo?
2. La razón de las áreas de dos polígonos semejantes es 25/49. ¿Cuál es la razón de sus lados?
Solución
La razón de las áreas es el cuadrado de la razón de semejanza de los lados, por tanto, le de los
lados e 5/7.
3. Dos ciudades que en la realidad están a 900km, aparecen en el mapa separadas 6cm. ¿A qué
escala se ha dibujado el mapa?
4. Calcula la distancia a que se encuentran 2 ciudades si en el plano están a 13 cm.
Datos: escala 1: 1800000.
5. Calcula la altura de la pirámide sabiendo que la sombra que proyecta es de 18 m y que la
sombra que proyecta Tales es de 0,5m. Nota. Tales mide 1,70 m.
Por
la semejanza de los triángulos
6. La sombra de un lápiz de10cm en un determinado momento es de 25cm. ¿Cuál será en ese
momento la sombra de una torre de 40m?
31
7. Calcula la profundidad de un pozo de diámetro 2 metros, sabiendo que alejándose 0,7m del
borde, desde una altura de 1,70m vemos que la visual une el borde del pozo con la línea del
fondo.
8. Cálculo de la altura del árbol de las figuras. Datos: a) longitud de la estaca (ab) 1,3 metros.
b) Altura del hombre 1,80m.
a)
1m
3m
b)
5
1
9. Dibuja un ángulo de 40º y calcula sus razones trigonométricas.
10. Calcula las razones trigonométricas del ángulo de 60º.
Solución
Dibujamos un triángulo equilátero, de lado 1,
La altura, h, por el teorema de Pitágoras, vale
Por lo tanto:
,
;
11. Calcula, de dos formas diferentes, el seno de
B
32
12. Sabiendo que sen 30º =1/2 calcula, razonadamente, lo que vale el cos 60º.
13. Sabiendo que tg 60º =
calcula tg 30º.
14. Sabiendo que
, y agudo calcula las restantes razones trigonométricas.
Solución
Sustituyendo el valor del coseno en la fórmula fundamental de la Trigonometría:
, de donde
15. Calcula las razones trigonométricas del ángulo agudo
a)
; b)
; c)
conociendo:
;
16. Calcula la altura, el lado desconocido y el área .
Solución
Se tiene
=7,07
7,07= 15y2 =x2+ h2
10
h
y
x
, Por T. Pitágoras:
15-x
15
y = 10,62
A =(15.7,07)/2=53,25 u.s.
17. Hallar el área y los ángulos del triángulo de lados 5, 7 y 10.
18[1].Calcula la altura del árbol sabiendo que el ángulo ADC es de 30º , el ACB 45º y la
distancia CD =2m (problema de las tangentes)
33
Llamamos AB =h
=0,57
Como BD = BC +2 se tiene
0,57(BC +2) = BC y despejando
BC = 2,65 m
19. Epi y Blas ven pasar un avión con ángulos respectivos de 30º y 45ª. Si la distancia que les
separa es de 2km, calcula la altura a que vuela el avión en todos los casos posibles.
20. Calcula la altura de un semáforo, sabiendo que desde un cierto punto A, se ve bajo un
ángulo de 60º y si nos alejamos 40 metros se ve bajo un ángulo de 30º.
21. Una antena de radio está sujeta al suelo
con dos cables de acero tirantes, como se indica en la figura. Calcula:
a) La altura de la torre.
b) La longitud de los cables.
22. La distancia de un barco a un faro es de 137 m , y a la orilla 211m. El ángulo bajo el cual se
ve desde el barco el segmento cuyos extremos son el faro y la orilla es de 43º. ¿Qué distancia
hay entre el faro y la orilla?
34
137 m
sen 43º =h/137
43º
h = 137.sen 43º=93,43 m
h
x
cos 43º = x/137
y
211 m
x = 137.cos 43º =100,20
211-100,20=110,80m
Aplicando el T. Pitágoras
y2= 93,432 +110,802 = 21005,18
y = 144,93m
23. Dos barcos salen de un puerto con rumbos distintos formando un ángulo de 54º, y con
velocidades de 21 y 24 millas/h, respectivamente. ¿A qué distancia se encontrarán al cabo de
una hora?
D e f i n i c i ó n d e m o n om i o
Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas
o p e r a c i o n e s q u e a p a r e c e n e n t re l a s v a r ia b l e s s o n e l p r o d u c to y l a
potencia de exponente natural .
2x2 y3 z
35
P a r t e s d e u n m o n o mi o
C o e fi c i en t e
El
coeficiente
del
monomio
es
el
n ú m e ro
que
a p a r ec e
multiplicando a las variables.
Parte literal
L a p a r t e l i t er a l es t á co n s t i t u i d a po r l a s le tr a s y s u s e x po n e n te s .
Grado
E l g r a d o d e u n m o n o m i o e s l a s u m a d e t o d o s l o s ex p o n e nt e s de
l a s l e t r a s o v a r i a b le s .
El grado de 2x2 y3 z es: 2 + 3 + 1 = 6
M o n o m i o s s e m ej a n t e s
D o s m o n o m i o s s o n s e m e j a n t e s c u a n d o ti e n e n l a m i sm a p a r t e
l i t e r al .
2 x 2 y 3 z e s se m e j a n te a 5 x 2 y 3 z
36
Operaciones con monomios
Suma de monomios
S ó l o po d em o s s um a r m o n o m i o s s em e j a n t es .
L a s u m a d e l o s m o n o m i o s es o t r o m o n o m i o q u e t i e n e l a mi sm a
p a r t e l i t er a l y c u y o c o e f i c i e n t e e s l a s u m a d e l o s c o e f i c i e n t e s.
axn + bxn = (a + b)xn
2x2 y3 z + 3x2 y3 z = 5x2 y3 z
S i l o s m o n o m i o s n o so n s e m ej a n t e s se o b ti e n e u n p o l i n o mi o .
2x2 y3 + 3x2 y3 z
Producto de un número por un monomio
E l p r o d u c t o d e u n n ú m e r o p o r u n m o n o m i o e s o t ro m o n o m i o
semejante
cuyo
c oe f i c i e n t e
es
el
p r od u c t o
del
c o e f i c i e nt e
de
m o no m i o p o r e l n ú me r o .
5 · (2 x 2 y 3 z ) = 1 0 x 2 y 3 z
M u l t i p l i c ac i ó n d e m on o m i o s
L a m ul t i pl i c a c i ó n d e m o n o m i o s es o t r o mo n o m i o q u e t i e n e p o r
c o e f i c i e n t e e l p r o d u c t o d e l o s c o e f i c i e nt e s y c uy a p a r t e l i te r a l s e
o b t i e n e m u l t i pl i c a n d o l a s p o t e n c i as q u e te n g a l a mi s m a b a s e.
axn · bxm = (a · b)xn
+m
( 5 x 2 y 3 z ) · (2 y 2 z 2 ) = 1 0 x 2 y 5 z 3
37
D i v i si ó n d e m o n o m i os
S ó l o s e p u e d e n d i v i di r m o n o m i o s co n l a m i sm a p a r t e l i t e r al y
con el grado del dividendo mayor o igual que el grado de la variable
c o r r es p o n d i e n te d e l d i v i s o r .
L a d i v i s i ó n d e m o n o m i o s e s o t r o m o no m i o q u e t i e n e p o r
c o e f i c i e n t e e l c o c i en t e d e l o s c o e f i c i e nt e s y c u y a p a r t e l i te r a l s e
o b t i e n e d i v i di e n d o l a s p o t e n c i a s q u e t e n g a l a m i s m a b a s e.
axn : bxm = (a : b)xn
− m
S i e l g r a d o d e l d i v i s o r es m ay o r , o b te n e m o s u n a fr a c c i ón
algebraica.
Potencia de un monomio
Para realizar la
potencia de un monomio
e l em e n to d e é s te , a l e x p o n e nt e d e l a p o t en c i a .
(axn)m = am · xn
· m
(2x3)3 = 23(x3)3 = 8x9
( - 3 x 2 ) 3 = ( -3 ) 3 ( x 2 ) 3 = − 2 7 x 6
38
s e e l ev a , c a da
E j e r c i c i os r e s u el t o s de m o n o m i o s
1 I n d i c a c u a le s de l as s i g u i e n t e s e x p re s i o n e s so n m o n o m i os . En
c a s o af i r m at i v o , i n d i ca s u g r a d o y c o e f i c i en t e .
13x3
G r a d o d e l m o n o mi o : 3 , c o e f e c i e n t e : 3
25x−3
N o e s u n m o n o m i o , p o r q u e e l e x p o ne n t e n o e s u n n ú m ero
natural.
33x + 1
N o e s u n m o n o m i o , po r q u e h a y u n a s um a .
4
G r a d o d e l m o n o mi o : 1 , co ef e c i e nt e :
5
G r a d o d e l m o n o mi o : 4 , co ef e c i e nt e :
6
N o e s u n m o n o m i o , po r q u e no t i e ne ex p o ne n t e n a t u r a l .
7
N o e s u n m o n o m i o , p o r q u e l a p a r t e l i te ra l e s t á d e n t ro d e u na
raíz.
39
2 R ea l i z a l a s s um a s y r e s t a s de m o no m i o s .
12x2 y3 z + 3x2 y3 z = 5x2 y3 z
2 2 x 3 − 5 x 3 = −3 x 3
33x4 − 2x4 + 7x4 = 8x4
42 a2 b c3 − 5a2 b c3 + 3a2 b c3 − 2 a2 b c3 = −2 a2 b c3
3 E f ec t ú a lo s p r o d u c to s d e m o n o m i o s .
1(2x3) · (5x3) = 10x6
2 ( 1 2 x 3 ) · (4 x ) = 4 8 x 4
35 · (2x2 y3 z) = 10x2 y3 z
4(5x2 y3 z) · (2 y2 z2) = 10 x2 y5 z3
5 ( 1 8 x 3 y 2 z 5 ) · (6 x 3 y z 2 ) = 1 0 8 x 6 y 3 z 7
6 ( −2 x 3 ) · (− 5 x ) · ( −3 x 2 ) = −3 0 x 6
4 R ea l i z a l a s d i v i s i o ne s d e m o n o m i o s .
1(12x3) : (4x) = 3x2
2(18x6 y2 z5) : (6x3 y z2 ) = 3x3 y z3
3 ( 3 6 x 3 y 7 z 4 ) : (1 2 x 2 y 2 ) = 3 xy 5 z 4
40
4
4x3y + 3x2y2 − 7x8
5
6
5 C a l c u l a l as p o t e n c i a s d e l o s m o n o m i o s .
1(2x3)3 = 23(x3)3 = 8x9
2(-3x2)3 = (-3)3(x3)2 = −27x6
3
D e f i n i c i ó n d e p o l i n om i o
U n p o l i n o m i o e s u n a e x p r e s i ó n a l g e b r a i c a c o m p ue s t a d e d o s o
m á s m o n o m i os .
U n p o l i n o m i o e s u n a e x p r e s i ó n a l g e b r ai c a d e l a f o r m a:
P(x) = an xn + an
- 1
xn
- 1
Siendo an, an
-1
. . . a 1 , a o n ú m e r o s , l l am a d o s c o e f i c i e n t e s .
+ an
- 2
xn
- 2
+ ... + a1 x1 + a0
a o e s e l t é r m i n o i n d ep e n d i e n t e .
G r a d o d e u n p o l i n o mi o
E l g r a d o d e u n p o l i n o m io P ( x ) es e l m a y or e x p o n e n t e a l q u e s e
e n c u e n t r a e l ev a d a l a v a r i a b l e x .
41
P o l i n o mi o d e g ra d o ce r o
P(x) = 2
P o l i n o mi o d e p ri m e r g r a d o
P(x) = 3x + 2
P o l i n o mi o d e s e g u n d o g r a d o
P(x) = 2x2+ 3x + 2
P o l i n o mi o d e t e r c e r g r a d o
P(x) = x3 − 2x2+ 3x + 2
P o l i n o mi o d e cu a r to g r a d o
P(x) = x4 + x3 − 2x2+ 3x + 2
C l a s e s d e p o l i n o mi o s
Polinomio nulo
E l p o l i n o m i o n u l o t i en e t o do s s u s c o e f i c i e n t e s n u l o s .
P o l i n o m i o h o m og é n e o
E l p o l i n o m i o h o m o g én e o t i e n e t o d o s s u s t é r m i n o s o m o n o m i os
c o n e l mi s m o g r a d o .
P ( x ) = 2 x 2 + 3 xy
42
P o l i n o m i o h e t e r og é n e o
L o s t é r mi n o s d e u n p o l i n o m i o h e t e r o g é n e o s o n d e d i st i n to
grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 − 3
Polinomio completo
U n p o l i n o m i o c o m pl e t o t i e n e t o d o s l o s t é r mi n o s d e s d e el
t é r m i no i n d e p e n d i e nte h a s t a e l té r m i no d e m ay o r g r a d o .
P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x − 3
Polinomio ordenado
U n p o l i n o m i o e s t á o r d e n a d o s i l o s m o n o m i o s q u e l o f o rm a n
e s t á n es c r i to s d e m a y o r a m e n o r g r a d o .
P(x) = 2x3 + 5x − 3
Polinomios iguales
D o s p o l i no m io s s o n i gu a l e s s i v e r i f i c a n:
1 L o s do s p o l i no m i o s ti e n e n e l m i s m o g r a d o .
2 L o s c o e f i c i e n t e s de lo s té rm i n o s de l m i sm o g r a d o s o n i g u a l e s .
P(x) = 2x3 + 5x − 3
Q(x) = 5x − 3 + 2x3
P o l i n o m i o s s e m ej a n te s
D o s po l i n o m i o s so n se m e j a n t e s s i v e r i f i c an q u e t i e n e n l a m i s ma
p a r t e l i t er a l .
43
P(x) = 2x3 + 5x − 3
Q(x) = 5x3 − 2x − 7
T i p o s d e p o l i n o m i o s s e g ú n e l n ú m er o d e té r m i n o s
Monomio
E s u n p o l i n o mi o q u e c o n s t a d e u n só l o m on o m i o .
P(x) = 2x2
B i n o mi o
E s u n p o l i n o mi o q u e c o n s t a d e d o s m o n o m i o s .
P(x) = 2x2 + 3x
Trinomio
E s u n p o l i n o mi o q u e c o n s t a d e tr e s m o n o m i o s .
P(x) = 2x2 + 3x + 5
Valor numérico de un polinomio
E s e l r e s u l t a d o q u e o b t e n em o s a l s u s t i t ui r l a v a r i a b l e x p o r u n
n ú m e ro c u a l q u i e r a .
P(x) = 2x3 + 5x − 3 ; x = 1
P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 − 3 = 2 + 5 − 3 = 4
44
E j e r c i c i os r e s u el t o s de p o l i n o m i o s
1 D i s i la s s i g u i e n t es e x p r e s io n e s a l ge b r a i c a s s o n po l i n o m io s o
no.
En
caso
a f i rm a t i v o ,
señala
cuál
es
su
grado
y
t é r m ino
independiente.
1x4 − 3x5 + 2x2 + 5
G r a d o : 5 , t é rm i n o i n d e p e n d i e n t e: 5 .
2
+ 7X2 + 2
N o , p o r q u e l a p a r te l i t e r a l d e l p r i m e r m o no m i o
e s t á d e nt r o d e u n a r aí z .
31 − x4
G r a d o : 4 , t é rm i n o i n d e p e n d i e n t e: 1 .
4
N o , p o r q u e e l ex p o ne n t e d e l p r i m e r m o no m io
n o e s u n n ú m e ro n atu r a l .
5x3 + x5 + x2
G r a d o : 5 , t é rm i n o i n d e p e n d i e n t e: 0 .
6x − 2 x−
3
+ 8
N o , p o r q u e e l e x p o nen t e d e l 2 º m o n o m i o
n o e s u n n ú m e ro n atu r a l .
7
45
G r a d o : 3 , t é rm i n o i n d e p e n d i e n t e: - 7 / 2 .
2 E s c r i be :
1Un
po l i n o m i o
ordenado
sin
t ér m i n o
independiente.
3x4 − 2x
2 U n p o l i no m io no o r de n a d o y co m p l e to .
3x − x2 + 5 − 2x3
3Un
p o l i no m io
co m p l e to
sin
té rm i n o
independiente.
Imposible
4 U n p o l i n o m io d e g r a d o 4 , c o m p l et o y
c o n co e f i c ie n t es im p a r e s .
x4 − x3 − x2 + 3x + 5
Suma de polinomios
P a r a s u m a r d o s p o l i n o m i o s s e s u m a n l os c o e f i c i e n t es d e l os
t é r m i n o s d e l mi s m o g r a d o .
P(x) = 2x3 + 5x - 3
Q (x ) = 4 x - 3 x 2 + 2 x 3
1 O r d e n a m o s lo s p o l i n o m i o s , s i no lo es t án .
Q(x) = 2x3 - 3x2 + 4x
P ( x ) + Q ( x) = ( 2 x 3 + 5 x - 3 ) + ( 2 x 3 - 3 x 2 + 4 x)
46
2 A g r u p a m o s lo s m o n o m i o s d e l m i s m o g r ad o .
P ( x ) + Q ( x) = 2 x 3 + 2 x 3 - 3 x 2 + 5 x + 4 x - 3
3 S u m a m o s l o s m o n om i o s s e m e j a n t es .
P ( x ) + Q ( x) = 4 x 3 - 3 x 2 + 9 x - 3
R e s t a d e p o l i n o mi o s
L a r e s t a d e p o l i n o m i o s co n s i s te e n su m a r e l o p u e s t o d e l
sustraendo.
P ( x ) − Q ( x ) = (2 x 3 + 5 x - 3 ) − (2 x 3 - 3 x 2 + 4 x )
P ( x ) − Q ( x) = 2 x 3 + 5 x - 3 − 2 x 3 + 3 x 2 − 4 x
P ( x ) − Q ( x) = 2 x 3 − 2 x 3 + 3 x 2 + 5 x− 4 x - 3
P ( x ) − Q ( x) = 3 x 2 + x - 3
M u l t i p l i c ac i ó n d e p o l i n o m i o s
M u l t i p l i c ac i ó n d e u n n ú m e r o p o r u n p o l i no m i o
E s o t r o p o l i n o mi o q u e t i e ne d e g r a d o e l m i sm o d e l po l i n o m io y
c o m o c o e f i c i e n t e s e l p r o d u c t o d e l o s c o e f i c i e n t e s d e l p o l i n om i o p o r
el número.
3 · ( 2x3 - 3 x2 + 4x - 2) = 6x3 - 9x2 + 12x - 6
M u l t i p l i c ac i ó n d e u n m o n o m i o p o r u n p o l i n o m i o
S e m u l t i p l i c a e l m o no m i o p o r to d o s y c a d a u n o d e l o s m o n o mi o s
q u e f o r m a n e l p o l i n om i o .
47
3 x 2 · (2 x 3 - 3 x 2 + 4 x - 2 ) = 6 x 5 - 9 x 4 + 1 2 x 3 - 6 x 2
M u l t i p l i c ac i ó n d e p o l i n o m i o s
P(x) = 2x2 - 3
Q ( x) = 2 x 3 - 3 x 2 + 4 x
S e m u l t i p l i c a c a d a mo n o m i o d e l p r i m er po l i n o m i o p o r t o d o s l o s
e l e m e n t o s s eg u n d o p o l i n o m i o .
P ( x ) · Q( x ) = (2 x 2 - 3 ) · ( 2 x 3 - 3 x 2 + 4 x) =
= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados
d e l o s p o l i n o mi o s q ue s e m u l t i p l i c a n .
T a m b i é n po d em o s m ul t i p l i c a r p o l i n o m i o s de s i g u i e n t e m o do :
D i v i si ó n d e p o l i n o m i o s
R e s o l v e r l a d i v i si ó n d e p o l i n o mi o s :
P ( x ) = 2 x 5 + 2 x 3 −x - 8
Q ( x ) = 3 x 2 −2 x + 1
P(x) : Q(x)
48
A l a i z q u i e r d a s i t u am o s e l d i v i d e n d o . S i e l po l i n o m io n o es
c o m p l e t o d e ja m o s h ue c o s e n lo s l u g a re s qu e c o r re s p o n d a n .
A l a d e r ec h a s i t u a m o s e l di v i s o r d e n t r o d e u n a c a j a .
D i v i d i m o s e l p r i m e r m o n o m i o d e l d i v i d e n d o e n t r e e l p r i me r
monomio del divisor.
x5 : x2 = x3
M u l t i p l i c a m os
cada
término
del
polinomio
divisor
por
el
r e s u l t a d o a n t e r i o r y l o r e s t a m o s d el p o l i no m i o d i v i d e n d o :
V o l v e m o s a d i v i di r e l p r i m e r m o no m i o d e l d i v i d e n d o e n t re e l
p r i m e r m o n o m io d e l d i v i so r . Y e l re s u l t ad o lo m u l t i p l i c am o s p o r el
d i v i s o r y lo re s t am o s a l d i v i d e n d o .
2x4 : x2 = 2 x2
P r o c e d em o s i g u a l q ue a n t e s .
5x3 : x2 = 5 x
49
V o l v e m o s a h a c e r l a s m i sm a s o p e r a c io n e s .
8x2 : x2 = 8
1 0 x − 6 e s e l r e s t o , po r q u e s u g r a d o e s m e n o r q u e e l d e l d i v i s or
y p o r t a n to no s e p u ed e c o nt i n u a r d i v i d i e nd o .
x3+2x2 +5x+8 es el cociente.
D i v i si ó n p o r R u f f i ni
S i e l d i v i s o r e s u n b i n o m i o d e l a f o r m a x — a , e n t o n c es
u t i l i z a m o s u n m é t o d o m á s b r e v e p a r a h ac er l a d i v i s i ó n , l l am a do r e g l a
de Ruffini.
50
R e s o l v e r p o r l a r e g l a d e Ru f f i n i l a d i vi s i ó n :
( x 4 − 3 x 2 +2 ) : ( x − 3 )
1 S i e l p o l i n o m i o n o e s c o m p l e t o , l o c om p l e t a m o s a ñ a d i e n d o l o s
términos que faltan con ceros.
2 C o l oc a m o s l o s c o e f i c i e n t e s d e l d i v i d e n d o e n u n a l í n e a .
3 A b a j o a l a i z q u i er d a c o l o c a m o s e l o p u e s t o d e l
t é r m i no
independendiente del divisor.
4 T r a z a m o s u n a r ay a y b a j a m o s e l p r i m er c o e f i c i e n t e .
5 M u l t i pl i c a m o s e s e c o e f i c i e n t e p o r e l d i v i s o r y l o c o l oc a m os
debajo del siguiente término.
6 S u m a m o s l o s d o s c oe f i c i e n t es .
7Repetimos el proceso anterior.
V o l v e m o s a r e p et i r e l p r o c es o .
51
V o l v e m o s a r e p et i r .
8 E l ú l ti m o n ú m e r o ob t e n i d o , 5 6 , e s el r es t o .
9El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al
d i v i d e n d o y c uy o s c o e f i c i e n t es s o n l o s q ue h e m o s o b t e n i d o .
x 3 + 3 x 2 + 6 x +1 8
E j e r c i c i os y p r o b l e m as r e s u el t o s d e p o l i n o m i o s
1 D a do s lo s po l i n o m i o s :
P(x) = 4x2 − 1
Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2
R(x) = 6x2 + x + 1
S(x) = 1/2x2 + 4
T(x) = 3/2x2 +5
U(x) = x2 + 2
Calcular:
1 P (x ) + Q ( x ) =
52
= (4x2 − 1) + ( x3 − 3x2 + 6x − 2) =
= x3 − 3x2 + 4x2+ 6x − 2 − 1 =
= x3 + x2+ 6x − 3
2 P (x ) − U (x ) =
= (4x2 − 1) − (x2 + 2) =
= 4x2 − 1 − x2 − 2 =
= 3x2 − 3
3 P (x ) + R (x ) =
= (4x2 − 1) + (6x2 + x + 1) =
= 4x2 + 6x2 + x − 1 + 1 =
= 10x2 + x
4 2 P ( x ) − R ( x) =
= 2 (4 x 2 − 1 ) - ( 6 x 2 + x + 1 ) =
= 8x2 − 2 − 6x2 − x − 1 =
= 2x2 − x − 3
5 S ( x ) + R ( x ) + U (x ) =
= ( 1 / 2 x 2 + 4 ) + (3 / 2 x 2 + 5 ) + (x 2 + 2 ) =
= 1/2 x2 + 3/2 x2 + x2 + 4 + 5+ 2 =
= 3x2 + 11
6 S ( x ) − R ( x ) + U (x ) =
53
= ( 1 / 2 x 2 + 4 ) − (3 / 2 x 2 + 5 ) + (x 2 + 2 ) =
= 1/2 x2 + 4 − 3/2 x2 − 5 + x2 + 2 =
= 1
2 D a do s lo s po l i n o m i o s :
P(x) = x4 −2x2 − 6x − 1
Q(x) = x3 − 6x2 + 4
R(x) = 2x4 −2 x − 2
Calcular:
P ( x ) + Q ( x ) − R( x ) =
= ( x 4 −2 x 2 − 6 x − 1 ) + ( x 3 − 6 x 2 + 4 ) − ( 2 x 4 −2 x − 2 ) =
= x4 −2x2 − 6x − 1 + x3 − 6x2 + 4 − 2x4 + 2 x + 2 =
= x4 − 2x4 + x3 −2x2 − 6x2 − 6x + 2 x − 1 + 4 + 2 =
= −x4 + x3 − 8x2 − 4x + 5
P ( x ) + 2 Q( x ) − R (x ) =
= ( x 4 − 2 x 2 − 6 x − 1 ) + 2 ( x 3 − 6 x 2 + 4 ) − ( 2 x 4 −2 x − 2 ) =
= x 4 − 2 x 2 − 6 x − 1 +2 x 3 − 1 2 x 2 + 8 − 2 x 4 + 2 x + 2 =
= x 4 − 2 x 4 + 2 x 3 −2 x 2 − 1 2 x 2 − 6 x + 2 x − 1 + 8 + 2 =
= −x4 + 2x3− 14x2 − 4x + 9
Q ( x ) + R ( x) − P (x ) =
54
= ( x 3 − 6 x 2 + 4 ) + ( 2 x 4 − 2 x − 2 ) − (x 4 − 2 x 2 − 6 x − 1 ) =
= x 3 − 6 x 2 + 4 + 2 x 4 − 2 x − 2 − x 4 +2 x 2 + 6 x + 1 =
= 2 x 4 − x 4 + x 3 − 6 x 2 +2 x 2 − 2 x + 6 x + 4 − 2 + 1 =
= x4 + x3 − 4x2 + 4x + 3
1 ( x 4 −2 x 2 + 2 ) · ( x 2 − 2 x + 3 ) =
= x
6
−2x5 + 3x4 − 2x4 + 4x3 − 6x2 + 2x2− 4x +6=
= x
6
−2x5 − 2x4 + 3x4 + 4x3 + 2x2 − 6x2 − 4x +6 =
= x
6
−2x5 + x4 + 4x3 − 4x2 − 4x + 6
2 (3 x 2 − 5 x ) · (2 x 3 + 4 x 2 − x + 2 ) =
= 6x5 + 12x4 − 3x3 + 6x2 − 10x4 − 20x3 + 5x2 − 10x =
= 6x5 + 12x4 − 10x4 − 3x3 − 20x3 + 6x2 + 5x2 − 10x =
= 6x5 + 2x4 − 23x3 + 11x2 − 10x
3 (2 x 2 − 5 x + 6 ) · (3 x 4 − 5 x 3 − 6 x 2 + 4 x − 3 ) =
= 6x6 − 10x5 − 12 x4 + 8x3 − 6 x2 −
− 15x5 + 25x4 + 30x3 − 20x2+ 15x +
+18x4 − 30x3 − 36x2 + 24x − 18 =
= 6x6 − 10x5 − 15x5 − 12 x4 + 25x4 + 18x4 +
+8x3 − 30x3 + 30x3− 6 x2− 20x2 − 36x2 + 15x + 24x − 18 =
= 6x6 − 25x5 + 31x4 + 8x3 − 62x2 + 39x − 18
55
3 D i v i di r l o s p o l i n o m i o s :
1 ( x 4 − 2 x 3 −1 1 x 2 + 3 0 x − 2 0 ) : ( x 2 + 3 x − 2 )
2(x 6+ 5x4 + 3x2 − 2x) : (x2 − x + 3)
3 P(x) = 2x5 + 2x3 −x - 8
Q ( x ) = 3 x 2 −2 x + 1
56
4 Di v i d i r p o r R u f f i ni :
1 ( x 3 + 2 x +7 0 ) : ( x +4 )
2(x5 − 32) : (x − 2)
C ( x ) = x 4 + 2 x 3 + 4 x 2 + 8 x + 1 6 R= 0
3 ( x 4 −3 x 2 +2 ) : (x −3 )
C ( x ) = x 3 + 3 x 2 + 6 x +1 8 R = 5 6
57
B i n o mi o a l c u a d r a d o
(a ± b)2 = a2 ± 2 · a · b + b2
(x + 3)2 = x
2
= x
2
+ 6 x + 9
( 2 x − 3 ) 2 = (2 x ) 2 − 2 · 2 x · 3 + 3
2
= 4x2 − 12 x + 9
+ 2 · x ·3 + 3
2
Suma por diferencia
( a + b ) · ( a − b) = a 2 − b 2
( 2 x + 5 ) · (2 x - 5 ) = (2 x ) 2 − 5 2 = 4 x 2 − 2 5
B i n o mi o a l c u b o
(a ± b)3 = a3 ± 3 · a2 · b + 3 · a · b2 ± b3
(x + 3)3 = x
= x
3
3
+ 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =
+ 9 x2 + 27 x + 27
( 2 x - 3 ) 3 = ( 2 x ) 3 - 3 · (2 x ) 2 · 3 + 3 · 2 x · 3 2 - 3 3 =
= 8x
3
- 36 x2 + 54 x - 27
Trinomio al cuadrado
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + + 2 · a · c + 2 · b · c
(x2 − x + 1)2 =
= ( x 2 ) 2 + ( -x ) 2 + 1 2 + 2 · x 2 · ( - x ) + 2 x 2 · 1 + 2 · ( - x ) · 1 =
= x4 + x2 + 1 - 2x3 + 2x2 - 2x=
= x4- 2x3 + 3x2 - 2x + 1
58
Suma de cubos
a 3 + b 3 = ( a + b) · ( a 2 − a b + b 2 )
8 x 3 + 2 7 = (2 x + 3 ) (4 x 2 - 6 x + 9 )
Diferencia de cubos
a 3 − b 3 = ( a − b) · ( a 2 + a b + b 2 )
8 x 3 − 2 7 = (2 x − 3 ) (4 x 2 + 6 x + 9 )
P r o d u c t o d e d o s b i n om i o s q u e ti e n e n u n t é r m i n o c o m ú n
(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab
(x + 2) (x + 3) =
= x 2 + (2 + 3 ) x + 2 · 3 =
= x2 + 5x + 6
E j e r c i c i os r e s u el t o s de p r o d u c t o s n o t a b l e s
1 D e s a r r o l l a l o s bi n o m i o s al c u a d r a d o .
1(x + 5)2 =
= x2 + 2 · x · 5 + 52 =
= x
2
+ 10 x + 25
2(2x - 5)2 =
= (2x)2 - 2 · 2x ·5 + 52 =
= 4x2 - 20 x + 25
59
2(2x - 5)2 =
= (2x)2 - 2 · 2x ·5 + 52 =
= 4x2 - 20 x + 25
4
2 D e s a r r o l l a l o s b i n om i o s al c u b o .
1 (2 x - 3 ) 3 = ( 2 x) 3 - 3 · ( 2 x) 2 · 3 + 3 · 2 x · 3 2 - 3 3 =
= 8x
3
- 36 x2 + 54 x - 27
2(x + 2)3 = x
3
+ 3 · x2 ·2 + 3 · x· 2
2
+ 23 =
= x3 + 6 x2 + 12 x + 8
3 ( 3 x - 2 ) 3 = (3 x) 3 − 3 · ( 3 x ) 2 · 2 + 3 · 3 x · 2
=27x
3
2
− 23 =
− 54 x2 + 36 x − 8
4(2x + 5)3 = (2 x)3 + 3 ·(2x)2 ·5 + 3 · 2x· 52 + 5
= 8x3 + 60 x2 + 150 x + 125
3 D e s a r r o l l a l a s s u m as p o r d i f e r e nc i a s
60
3
=
1 ( 3 x - 2 ) · (3 x + 2 ) =
= (3x)2 − 22 =
= 9x2 − 4
2 ( x + 5 ) · (x − 5 ) =
= x2 − 25
3 ( 3 x - 2 ) · (3 x + 2 ) =
= (3x)2 − 22 =
= 9x4 − 4
4 ( 3 x - 5 ) · (3 x - 5 ) =
= (3x)
= 9x
2
2
− 52 =
− 25
Teorema del resto
E l r e s t o d e l a d i v i s i ón d e u n p o l i n o m i o P ( x ) , e n t r e u n p o l i n o m i o
d e l a fo r m a ( x - a ) es e l v a l o r n u m ér i c o d e d i c h o p o l i n o m i o p a r a e l
v a l o r: x = a .
P ( x )= x 4 − 3 x 2 +2
Q ( x )= x − 3
P(x) : Q(x)
P(3) = 34 − 3 · 32 + 2 = 81 − 27 + 2 = 56
61
T e o r e m a d e l f ac t o r
E l p o l i n o m i o P ( x) e s d i v i s i bl e p o r u n p o l i n o m i o d e l a f o rm a ( x a) si y sólo si P(x = a) = 0.
A l v a l o r x = a s e le l l am a r a í z o c e r o de l p o i n o m i o P( x ) .
P(x) = x2 − 5x + 6
P(2) = 22 − 5 · 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0
P(3) = 32 − 5 · 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0
x = 2 y x = 3 so n r a í c e s o c e r o s d e l p o l i n o m i o : P ( x ) = x 2 − 5 x + 6 ,
porque P(2) = 0 y P(3) = 0.
R a í c es d e u n p o l i n o mi o
1 L o s c e r o s o r aí c es d e u n p o l i n o m i o s o n d i v i s o r e s d e l t é r m i no
i n d e p e n d i e n t e d e l p o l i n o m io .
2 A c a d a r a í z d e l t i p o x = a l e co r r e s po n d e u n b i n o m i o d e l t i p o (x
— a).
3 P o d em o s e x p r e sa r u n p o l i n o m i o e n f a c t o r e s a l e s c r i b i r l o co m o
p r o d u c t o d e to d o s lo s b i n o m i o s de l t i p o (x — a ) , q u e s e co r r e sp o n d a n
a l a s r a í ce s , x = a , q u e s e o b te n g a n .
x2 − 5x + 6 = (x − 2) · (x − 3)
62
4 L a s u m a d e l o s e x p o n e n t e s d e l o s bi n o m i o s h a d e s e r i g u a l a l
g r a d o d e l p o l i n o mi o .
5 To d o p o l i n o m i o q u e n o t e n g a t é r mi n o i n d e p e n d i e n t e a d m i te
c o m o r a í z x = 0 , ó lo q u e e s lo m i sm o , a d m i t e co m o f a c t o r x .
x2 + x = x · (x + 1)
R a í c e s: x = 0 y x = − 1
6 U n p o l i n o m i o s e l l a m a i r r e d u c i bl e o p r i m o c u a n d o n o p u e d e
d e s c o m p o n e r s e e n f ac t o r e s .
P(x) = x2 + x + 1
Ejercicio
H a l l a r l a s r a í c e s y d es c o m p o n e r e n f a c t o r e s e l p o l i n o m i o :
Q(x) = x2 − x − 6
L o s d i v i so r e s d e l té rm i n o i n de p e n d i e n t e s o n ±1 , ±2 , ± 3 .
Q(1) = 12 − 1 − 6 ≠ 0
Q ( − 1 ) = ( −1 ) 2 − (− 1 ) − 6 ≠ 0
Q(2) = 22 − 2 − 6 ≠ 0
Q ( − 2 ) = ( −2 ) 2 − (− 2 ) − 6 = 4 + 2 - 6 = 0
Q ( 3 ) = 3 2 − 3 − 6 = 9 − 3 − 6 =0
L a s r a í ce s so n : x= - 2 y x = 3 .
Q(x) = (x + 2 ) · (x − 3 )
63
1 º F a c t o r c o m ú n d e un p o l i n o m i o
E x t r a e r f ac t o r c o m ún a u n p o l i n o mi o co n s i s t e e n a p l i c a r la
propiedad distributiva.
a · x + b · x + c · x = x (a + b + c)
U n a r a í z d e l p o l i n o m i o s e r á s i em p r e x = 0
D e s c o mp o n e r en fa c to r e s s a ca n d o fa c to r co mú n y h a l l a r l a s ra í c e s
de:
1 x3 + x2 = x2 (x + 1)
L a r a í c e s s o n: x = 0 y x = − 1
2 2x4 + 4x2 = 2x2 (x2 + 2)
S ó l o t i e n e u n a r a í z X = 0 ; y a q u e e l po l i no m io , x 2 + 2 , no t ie ne
n i n g ú n v a l o r q u e lo a n u l e ; d e b i d o a q ue a l e s t a r l a x a l c ua d r a d o
s i e m p re d a r á u n n úm e r o po s i t iv o , p o r t a n to e s i r r e d u c i b l e .
3 x 2 − a x − b x + a b = x ( x − a) − b ( x − a ) = ( x − a ) · ( x − b )
La raíces son x= a y x = b.
2ºIgualdad notable
1 D i f e r e nc i a d e c u a d r a d o s
U n a d i f e r e n c i a d e c ua d r a d o s e s i g u a l a s um a p o r d i f e r e n c i a .
64
a 2 − b 2 = ( a + b) · ( a − b )
D e s c o mp o n e r en fa c to r e s y h a l l a r l a s r a í ce s
1 x2 − 4 = (X + 2) · (X − 2)
Las raíces son X = − 2 y X = 2
2 x 4 − 1 6 = ( x 2 + 4 ) · ( x 2 − 4 ) = ( X + 2 ) · (X − 2 ) · ( x 2 + 4 )
Las raíces son X = − 2 y X = 2
2Trinomio cuadrado perfecto
U n t r i n o m i o c u a d r a d o p e r f e c t o e s i g ua l a u n b i n o m i o a l
cuadrado.
a2 ± 2 a b + b2 = (a ± b)2
D e s c o mp o n e r e n f a c t o r e s l o s t r i n o m i o c u a d r a d o s p e r f e cto s y
hallar sus raíces
La raíz es x = − 3.
La raíz es x = 2.
65
3 º T r i n o mi o d e s e g u nd o g r a d o
P a r a d e s c o m p o n e r en f a c t o r e s el tr i n o mi o d e s e g u n d o g r a d o
P ( x ) = a x 2 + b x + c , s e i g u a l a a c e r o y s e r e s u e l v e l a ec u a c i ó n d e 2 º
g r a d o . S i l a s s o l u c io n e s a l a e c u ac i ó n s o n x 1 y x 2 , e l p o l i n o m io
d e s c o m p u e st o s e r á:
a x2 + bx +c = a · (x -x1 ) · (x -x2 )
D e s c o mp o n e r e n f a cto r e s l o s t r i n o mi o s d e s e g u n d o g r a d o y h a l l a r
sus raíces
Las raíces son x = 3 y x = 2.
66
Las raíces son x = 3 y x = − 2.
D e s c o mp o n e r e n f a c t o r e s l o s t r i n o m i o s d e c u a r to g r a d o d e
e x p o n e n t e s p a r e s y h a l l a r su s r a í c e s
x4 − 10x2 + 9
x2 = t
x4 − 10x2 + 9 = 0
t2 − 10t + 9 = 0
x4 − 10x2 + 9 = (x + 1) · (x − 1) · (x + 3) · (x − 3)
x4 − 2x2 + 3
x2 = t
t2 − 2t + 3 = 0
67
x 4 − 2 x 2 + 3 = (x 2 + 1 ) · ( x +
) · (x −
)
4 º F a c t or i z a c i ó n d e un p o l i n o m i o d e g r a d o s u p e r i o r a d o s
U t i l i z am o s e l t e o r e ma d e l r e s t o y l a r e g l a d e R u f f i n i .
D e s c o mp o s i ci ó n d e u n p o l i n o mi o d e g ra d o s u p e r i o r a d o s y c á l cu l o
de sus raíces
P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6
1 T o m a m os l os d i v i s o r e s d e l t é r mi n o i n d ep e n d i e n t e : ± 1 , ±2 , ±3 .
2 A p l i c a n d o e l t e o r em a d e l r e s t o sa b r em o s p a r a q u e v a lo r e s l a
d i v i s i ó n e s ex a c t a .
P(1) = 2 · 14 + 13 − 8 · 12 − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0
3 D i v i di m o s p o r R u f f i n i .
68
4 P o r s e r l a d i v i s i ó n ex a c t a , D = d · c
( x −1 ) · (2 x 3 + 3 x 2 − 5 x − 6 )
Una raíz es x = 1.
C o n t i n u a m o s r e a l i z an d o l a s m i sm a s o pe r a c i o ne s a l s e g u n do
factor.
V o l v e m o s a p ro b a r p o r 1 po r q u e e l p r i m e r f a c to r p o d r í a e st ar
e l e v a do a l c u a d r a d o .
P(1) = 2 · 13 + 3 · 12 − 5 · 1 − 6≠ 0
P ( −1 ) = 2 · ( − 1 ) 3 + 3 ·( − 1 ) 2 − 5 · ( − 1 ) − 6 = − 2 + 3 + 5 − 6 = 0
( x −1 ) · (x +1 ) · ( 2 x 2 +x − 6 )
O t r a r a í z e s x = -1 .
E l t e r c e r fa c to r l o po d em o s e n c o nt r a r a pl i c a n d o l a e c u a c ió n d e
2º
grado
o
tal
co m o
v e n im o s
h a c ié n d o l o ,
aunque
t ie n e
i n c o n v e n i e n t e de q u e s ó lo p o de m o s e n co n tr a r r a í c e s e n t e r as .
E l 1 lo d es c a r t am o s y s e g u i m o s p ro b a n d o po r − 1 .
P ( −1 ) = 2 · ( −1 ) 2 + ( − 1 ) − 6 ≠ 0
P(2) = 2 · 22 + 2 − 6 ≠ 0
P ( −2 ) = 2 · ( −2 ) 2 + ( − 2 ) − 6 = 2 · 4 − 2 − 6 = 0
69
el
( x −1 ) · (x +1 ) · ( x + 2 ) · ( 2 x −3 )
S a c a m o s f ac t o r c o m ún 2 e n ú l t im o b i n o m io .
2 x −3 = 2 ( x − 3 / 2 )
L a f a c t or i z a c i ó n d e l p o l i n o m i o q u e d a:
P ( x ) = 2 x 4 + x 3 − 8 x 2 − x + 6 = 2 ( x −1 ) · ( x +1 ) · ( x + 2 ) · ( x − 3 / 2 )
Las raíces son : x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2
E j e r c i c i os r e s u el t o s de f a c t o r i z a c i ó n d e p o l i n o m i os
F a c to r i z a r l o s p o l i n o m i o s
19x4 − 4x2 =
x2 · (9x2 − 4) =
x2 · (3x + 2) · (3x − 2)
2x5 + 20x3 + 100x =
x · (x4 + 20x2 + 100) =
x · (x2 + 10)2
33x5 − 18x3 + 27x =
3 x · (x 4 − 6 x 2 + 9 ) =
70
= 3x · (x2 − 3)2
42x3 − 50x =
=2x · (x2 − 25 ) =
2x · (x + 5) · (x - 5)
52x5 − 32x =
= 2x · (x4 − 16 ) =
2 x · (x 2 + 4 ) · (x 2 − 4 ) =
= 2 x · ( x 2 + 4 ) · ( x +2 ) · ( x − 2 )
62x2 + x − 28
2x2 + x − 28 = 0
2x2 + x − 28 = 2 (x + 4) · (x − 7/2)
D e s c o mp o n e r en fa c to r e s l o s p o l i n o m i o s
1
2xy − 2x − 3y +6 =
71
= x · (y − 2) − 3 · (y − 2) =
= (x − 3) · (y − 2)
325x2 − 1=
= ( 5 x +1 ) · ( 5 x − 1 )
436x6 − 49 =
= (6x3 + 7) · (6x3 − 7)
5x2 − 2x +1 =
= (x − 1)2
6x2 − 6x +9 =
= (x − 3)2
7 x 2 − 2 0 x +1 0 0 =
= (x − 10)2
8 x 2 + 1 0 x +2 5 =
= (x + 5)2
9 x 2 + 1 4 x +4 9 =
= (x + 7)2
10x3 − 4x2 + 4x =
= x · (x2 − 4x +4) =
= x · (x − 2)2
113x7 − 27x =
72
= 3x · (x6 − 9 ) =
= 3x · (x3 + 3) · (x3 − 3)
12x2 − 11x + 30
x2 − 11x + 30 = 0
x2 − 11x + 30 = (x −6) · (x −5)
1 3 3 x 2 + 1 0 x +3
3 x 2 + 1 0 x +3 = 0
3 x 2 + 1 0 x +3 = 3 ( x − 3 ) · ( x − 1 / 3 )
1 4 2 x 2 − x −1
2 x 2 − x −1 = 0
2 x 2 − x −1 = 2 ( x − 1 ) · ( x + 1 / 2 )
73
F a c to r i z a r y h a l l a r l a s r a í c e s d e l o s p o l i n o m i o s
1 2x3 − 7x2 + 8x − 3
P(1) = 2 · 13 − 7 · 12 + 8 · 1 − 3 = 0
( x −1 ) · ( 2 x 2 − 5 x + 3 )
P(1) = 2 · 1
2
−5 · 1 + 3 = 0
( x −1 ) 2 · (2 x − 3 ) = 2 ( x − 3 / 2 ) · ( x − 1 ) 2
Las raíces son: x = 3/2 y x = 1
2x3 − x2 − 4
{ ± 1 , ± 2 , ±4 }
P(1) = 1
3
− 1
P ( −1 ) = ( −1 )
P(2) = 2
3
3
− 2
2
− 4 ≠ 0
− ( −1 )
2
2
− 4 ≠ 0
− 4 = 8 − 4 − 4 = 0
74
(x − 2) · (x2+ x + 2 )
x2+ x + 2 = 0
(x − 2) · (x2+ x + 2 )
Raíz: x = 2.
3 x 3 + 3 x 2 −4 x − 1 2
{ ± 1 , ± 2 , ±3 , ±4 , ± 6 , ±1 2 }
P(1) = 13 + 3 · 12 − 4 · 1 − 12 ≠ 0
P ( −1 ) = ( −1 ) 3 + 3 · ( − 1 ) 2 − 4 · ( −1 ) − 1 2 ≠ 0
P(2) = 23 + 3 · 22 − 4 · 2 − 12 = 8 + 12 − 8 − 12 = 0
(x − 2) · (x2 + 5x +6)
x 2 + 5 x +6 = 0
75
( x − 2 ) · (x + 2 ) · ( x + 3 )
L a s r a í ce s so n : x = 2 , x = − 2 , x = − 3 .
46x3 + 7x2 − 9x + 2
{±1, ±2}
P(1) = 6 · 13 + 7 · 12 − 9 · 1 + 2 ≠ 0
P ( −1 ) = 6 · ( −1 ) 3 + 7 · ( − 1 ) 2 − 9 · (− 1 ) + 2 ≠ 0
P(2) = 6 · 2
3
+ 7 · 2
2
− 9 · 2 + 2 ≠ 0
P ( −2 ) = 6 · ( −2 ) 3 + 7 · ( − 2 ) 2 − 9 · (− 2 ) + 2 = − 4 8 + 2 8 + 1 8 + 2 = 0
( x + 2 ) · (6 x 2 −5 x + 1 )
6 x 2 − 5 x +1 = 0
6 · (x + 2) · (x − 1/2) · (x − 1/3)
76
R a í c es : x = − 2 , x = 1 / 2 y x = 1 / 3
U n a f r a c c i ó n a l g e b r ai c a e s e l c o c i e n t e d e d o s p o l i n o m i o s y se
r e p r e s e n t a p o r:
F r a c c i o n e s a l g e b r a i c a s e q u i v al e n t e s
Dos fracciones algebraicas
s o n e q u i v a l e n t e s , y lo r e p re s e n t am o s po r :
s i s e v e r i f i c a q u e P( x ) · S ( x ) = Q( x ) · R ( x ) .
s o n f r ac c i o n e s a l g e b r a i c a s e q u i v a l e n t e s p o r q u e :
(x + 2) · (x − 2) = x 2 − 4
D a d a u n a f r a c c i ó n a l g e b r a i c a , s i m ul t i pl i c a m o s e l n u m e r a d o r y
e l d e n o m i n a d o r d e d ic h a f r a c c ió n po r u n m i sm o p o l i n o mi o d i st i n t o de
c e r o , l a f r ac c i ó n a l g e b r a i c a re s u l t a n t e e s e q u i v a l e n t e a l a d a d a.
77
S i m p l i fi c ac i ó n d e f r ac c i o n e s a l g e b r a i c a s
P a r a s i m p l i fi c ar u n a f r a c c i ó n a l g e b r a i c a se d i v i d e e l n u m e r a do r
y e l d e n o m i n a d o r d e l a f r a c c ió n p o r u n p o l i n o m i o q u e s ea f a c t o r
c o m ú n d e am b o s .
Amplificación de fracciones algebraicas
Para
amplificar
u na
fracción
a l g e b r ai c a
se
m ul t i pl i c a
el
n u m e r a d o r y e l d e n o m i n a d o r d e l a f r a c c ió n p o r u n p o l i n o mi o .
R e d u c c i ó n d e f r a c c i on e s a l g e b r a i c a s a c om ú n d e n o m i n a d o r
1 S e d e s c o m p o n e n l o s d e n o m i n a d o r e s e n f a c t o r e s p a r a h a l l a r l es
e l mí n i m o c o m ú n m úl t i p l o , q u e s e r á e l co m ú n d e n o m i n a do r .
x 2 − 1 = (x + 1 ) · (x − 1 )
x 2 + 3 x + 2 = ( x+ 1 ) · ( x + 2 )
m . c . m .( x 2 − 1 , x 2 + 3 x + 2 ) = (x + 1 ) · ( x − 1 ) · ( x + 2 )
78
2 D i v i di m o s e l c o m ú n d e n o m i n a d o r e n t r e l o s d e n o m i n a d o r e s d e
l a s f r a c c i o n e s d a d a s y e l r e s u l t a d o l o m ul ti p l i c a m o s p o r e l n u me r a d o r
c o r r es p o n d i e n te .
Operaciones con fracciones algebraicas
S u m a d e f r a c c i o n e s al g e b r a i c a s
C o n el mi s m o d en o m i m i n a d o r
79
C o n d i s ti n t o d en o m i m i n a d o r
E n p r i m e r l u g a r s e p o n e n l a s f r ac c i o n e s a l g e b r a i c a s a c o m ún
d e n o m i n a d o r , p o s t e r io r m e n t e s e s u m a n l os n u m e r a d o r e s .
M u l t i p l i c ac i ó n d e f r ac c i o n e s a l g e b r a i c a s
80
D i v i si ó n d e f r a c c i o n es a l g e br a i c as
E j e r c i c i os r e s u el t o s de f r a c c i o n e s a l g e b r a i c a s
1 S i m pl i fi c a r l a s f r a c c i o n e s a l g e b r a i c a s
1
81
2
3
4
82
5
2 S u m a l a s fr a c c i o n e s a l g e b r a i c a s
3 R e s t a l a s fr a c c i o n e s a l g e b r a i c a s
83
4 M u l t i pl i c a l a s f r ac c i o n e s a l g e b r a i c a s
1
2
84
Opera
5 E f e c t ú a l a s o p e r a c i on e s .
85
6Realiza las operaciones .
Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos
v a l o re s d e l a s l et r a s .
x + 1 = 2
x = 1
Elementos de una ecuación
M i e m b ro s
L o s m i e m br o s d e u n a e c u a c i ó n s o n c a d a u n a d e l a s e x p r e s io n es
q u e a p a r e c e n a am b o s l a d o s de l s i g n o i g u a l .
Términos
L o s t é r m i n o s d e u n a e c u a c i ó n s o n l o s s u ma n d o s q u e f o r m a n l o s
m i e m b r os d e u n a ec ua c i ó n .
86
I n có g n i ta s
L a i n c ó g ni t a d e u n a e c u a c i ó n e s e l v a l o r d e s c o n o c i d o q u e s e
p r e t e n d e d et e rm i n a r .
L a i nc ó g n i t a d e u n a ec u a c i ó n se s u e le ex p r e s a r co n l a le t r a x .
S o l u ci o n e s
L a s S O L U C I O N E S d e u na e c u a c i ó n so n l o s v al o r e s q u e d e b e n t o m a r
l a s l e t r as p a r a q u e l a i g u a l d a d s ea c i e r t a .
2x − 3 = 3x + 2
x = −5
2 · ( −5 ) − 3 = 3 · ( −5 ) + 2
− 1 0 −3 = −1 5 + 2
− 1 3 = −1 3
Grado
El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los
m o n o m i o s q u e fo rm an s u s m i em b r o s .
E c u a c i o n e s e q u i v a l e nt e s
D o s e c u a c i o n e s s o n eq u i v a l e n t e s s i t i e n e n l a mi sm a s o l uc i ó n .
2x − 3 = 3x + 2
x = −5
87
x + 3 = −2
x = −5
C r i t e r i o s d e e q u i v a l en c i a d e e c u ac i o n e s
1 . Si a l os d o s m i e mb r o s d e u n a e c u a c i ón s e l e s s u m a o s e l e s
r e s t a u n a m i s m a c a n ti d a d , l a e c u ac i ó n e s e q u i v a l e n t e a l a d a da .
x + 3 = −2
x + 3 − 3 = −2 − 3
x = −5
2 . S i a l o s d o s m i e mb r o s d e u n a e c u a c i ó n s e l e s m u l t i pl i c a o s e
l e s d i v i d e u n a mi s m a c a n t i d a d , l a e c u a c i ón e s e q u i v a l e n t e a l a d a d a .
5x + 10 = 15
(5x + 10) : 5 = 15 : 5
x + 2 = 3
x + 2 −2= 3 −2
x = 1
Clases de ecuaciones
1 . E c u a c i o n e s p o l i n óm i c a s
1 . 1 Ec u a c i o n e s p o l i nó m i c a s e n t e r a s
L a s e c u a c io n e s po l i n ó m ic a s so n d e l a f o rm a P ( x) = 0 , do n d e P ( x)
e s u n p o l i no m io .
88
1 . 1 . 1 Ec u a c i o n e s d e p r i m e r g r a d o o l i n e a l e s
S o n d e l t i po a x + b = 0 , co n a ≠ 0 , ó c u a lq u i e r o t r a e c u a c ió n en
l a q u e a l o p e r a r , t r a s p o n e r t é rm i no s y s im p l i f i c a r a do p t an e s a
e x p r e s ió n .
(x + 1)2 = x2 - 2
x2 + 2x + 1 = x2 - 2
2 x + 1 = -2
2x + 3 = 0
1 . 1 . 2 Ec u a c i o n e s d e s e g u n d o g r a d o o c u a d r á t i c as
S o n e c u a c io n e s d e l t ip o a x 2 + b x + c = 0 , co n a ≠ 0 .
E c u a ci o n e s d e s e g u n d o g r a d o i n co mp l e t a s
ax2 = 0
ax2 + b = 0
ax2 + bx = 0
1 . 1 . 3 Ec u a c i o n e s d e te r c e r g r a d o
S o n e c u a c io n e s d e l t ip o a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 , c o n a ≠ 0 .
1 . 1 . 4 Ec u a c i o n e s d e c u a r t o g r a d o
S o n e c u a c io n e s d e l t ip o a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0 , c o n a ≠ 0 .
89
E c u a ci o n e s b i cu a d ra d a s
S o n e c u a c io n e s d e c ua r t o g r a d o q u e no t ie n e t é rm i n o s d e g r a do
impar.
ax4 + bx2 + c = 0, con a ≠ 0.
1 . 1 . 5 Ec u a c i o n e s d e g r a d o n
E n g e n e r a l , l a s e c u ac io n e s de g r a d o n s o n d e l a f o r m a:
a1xn + a2xn-1 + a3xn-2 + ...+ a0 = 0
1 . 2 . E c u a c i o n e s p o l i n ó m i c a s r ac i o n a l e s
L a s e c u a c io n e s p o l i nó m ic a s so n d e l a fo rm a
, donde
P(x) y Q(x) son polinomios.
1.3. Ecuaciones polinómicas irracionales
L a s ec u a c i o ne s i r r ac io n a l e s s o n a q u e l l a s qu e t i e n e n a l m e no s un
p o l i n o m i o b a j o e l s i gn o r a d i c a l .
90
2. Ecuaciones no polinómicas
2 . 1 Ec u a c i o n e s e x p o n e n c i a l e s
S o n e c u a c i o n e s e n l a q u e l a i n c ó g ni t a a p a r e c e e n e l e x p o n e n t e .
2 . 2 Ec u a c i o n e s l o g a r í t m i c a s
S o n e c u a c io n e s e n l a q u e l a i n c ó g n i t a a p a r e c e a fe c t a d a p o r un
l o g a r i tm o .
2 . 3 Ec u a c i o n e s t r i g o no m é t r i c a s
S o n l a s ec u a c i o ne s en l a s q u e l a i n có g n i t a e s t á af e c ta d a p o r u na
f u n c i ó n t r i g o no m é t r ic a . C o m o é s ta s so n p e r i ó d i c a s , h a b r á p o r lo
g e n e r a l i n f i n i t a s so l uc i o n e s .
91
Las ecuaciones lineales o de primer grado son del tipo ax + b =
0 , c o n a ≠ 0 , ó c u a l q u i e r o t r a e c u ac i ó n e n l a q u e a l o p e r a r , t r a s p o n er
t é r m i no s y s im p l i f i c a r a d o p t e n e s a e x p r e s ió n .
Resolución de ecuaciones lineales
E n g e n e r a l p a r a r e s o l v e r u n a e c u ac i ó n l i ne a l o d e p r i m e r g r a do
d e b e m o s se g u i r l o s s ig u i e n t e s p a s o s :
1 º Q u i t a r p a r é n te s i s .
2 º Q u i t a r d e n o m i n a do r e s .
3 º A g r u p a r l o s t é rm i n o s e n x e n u n m ie m b ro y l o s t é rm i no s
i n d e p e n d i e n t e s e n e l o t ro .
4 º Re d u c i r l o s t é rm i no s se m e j a n t es .
5 º D e s p e j a r l a i n có g n i t a .
E j e m p l os d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s
D e s p e ja m o s l a i n c ó g ni t a :
A g r u p a m o s lo s t é rm i n o s s em ej a n t e s y lo s i n d e p e n d i e n te s , y
s u m am o s:
92
Q u i t a m o s p a ré n t e s i s:
A g r u p a m o s t é rm i n o s y s um a m o s:
D e s p e ja m o s l a i n c ó g ni t a :
Q u i t a m o s d e n o m i n a do r e s , p a r a e l l o e n p r i m e r l u g a r h a l l am o s el
m í n i m o co m ú n m ú l t i p l o .
Quitamos
p a r é n te s i s,
agrupamos
s e m e j a n t e s:
D e s p e ja m o s l a i n c ó g ni t a :
93
y
s u m am o s
lo s
té r m i no s
Q u i t a m o s p a ré n t e s i s y s im p l i f i c a m o s:
Q u i t a m o s d e no m i n a d o r e s , a g r u p a m o s y su m a m o s lo s t é rm i n o s
s e m e j a n t e s:
Q u i t a m o s c o rc h e t e:
Q u i t a m o s p a ré n t e s i s:
Q u i t a m o s de n o m i n a do r e s:
Q u i t a m o s p a ré n t e s i s:
A g r u p a m o s t é rm i n o s :
S u m a m o s:
94
D i v i d im o s l o s d o s m iem b r o s p o r: −9
E j e r c i c i os d e e c u a c i on e s l i n e a l e s
1.
2.
3.
95
4.
5.
96
6.
7.
97
8.
9.
P a r a r e a l i z a r u n p r ob l e m a s d e e c u a c i o n e s e n p r i m e r l u g a r lo
t e n em o s q u e e x p r es a r e n l e n g u a j e a l g e b r á i c o y p o s te r i o r m e nte
r e s o lv e r la e c u ac i ó n re s u l t a n t e .
Expresiones algebraicas comunes
E l d o b l e o d u p l o d e un n ú m e ro : 2 x
E l t r i p l e d e u n n úm e ro : 3 x
98
E l c u á d r u p l o d e u n nú m e ro : 4 x
L a mi t a d d e u n n úm er o : x/ 2 .
U n t e r c i o d e u n n úm er o : x/ 3 .
Un cuarto de un número: x/4.
U n n ú m e ro es p r o p o r c i o n a l a 2 , 3 , 4 , . . . : 2 x , 3 x , 4 x ,. .
U n n ú m e ro a l c u a d r ad o : x 2
U n n ú m e ro a l c u b o : x 3
D o s n ú m er o s c o n s ec u t i v o s : x y x + 1 .
D o s n ú m er o s c o n s ec u t i v o s p a r e s : 2 x y 2 x + 2 .
D o s n ú m er o s c o n s ec u t i v o s i m p a r e s : 2 x + 1 y 2 x + 3 .
D e s c o m p o n e r 2 4 e n do s p a r t e s : x y 2 4 − x .
L a s u m a de d o s n ú m er o s e s 2 4 : x y 2 4 − x .
L a d i f e r e nc i a d e d o s n ú m e ro s e s 2 4 : x y 2 4 + x .
E l p r o d u c t o d e do s nú m e ro s es 2 4 : x y 2 4 / x .
E l c o c i e n t e d e do s n úm e ro s e s 2 4 ; x y 2 4 · x .
P r o b l e m a s d e m ó v i l es
P a r a p l a n t e a r p ro b le m a s so b r e m ó v i le s q u e l l e v a n v e l o c i da d
c o n s t a n te se u t i l i z a n l a s f ó rm u l a s d e l m o v im i e n to re c t i l í n eo u n if o r m e :
99
e s p a c i o = v el o c i d a d × t i e m p o
1er caso
L o s m ó v i l es v a n e n s e n t i d o c o n t r a r i o .
eAC + e
BC
= e
AB
D o s c i u d a d e s A y B d i s t a n 3 0 0 km e n t r e s í. A l a s 9 d e l a m a ñ a na
p a r t e d e l a c i u d a d A u n c o c h e h a c i a l a c i u d a d B c o n u n a v e l o c id a d d e
9 0 km / h , y d e l a c i u d a d B p a r t e o t r o h a c i a l a c i u d a d A c o n u n a
v e lo c i d a d d e 6 0 km / h. S e p i d e :
1 E l t i em p o q ue t a r d a r á n e n e n co n t r a r se .
90t + 60t = 300
150t = 300
t = 2 horas
2 L a h o r a d e l e n c ue n tr o .
S e e n co n t r a r a n a l a s 1 1 d e l a m a ñ a n a .
3 L a d i s t a n c i a re co r r id a p o r c a d a u n o .
e
AB
= 9 0 · 2 = 1 8 0 km
e
BC
= 60 · 2 = 120 km
2o caso
L o s m ó v i l es v a n e n e l m i s m o s e n ti d o .
100
e
AC
− e
BC
= e
AB
D o s c i u d a d e s A y B d i s t a n 1 8 0 km e n t r e s í. A l a s 9 d e l a m a ñ a na
s a l e d e u n co c h e d e c a d a c i u d a d y lo s do s co c h e s v a n e n e l m i sm o
s e n t i d o . E l q u e s a le de A c i r c u l a a 9 0 km / h, y e l q u e s a le d e B v a a 6 0
k m / h . S e p i d e:
1 E l t i em p o q ue t a r d ar á n e n e n co n t r a r se .
90t − 60t = 180
30t = 180
t = 6 horas
2 L a h o r a d e l e n c ue n tr o .
S e e n co n t r a r a n a l a s 3 d e l a t ar d e .
3 L a d i s t a n c i a re co r r id a p o r c a d a u n o .
e
AB
= 9 0 · 6 = 5 4 0 km
e
BC
= 60 · 6 = 360 km
3er caso
L o s m ó v i l es p a r t e n de l mi s m o p u n t o y c o n e l mi sm o s e n t i d o .
e
1
= e
2
U n c o c h e s a l e d e l a c i u d a d A a l a v e lo c id a d d e 9 0 km / h . T r es
h o r a s m á s t a r de s a l e d e l a m i sm a c i u d a d o t ro co c h e e n p e r s ec u c i ó n
d e l p r i m e ro c o n u n a v e lo c i d a d d e 1 2 0 k m / h . S e p i d e :
101
1 E l t i em p o q ue t a r d ar á e n a l c a n z a r lo .
9 0 t = 1 2 0 · (t − 3 )
90t = 120t − 360
−30t = −360
t = 12 horas
2 L a d i s t a n c i a a l a q ue s e p ro d u c e e l e n c u en t r o .
e
1
= 9 0 · 1 2 = 1 0 8 0 km
Problemas de grifos
E n u n a h o r a e l p r i m e r g r i f o l l e n a 1 / t 1 d e l de p ó s i to .
E n u n a h o r a e l s e g u nd o g r i f o l l e n a 1 / t 2 d el d e p ó s i to .
S i e x i s te u n d e s a g ü e
E n u n a h o r a e l d e s a gü e v a c i a 1 / t 3 d e l d e pó s i to .
E n u n a h o r a lo s do s gr i f o s j u n to s h a b r á n l le n a d o :
Sin desagüe
Con desagüe
102
U n g r i f o t a r d a e n l l e n a r u n d e p ó s i t o t r e s ho r a s y o t r o g r i fo t a r da
e n l l e n a r l o c u a t ro ho r a s . ¿ C u á n t o t i em po t a r d a r á n e n l l e n a r l o s do s
g r i f o s j u n to s e l d e p ó si t o ?
E n u n a h o r a e l p r i m e r g r i f o l l e n a 1 / 3 d e l d ep ó s i to .
E n u n a h o r a e l s e g u nd o g r i f o l l e n a 1 / 4 d e l d e p ó s i to .
E n u n a h o r a lo s do s gr i f o s j u n to s h a b r á n l le n a d o :
7x = 12
x = 1 2 / 7 h o r as
P r o b l e m a s d e m e z c l as
C1
1 ª c a nt i d a d . C 1 = x
C2
2 ª c a nt i d a d . C 2 = C m - x
Cm
C a n t i d a d d e l a m ez c l a C m = C 1 + C 2
P1
P r e c io d e l a 1 ª c a nt i d a d
P2
P r e c io d e l a 2 ª c a nt i d a d
Pm
P r e c io d e l a m e z c la
C1 · P1 + C2 · P2 = Cm · Pm
T a m b i é n po d em o s po n e r l o s d a t o s e n u n a t a b l a
103
Cantidad
Precio
Coste
1 ª s u st a n c i a
C1
P1
C1 · P1
2 ª s u st a n c i a
C2
P2
C2 · P2
Mezcla
C1 + C2
P
C1 · P1+ C2 · P2
C1 · P1 + C2 · P2 = (C1 + C2) · Pm
U n c o m er c i a n t e t i e ne d o s c l a s e s d e c a f é , la p r i m e r a a 4 0 € e l kg
y l a se g u n d a a 6 0 € e l k g .
¿ C u a n t o s k i lo g r am o s h a y q u e p o n e r d e c a d a c l a s e d e c a f é p a r a
o b t e n e r 6 0 k i lo s de m e z c l a a 5 0 € e l k g?
1ª clase
2ª clase
Total
Nº de kg
x
60 − x
60
Valor
40 · x
6 0 · ( 6 0 − x)
60 · 50
40x + 60 · (60 − x) = 60 · 50
40x + 3600 − 60x = 3000;
− 60x + 40x = 3000 − 3600;
600
x = 30;
60 − 30 = 30
104
20x =
T e n e m o s q u e m ez c l ar 3 0 kg d e l a 1 ª c l a se y o tr o s 3 0 d e l a 2 ª
c l a s e.
P r o b l e m a s d e al e a c i on e s
L a l e y d e l a a l e a c i ó n e s l a r e l ac i ó n e n t r e el p e s o d e l m e t a l fi n o ,
e s d e c i r , m á s v a l i o so , y e l p e s o t o t a l .
S e r e s u e l v e n d e l m is m o m o d o q u e l o s p r o b l e m a s d e m e z c la s ,
t e n i e n d o e n c ue n t a qu e l a l e y d e l a a l e a c i ó n e q u i v a l e a l p r e c i o d e l a
mezcla.
C1 · L1 + C2 · L2 = (C1 + C2) · La
S e t i e n e n do s l i n go t es d e p l a t a , u n o d e l ey 0 .7 5 0 y o t r o d e ley
0 . 9 5 0 . ¿ Q ué p e s o h ay q u e t o m a r d e ca d a l i n g o t e p a r a o b te n e r 1 8 0 0 g
d e p l a t a d e l e y 0 .9 0 0 ?
1 ª l ey
2 ª l ey
Total
Nº de g
x
1800 − x
1800
Plata
0.750 · x
0 . 9 5 0 · (1 8 0 0 − x )
0.900 · 1800
0 . 7 5 0 · x + 0 .9 5 0 · (1 8 0 0 − x ) = 0 . 9 · 1 8 0 0
0 . 7 5 0 x + 1 7 1 0 − 0 .9 5 0 x = 1 6 2 0
0.750x − 0.950x = 1 620 − 1 710
105
−0.2x = − 90
x = 450
1 ª l ey
450 g
2 ª l ey
1350 g
Las
ecuaciones
cuadráticas
o
de
segundo
grado
son
las
e x p r e s io n e s de l a fo rm a :
ax2 + bx +c = 0 con a ≠ 0.
Para
resolver
e c u ac i o n e s
de
segundo
grado
utilizamos
s i g u i e n t e fó r m u l a:
S i e s a <0 , m u l ti p l i c am o s l o s d o s mi e m b r os p o r (− 1 ) .
106
la
E c u a c i o n e s c u a d r á ti c a s i n c om p l e t a s
Una ecuación cuadrática o de segundo grado es incompleta si
a l g u n o d e lo s co e f ic i en t e s , b o c , o am b o s , s o n i g u a l e s a c e ro .
ax2 = 0
La solución es x = 0.
ax2 + bx = 0
E x t r a em o s f ac t o r co m ú n x :
107
ax2 + c = 0
D e s p e ja m o s:
S o l u c i o n e s d e l a ec u a c i ó n c u a d r á t i c a
ax2 +bx +c = 0
b 2 − 4 a c s e l l a m a d i s c r i m i n a n t e d e l a e c u a c i ó n y p e rm i te
a v e r i g u a r e n ca d a ec u a c i ó n e l n úm e ro d e s o l u c io n e s . P o dem o s
d i s t i n g u i r t r e s c as o s:
108
b2 − 4ac > 0
L a e c u a c i ó n ti e n e d o s s o l u c i o n e s , q u e s o n n ú m e r o s r e a l es
d i s t i n t os .
b2 − 4ac = 0
L a e c u a c i ó n ti e n e u n a s o l u c i ó n d o b l e .
b2 − 4ac < 0
L a e c u a c i ó n n o ti e n e s o l u c i o n e s r e a l e s.
Propiedades de las soluciones de la ecuaciones cuadráticas
L a s u m a d e l a s s o l u c i o n e s d e u n a e c u a c ió n d e s e g u n d o g r a do
es igual a:
109
E l p r o d u c t o d e l a s s o l u c i o n e s d e u n a ec u a c i ó n d e s e g u n d o
grado es igual a:
Ecuación cuadrática a partir de sus soluciones
S i c o n o c e m o s l as r a í c e s d e u n a e c u a c i ó n , p o d e m o s e s c r i b i r
ésta como:
Siendo S = x1 + x2 y P = x1 · x2
E s c r i b e u n a e c u a c ió n d e se g u n d o g r a d o cu y a s so l u c i o ne s so n :
3 y −2.
S= 3 − 2 = 1
P = 3 · 2 = 6
x2 − x + 6 = 0
F a c t o r i z a c i ó n d e l a ec u a c i o n e s c u a d r á t i c as
a x2 + bx +c = 0
a · (x -x1 ) · (x -x2 ) = 0
110
Para
r es o lv e r
ec ua c i o n e s
f r ac c i o n a r i a s
o
racionales
se
m u l t i p l i c a n am bo s m i e m b ro s d e l a e c u a ci ó n p o r e l m í n im o co m ún
m ú l t i p l o d e lo s d e no m i n a d o re s .
D e b e mo s c o m p ro b a r l a s s o l u ci o n e s , p ar a r e c h a z a r p o s i b l es
s o l u c i o ne s e x t r a ñ a s p r o v e n i e n t e s d e l a e c u a c i ó n t r a n s fo rm ad a ( l a
r e s u l t a n t e d e m u l t i p li c a r p o r e l m í n im o co m ú n m ú l t i p l o ) , p e ro q u e n o
l o so n d e l a e c u a c ió n o r i g i n a l .
C o m p r o b a m o s l a s o l uc i ó n :
111
L a e c u a c i ó n n o ti e n e s o l u c i ó n p o r q u e p a r a x = 1 s e a n u l a n l os
denominadores.
L a so l u c i ó n e s :
L a s e c u ac i o n e s b i c u ad r a d a s s o n d e l t i p o :
ax4 + bx2 + c = 0
P a r a r es o l v e r e c u ac i o n e s b i c u a d r a d a s , e fe c t u am o s e l c am b io x 2
= t , x 4 = t 2 ; c o n lo qu e g e n e r a u n a e c u ac ió n d e s e g u n d o g r a d o c o n l a
i n c ó g n i t a t:
at2 + bt + c = 0
P o r c a d a v al o r p o s i t i v o d e t h a b r á d o s v a l o r e s d e x :
112
E l m i sm o p ro c e d im ie n t o p o de m o s u t i l i za r p a r a r e s o lv e r l as
e c u a c i o ne s d e l t i p o :
ax6 + bx3 + c = 0
ax8 + bx4 + c = 0
ax10 + bx5 + c = 0
113
E j e r c i c i os d e e c u a c i on e s b i c u a d r a d a s
1x4 − 61x2 + 900 = 0
2x4 − 25x2 + 144 = 0
114
3x4 − 16x2 − 225 = 0
Evaluación

Socializar los contenidos de la presente guía, sustente y discuta en pequeños
grupos los ejercicios y problemas planteados.

Resuelva y sustente por CIPAS, los ejercicios de estos capítulos, de acuerdo a la
orientación del tutor del texto: Matemáticas Universitarias de Allendoerfer y los
ejercicios integrales del material de apoyo aportado por el tutor.

dentro de la guía se encontraran ejercicios y problemas resueltos que el estudiante
resolverá y presentara en un portafolio para ser revisados por el tutor, se hará una
socialización y corrección de algunos problemas propuestos al azar, se tendrá en cuenta
una autoevaluación que cada estudiante hará, una cooevaluación que le harán los
estudiantes del grupo y una hetero-evaluación que será realizada por el tutor teniendo en
cuenta los aspectos cognitivos, actitudinales y comporta-mentales del estudiante, al igual
que las competencias interpretativa, argumentativa y proposicional.
115
Acreditación del Núcleo Problemico
La acreditación de la unidad amerita un trabajo secuencial, individual y por CIPAS
que le permitan al estudiante un desarrollo adecuado de los procesos de
factorización y la solución de ejercicios de aplicación a las ecuaciones lineales y
cuadráticas mediante la interpretación analítica y gráfica de sus soluciones.
Quien acredite un nivel mínimo en el manejo conceptual, operativo y gráfico de
estos componentes, avanzará positivamente en el proceso evaluativo tutorial.
CALENDARIO DEL MODULO
(Se debe definir en semanas, de forma que ajuste con el modelo pedagógico uniminuto – en l
modalidad de distancia)
UNIDAD DE
APRENDIZAJE
Acuerdo
Pedagógico
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
SEMANA
Presentación del modulo, firma de acuerdos, entrega del
PIC y asignación de actividades y consultas para ser
discutidas el 20 de febrero
1
13 de
febrero de
2010
2
20 de
febrero de
2010
Asignación
de tareas y
actividades
para el 27
de febrero
3
Del 27 de
febrero al
6 de Marzo
Lógica y Conjuntos
Trabajo en pequeños grupos para la preparación de la
socialización de la temática, y resolución de la guía del
modulo 1, Evaluación y control de actividades.
Pensamiento y
Sistema Numérico
De manera individual en la distancia el estudiante
realizará una síntesis de los contenidos consultados en la
bibliografía sugerida, resolverá los ejercicios y
problemas propuestos y en el encuentro presencial se
aclararan las dudas, se corregirán algunos ejercicios y
problemas y se evaluará el portafolio
De manera individual en la distancia el estudiante
realizará una síntesis de los contenidos consultados en la
bibliografía sugerida, resolverá los ejercicios y
problemas propuestos y en el encuentro presencial se
aclararan las dudas, se corregirán algunos ejercicios y
problemas y se evaluará el portafolio
Pensamiento
Variacional y
sistemas
algebraicos
4
del 6 de
marzo al
13 de
marzo
5
6
7
8
116
METODOLOGIA
En la educación a distancia es importante que el estudiante asuma una estricta
responsabilidad con sus procesos, condición que lo lleva a adquirir auto exigencia con su
aprendizaje. Debido a que ese proceso es básicamente individual y por lo tanto no dispone de
la presencia constante del tutor, el estudiante debe considerar la capacidad para organizar el
tiempo de su estudio por si mismo (autodisciplina), teniendo en cuenta que esta modalidad
presenta flexibilidad en los horarios.
La palabra método significa camino (odos), para llegar a un fin (meta), en este sentido el
concepto de metodología integra los métodos y las técnicas para desarrollar habilidades
conducentes a adquirir una competencia.
Usted cuenta con Varios recursos a su disposición los cuales le ayudaran a alcanzar la
competencia al final de este modulo. Ellos son:
Se recomienda leer y consultar como textos complementarios en lo conceptual y
referente a aplicaciones, los siguientes:
-
Se recomienda leer los capítulos 6 y 8 sobre ecuaciones e inecuaciones lineales
del texto, Matemáticas Universitarias de Allendoerfer.
-
Lectura analítica de los capítulo 2 y 3 sobre ecuaciones lineales
de las
Matemáticas Aplicadas a la Economía y a la Administración, de Jagdish C. Arya/
Robin W. Lardner. Editorial Prentice Hall. 1996.
-
Se recomienda leer los capítulos 5 y 6 del texto, Matemáticas Aplicadas a la
Administración y a la Economía Jagdish C. Arya/ Robin W. Lardner. Editorial
Prentice – Hall. Tercera edición. México 1989.
Se recomienda visitar y consultar las direcciones abajo citadas
http://carmesimatematic.webcindario.com/cuadernoactividadescuarto.htm
http://www.vitutor.net/1/38.html L o s co n t e n i do s y t it u l a r i d a d d e l d o m i n io
c o r r es p o n d e n a J u a n C a r l o s F e r n á n d e z G o r d i l l o , p a r a m á s in f o r m ac i ó n
sobre
v i t u t o r . ne t
puedes
consultar
la
página:
h t t p : / / ww w .w h o i s . n et / w ho i s _ ne w . c g i ? d= v it u t o r . n e t& t l d =c o m .
http://www.eduteka.org/SoftMath5.php
Ministerio
de
Educación
Nacional
de
Colombia
(MEN),
Estándares Curriculares para Matemáticas, Bogotá, Mayo de 2003
POLITICAS
El estudiante debe consultar y realizar las consultas y lecturas recomendadas, sintetizar los
conceptos en un portafolio, resolver los ejercicios y problemas propuestos en la guía, asistir
117
puntualmente a las sesiones presenciales y a los cipas programados en los acuerdos del 13 de
febrero, participar activamente de las actividades de socialización y trabajo colaborativo.
Rol del Tutor:
El propósito fundamental del tutor es el de dar un servicio a los estudiantes, facilitando su
proceso de aprendizaje y el logro de sus competencias. La supervisión que hagan los tutores se
enfocará tanto a los procesos, como a los productos de aprendizaje que evidencien desarrollo
de habilidades que conlleven a alcanzar la competencia, para ello el tutor asume entre otros
los compromisos de:
Atender directamente a los estudiantes a él asignados utilizando diversos medios:
encuentro tutorial, teléfono, celular, fax, e-mail, sistemas de mensajería y/o cualquier
otro medio acordado previamente con el estudiante , de manera que pueda ayudarle a
aclarar sus dudas a partir del uso de diversas estrategias didácticas.
Asistir al lugar de tutoría asignado, en la hora y el dia indicados previamente para tal
fin:
Respetar el calendario académico y cada una de las actividades propuestas en el
Guiar, facilitar, asesorar y orientar al estudiante en su proceso de aprendizaje
Suscitar la reflexión e indagar a los estudiantes sobre su proceso de aprendizaje
Evaluar las actividades teniendo en cuenta los criterios de evaluación socializados al
estudiante al plantearse la actividad.
Retroalimentar las actividades y sus evidencias de competencia en las fechas
acordadas con el tutor.
Las dudas académicas serán atendidas por teléfono, fax, e-mail y medios como foros
en aulas virtuales.
Rol del estudiante
Asumamos que los estudiantes son participantes, honestos y comprometidos que. Como tales,
son los principales responsables de iniciar, dirigir y sostener sus propios procesos de
aprendizaje. Cada estudiante se compromete a propiciar las condiciones que estén a su
alcance para maximizar las oportunidades de aprendizaje de acuerdo a su contexto y
posibilidades. De igual forma se asume que nuestros estudiantes no incurrirán en actos
deshonestos y de plagio intelectual de ideas en las diversas formas de interacción, actividades
terminales e intermedias. Se espera que los estudiantes participen activamente en cada una de
las actividades descritas en la guía de estudio, para ello es necesario tener en cuenta que:
El estudiante es el protagonista del proceso de aprendizaje, que lo lleva a ser mas
activo y propositivo, por consiguiente a desarrollar el auto – estudio
Debe estar preparado para participar activamente de las actividades de aprendizaje,
habiendo leído los contenidos de su texto de estudio y materiales adicionales
relacionados en la guía de estudio.
Debe realizar las actividades planteadas en la guía de estudio, entregando las
evidencias de manera acorde a los planteado en los criterios de evaluación, dentro de
118
los tiempos establecidos en le calendario y bajo las instrucciones descritas en cada
actividad.
En las evidencias escritas, deberá saber citar las fuentes, es decir usar debidamente la
bibliografía a fin de evitar el plagio.
Bibliografía
http://carmesimatematic.webcindario.com/cuadernoactividadescuarto.htm
http://www.vitutor.net/1/38.html L o s co n t e n i do s y t it u l a r i d a d d e l d o m i n io
c o r r es p o n d e n a J u a n C a r l o s F e r n á n d e z G o r d i l l o , p a r a m á s in f o r m ac i ó n
sobre
v i t u t o r . ne t
puedes
consultar
la
página:
h t t p : / / ww w .w h o i s . n et / w ho i s _ ne w . c g i ? d= v it u t o r . n e t& t l d =c o m .
http://www.eduteka.org/SoftMath5.php
Ministerio
de
Educación
Nacional
de
Colombia
(MEN),
Estándares Curriculares para Matemáticas, Bogotá, Mayo de 2003
Allendoerfer, C y Oakley, Cletus O. Matemáticas Universitarias. Cuarta edición
revisada. Editorial Mc Graww- Hill. Santafé de Bogotá D.C. 1994 Cáp. 4, 5, 6, 7, 8,
10 y 11.
Arya, J y Lardner, R. Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía.
Tercera edición. Editorial Prentice Hall. 1989. capítulos 1 al 6.
Materiales de apoyo elaborados por el tutor sobre álgebra básica y ecuaciones y sus
aplicaciones.
Sydsaeter – Hammond, Knut – Meter J.: Matemáticas para el análisis económico;
Prentice – Hall, 1996.
119